第10讲 整式的除法-2021年新八年级数学(华师大版)(解析版)

第10讲整式的除法
【学习目标】
了解并掌握整式除法
【基础知识】
考点一、单项式除以单项式法则
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
考点诠释：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式.
（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式.
考点二、多项式除以单项式法则
多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即
考点诠释：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式.
（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化.
【考点剖析】
考点一：单项式除以单项式
例1．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【思路】（1）先乘方，再进行除法计算．（2）、（3）三个单项式连除按顺序计算．（3）、（4）中多项式因式当做一个整体参与计算．
【答案】
解：（1）． （2）
2143
2
n xy z -=-．
（3）
222()()()()x y x y x y x y =+-÷+÷- 2()()x y x y x y =-÷-=-．
（4）
2(124)[()()][()()]a b a b b c b c =÷+÷++÷+
．
【总结】（1）单项式的除法的顺序为：①系数相除；②相同字母相除；③被除式中单独有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．（2）注意书写规范：系数不能用带分数表示，必须写成假分数． 举一反三： 【变式】计算：
（1）3
153a b ab ÷； （2）5322
53x y z x y -÷；
（3）； （4）6
3
(1010)(210)⨯÷⨯． 【答案】
解：（1）33202
153(153)()()55a b ab a a b b a b a ÷=÷÷÷==． （2）53225232
3
553(53)()()3
x y z x y x x y y z x yz -÷=-÷÷÷=-． （3）． （4）．
2、金星是太阳系九大行星中距离地球最近的行星，也是人在地球上看到的天空中最漂亮的一颗星．金星离地球的距离为4.2×107
千米，从金星射出的光到达地球需要多少时间？（光速为3.0×105
千米/秒） 【答案】 解：t=秒，
答：从金星射出的光到达地球需要1.4×102
秒．
【总结】本题考查了同底数幂的除法法则，关键是利用时间=路程÷速度这一公式，此题比较简单，易于掌
握．
考点二：多项式除以单项式
例2．、计算（1） ；
（2）.
【思路】直接利用多项式除以单项式，先把多项式的每一项都分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加计算． 【答案】 解：（1）
（2）
【总结】本题考查多项式除以单项式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键，要注意符号的处理． 4、计算：
（1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】
解：（1）3
2
4
3
2
4
2
3
(67)(6)(7)67x y x y xy x y xy x y xy x y x -÷=÷+-÷=-． （2）
42[(3)(2)][4(2)][(2)(2)]x x x x x x =-÷-+÷-+-÷-
3
3212
x x =
-+． （3）
222222212(4)(8)(4)4(4)x y y xy y y y =÷-+-÷-+÷-
2321x x =-+-
（4）
．
【总结】（1）多项式除以单项式是转化为单项式除以单项式来解决的．（2）利用法则计算时，不能漏项．特别是多项式中与除式相同的项，相除结果为1．（3）运算时要注意符号的变化． 举一反三： 【变式1】计算：
（1）；
（2）2[(2)(2)4()]6x y x y x y x +-+-÷． 【答案】 解： （1）原式
．
（2）原式2
2
2
2
[44(2)]6x y x xy y x =-+-+÷
2222(4484)6x y x xy y x =-+-+÷ 2(58)6x xy x =-÷
54
63
x y =
-． 【变式2】计算：[（3a+b ）2
﹣b 2
]÷3a ． 解：[（3a+b ）2
﹣b 2
]÷3a ， =（9a 2
+6ab+b 2
﹣b 2
）÷3a ， =（9a 2+6ab ）÷3a ， =3a+2b
【真题演练】 1. 下列计算结果正确的是（ ）
A ．2334222x y xy x y -⋅=-
B ．222
352x y xy x y -=- C ． D ． 【答案】C ；
【解析】A 、2334
224x y xy x y -⋅=-，所以A 选项错误；B 、两个整式不是同类项，不能合并，所以B 选项错误；D 、，所以，D 选项错误. 2. 42
3
287a b a b ÷的结果是 ( )
A.2
4ab B.4
4a b
C. 22
4a b
D. 4ab
【答案】D
3.下列运算正确的是（ ）
A ．（a 3
﹣a ）÷a=a 2
B ．（a 3
）2
=a 5
C ．a 3+a 2=a
5
D ．a 3÷a 3
=1
【答案】D ；
【解析】解：A 、（a 3
﹣a ）÷a=a 2
﹣1，错误；
B 、（a 3
）2
=a 6
，错误；
C 、a 3
与a 2表示同类项，不能合并，错误； D 、a 3
÷a 3
=1，正确； 故选D ．
4. 如果□×3ab ＝2
3a b ，则□内应填的代数式是（ ）
A.ab
B.3ab
C.a
D.3a
【答案】C
5．下列计算正确的是( )． A.÷ ＝0
B.
C.x xy xy y x 2
16)63(2
=÷- D.23112
393
1)3(x x x x x
n n n +=÷
+-++ 【答案】D ； 【解析】÷ ＝1； ；2
1
(36)612
x y xy xy x -÷=
-. 6. 太阳的质量约为2.1×27
10
t ，地球的质量约为6×2110t ，则太阳的质量约是地球质量的（ ）
A.3.5×6
10倍 B.2.9×5
10倍 C.3.5×5
10倍 D.2.9×6
10-倍 【答案】C ；
【解析】（2.1×27
10）÷（6×2110）＝0.35×610＝3.5×5
10. 二.填空题
7. 计算：＝_______. 【答案】
8. 2xy •（______）＝26x yz -． 【答案】3xz -；
【解析】26x yz -÷2xy ＝3xz -. 9. 计算. 【答案】2
3xy - 10．直接写出结果：
(1)(
)()3
5
a
a -÷-＝_______；
(2)()2
4
a a -÷-＝_______；
(3)10
42
x x x ÷÷＝_______； (4)10n ÷2
10
n -＝_______；
(5)()
3m
m a
a ÷＝_______；
(6)＝_______．
【答案】(1)2
a ；(2)－2
a ；(3)4
x ；(4)100；(5) 2m
a ；(6) ；
【解析】（6）.
11．（﹣a 6b 7
）÷= ． 【答案】﹣3a 2b 5
；
【解析】解：（﹣a 6b 7
）÷=，
故答案为：﹣3a 2b 5
.
12．学校图书馆藏书约3.6×410册，学校现有师生约1.8×3
10人，每个教师或学生假期平均最多可以借阅
______册图书. 【答案】20册；
【解析】3.6×410÷（1.8×3
10）＝20. 三.解答题
13.（1）计算：（）2
÷（﹣）2
（2）计算：（x 2
y ﹣xy 2
﹣y 3
）（﹣4xy 2
）． 【解析】
解：（1）（）2
÷（﹣）
2
=× =；
（2）（x 2
y ﹣xy 2
﹣y 3
）（﹣4xy 2
）=﹣3x 3y 3
+2x 2y 4
+xy 5
.
14. 先化简，再求值：，其中a ＝－5． 【解析】 解：原式＝
＝64
44a a -÷ ＝
当a ＝－5时，原式＝－25.
15．天文学上常用太阳和地球的平均距离 1.4960×8
10千米作为一个天文单位，已知月亮和地球的平均距
离约为384401千米，合多少天文单位?(用小数表示，精确到0.0001) 【解析】
解：由题意得：384401÷1.4960×8
10≈0.0026（个天文单位） 答：月亮和地球的平均距离约为0.0026个天文单位.
【过关检测】 一.选择题
1.下列运算正确的是（ ）
A ．（﹣ab 2
）3
÷（ab 2
）2
=﹣ab 2
B ．3a+2a=5a 2
C ．（2a+b ）（2a ﹣b ）=2a 2
﹣b 2
D ．（2a+b ）2
=4a 2
+b 2
【答案】A ；
【解析】解：A 、（﹣ab 2
）3
÷（ab 2
）2
=﹣a
（3﹣2）b （6﹣4）
=﹣ab 2
，故本选项正确；
B 、3a+2a=（3+2）a=5a ，故本选项错误；
C 、（2a+b ）（2a ﹣b ）=4a 2
﹣b 2
，故本选项正确； D 、（2a+b ）2
=4a 2
+4ab+b 2
，故本选项错误； 故选：A ．
2．若()()21
3
m
n y
x x y xy +÷=，则,
m n 值是( )．
A.m ＝n ＝1
B.m ＝n ＝2
C.m ＝1，n ＝2
D.m ＝2，n ＝1
【答案】A ； 【解析】()()21
21
3m
n m n y
x x y y
x xy ++÷==，所以213m +=，1m =，n ＝1.
3．)2
1(43
2
24yz x z y x -
÷-的结果是( )． A.8xyz B.－8xyz
C.2xyz
D.822
xy z
【答案】A ；
【解析】()4223432121114()4822x y z x yz x y z xyz ---⎛⎫
-÷-
=-÷-= ⎪⎝⎭
4．下列计算中错误的是( )
A.(
)
2
532
2
42a b c a bc ab ÷-=
B.
C.2
14)21(4222
-=÷-⋅y x y y x D.36
58410
22
1)()(a a a a a a
=÷
÷÷÷ 【答案】D ；
【解析】10
4
8
5
6
31()()22
a a a a a a -÷÷÷÷
=. 5. 已知5
37x y 与一个多项式之积是，则这个多项式是( ) A.
B.22
43x y xy - C.2
2
2
4314x y xy -+ D.2
2
3437x y xy
-+
【答案】C ；
【解析】这个多项式为()
73655553222
28982174314x y x y x y x y x y xy +-÷=-+.
6. 计算()2
38x
x +除以3x 后，得商式和余式分别为（ ）
A ．商式为3，余式为2
8x B ．商式为3，余式为8 C ．商式为3x ＋8，余式为28x
D ．商式为3x ＋8，余式为0
【答案】A ；
【解析】3x ×商式＋余式＝()2
38x x +.
二.填空题
7.计算：（21x 4y 3
﹣35x 3y 2
+7x 2y 2
）÷（﹣7x 2
y ）=______________. 【答案】﹣3x 2y 2+5xy ﹣y ；
【解析】解：原式=21x 4y 3
÷（﹣7x 2
y ）﹣35x 3y 2
÷（﹣7x 2
y ）+7x 2y 2
÷（﹣7x 2
y ）
=﹣3x 2y 2
+5xy ﹣y ．
8. 一个长方形的面积是（2
9x -）平方米，其长为（3x +）米，用含有x 的整式表示它的宽为_______米. 【答案】（3x -）；
【解析】根据长方形的宽＝面积÷长，再利用整式的除法求解即可． 9. (1)已知10m
＝3，10n
＝2，210
m n
-__________．
(2)已知23m ＝6，9n ＝8，643
m n
-___________．
【答案】(1)29；(2)827； 【解析】()
2
29
10
10
102
m n
m n -=÷=
；. 10. 已知A 是关于x 的四次多项式，且A ÷x ＝B ，那么B 是关于x 的_______次多项式． 【答案】三
11. 若M ()(
)
3
3
2
2a b a b
-=-，那么整式M ＝____________．
【答案】； 【解析】M ＝.
12．若2x ＝3，2y ＝6，2z
＝12，x ，y ，z 之间的数量关系是________． 【答案】2y x z =+； 【解析】()
2
22236222312y y x z x z +===⨯==⨯，所以2y x z =+.
三.解答题
13．先化简，再求值： ，其中a ＝2，b ＝－3． 【解析】 解：原式＝
＝()
2
484a ab a -÷
＝2a b -
当a ＝2，b ＝－3时，原式＝()2238-⨯-=. 14．（﹣4a 3
﹣7a 3b 2
+12a 2
b ）÷（﹣2a ）2
． 【解析】
解：（﹣4a 3
﹣7a 3b 2
+12a 2
b ）÷（﹣2a ）
2
=（﹣4a 3
﹣7a 3b 2
+12a 2
b ）÷4a 2
=﹣a ﹣ab 2
+3b ．
15. 是否存在常数p 、q 使得42x px q ++能被522++x x 整除？如果存在，求出p 、q 的值，否则请说
明理由. 【解析】
解：设2242()(25)x mx n x x x px q ++++=++
由等式左右两边对应系数相等可得：
20m +=, 25n m p ++=, 250n m +=, 5n q =
解得：6p =，25q = 所以p 、q 是存在的.。