第七章 误差理论的基本知识

2
mz
2 mn
2
解：应用误差传播定律的一般公式得：
2 2
z 例题： 设有某函数： S sin 式中观测值：S=150.11m±0.05m， 119 4500 20.6 求z的中误差mZ。
z 2 z m 2 mz mS S
2 lim
n
f ()
1

2 2 2
e
2 22 2n [2 ] 1 lim n n n
[2 ] [] lim n n n
lim
n
评定精度的指标
精度：指在对某量进行多次观测中，各 观测值之间的离散程度。 中误差 评定精度的标准 容许误差 相对误差
则有：
mhAB nm站
水准测量高差的中误差，与测站 数n的平方根成正比
当水准路线通过平坦地区时，各测站 的视线长度大致相等，每公里的测站数也 接近相等，因而每公里的水准测量高差中 误差可以认为相同，设为mkm。当A、B两 点间的水准路线为S公里时，A、B两点间 高差中误差为：
mhAB S mkm
mS m n
量距的中误差与丈量段数n的平方根成正比
当使用量距的钢尺长度相等，每尺段 的量距中误差都是m，则每公里长度的量 距中误差mkm也是相等的。当对长度为S公 里的距离丈量时，全长S的中误差将为：
mS S mkm
在距离丈量中，距离S的量距中误差 与长度S的平方根成正比。
为了求得A、B两水准点间的高差，从A点 开始进行水准测量，经n站后测完至B点，已 知每测站的高差中误差均为m站，求A、B两 点间高差的中误差mhAB。 因为A、B两点间的高差等于各测站的观测 高差之和，即：hAB=h1+h2+…+hn
观测值与理论值之差
负误差
个数 （k） 45 40 33 23 17 13 6 4 0 181 相对个数 （k/n） 0.126 0.112 0.092 0.064 0.047 0.036 0.017 0.011 0 0.505 个数 （k） 46 41 33 21 16 13 5 2 0 177
误差区间 （3″） 0-3 3-6 6-9 9-12 12-15 15-1 m2 K2 0.01 1 D1 100 10000 0.01 1 D2 200 20000
容许误差（极限误差）
定义：由偶然误差的特性可知，在一定的观
测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的
限值。这个限值就是容许（极限）误差。 测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然 误差的容许误差。 即Δ容=2m 或Δ容=3m 极限误差的作用： 区别误差和错误的界限。
第四节 误差传播定律及应用
在实际工作中，有许多未知量 不是直接观测的，而是通过观测值 计算出来的，观测值中误差与观测 函数中误差之间的关系定律，称为 误差传播定律。
倍数函数
函数形式： Z=kx
式中Z为观测值的函数，k为常数（无误差），x为观测值
中误差关系式： mZ=kmx
即：观测值与常数乘积的中误差，等于观测 值中误差乘常数。
真误差
测量中真值与观测值之差称为误差，严 格意义上讲应称为真误差。 即：△i=Li-X 在实际工作中真值不易测定，一般把某 一个量的测量值与其最或是值之差也称为 误差。
产生测量误差的原因 ：
1．观测者的原因 由于观测者感觉器官的辨别能力存在局限性，所以， 对于仪器的对中、整平、瞄准、读数等操作都会产生误 差，另外，观测者技术熟练程度也会给观测成果带来不 同程度的影响。 2．仪器的原因 测量工作是需要用测量仪器进行的，而每一种测量仪 器具有一定的精密度，使测量结果受到一定的影响。 3．外界环境的影响 测量工作进行时所处的外界环境中的空气温度、气压、 湿度、风力、日光照射、大气折光、烟雾等客观情况时 刻在变化，使测量结果产生误差。
2



2
2
即：
mZ=±4.4cm
例题：已知三角形的三个内角，在相同的 观测条件下，采用等精度观测， 已知观测误差： m m m 6 180 三角形的闭合差： 1 各角度改正数： v v v 3 1 1 1 ˆ ˆ , , ˆ 经改正后的角度值： 3 3 3 求：三角形闭合差的中误差 m 和改正后的角度中误差 m、m ˆ 和mˆ ˆ
m1 m2，说明第一组的精度高于第二组的精度。
说明：中误差越小，观测精度越高
相对误差
相对误差K 是中误差的绝对值m与相应 观测值D之比，通常以分母为1的分式 来表 示，称其为相对（中）误差。即:
K m D 1 D m
一般情况 :角度测量没有相对误差，只有距 离测量才用相对误差来评定。
[ 例 ] 已 知 ： D1=100m, m1=±0.01m ， D2=200m, m2=±0.01m，求： K1, K2 解：
中误差
标准差的平方σ2为方差，为了统一衡 量在一定观测条件下观测结果的精度， 取标准差σ作为依据是比较合适的。但是， 在实际测量工作中，不可能对某一个量 作无穷多次观测。因此，在测量中定义， 按有限观测次数的偶然误差求得的标准 差为“中误差”，用m表示，即：
2 22 2n [] 1 m n n
三、粗差
由于观测者的粗心或各种干扰造成 的大于限差的误差称为粗差，如瞄错 目标、记录错误、读数错误等。 有粗差的观测值应该舍弃并重测
为了防止错误的发生和提高观测成果的 精度，在测量工作中，一般需要进行多于 必要的观测，称为“多余观测”。
第三节 偶然误差特性及精度指标
真误差
l X l 180
观测条件：
1. 仪器误差
2. 观测误差 3. 外界条件的影响 观测条件
等精度观测：观测条件相同的各次观测。 不等精度观测：观测条件不相同的各次观测。
第二节 测量误差的种类
测量误差按其产生的原因和对观测 结果影响性质的不同，可以分为： 1.系统误差 2.偶然误差 3.粗差
一、系统误差
在相同的观测条件下，对某一量进行一 系列的观测，如果出现的误差在符号和数 值上都相同，或按一定的规律变化，这种 误差称为“系统误差”。例如，用名义长 度为30m，而实际正确长度为30．004m的 钢卷尺量距，每量一尺段就有使距离量短 了0．004m的误差，其量距误差的符号不 变，且与所量距离的长度成正比。因此， 系统误差具有积累性。 系统误差可以通过加改正数以抵消或削弱
则：
故：
1 2 1 2 1 2 m 2 m 2 m 2 m n n n
2 x
mx
m n
1
算术平均值的中误差为观测值中误差的 n 倍
设有线性函数： 其中x1、x2、x3中误差分别为m1=±5mm、 m2=±6mm、m3=±4mm，求z的中误差。 解：根据前式得： =±3.4mm
1 3 7 z 5 6 4 10 10 10
2 2 2
1 3 7 z x1 x 2 x 3 10 10 10
一般函数
函数形式：
中误差关系式：
2 2
Z f ( x1 , x2 xn )
f 2 f x m1 x 1 2 f 2 m2 x n
例题：在1：500比例尺地形图上，量得A、B 两点间的距离d=163.6mm，其中误差 md=±0.2mm。求A、B两点实地距离D及其 中误差mD。 解：D=kd=500×163.6（mm） =81.8 （m） （k为比例尺分母） mD=kmd=±500×0.2（mm） =±0.1 （m） ∴ D=81.8±0.1(m)
例：试根据下表数据，分别计算各组观测值的中
误差。
式中：
解：第一组观测值的中误差：
0 2 2 2 12 (3) 2 4 2 32 (2) 2 (1) 2 2 2 (4) 2 m1 2.5 10
第二组观测值的中误差：
(1) 2 2 2 (6) 2 0 2 (1) 2 7 2 12 0 2 (3) 2 (1) 2 m2 3.2 10
①在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超
过一定的限度;（有界性） ②绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机
会要多；（密集性）
③绝对值相等的正、负误差出现的机会相等， 可相互抵消；（对称性） ④同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平 均值，随着观测次数的增加而趋近于零， 0 即： lim n （抵偿性） n
正误差
相对个数（k/n） 0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006 0 0.495 个数 （k） 91 81 66 44 33 26 11 6 0 358
误差绝对值
相对个数（k/n） 0.254 0.226 0.184 0.123 0.092 0.073 0.031 0.017 0 1.000

第七章
第一节
误差理论的基本知识
测量误差概念
在各项测量工作中，长期的测量实践证明， 对于某一客观存在的量，如地面某两点之间的 距离或高差、某三点之间构成的水平角等，尽 管采用了合格的测量仪器和合理的观测方法， 测量人员的工作态度也认真负责，但是多次重 复测量的结果总是有差异的，这说明观测值中 存在着测量误差，或者说，测量误差是不可避 免的。
和差函数
函数形式： Z=x1±x2±…±xn 中误差关系式： mZ2= m12+ m22+…+ mn2
即：n个观测值代数和（差）的中误差平方， 等于n个观测值中误差的平方之和 。
例题： 某水准路线各测段高差的观测值中误差分别为 h1=15.316m±5mm，h2=8.171m±4mm，h3=6.625m±3mm，试求总的高差及其中误差。 解： h = h 1 + h2 + h3 =15.316+8.171-6.625 =16.862(ｍ) m 2h= m 12+ m2 2＋m3 2=52+42+32=50 m h=±7.1(mm) ∴ h=16.882m±7.1mm