成都市七中育才学校选修一第一单元《空间向量与立体几何》检测题(含答案解析)

一、选择题
1．如图，正三角形ACB 与正三角形ACD 所在平面互相垂直，则二面角B CD A --的余弦值是（ ）
A ．12
B ．22
C ．33
D ．55
2．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，1
2AP PA =，点M 在侧面11AA B B 内.若1D M CP ⊥，则点M 的轨迹为（ ）
A ．线段
B ．圆弧
C ．抛物线一部分
D ．椭圆一部分
3．在棱长为2的正四面体ABCD 中，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则(AE CF ⋅= ) A ．0 B ．2- C ．2 D ．3-
4．在棱长为2的正四面体ABCD 中，点M 满足()1AM xAB yAC x y AD =+-+-，点N 满足()1BN BA BC λλ=+-，当AM 、BN 最短时,AM MN ⋅=（ ） A ．43- B ．43 C ．1
3- D ．13
5．如图，正四棱锥P ABCD -中，已知PA a =，PB b =，PC c =，12PE PD =
，则BE =（ ）
A ．131222a b c -+
B ．111222a b c ---
C ．131222a b c --+
D ．113222
a b c --+ 6．在一直角坐标系中，已知(1,6),(3,8)A B --，现沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，则折叠后,A B 两点间的距离为（ ）
A ．241
B ．41
C ．17
D ．217 7．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,
E
F 分别是棱1,BC CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1A P 平行于平面AEF ，则线段1A P 长度的最小值为（ ）
A 2
B 32
C 3
D 58．在正方体1111ABCD A B C D -中，
E 为棱11A B 的中点，则异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值为（ ）
A ．1515
B ．155
C ．53
D 5 9．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点
E ，
F 分别是AB 、AD 的中点，则EF DC ⋅=（ ）
A ．14
B ．14-
C 3
D ．34
- 10．已知ABC ，AB AC =，D 是BC 上的点，将ABD ∆沿AD 翻折到1AB D ∆，设点A 在平面1B CD 上的射影为O ，当点D 在BC 上运动时，点O （ ）
A ．位置保持不变
B ．在一条直线上
C ．在一个圆上
D ．在一个椭圆上
11．如图，在棱长均相等的四面体O ABC -中，点D 为AB 的中点，12CE ED =，设OA a =，OB b =，OC c =，则OE =（ ）
A ．111663a b c ++
B ．1
11333a b b ++ C ．111663a b c +- D ．112663
a b c ++ 12．如图，在60︒二面角的棱上有两点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，若4AB AC BD ===，则线段CD 的长为（ ）
A ．43
B ．16
C ．8
D ．42 13．如图在一个120︒的二面角的棱上有两点,A B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB 垂直，若2AB =，1AC =，2BD =，则CD 的长为（ ）.
A ．2
B ．3
C ．23
D ．4
二、填空题
14．三棱锥O ABC -中，OA 、OB 、OC 两两垂直，且OA OB OC ==.给出下列四个命题：
①()()22
3OA OB OC OA ++=； ②()0BC CA CO ⋅-=；
③()
OA OB +和CA 的夹角为60； ④三棱锥O ABC -的体积为
()
16
AB AC BC ⋅. 其中所有正确命题的序号为______________. 15．如图：二面角α﹣l ﹣β等于120°，A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，AB ＝AC ＝BD ＝1，则CD 的长等于__．
16．设空间任意一点O 和不共线三点A B C ，，，且点P 满足向量关系OP xOA yOB zOC =++，若,,,P A B C 四点共面，则x y z ++=______．
17．ABC ∆的三个顶点分别是(1,1,2)A -，(5,6,2)B -，(1,3,1)C -，则AC 边上的高BD 长为__________．
18．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果
(2,1,4),(4,2,0),AB AD =--=(1,2,1)AP =--，对于结论：①AP AB ⊥；②AP AD ⊥；③AP 是平面ABCD 的法向量；④//AP BD .其中正确的说法的序号是__________．
19．正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为2，则1AC 与1B C 所成的角为___________.
20．已知()()1,1,0,1,0,2a b ==-，且ka b +与2a b -的夹角为钝角，则实数k 的取值范围为_____．
21．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC CC ⊥，AC BC ⊥，2AC BC ==，
160C CB ∠=︒，13CC =，点D ，E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且1AD =，2CE =，则二面角1B B E D --的正切值_______
22．如图，在棱长为2的正方体中，点P 在正方体的对角线AB 上，点Q 在正方体的棱CD 上，若P 为动点，Q 为动点，则PQ 的最小值为_____.
23．设向量(2,23,2),(4,21,32)a m n b m n =-+=+-，且//a b ，则a b ⋅的值为__________．
24．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，3BC =，点M 在棱1CC 上，且1MD MA ⊥，则当1MAD 的面积取得最小值时其棱1AA =________.
25．已知ABC ∆的顶点A ∈平面α,点B ,C 在平面α异侧,且2AB =,3AC =若AB ,AC 与α所成的角分别为3π,6
π
,则线段BC 长度的取值范围为______.
26．已知三棱锥 A BCD -每条棱长都为1，点E ，G 分别是AB ，DC 的中点，则GE AC ⋅=__________．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
取AC 的中点E ，连接BE,DE,证明BE 垂直于平面ACD ，以点E 为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面BCD 和平面CDA 的法向量，利用空间向量公式即可求出所求二面角的余弦.
【详解】
如图示，取AC 中点E ，连结BE 、DE ，在正三角形ACB 与正三角形ACD 中，
BE ⊥AC ，DE ⊥AC ，因为面ACB ⊥面ACD ，面ACB
面=ACD AC ，所以BE ⊥面ADC , 以E 为原点，ED 为x 轴正方向，EC 为y 轴正方向，EB 为z 轴正方向，建立空间直角坐
标系，设AC =2，则 ())()()(0,0,0,3,0,0,0,1,0,0,1,0,3E D C A B -, 平面ACD 的一个法向量为(3EB = 而()()
0,1,3,3,1,0CB CD =-=-，设(),,n x y z =为面BCD 的一个法向量，则： ·0·0n CB n DC ⎧=⎨=⎩即 3030y z y x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，不妨令x =1，则()
1,3,1n = 设二面角B CD A --的平面角为θ，则θ为锐角，
所以35cos |cos ,||
|||||||35
EB n EB n EB n θ⋅====⨯. 故选：D
【点睛】 向量法解决立体几何问题的关键：
(1)建立合适的坐标系；
(2)把要用到的向量正确表示；
(3)利用向量法证明或计算.
2．A
解析：A
【分析】
首先建立空间直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示求点M 的轨迹.
【详解】
如图建立空间直角坐标系，设棱长为3，()3,0,2P ，()0,3,0C ，()10,0,3D ，()3,,M y z ，()13,,3D M y z =-，()3,3,2CP =-，
()193230D M CP y z ⋅=-+-=，整理为：3230y z --=，
点M 的轨迹方程是关于,y z 的二元一次方程，所以轨迹是平面11ABB A 平面内，直线3230y z --=内的一段线段.
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题考查利用几何中的轨迹问题，本题的关键是解题方法，建立空间直角坐标系后，转化为坐标运算，根据方程形式判断轨迹.
3．B
解析：B
【分析】
根据题意画出图形，结合图形，利用向量加法的运算法，分别用AB AC 、与CA CD 、表示出向量AE 与CF ，利用数量积的运算法则求解即可求．
【详解】
如图所示，
棱长为2的正四面体ABCD 中，
因为,E F 分别是,BC AD 的中点， 所以()()
1122AE CF AB AC CA CD ⋅=+⋅+ ()14AB CA AB CD AC CA AC CD =
⋅+⋅+⋅+⋅ ()
122cos12022cos9022cos18022cos1204=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2=-，故选B ．
【点睛】
本题考查了空间向量的线性运算与数量积的运算法则，是基础题．向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =.
4．A
解析：A
【分析】
根据题意可知M ∈平面BCD ，N ∈直线AC ，根据题意知，当M 为BCD ∆的中心、N 为线段AC 的中点时，AM 、BN 最短，然后利用MC 、MA 表示MN ，利用空间向量数量积的运算律和定义可求出AM MN ⋅的值.
【详解】
由共面向量基本定理和共线向量基本定理可知，M ∈平面BCD ，N ∈直线AC ， 当AM 、BN 最短时，AM ⊥平面BCD ，BN AC ⊥，
所以，M 为BCD ∆的中心，N 为AC 的中点， 此时，2432sin 603MC ==，233
MC ∴=， AM ⊥平面BCD ，MC ⊂平面BCD ，AM MC ∴⊥，
22222326233MA AC MC ⎛⎫∴=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭.
又()12MN MC MA =+，()2114223
AM MN AM MC AM MA MA ∴⋅=⋅+⋅=-=-. 故选：A.
【点睛】 本题考查空间向量数量积的计算，同时也涉及了利用共面向量和共线向量来判断四点共面和三点共线，确定动点的位置是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
5．A 解析：A
【分析】
连接AC BD 、交点为O ，根据根据向量加法运算法则1122
PO PA PC =+，1122
PO PD PB =
+，求得PD ，然后由BE BP PE =+求解. 【详解】
如图所示：
连接AC BD 、交点为O ，则1122PO a c =
+， 又1122
PO PD PB =+， 所以PD a c b =+-，
又11112222
PE PD a c b ==+-， 所以131222BE BP PE a b c =+=
-+. 故选：A.
【点睛】
本题主要考查空间向量基本定理，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
6．D
解析：D
【分析】
画出图形，作,AC CD BD CD ⊥⊥，则6,8,4AC BD CD ===，可得
0,0AC CD BD CD ⋅=⋅=，沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，故两异面直线,CA DB 所成的角为60︒，结合已知，即可求得答案.
【详解】
如图为折叠后的图形，其中作,AC CD BD CD ⊥⊥
则6,8,4AC BD CD ===，
∴0,0AC CD BD CD ⋅=⋅=
沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角
∴两异面直线,CA DB 所成的角为60︒． 可得：.cos6024CA DB CA DB ︒
⋅=⋅= 故由AB AC CD DB =++
得22||||AB AC CD DB =++ 2222+22AC CD DB AC CD CD DB AC DB +++⋅⋅+⋅= 222
2+22AC CD DB AC CD CD DB CA DB +++⋅⋅-⋅= 36166448=++-
68=
||17AB ∴=故选：D.
【点睛】
本题考查了立体几何体中求线段长度，解题的关键是作图和掌握空间向量的距离求解公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.
7．B
解析：B
【分析】
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z ，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段1A P 长度取最小值.
【详解】
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，
()()()()12,0,0,1,2,0,0,2,1,2,0,2A E F A ，(1,2,0),(2,2,1)AE AF =-=-，
设平面AEF 的法向量(),,n x y z =，
则20220
n AE x y n AF x y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-++=⎩，取1y =，得()2,1,2n =， 设(),2,,02,02P a c a c ≤≤≤≤，则()12,2,2A P a c =--， ∵1A P 平行于平面AEF ，
∴()()1222220A P n a c ⋅=-++-=，整理得3a c +=， ∴线段1A P 长度
2
2
2
2
2
2
139||(2)2(2)(2)4(1)222A P a c a a a ⎛
⎫=-++-=-++-=-+ ⎪⎝
⎭，
当且仅当32a c ==时，线段1A P 长度取最小值
32
2
. 故选：B. 【点睛】
本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
8．A
解析：A 【分析】
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值． 【详解】
解：在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 的中点，
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，
设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为2，
则(2A ，0，0)，(2E ，1，2)，(2B ，2，0)，1(0D ，0，2)， (0AE =，1，2)，1(2BD =-，2-，2)，
设异面直线AE 与1BD 所成角为θ， 则11||
15cos ||||
512
AE BD AE BD θ=
=
=． ∴异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值为15．
故选：A ．
【点睛】
本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
9．B
解析：B 【分析】
由题意作图，可得所求数量积为1
2
BD DC ，由已知易得其模长和夹角，由数量积的定义可
得答案． 【详解】
解：如图连接空间四边形ABCD 的对角线AC ，BD ， 由空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1， 可知底面BCD 为等边三角形，故60BDC ∠=︒， 又点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，所以1
2
EF BD =， 故11
||||cos()22
EF DC BD DC BD DC BDC π==-∠ 11111224⎛⎫
=
⨯⨯⨯-=- ⎪⎝⎭
，
【点睛】
本题考查向量的数量积的运算，涉及向量的基本运算，属于基础题．
10．C
解析：C 【分析】
为计算简便，不妨设ABC 为等腰直角三角形，建立空间直角坐标系，取BC 中点M ，利用AO OC ⊥，AO OM ⊥即可得到轨迹方程. 【详解】
为计算简便，不妨设ABC 为等腰直角三角形，令2BC =，且令190B DC ∠=︒， 以BC 中点M 为空间原点，MA 为z 轴，建立空间直角坐标系，
设(02)BD a a =<<，12B A BA =(,,)O x y z ，
则()010C ，，，(001A ，，），(000M ，，），()0,1,0D a -，
所以(AO x =，
y ，1z -)，(),1,CO x y z =-，(),,MO x y z =， 因为AO OC ⊥，所以()()2
110AO CO x y y z z ⋅=+-+-=，
同理AO OM ⊥，所以()2
2
10AO MO x y z z ⋅=++-=，
两式相减得0y =，代入得()222
111()24
x z z x z +-=+-=
，
【点睛】
本题考查点的轨迹方程，考查空间向量位置关系等，建立空间直角坐标系是关键，属于中档题．
11．D
解析：D 【分析】
利用空间向量的加法和减法法则可将OE 用a 、b 、c 表示. 【详解】
12CE ED =
，()
11111
1=33323
6CE CD CA AD CA AB CA AB ⎛⎫∴==+=++ ⎪⎝⎭，
()()
1111
3636
OE OC CE OC CA AB OC OA OC OB OA
∴=+=++=+-+-112112663663OA OB OC a b c =++=++. 故选：D. 【点睛】
本题考查空间向量的基底分解，解题时要灵活利用空间向量加法和减法法则，考查计算能力，属于中等题.
12．D
解析：D 【分析】
分别过点A 、点D 作BD 、AB 的平行线相交于点E ，连接CE ，则由题意可知ACE ∆为等边三角形，CDE ∆为直角三角形，求解CD 即可. 【详解】
分别过点A 、点D 作BD 、AB 的平行线相交于点E ，连接CE ， 则四边形ABDE 为平行四边形.
线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB .
AC AB ∴⊥，AE AB ⊥则CAE ∠为二面角的平面角，即60CAE ∠= 4AB AC BD ===
4AC BD AE AB DE ∴=====，如图所示.
ACE ∴∆为等边三角形，4CE =
AC DE ⊥，AE DE ⊥，AC AE A ⋂=，AC ⊂平面ACE ，AE ⊂平面ACE
DE ∴⊥平面ACE
又
CE ⊂平面ACE
∴DE CE ⊥
在Rt CDE ∆中CD ===故选：D 【点睛】
本题考查空间的距离问题，属于中档题.
13．B
解析：B 【分析】
由CD CA AB BD =++，两边平方后展开整理，即可求得2
CD ，则CD 的长可求． 【详解】 解：
CD CA AB BD =++，
∴2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++++，
CA AB ⊥，
BD AB ⊥，
∴0CA AB =，0BD AB =，
()1
||||cos 1801201212
CA BD CA BD =︒-︒=⨯⨯=．
∴2124219CD =+++⨯=，
||3CD ∴=，
故选：B ． 【点睛】
本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题
14．①②③【分析】设以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系利用空间向量数量积的坐标运算可判断①②③④的正误【详解】设由于两两垂直以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如下图所示：则对
解析：①②③ 【分析】
设OA OB OC a ===，以点O 为坐标原点，OA 、OB 、OC 所在直线分别为x 、y 、
z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算可判断①②③④的正误.
【详解】
设OA OB OC a ===，由于OA 、OB 、OC 两两垂直，
以点O 为坐标原点，OA 、OB 、OC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 如下图所示：
则()0,0,0O
、(),0,0A a 、()0,,0B a 、()0,0,C a .
对于①，(),,OA OB OC a a a ++=，所以，()
()
2
2
2
33OA OB OC a OA ++==，①正
确；
对于②，(),0,0CA CO OA a -==，()0,,BC a a =-，则()
0BC CA CO ⋅-=，②正确；
对于③，(),,0OA OB a a +=，(),0,CA a a =-，
()(
)
2
2
1
cos ,2
2OA OB CA a OA OB CA OA OB CA
a
+⋅<+>==
=+⋅， 0,180OA OB CA ≤<+>≤，所以，()
OA OB +和CA 的夹角为60，③正确；
对于④，(),,0AB a a =-，(),0,AC a a =-，()0,,BC a a =-，则2AB AC a ⋅=，
所以，()
223
1226666
a a AB AC BC BC a a ⋅===，
而三棱锥O ABC -的体积为3111
326
V OA OB OC a =⨯⋅⋅=，④错误. 故答案为：①②③. 【点睛】
关键点点睛：在立体几何中计算空间向量的相关问题，可以选择合适的点与直线建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可.
15．2【分析】求CD 的长即为由向量的加法可得利用向量的数量积运算即可得出答案【详解】∵AB 是棱l 上两点ACBD 分别在半平面αβ内AC ⊥lBD ⊥l 因为
所以因为所以故答案为：2【点睛】本题主要考查空间向量的
解析：2 【分析】
求CD 的长即为CD ，由向量的加法可得CD CA AB BD =++，利用向量的数量积运算即可得出答案. 【详解】
∵A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，
0,0∴⋅=⋅=CA AB BD AB ，,60︒<>=CA BD
因为1AB AC BD ===，所以111cos602
︒
⋅=⨯⨯=CA BD ， 因为CD CA AB BD =++， 所以2()12=++==CD CA AB BD
故答案为：2 【点睛】
本题主要考查空间向量的加法，减法及几何意义和空间向量的数量积，考查了运算求解能力和转化的数学思想，属于一般题目.
16．【分析】先根据不共线三点用平面向量基底表示;再根据平面向量基本定理表示求和即得结果【详解】因为四点共面三点不共线所以因为因为是任意一点故可不共面所以故故答案为：1【点睛】本题考查用基底表示向量以及平 解析：1
【分析】
先根据不共线三点A B C ，，，用平面向量基底AB AC ，表示PA ;再根据平面向量基本定理表示,,x y z ，求和即得结果. 【详解】
因为,,,P A B C 四点共面，三点A B C ，，不共线， 所以,,,m n R PA mAB nAC ∃∈=+
()(),(1)OA OP m OB OA n OC OA OP m n OA mOB nOC -=-+-∴=++--
因为OP xOA yOB zOC =++，
因为O 是任意一点，故,,OA OB OC 可不共面，所以1,,x m n y m z n =++=-=-， 故1x y z ++=. 故答案为：1 【点睛】
本题考查用基底表示向量以及平面向量基本定理应用，考查基本分析求解能力，属基础题.
17．5【解析】分析：设则的坐标利用求得即可得到即可求解的长度详解：设则所以因为所以解得所以所以点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是
利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减或数乘运算(2)
解析：5 【解析】
分析：设AD AC λ=，则,OD BD 的坐标，利用BD AC ⊥，求得4
5
λ=-，即可得到 912
(4,,
)55
BD =-，即可求解BD 的长度. 详解：设AD λAC =，则
()()()OD OA λAC 1,1,2λ0,4,31,14λ,23λ=+=-+-=-+-，
所以()BD OD OB 4,54λ,3λ=-=-+-，因为BD AC ⊥， 所以()BD AC 0454λ9λ0⋅=+++=，解得4λ5
=-
， 所以912BD 4,,55⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，所以(2
2
912BD 5⎫⎛⎫
=
-=.
点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
18．①②③【解析】由在①中所以所以所以是正确的；在②中所以所以所以是正确的；在③中由于且可知是平面的法向量所以是正确的；在④中假设存在实数使得则此时无解所以是不正确的所以正确命题的序号为①②③点睛：本题
解析：①②③ 【解析】
由(2,1,4),(4,2,0),(1,2,1)AB AD AP =--==--,
在①中，2240AP AB ⋅=--+=，所以AP AB ⊥，所以AP AB ⊥，所以是正确的； 在②中，4400AP AD ⋅=-++=，所以⊥AP AD ，所以AP AD ⊥，所以是正确的； 在③中，由于AP AB ⊥，AP AD ⊥，且AB AD A ⋂=，可知AP 是平面ABCD 的法向量，所以是正确的；
在④中，(2,3,4)BD AD AB =-=,
假设存在实数λ使得λ=AP BD ，则122314λλλ-=⎧⎪
=⎨⎪-=⎩
，此时无解，所以是不正确的，
所以正确命题的序号为①②③.
点睛：本题主要考查了命题的真假判定问题，其中解答中涉及到空间向量的数量积的运算，空间向量的坐标表示，平面法向量的概念，同时考查了向量垂直、向量平行等基础知
识，着重考查了推理能力与计算能力，属于基础题，解答中熟记向量的坐标运算的基本公式是解答的关键.
19．【分析】作出图形分别取的中点连接以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系利用空间向量法可求得异面直线与所成的角【详解】分别取的中点连接如下图所示：在正三棱柱中平面且分别为的中点且所以四边形为
解析：
3
π
【分析】
作出图形，分别取AC、11
A C的中点O、E，连接OE、OB，以点O为坐标原点，
OB、OC、OE所在直线分别为x、y、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可
求得异面直线
1
AC与
1
B C所成的角.
【详解】
分别取AC、11
A C的中点O、E，连接OE、OB，如下图所示：
在正三棱柱111
ABC A B C
-中，
1
AA⊥平面ABC，
11
//
AC A C且
11
AC A C
=，
O、E分别为AC、11
A C的中点，
1
//
AO A E
∴且
1
AO A E
=，
所以，四边形1
AOEA为平行四边形，
1
//
OE AA
∴，则OE⊥平面ABC，ABC为等边三角形，O为AC的中点，则OB AC
⊥，
以点O为坐标原点，OB、OC、OE所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则()
0,1,0
A-、()
0,1,0
C 、
1
3,0,22
B、(10,1,22
C，
(10,2,22
AC=，(
1
3,1,22
B C=--，
11
11
11
1
cos,
2
2323
AC B C
AC B C
AC B C
⋅
<>===-
⨯
⋅
，
因此，1AC 与1B C 所成的角为3
π. 故答案为：3
π. 【点睛】
方法点睛：求空间角的常用方法：
（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.
20．【分析】利用去掉反向的情形即得【详解】由所以解得若与反向则则所以所以与的夹角为钝角则且综上的范围是故答案为：【点睛】思路点睛：本题考查向量的夹角与向量的数量积的关系根据向量夹角求参数时可由是两个非零
解析：()7,22,
5⎛
⎫
-∞-⋃- ⎪⎝
⎭
【分析】
利用()()
20a b ka b <+⋅-去掉反向的情形即得． 【详解】
由()()1,1,0,1,0,2a b ==-，()1,,2ka b k k +=-，()23,22a b -=-，
所以()()
()231240a a k k b b k -=+⋅⨯-+-<，解得75
k < 若ka b +与2a b -反向，则()
20a ka b b λλ-<+=， 则21k λ
λ
=⎧⎨
=-⎩，所以2k =-
所以ka b +与2a b -的夹角为钝角则7
5
k <且2k ≠- 综上k 的范围是()7,22,5⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭
．
故答案为：()7,22,
5⎛
⎫-∞-⋃- ⎪⎝
⎭
【点睛】
思路点睛：本题考查向量的夹角与向量的数量积的关系，根据向量夹角求参数时，可由
,a b 是两个非零向量，则,a b 夹角是锐角时，0a b ⋅>，,a b 夹角是钝角时，0a b ⋅<，反
之要注意,a b 可能同向也可能反向．属于中档题.
21．【分析】根据题意先得到平面所以向量为平面的一个法向量；分别以为轴轴以垂直于平面过点的直线为轴建立空间直角坐标系根据题意求出平面的一个
法向量根据向量夹角公式求出二面角的夹角余弦值进而可求出结果【详解】
【分析】
根据题意，先得到AC ⊥平面11BCC B ，所以向量AC 为平面11BCC B 的一个法向量；分别以CA ，CB 为x 轴，y 轴，以垂直于平面ABC 过点C 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -，根据题意求出平面1B ED 的一个法向量，根据向量夹角公式求出二面角的夹角余弦值，进而可求出结果.
【详解】
因为AC BC ⊥，1AC CC ⊥，1BC CC C =，且1,BC CC ⊂平面11BCC B ， 所以AC ⊥平面11BCC B ，所以向量AC 为平面11BCC B 的一个法向量；
分别以CA ，CB 为x 轴，y 轴，以垂直于平面ABC 过点C 的直线为z 轴，
建立空间直角坐标系C xyz -，
因为2AC BC ==，160C CB ∠=︒，13CC =，所以()2,0,0A ，()0,0,0C ，()2,0,0B ，
则12,2D ⎛ ⎝⎭
，(E
，170,2B ⎛ ⎝⎭，
所以12,,22ED ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭
，150,22EB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，()2,0,0AC =-
设平面1B ED 的一个法向量为(),,m x y z =，
则 1m ED m EB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩
，即1120225022m ED x y z m EB y z ⎧⋅
=--=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩
，
解35x z y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，令5z =，则()3,m =
， 所以cos ,4AC m
AC m AC m ⋅
<>===
， 由图像可得，二面角1B B E D --为锐角，记为θ，
所以co cos s ,AC m θ>=<=，
因此328sin 13131θ=-
=， 所以sin 28221tan cos 3
θθθ===.
221. 【点睛】 本题主要考查求二面角的正切值，根据向量的方法求解即可，属于常考题型.
22．【分析】建立空间直角坐标系利用三点共线设出点P(λλ2﹣λ)0≤λ≤2以及Q(02μ)0≤μ≤2根据两点间的距离公式以及配方法即可求解【详解】建立如图所示空间直角坐标系设P (λλ2﹣λ)Q(02μ)
2
【分析】
建立空间直角坐标系，利用,,A B P 三点共线设出点P (λ，λ，2﹣λ)，0≤λ≤2，以及Q (0，2，μ)，0≤μ≤2，根据两点间的距离公式，以及配方法，即可求解.
【详解】
建立如图所示空间直角坐标系，设P (λ，λ，2﹣λ)，
Q (0，2，μ)(0≤λ≤2且0≤μ≤2)，
可得PQ 22222(2)(2)2(1)(2)2λλλμλλμ+-+--=-+--+
∵2(λ﹣1)2≥0，(2﹣λ﹣μ)2≥0，∴2(λ﹣1)2+(2﹣λ﹣μ)2+2≥2，
当且仅当λ﹣1=2﹣λ﹣μ=0时，等号成立，此时λ=μ=1，
∴当且仅当P ､Q 分别为AB ､CD 的中点时，
PQ 2.
故答案为:2.
【点睛】
本题考查空间向量法求两点间的距离，将动点用坐标表示是解题的关键，考查配方法求最值，属于中档题.
23．168【分析】根据向量设列出方程组求得得到再利用向量的数量积的运算公式即可求解【详解】由题意向量设又因为所以即解得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的共线的坐标运算以及向量的数量积的运算其 解析：168
【分析】 根据向量//a b ，设λa b ，列出方程组，求得1
2λ=，得到(2,4,8),(4,8,16)a b ==，再利用向量的数量积的运算公式，即可求解.
【详解】 由题意，向量//a b ，设λa b ，
又因为(2,23,2),(4,21,32)a m n b m n =-+=+-，
所以(2,23,2)(4,21,32)m n m n λ-+=+-，
即2423(21)2(32)m m n n λλλ=⨯⎧⎪-=+⎨⎪+=-⎩
，解得17,,622m n λ===， 所以(2,4,8),(4,8,16)a b ==，
所以2448816168a b ⋅=⨯+⨯+⨯=.
故答案为：168.
【点睛】
本题主要考查了向量的共线的坐标运算，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的共线条件，熟练应用向量的数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
24．【分析】设建立空间直角坐标系由向量的垂直可得进而可得由基本不等式即可得解【详解】设如图建立空间直角坐标系则所以又所以所以所以当且仅当时等号成立所以当的面积取得最小值时其棱故答案为：【点睛】本题考查了 解析：322
【分析】
设()10AA m m =>，()0M n n C m =≤≤，建立空间直角坐标系，由向量的垂直可得1m n n -=，进而可得1221452MAD S n n
=++△，由基本不等式即可得解. 【详解】
设()10AA m m =>，()0M n n C m =≤≤，如图建立空间直角坐标系，
则()10,0,D m ，()0,1,M n ，()3,0,0A ， 所以()10,1,M n m D =-，()3,1,AM n =-，
又1MD MA ⊥，所以()110M A D M n n m ⋅=+-=，所以1m n n -=
， 所以()122122111113114222MAD S M AM m n n n n
D =⋅=+-++=++△()2222221
114143415522222n n n n n n ⎛⎫=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当2n =322
m =时，等号成立， 所以当1MAD 的面积取得最小值时其棱1322AA =
. 故答案为：
322
. 【点睛】 本题考查了空间向量及基本不等式的应用，考查了运算求解能力，合理转化、细心计算是解题关键，属于中档题.
25．【分析】由题意画出图形分别过作底面的垂线垂足分别为根据可知线段长度的最大值或最小值取决于的长度而即可分别求出的最小值与最大值【详解】如图所示：分别过作底面的垂线垂足分别为由已知可得∵而∴当所在平面与
解析：7,13⎡⎤⎣⎦ 【分析】 由题意画出图形，分别过,B C 作底面的垂线，垂足分别为1B ，1C ，
根据()222111111274
BC BB B C C C B C =++=+可知，线段BC 长度的最大值或最小值取决于11B C 的长度，而111111AB AC B C AB AC -≤≤+，即可分别求出BC 的最小值与最大值．
【详解】
如图所示：
分别过,B C 作底面的垂线，垂足分别为1B ，1C ．
由已知可得，13BB =13CC =11AB =，132AC =． ∵1111BC BB BC C C =++， ()22222221111111111111132723344BC BB B C C C BB B C C C BB C C B C B C =++=+++⋅=+++=+而111111AB AC B C AB AC -≤≤+，
∴当AB ，AC 所在平面与α垂直，且,B C 在底面上的射影1B ，1C ，在A 点同侧时，
BC 长度最小，此时111131122B C AB AC =-=-=，BC 2127724⎛⎫+= ⎪⎝⎭
当AB ，AC 所在平面与α垂直，且,B C 在底面上的射影1B ，1C ，在A 点异侧时，BC
长度最大，此时111135122B C AB AC =+=+=，BC 25271324⎛⎫+= ⎪⎝⎭
． ∴线段BC 长度的取值范围为7,13⎡⎣．
故答案为：7,13⎡⎤⎣⎦．
【点睛】
本题主要考查直线与平面所成的角的定义以及应用，向量数量积的应用，意在考查学生的
直观想象能力，逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．
26．【分析】构造一个正方体三棱锥放入正方体中建立坐标系利用数量积公式求解即可【详解】将三棱锥放入如下图所示的正方体中且棱长为分别以为轴故答案为：【点睛】本题主要考查了求空间向量的数量积属于中档题 解析：12- 【分析】 构造一个正方体，三棱锥A BCD -放入正方体中，建立坐标系利用数量积公式求解即可. 【详解】 将三棱锥A BCD -放入如下图所示的正方体中，且棱长为
22
分别以,,OC OD OB 为,,x y z 轴222222222(,,),(,0,0),(,,0),(,,)A C G E (0,02222,),(2
0,,)2GE AC ==-- 1222)2(=2GE AC ∴⋅=
--⨯ 故答案为：12
-
【点睛】
本题主要考查了求空间向量的数量积，属于中档题.。