2016-2017学年广东省汕头市高二下学期3月月考数学(理)试卷5

高二年级月考理数试题
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、若i z 21+=，则=-⋅1
4z z i （ ） A ．1 B ．1- C ．i - D ． i
2、函数m x x x f ++=2)(2的最小值为⎰-2
1 )(,1dx x f 则等于（ ） A.
2 B.316 C.6 D.7
3、若直线m y =与33y x x =-的图象有三个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．()2,2-
B ．[]2,2-
C ．),2()2,(+∞--∞
D ．),2[]2,(+∞--∞
4、已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，给出了下列命题，正确的有( ) ①若,m m αβ⊥⊂，则αβ⊥； ②若,m n m α⊥⊥，则//n α；
③若//,m ααβ⊥，则;m β⊥ ④若,//,m n m αβ= 且,n n αβ⊄⊄，则//,//.n n αβ
A. ①②④
B.②④
C. ①③
D. ①④
5、观察下列各式：
2233441,3,4,7a b a b a b a b +=+=+=+=，5511a b +=，…，则1010a b +＝（ ）
A.28
B.76
C.123
D.199
6、将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张．如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是（ ）
A ．24
B ．96
C ．144
D ．210
7、设函数()()32103
f x ax x a =->在()0,3内不单调，则实数的取值范围是（ ） A ．103a << B ．203a << C ．23a > D ．213
a << 8、设θ是△ABC 的一个内角，且7sin cos 13
θθ+=,则22sin cos 1x y θθ-=表示（ ） A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆
C. 焦点在x 轴上的双曲线 D ．焦点在y 轴上的双曲线
9、在坐标平面内，与点)2,1(A 距离为1，且与点)1,3(B 距离为2的直线共有（ ）
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
10、已知函数)(x f 的定义域为R ，且满足)(,)()(,1)4(x f y x f x f f '='=的导函数为的图象如图所示，若两个正数12,1)2(,++<+a b b a f b a 则
满足的取值范围是（ ） A.)6,3
2( B.]6,32[ C.]25,41[ D.）（25,41 11
、已知函数()f x =0＜x 1＜x 2＜1，则（ ）
A ．1212()()f x f x x x >
B ．1212
()()f x f x x x = C ．
1212()()f x f x x x < D ．无法判断11()f x x 与22()f x x 的大小 12、已知()f x 的定义域为(0,)+∞，'()f x 为()f x 的导函数，且满足'()()f x xf x >-，则不等式2(1)(1)(1)f x x f x +>--的解集是（ ）
A ．(1,2)
B ．(1,)+∞
C ．(0,2)
D ．(2,)+∞
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13、已知复数i z +=21,)(32R a i a z ∈+=,21z z ⋅错误！未找到引用源。

是实数,则=+||21z z 错误！未找到引用源。

___________.
14、已知直线1+=x y 与曲线)ln(a x y +=相切,则=a
15、3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同
排法的种数是
16、在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成角分别为βα,，则有1cos cos 22=+βα，类
比到空间中的一个正确命题是：在长方体1111ABCD A B C D -中，对角线1AC 与相邻三边所成角分别为γβα,,，则有=++γβα222cos cos cos ．
三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17、设ABC ∆中的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，
()(sin sin )()sin .a b A B c b C +-=-
（1）若2=b ，求c 边的长；
（2）求ABC ∆面积的最大值，并指明此时三角形的形状。

18、已知数列}{n a 满足12+=+n a S n n ,
(1) 写出1a ,2a ,3a ,并推测n a 的表达式；
(2) 用数学归纳法证明所得的结论。

19、在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，090ABD ∠=，EB ⊥面ABCD ，
//EF AB ，2AB =，EB =1,EF BC ==M 是BD 的中点.
（1）求证: //EM 平面ADF ；
（2）求二面角D AF B --的大小.
20、已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，短轴两个端点为B A ,，且四边
形B AF F 21是边长为2的正方形．
（1）求椭圆的方程；
（2）若D C ,分别是椭圆长的左、右端点，动点M
满足
CD MD ⊥，连接CM ，交椭圆于点P ．判断OP OM ∙是否为定值,若是,求出该定值,若不是,
说明
理由．
21、已知函数()()x f x e kx k k R =-+∈.
（1）试讨论函数()y f x =的单调性；
（2）若该函数有两个不同的零点12,x x ，试求：
（i ）实数k 的取值范围；
（ii ）证明：124x x +>.
理数参考答案
DBADC BCBBA CA 24;2;432;2
17、(1) 由正弦定理得：c b c b a b a )())((-=-+，因为2=a 且2=b 所以c =2
(2) 由(1)知 2
12cos 222=-+=bc a c b A ，则 60=A 因为2=a ,422=-+∴bc c b bc bc bc =-≥2， 360sin 42
1sin 21=⋅⋅≤=∴∆ A bc S ABC ,此时三角形是正三角形 18、(1) a 1＝23, a 2＝47, a 3＝815, 猜测 a n ＝2－n 2
1 (2) ①由（1）已得当n ＝1时，命题成立；
②假设n ＝k 时,命题成立，即 a k ＝2－k 2
1, 当n ＝k ＋1时, a 1＋a 2＋……＋a k ＋a k ＋1＋a k ＋1＝2(k ＋1)＋1,
且a 1＋a 2＋……＋a k ＝2k ＋1－a k
∴2k ＋1－a k ＋2a k ＋1＝2(k ＋1)＋1＝2k ＋3,
∴2a k ＋1＝2＋2－k 21, a k ＋1＝2－12
1+k , 即当n ＝k ＋1时,命题成立.
根据①②得n ∈N + , a n ＝2－n 2
1都成立 19、因为EB ⊥平面ABD ，AB BD ⊥，故以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，
由已知可得(0,0,0),(0,2,0),(3,0,0)B A D
,3(3,2,0),(,0,0)2C E F M - （1
）3(,0,(3,2,0),(0,2
EM AD AF ==-=- , 设平面ADF 的一个法向量是(,,)n x y z = ，
由00
n AD n AF ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩
，得3200x y y -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令3y =
，则n = .
又因为3(,0,30302
EM n ∙=∙=+-= 所以EM n ⊥ ，又EM ⊄平面ADF ，所以//EM 平面ADF .
20、解：（1）a=2，b=c ，a 2=b 2+c 2，∴b 2=2；∴椭圆方程为
（2）C （﹣2，0），D （2，0），设M （2，y 0），P （x 1，y 1），
直线CM ：，代入椭圆方程x 2+2y 2=4，
得
∵x 1=﹣，∴，∴，∴
∴（定值）
21、由)()(R k k kx e x f x ∈+-=,则k e x f x -=')(,
讨论:若0≤k ,则0)(>'x f ,故)(x f y =在定义域上单调递增；
若0>k ,令0)(>'x f ,解得k x ln >;令0)(<'x f ,解得k x ln <,
综上:当0≤k 时, )(x f y =的单调递增区间为),(+∞-∞,无单调递减区间; 当0>k 时, )(x f y =的单调递增区间为),(ln +∞k ,单调递减区间为)ln ,(k -∞.
(2) （i)由题意:由(1)可知, 当0≤k 时,函数至多只有一个零点,不符合题意,舍去; 0>k 时,令0ln )(ln ln <+-=k k k e k f k ,解得2e k >,此时0)1(>=e f ;+∞→x 时, 0)(>+∞→x f ,因此会有两个零点,符合题意.
综上:实数k 的取值范围是),(2+∞e
由
()()01)1(1)1(2)1(21)(222>+-=+--+-='t t t t t t t t h ,)(t h y =单调递增,则0)1()(=>h t h ,故不等式成立,综上 即原不等式成立.。