2024内蒙古中考数学二轮专题复习 二次函数与几何综合题 类型三 特殊三角形存在性问题(课件)

一阶 微技能
例1 如图，已知线段AB和直线l，请在直线l上找一点M，使△ABM是 等腰三角形，请在图中画出所有符合要求的点M.(保留作图痕迹，不写 作法) 解：画图如解图所示．
例1题图
例1题解图
例2 如图，已知点A(－3，0)，B(4，0)，C(0，4)，点P是线段BC上一 动点，当以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形时，求点P的坐标．
∴点P的坐标为(1，3)；
②当AC＝PC时，AC2＝PC2，
即32＋42＝p2＋[4－(－p＋4)]2，解得p＝ 5 2 (负值已舍去)，
2
∴点P的坐标为( 5 2 ，8 5 2 )．
2
2
综上所述，点P的坐标为(1，3)或( 5 2 ， 8 5 2 )．
2
2
例2题图
满分技法
问题：已知线段AB，在平面内找一点P，使得△ABP为等腰三角形． 确定点的位置： (1)以AB为腰：点P在分别以点A、B为圆心，AB长为半径的圆上，AB直 线上的点除外； (2)以AB为底：点P在AB的垂直平分线上，AB直线上的点除外． 求点P坐标的方法：分别表示出点A、B、P的坐标，再根据勾股定理表 示出线段AB、BP、AP的长度，由①AB＝AP，②AB＝BP，③BP＝AP 列方程解出坐标．
∵OC＝OB，
例5题图②
∴BC的垂直平分线l过原点．
又∵直线l过点( 3 ， 3 )，
22
∴BC的垂直平分线l的解析式为y＝x，
1 13
联立
y y
x
, x
2
2
x
3,
解得
x1
, 2
y1
1
2
13
,
1 13
或
x2
2
,
y2
1
2
13
,
例5题图②
∴点P的坐标为( 1 13 ，1 13 )或( 1 13 ，1 13 )；
解得t＝－4，
此时点Q的坐标为(1，－4)．
综上所述，点Q的坐标为(1，3 17 )或(1，3 17 )，
2
2
或(1，2)或(1，－4)．
例4题图
满分技法 问题：已知线段AB，在平面内找一点P，使△ABP为直角三角形． 确定点的位置： (1)以A为直角顶点，AB为直角边，点P在过点A与AB垂直的直线上； (2)以B为直角顶点，AB为直角边，点P在过点B与AB垂直的直线上； (3)以点P为直角顶点，AB为斜边，点P在以AB为直径的圆上． 求点P坐标的方法：分别表示出点A、B、P的坐标，再根据勾股定理表 示出线段AB、BP、AP的长度，由①AB2＝BP2＋AP2，②BP2＝AB2＋ AP2，③AP2＝AB2＋BP2列方程解出坐标．
例5题图①
解：(1)△CAF是等腰三角形，
理由如下： ∵抛物线的对称轴为直线x＝ 2 ＝1，
2 (1)
∴点 F的坐标为(1，0)．
令－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3， ∴A(－1，0)，B(3，0)，∴AO＝OF＝1.
∵CO⊥AF，
∴CO是线段 AF的垂直平分线，∴CA＝CF，
即△CAF是等腰三角形；
二阶 设问突破
例5
一题多设问 如图，在平面直角坐标系xOy中，
抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点 C，顶点为
点D，连接BC，抛物线对称轴与直线BC交于点E，与x轴交于点F.
(1)连接AC、CF，判断△CAF的形状，并说明理由；
【思维教练】观察题图可知△CAF应该是以AC、 FC为腰的等腰三角形，已知CO⊥AF，只需再求得 AO＝FO即可轻易得证．
例3 如图，线段AB在直线l上方，请在直线l上找一点P，使△PAB是直 角三角形，请在图中画出所有符合要求的点P.(保留作图痕迹，不写作 法) 解：画图如解图所示．
例3题图
例3题解图
例4 如图，点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，－3)．在直线x＝1上
有一点Q，使△QBC为直角三角形，求点Q的坐标
解：∵点Q在直线x＝1上，
∴可设点Q的坐标为(1，t)．
∵B(3，0)，C(0，－3)，
∴BQ2＝(1－3)2＋t2＝t2＋4，
CQ2＝12＋(t＋3)2＝t2＋6t＋10，
BC2＝18，
当△QBC为直角三角形时，分三种情况讨论：
例4题图
①当∠BQC＝90°时，则有BQ2＋CQ2＝BC2， 即t2＋4＋t2＋6t＋10＝18，
解：设直线BC的解析式为y＝kx＋b， 将B(4，0)，C(0，4)代入，
得
4k b b 4,
0,
解得k 1, b 4, Nhomakorabea∴直线BC的解析式为y＝－x＋4.
设点P的坐标为(p，－p＋4)，
∵以A，C，P为顶点的三角形是等腰三角形，
例2题图
∴分两种情况讨论：
①当AC＝AP时，AC2＝AP2，
即32＋42＝[p－(－3)]2＋(－p＋4)2，解得p＝1(p＝0不合题意，舍去)，
2
2
2
2
(3)若点P是抛物线对称轴上一点，是否存在这样点P，使得△BCP是等
腰三角形，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； 【思维教练】要使△BCP是等腰三角形，需分BC＝BP，BC＝CP，BP
＝CP三种情况讨论，通常利用勾股定理表示出三边的平方，分三种情
况利用三边的平方相等列方程求解． (3)存在．
例5题图①
(2)若点P是抛物线上一点，当△BCP是以BC为底的等腰三角形时，求点
P的坐标；
【思维教练】要使△BCP是以BC为底的等腰三角形，可作BC的垂直平
分线，其与抛物线的交点即为所求点P.
(2)由抛物线的解析式得C(0，3)，
由(1)可知B(3，0)，
∴BC的中点坐标为( 3 ，3 )，
22
直线BC的解析式为y＝－x＋3.
解得t＝
3
2
17
或t＝
3 17 2
，
此时点Q的坐标为(1，3
2
17
)或(1，
3
2
17
)；
②当∠CBQ＝90°时，则有BC2＋BQ2＝CQ2，
即18＋t2＋4＝t2＋6t＋10，
解得t＝2，
此时点Q的坐标为(1，2)；
例4题图
③当∠BCQ＝90°时，则有BC2＋CQ2＝BQ2，
即18＋t2＋6t＋10＝t2＋4，
设P(1，m)，
BC2＝OB2＋OC2＝18，
BP2＝(3－1)2＋m2＝4＋m2，
CP2＝12＋(m－3)2＝m2－6m＋10.
例5题图③
分三种情况讨论： ①当BC＝BP时，BC2＝BP2， 即18＝4＋m2，解得m＝± 14 ， ∴P1(1， 14 )，P2(1，－ 14 )； ②当BC＝CP时，BC2＝CP2， 即18＝m2－6m＋10，解得m＝3± 17 ， ∴P3(1，3＋ 17 )，P4(1，3－ 17 )； ③当BP＝CP时，BP2＝CP2， 即4＋m2＝m2－6m＋10，解得m＝1，