宁夏银川九中2017届高三(上)第三次月考数学试卷(文科)(解析版)

2016-2017学年宁夏银川九中高三（上）第三次月考数学试卷（文
科）
二、选择题（本大题共12小题，每小题5分）
1．已知全集S={0，1，3，5，7，9}，C S A={0，5，9}，B={3，5，7}，则A∩B=（）A．{5，7}B．{3，5，7}C．{3，7}D．∅
2．设b＜a，d＜c，则下列不等式中一定成立的是（）
A．a﹣c＞b﹣d B．ac＞bd C．a+c＞b+d D．a+d＞b+c
3．已知△ABC中，a=4，b=4，∠A=30°，则∠B等于（）
A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°
4．已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么•的值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．设向量=（1，0），=（，），则下列结论正确的是（）
A．||=|| B．•=C．（﹣）⊥D．∥
6．已知{a n}是等差数列，a3+a11=40，则a6﹣a7+a8等于（）
A．20 B．48 C．60 D．72
7．在等比数列{a n}中，S3=3a3，则其公比q的值为（）
A．﹣ B．C．1或﹣D．﹣1或
8．若等于（）
A．B．C．D．
9．函数y=x3﹣3x2﹣9x（﹣2＜x＜2）有（）
A．极大值5，极小值﹣27 B．极大值5，极小值﹣11
C．极大值5，无极小值D．极小值﹣27，无极大值
10．如图，函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，0＜φ＜π）的图象经过点（﹣，0）、，且该函数的最大值为2，最小值为﹣2，则该函数的解析式为（）
A．y=2sin（+）B． C．
D．
11．已知函数f（x）=，且f（α）=﹣3，则f（6﹣α）=（）
A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣
12．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有恒
成立，则不等式x2f（x）＞0的解集是（）
A．（﹣2，0）∪（2，+∞）B．（﹣2，0）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13．数列{a n}中，a1=1，a n=+1，则a4=．
14．已知△ABC中，AB=6，∠A=30°，∠B=120°，则△ABC的面积为．
15．设sinα﹣sinβ=，cosα+cosβ=，则cos（α+β）=．
16．对于任意实数x，不等式（a﹣2）x2﹣2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立，则实数a的取值范围是．
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或求解演算步骤）
17．已知数列{a n}的前n项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）求S n的最小值．
18．已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边．
=，c=2，A=60°，求a、b的值；
（1）若△ABC面积S
△ABC
（2）若a=ccosB，且b=csinA，试判断△ABC的形状．
19．已知点A，B，C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈（）．（1）若=，求角α的值；
（2）若•=﹣1，求的值．
20．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωxsin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．
21．已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（1）求a n及S n；
（2）令b n=﹣（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．
22．已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．
（I）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．
2016-2017学年宁夏银川九中高三（上）第三次月考数学
试卷（文科）
参考答案与试题解析
二、选择题（本大题共12小题，每小题5分）
1．已知全集S={0，1，3，5，7，9}，C S A={0，5，9}，B={3，5，7}，则A∩B=（）A．{5，7}B．{3，5，7}C．{3，7}D．∅
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】根据补集的定义，求出集合A，根据交集的定义即可求得结果．
【解答】解：∵全集U={0，1，3，5，7，9}，C S A={0，5，9}，
∴A={1，3，7}
∵B={3，5，7}，
∴A∩B={7，3}
故选C．
2．设b＜a，d＜c，则下列不等式中一定成立的是（）
A．a﹣c＞b﹣d B．ac＞bd C．a+c＞b+d D．a+d＞b+c
【考点】基本不等式．
【分析】本题是选择题，可采用逐一检验，利用特殊值法进行检验，很快问题得以解决．【解答】解：∵b＜a，d＜c
∴设b=﹣1，a=﹣2，d=2，c=3
选项A，﹣2﹣3＞﹣1﹣2，不成立
选项B，（﹣2）×3＞（﹣1）×2，不成立
选项D，﹣2+2＞﹣1+3，不成立
故选C
3．已知△ABC中，a=4，b=4，∠A=30°，则∠B等于（）
A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°
【考点】正弦定理．
【分析】解法一：由A的度数求出sinA的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sinB的值，由B不可能为钝角或直角，得到B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
解法二：由a=b，利用等边对等角，得到A=B，由A的度数求出B的度数即可．
【解答】解：法一：∵a=4，b=4，∠A=30°，
∴根据正弦定理=得：
sinB==，
又B为锐角，
则∠B=30°；
法二：∵a=b=4，∠A=30°，
∴∠A=∠B=30°．
故选A
4．已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么•的值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】利用向量的运算法则求出两个向量的和；利用向量共线的充要条件列出方程求出k；利用向量的数量积公式求出值．
【解答】解：∵=（3，k+2）
∵共线
∴k+2=3k
解得k=1
∴=（1，1）
∴=1×2+1×2=4
故选D
5．设向量=（1，0），=（，），则下列结论正确的是（）
A．||=|| B．•=C．（﹣）⊥D．∥
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量的坐标运算和向量的垂直和平行的关系，分别判断即可．
【解答】解：对于A：∵向量=（1，0），=（，），∴||=1，||=，故A错误，
对于B：•=1×+0×=，故B错误，
对于C：∵（﹣）•=（，﹣）•（，）==0，∴（﹣）⊥，故C正
确，
对于D：∵1×﹣0×=≠0，∴不平行于，故D错误
故选：C
6．已知{a n}是等差数列，a3+a11=40，则a6﹣a7+a8等于（）
A．20 B．48 C．60 D．72
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】利用等差数列通项的性质，求出a7=20，a6﹣a7+a8=a7，从而可得结论．
【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，且a3+a11=40，
∴a3+a11=2a7=40，
∴a7=20，
∴a6﹣a7+a8=a7=20
故选A．
7．在等比数列{a n}中，S3=3a3，则其公比q的值为（）
A．﹣B．C．1或﹣D．﹣1或
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】当q=1时，成立；当q≠1时，=3a1q2，由此能求出其公比q的值．
【解答】解：∵在等比数列{a n}中，S3=3a3，
∴当q=1时，成立；
当q≠1时，
=3a1q2，
整理，得2q2﹣q﹣1=0，
解得q=﹣或q=1（舍），
∴其公比q的值为1或﹣．
故选：C．
8．若等于（）
A．B．C．D．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】利用二倍角的余弦与两角差的余弦函数将已知等式化简即可得答案．
【解答】解：=
=，
则sinα﹣cosα=．
故选：C．
9．函数y=x3﹣3x2﹣9x（﹣2＜x＜2）有（）
A．极大值5，极小值﹣27 B．极大值5，极小值﹣11
C．极大值5，无极小值D．极小值﹣27，无极大值
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】求出y的导函数得到x=﹣1，x=3（因为﹣2＜x＜2，舍去），讨论当x＜﹣1时，y′＞0；当x＞﹣1时，y′＜0，得到函数极值即可．
【解答】解：y′=3x2﹣6x﹣9=0，得x=﹣1，x=3，当x＜﹣1时，y′＞0；当x＞﹣1时，y′＜0，=5；x取不到3，无极小值．
当x=﹣1时，y
极大值
故选C
10．如图，函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，0＜φ＜π）的图象经过点（﹣，0）、，且该函数的最大值为2，最小值为﹣2，则该函数的解析式为（）
A．y=2sin（+）B． C．
D．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】通过图象确定A，T，求出ω，利用图象经过点（﹣，0）求出φ，可得函数解析式．
【解答】解：由题意可知A=2，T=，所以ω=，图象经过点（﹣，0），
所以0=2sin[]解得φ=
该函数的解析式为：y=2sin（+）
故选A
11．已知函数f（x）=，且f（α）=﹣3，则f（6﹣α）=（）
A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣
【考点】函数的值．
【分析】利用分段函数，求出α，再求f（6﹣α）．
【解答】解：由题意，α≤1时，2α﹣1﹣2=﹣3，无解；
α＞1时，﹣log2（α+1）=﹣3，∴α=7，
∴f（6﹣α）=f（﹣1）=2﹣1﹣1﹣2=﹣．
故选：A．
12．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有恒
成立，则不等式x2f（x）＞0的解集是（）
A．（﹣2，0）∪（2，+∞）B．（﹣2，0）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
【考点】函数的单调性与导数的关系；奇偶函数图象的对称性；其他不等式的解法．
【分析】首先根据商函数求导法则，把化为[]′＜0；然后利用导
函数的正负性，可判断函数y=在（0，+∞）内单调递减；再由f（2）=0，易得f（x）
在（0，+∞）内的正负性；最后结合奇函数的图象特征，可得f（x）在（﹣∞，0）内的正负性．则x2f（x）＞0⇔f（x）＞0的解集即可求得．
【解答】解：因为当x＞0时，有恒成立，即[]′＜0恒成立，
所以在（0，+∞）内单调递减．
因为f（2）=0，
所以在（0，2）内恒有f（x）＞0；在（2，+∞）内恒有f（x）＜0．
又因为f（x）是定义在R上的奇函数，
所以在（﹣∞，﹣2）内恒有f（x）＞0；在（﹣2，0）内恒有f（x）＜0．
又不等式x2f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集．
所以答案为（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．
故选D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13．数列{a n}中，a1=1，a n=+1，则a4=．
【考点】数列递推式．
【分析】直接由数列递推式结合已知求a4的值．
【解答】解：∵a1=1，a n=+1，
∴，
，
．
故答案为：．
14．已知△ABC中，AB=6，∠A=30°，∠B=120°，则△ABC的面积为．
【考点】三角形中的几何计算．
【分析】先根据三角形内角和，得到∠C=180°﹣∠A﹣∠B=30°，从而∠A=∠C，所以
BC=AB=6，最后用正弦定理关于面积的公式，可得△ABC的面积为BC•ABsinB=，
得到正确答案．
【解答】解：∵△ABC中，∠A=30°，∠B=120°，
∴∠C=180°﹣30°﹣120°=30°
∴∠A=∠C⇒BC=AB=6
由面积正弦定理公式，得
=BC•ABsinB=×6×6sin120°=
S
△ABC
即△ABC的面积为．
故答案为：
15．设sinα﹣sinβ=，cosα+cosβ=，则cos（α+β）=．
【考点】两角和与差的余弦函数．
【分析】将分别已知的两个等式两边平方得到两个关系式记作①和②，然后①+②，利用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的余弦函数公式化简，即可得到所求式子的值．
【解答】解：把sina﹣sinb=和cosa+cosb=两边分别平方得：
sin2a+sin2b﹣2sinasinb=①，cos2a+cos2b+2cosacosb=②，
①+②得：1+1+2cosacosb﹣2sinasinb=，
则cos（a+b）=cosacosb﹣sinasinb=×=﹣．
故答案为：﹣．
16．对于任意实数x，不等式（a﹣2）x2﹣2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立，则实数a的取值范围是（﹣2，2] ．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】分a=2与a≠2讨论；在a≠2时，（a﹣2）x2﹣2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立⇒
，解之，取并即可．
【解答】解：当a=2时，﹣4＜0恒成立；
当a≠2时，不等式（a﹣2）x2﹣2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立，
则，
解得：﹣2＜a＜2；
综上所述，﹣2＜a≤2．
故答案为：（﹣2，2]．
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或求解演算步骤）
17．已知数列{a n}的前n项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）求S n的最小值．
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．
【分析】（1）利用递推公式a n=S n﹣S n
可求得答案；（2）可得数列前24项为负数，从第
﹣1
25项开始为正数，故最小值S24，由公式可求．
【解答】解（1）当n=1时，a1=S1=12﹣48×1=﹣47，
=n2﹣48n﹣[（n﹣1）2﹣48（n﹣1）]=2n﹣49，
当n≥2时，a n=S n﹣S n
﹣1
经验证a1也适合上式，
∴数列的通项公式为：a n=2n﹣49
（2）由（1）知a n=2n﹣49，a1=﹣47，令2n﹣49≥0可得n≥24，
即数列前24项为负数，从第25项开始为正数，
故当n=24时，S n有最小值S24=24×（﹣47）+=﹣576
18．已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边．
=，c=2，A=60°，求a、b的值；
（1）若△ABC面积S
△ABC
（2）若a=ccosB，且b=csinA，试判断△ABC的形状．
【考点】余弦定理；三角形的形状判断．
【分析】（1）由A的度数求出sinA和cosA的值，再由c及三角形的面积，利用三角形的面积公式求出b的值，然后由b，c及cosA的值，利用余弦定理即可求出a的值；
（2）由三角形的三边a，b及c，利用余弦定理表示出cosB，代入已知的a=ccosB，化简可得出a2+b2=c2，利用勾股定理的逆定理即可判断出三角形为直角三角形，在直角三角形ABC 中，利用锐角三角函数定义表示出sinA，代入b=csinA，化简可得b=a，从而得到三角形ABC 为等腰直角三角形．
【解答】解：（1）∵，
∴，得b=1，
由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=12+22﹣2×1×2•cos60°=3，
所以．
（2）由余弦定理得：，∴a2+b2=c2，
所以∠C=90°；
在Rt△ABC中，，所以，
所以△ABC是等腰直角三角形．
19．已知点A，B，C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈（）．
（1）若=，求角α的值；
（2）若•=﹣1，求的值．
【考点】三角函数的化简求值；三角函数中的恒等变换应用．
【分析】（1）根据两向量的模相等，利用两点间的距离公式建立等式求得tanα的值，根据α的范围求得α．
（2）根据向量的基本运算根据求得sinα和cosα的关系式，然后同角和与差的
关系可得到，再由
可确定答案．
【解答】解：（1）∵，
∴化简得tanα=1
∵．
∴．
（2）∵，
∴（cosα﹣3，sinα）•（cosα，sinα﹣3）=﹣1，
∴
∴，
∴．
20．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωxsin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．
【分析】（Ⅰ）先根据倍角公式和两角和公式，对函数进行化简，再利用T=，进而求得
ω
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数f（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性进而求得函数f（x）的范围．
【解答】解：（Ⅰ）
=
=． ∵函数f （x ）的最小正周期为π，且ω＞0，
∴
，解得ω=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
．
∵
，
∴
，
∴
．
∴，即f （x ）的取值范围为．
21．已知等差数列{a n }满足a 3=7，a 5+a 7=26．{a n }的前n 项和为S n ．
（1）求a n 及S n ；
（2）令b n =﹣（n ∈N *），求数列{b n }的前n 项和T n ．
【考点】数列的求和；等差数列的前n 项和．
【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出．
（2）a n =2n +1，可得b n =﹣=﹣=﹣，再利用“裂项求和”即可得出．
【解答】解：（1）设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，
由于a 3=7，a 5+a 7=26，
∴a 1+2d=7，2a 1+10d=26，
解得a 1=3，d=2．
∴a n =a 1+（n ﹣1）d=2n +1，
S n ==n 2+2n ．
（2）∵a n =2n +1，
∴b n =﹣=﹣=﹣=﹣，
因此T n =b 1+b 2+…+b n
=﹣+…+
=﹣
=﹣．
22．已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．
（I）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．
【考点】简单复合函数的导数．
【分析】（I）当a=4时，求出曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线的斜率，即可求出切线方程；
（II）先求出f′（x）＞f′（1）=2﹣a，再结合条件，分类讨论，即可求a的取值范围．
【解答】解：（I）当a=4时，f（x）=（x+1）lnx﹣4（x﹣1）．
f（1）=0，即点为（1，0），
函数的导数f′（x）=lnx+（x+1）•﹣4，
则f′（1）=ln1+2﹣4=2﹣4=﹣2，
即函数的切线斜率k=f′（1）=﹣2，
则曲线y=f（x）在（1，0）处的切线方程为y=﹣2（x﹣1）=﹣2x+2；
（II）∵f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1），
∴f′（x）=1++lnx﹣a，
∴f″（x）=，
∵x＞1，∴f″（x）＞0，
∴f′（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴f′（x）＞f′（1）=2﹣a．
①a≤2，f′（x）＞f′（1）≥0，
∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴f（x）＞f（1）=0，满足题意；
②a＞2，存在x0∈（1，+∞），f′（x0）=0，函数f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
由f（1）=0，可得存在x0∈（1，+∞），f（x0）＜0，不合题意．
综上所述，a≤2．
2017年1月11日。