高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3.1 推出与充分条件
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1
1.3 充分条件、必要条件与命题的四种
3
ห้องสมุดไป่ตู้
形式
1．3.1 推出与充分条件、必要条件
学
阶 段
业 分 层
2
测
评
1．结合具体实例理解充分条件、必要条件的概念．(重点) 2．结合具体实例理解充要条件的概念．(重点) 3．会求或证明命题的充要条件．(难点、易错点)
教材整理1 充分条件与必要条件 阅读教材P18～P19第10行内容，完成下列问题． 充分条件与必要条件
∴p既是q的充分条件也是q的必要条件． (4)由sin α＞sin β不能推出α＞β，反过来由α＞β也不能推出sin α＞sin β，∴p既 不是q的充分条件，也不是q的必要条件．
充分条件、必要条件、充要条件的应用
已知p：－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若q是p的充分不 必要条件，求实数m的取值范围. 【导学号：25650024】
教材整理2 充要条件
阅读教材P19第11行～P19例1部分，完成下列问题．
充要条件 1．推出关系：p⇒q，且q⇒p，记作
p⇔q .
2．简称：p是q的充分必要条件，简称 充要条件 .
3．意义：p⇔q,则p是q的 充要 条件或q是p的 充要 条件,即p与q 互为充要条件 .
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( ) (2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．( ) (3)q不是p的必要条件时，“p q”成立．( ) 【答案】 (1)√ (2)√ (3)√
[再练一题] 1．(2015·安徽高考)设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 由2x＞1＝20得x＞0，所以p⇒q但q 条件．
【答案】 A
p，所以p是q的充分不必要
2．指出下列命题中，p是q的什么条件？ (1)p：x2＝2x＋1，q：x＝ 2x＋1； (2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0； (3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝ x－1； (4)p：sin α＞sin β，q：α＞β.
【精彩点拨】
【自主解答】 p：－2≤x≤10. q：x2－2x＋1－m2≤0⇔[x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0(m>0)⇔1－m≤x≤1＋ m(m>0)． 因为q是p的充分不必要条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0} {x|－2≤x≤10}， 故有11－＋mm≥<1－0 2， 或11－＋mm>≤－102，， 解得m≤3. 又m>0，所以实数m的范围为{m|0<m≤3}．
【自主解答】 (1)∵α＝π3⇒cos α＝12，cos α＝12 α＝π3， ∴p是q的充分不必要条件．
(2)∵由正弦定理sina A＝sinb B，
知a＞b⇒sin A＞sin B，sin A＞sin B⇒a＞b，
∴p是q的充要条件．
(3)∵四四边边形形的是对平角行线四相边等形DD
四边形是平行四边形， 四边形的对角线相等，
命题真假 “若p，则q”为真命题
推出关系
p ⇒q
p是q的 充分 条件 条件关系
q是p的 必要 条件
“若p，则q”为假命题
pq p不是q的 充分条件 q不是p的必要条件
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若p是q的必要条件，则q是p的充分条件．( ) (2)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件．( ) 【答案】 (1)√ (2)×
[小组合作型] 充分、必要、充要条件的判断
判断下列各题中p是q的什么条件？ (1)p：α＝π3，q：cos α＝12； (2)在△ABC中，p：a＞b，q：sin A＞sin B； (3)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形.【导学号：25650023】 【精彩点拨】 根据定义法，集合法，等价法作出判断．
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________________
【解】 (1)∵x2＝2x＋1 x＝ 2x＋1， x＝ 2x＋1⇒x2＝2x＋1， ∴p是q的必要不充分条件． (2)∵a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0， a＋b＝0 a2＋b2＝0， ∴p是q的充分不必要条件．
(3)∵当x＝1或x＝2成立时，可得x－1＝ x－1成立，反过来，当x－1＝ x－1 成立时，可以推出x＝1或x＝2，
∴p是q的既不充分也不必要条件．
充分、必要、充要条件的判断方法 1．定义法 若p⇒q，q p，则p是q的充分不必要条件； 若p q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件； 若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件； 若p q，q p，则p是q的既不充分也不必要条件．
2．集合法 对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下： 若A⊆B，则p是q的充分条件； 若A⊇B，则p是q的必要条件； 若A＝B，则p是q的充要条件； 若A B，则p是q的充分不必要条件； 若A B，则p是q的必要不充分条件； 即小范围可推出大范围，大范围不能推出小范围． 3．等价法 等价转化法就是在判断含有“否”的有关条件之间的充要关系时，根据原命 题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．
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1.3 充分条件、必要条件与命题的四种
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ห้องสมุดไป่ตู้
形式
1．3.1 推出与充分条件、必要条件
学
阶 段
业 分 层
2
测
评
1．结合具体实例理解充分条件、必要条件的概念．(重点) 2．结合具体实例理解充要条件的概念．(重点) 3．会求或证明命题的充要条件．(难点、易错点)
教材整理1 充分条件与必要条件 阅读教材P18～P19第10行内容，完成下列问题． 充分条件与必要条件
∴p既是q的充分条件也是q的必要条件． (4)由sin α＞sin β不能推出α＞β，反过来由α＞β也不能推出sin α＞sin β，∴p既 不是q的充分条件，也不是q的必要条件．
充分条件、必要条件、充要条件的应用
已知p：－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若q是p的充分不 必要条件，求实数m的取值范围. 【导学号：25650024】
教材整理2 充要条件
阅读教材P19第11行～P19例1部分，完成下列问题．
充要条件 1．推出关系：p⇒q，且q⇒p，记作
p⇔q .
2．简称：p是q的充分必要条件，简称 充要条件 .
3．意义：p⇔q,则p是q的 充要 条件或q是p的 充要 条件,即p与q 互为充要条件 .
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( ) (2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．( ) (3)q不是p的必要条件时，“p q”成立．( ) 【答案】 (1)√ (2)√ (3)√
[再练一题] 1．(2015·安徽高考)设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 由2x＞1＝20得x＞0，所以p⇒q但q 条件．
【答案】 A
p，所以p是q的充分不必要
2．指出下列命题中，p是q的什么条件？ (1)p：x2＝2x＋1，q：x＝ 2x＋1； (2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0； (3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝ x－1； (4)p：sin α＞sin β，q：α＞β.
【精彩点拨】
【自主解答】 p：－2≤x≤10. q：x2－2x＋1－m2≤0⇔[x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0(m>0)⇔1－m≤x≤1＋ m(m>0)． 因为q是p的充分不必要条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0} {x|－2≤x≤10}， 故有11－＋mm≥<1－0 2， 或11－＋mm>≤－102，， 解得m≤3. 又m>0，所以实数m的范围为{m|0<m≤3}．
【自主解答】 (1)∵α＝π3⇒cos α＝12，cos α＝12 α＝π3， ∴p是q的充分不必要条件．
(2)∵由正弦定理sina A＝sinb B，
知a＞b⇒sin A＞sin B，sin A＞sin B⇒a＞b，
∴p是q的充要条件．
(3)∵四四边边形形的是对平角行线四相边等形DD
四边形是平行四边形， 四边形的对角线相等，
命题真假 “若p，则q”为真命题
推出关系
p ⇒q
p是q的 充分 条件 条件关系
q是p的 必要 条件
“若p，则q”为假命题
pq p不是q的 充分条件 q不是p的必要条件
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若p是q的必要条件，则q是p的充分条件．( ) (2)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件．( ) 【答案】 (1)√ (2)×
[小组合作型] 充分、必要、充要条件的判断
判断下列各题中p是q的什么条件？ (1)p：α＝π3，q：cos α＝12； (2)在△ABC中，p：a＞b，q：sin A＞sin B； (3)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形.【导学号：25650023】 【精彩点拨】 根据定义法，集合法，等价法作出判断．
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________________
【解】 (1)∵x2＝2x＋1 x＝ 2x＋1， x＝ 2x＋1⇒x2＝2x＋1， ∴p是q的必要不充分条件． (2)∵a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0， a＋b＝0 a2＋b2＝0， ∴p是q的充分不必要条件．
(3)∵当x＝1或x＝2成立时，可得x－1＝ x－1成立，反过来，当x－1＝ x－1 成立时，可以推出x＝1或x＝2，
∴p是q的既不充分也不必要条件．
充分、必要、充要条件的判断方法 1．定义法 若p⇒q，q p，则p是q的充分不必要条件； 若p q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件； 若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件； 若p q，q p，则p是q的既不充分也不必要条件．
2．集合法 对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下： 若A⊆B，则p是q的充分条件； 若A⊇B，则p是q的必要条件； 若A＝B，则p是q的充要条件； 若A B，则p是q的充分不必要条件； 若A B，则p是q的必要不充分条件； 即小范围可推出大范围，大范围不能推出小范围． 3．等价法 等价转化法就是在判断含有“否”的有关条件之间的充要关系时，根据原命 题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．