2025届云南省怒江市高考冲刺押题(最后一卷)数学试卷含解析

2025届云南省怒江市高考冲刺押题（最后一卷）数学试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设1F ，2F 分别是椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=，
222AF F B =，则椭圆E 的离心率为( )
A ．
2
3
B ．
34
C ．
53
D ．
74
2．设函数22sin ()1
x x
f x x =+，则()y f x =，[],x ππ∈-的大致图象大致是的( )
A ．
B ．
C ．
D ．
3．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1236AB AA ==，11
2A P PB =，点T 在棱1AA 上，若TP ⊥平面PBC .则1TP B B ⋅=（ ）
A ．1
B ．1-
C ．2
D ．2-
4．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等.记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积，将Gini a
S
=
称为基尼系数.
对于下列说法：
①Gini 越小，则国民分配越公平；
②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()
1f x x >； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则1Gini 4=； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则1Gini 2
=. 其中正确的是： A ．①④
B ．②③
C ．①③④
D ．①②④ 5．如图所示，已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称
点为B ，满足120AFB ∠=︒，且||2||BF AF =，则双曲线C 的离心率是（ ）.
A ．
3
3
B ．
72
C ．3
D ．7
6．已知函数1
()2x f x e x -=+-的零点为m ，若存在实数n 使230x ax a --+=且||1m n -≤，则实数a 的取值范围
是（ ） A ．[2,4] B ．72,3
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．7,33
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．[2,3]
7．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）
A ．-1
B ．1
C ．0
D ．2
8．已知函数||
()()x x f x x R e
=∈，若关于x 的方程()10f x m -+=恰好有3个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(
212),e e
B ．(20,
)2e e
C ．(11,1)e
+
D ．21,
12()e
e
+ 9．已知向量11,,2a b m ⎛⎫
==
⎪⎝⎭
，若()()
a b a b +⊥-，则实数m 的值为（ ） A ．
12
B ．
32
C ．12
±
D ．32
±
10．设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）
A ．22(3)2x y -+=
B ．22(3)8x y -+=
C ．22(3)2x y ++=
D ．22(3)8x y ++=
11．已知抛物线()2
20y px p =>经过点()
2,22M ，焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ）
A ．22
B ．
24
C ．
22
D ．22-
12．函数||
1()e sin 28
x f x x =
的部分图象大致是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知直线0x y a -+=与圆心为C 的圆2
2
2440x y x y ++--=相交于,A B 两点，且AC BC ⊥，则实数a 的值
为_________．
14．对于任意的正数,a b ，不等式2
2
2
(2)443ab a k b ab a +≤++恒成立，则k 的最大值为_____.
15．已知双曲线22
221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的两个焦点为1302F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、2302F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，点P 是第一象限内双曲线上的点，且121
2
tan PF F ∠=
，tan ∠PF 2F 1＝﹣2，则双曲线的离心率为_____． 16．《九章算术》中记载了“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足。

问人数、豕价各几何？”.其意思是“若干个人合买一头猪，若每人出100，则会剩下100；若每人出90，则不多也不少。

问人数、猪价各多少？”.设,x y 分别为人数、猪价，则x =___，y =___.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，且满足()2
2
120n n a n a n n -+--=.
（1）求1a ，2a 及{}n a 的通项公式； （2）求数列{}2
n
a 的前n 项和n
S
.
18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为,43x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），圆C 的方程为
22(1)1y x +-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求l 和C 的极坐标方程；
（2）过O 且倾斜角为α的直线与l 交于点A ，与C 交于另一点B ，若
56
12
π
π
α≤≤
，求||||OB OA 的取值范围.
19．（12分）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin 3sin sin C B a b
A B c
-=
+. （1）求角A 的大小；
（2）若2sin sin 1cos A B C =+，BAC ∠的平分线与BC 交于点D ，与ABC 的外接圆交于点E （异于点A ），
AE AD λ=，求λ的值.
20．（12分）如图，在平行四边形ABCD 中，2=AD AB ，60A ∠=︒，现沿对角线BD 将ABD ∆折起，使点A 到达点P ，点M ，N 分别在直线PC ，PD 上，且A ，B ，M ，N 四点共面.
（1）求证：MN BD ⊥；
（2）若平面PBD ⊥平面BCD ，二面角M AB D --平面角大小为30，求直线PC 与平面BMN 所成角的正弦值. 21．（12分）某公园准备在一圆形水池里设置两个观景喷泉，观景喷泉的示意图如图所示，,A B 两点为喷泉，圆心O 为AB 的中点，其中OA OB a ==米，半径10OC =米，市民可位于水池边缘任意一点C 处观赏． （1）若当23
OBC π∠=
时，1
sin 3BCO ∠=，求此时a 的值；
（2）设2
2
y CA CB =+，且22232CA CB +≤． （i ）试将y 表示为a 的函数，并求出a 的取值范围；
（ii ）若同时要求市民在水池边缘任意一点C 处观赏喷泉时，观赏角度ACB ∠的最大值不小于6
π
，试求,A B 两处喷泉间距离的最小值．
22．（10分）已知0,0a b >>，函数()2f x x a x b =++-的最小值为1． （1）证明：22a b +=．
（2）若2a b tab +≥恒成立，求实数t 的最大值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解析】
根据222AF F B =表示出线段长度，由勾股定理，解出每条线段的长度，再由勾股定理构造出,a c 关系，求出离心率. 【详解】
222AF F B =
设2BF x =，则22AF x =
由椭圆的定义，可以得到1122,2AF a x BF a x =-=-
120AF AF ⋅=,12AF AF ∴⊥
在1Rt AF B 中，有()()()2
2
2
2232a x x a x -+=-，解得3
a x =
2124,33
a a AF AF ∴=
= 在12Rt AF F △中，有()2
2
242233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
整理得225=9c a ，c e a ∴==
故选C 项. 【点睛】
本题考查几何法求椭圆离心率，是求椭圆离心率的一个常用方法，通过几何关系，构造出,a c 关系，得到离心率.属于中档题. 2、B 【解析】
采用排除法：通过判断函数的奇偶性排除选项A ；通过判断特殊点(),2f f ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
的函数值符号排除选项D 和选项C 即可求解.
对于选项A:由题意知,函数()f x 的定义域为R ，其关于原点对称，
因为()()()()()2
22
2sin sin 11
x x x x
f x f x x x ---==-=-+-+, 所以函数()f x 为奇函数,其图象关于原点对称，故选A 排除；
对于选项D:因为2
22
2sin 2202412f ππππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==> ⎪+⎝⎭⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
,故选项D 排除; 对于选项C:因为()()22
sin 01
f ππππ==+,故选项C 排除; 故选:B 【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性和特殊点函数值符号判断函数图象;考查运算求解能力和逻辑推理能力;选取合适的特殊点并判断其函数值符号是求解本题的关键;属于中档题、常考题型. 3、D 【解析】
根据线面垂直的性质，可知TP PB ⊥；结合112A P PB =即可证明11PTA BPB ∆≅∆，进而求得1TA .由线段关系及平面向量数量积定义即可求得1TP B B ⋅. 【详解】
长方体1111ABCD A B C D -中，1236AB AA ==， 点T 在棱1AA 上，若TP ⊥平面PBC . 则TP PB ⊥，11
2A P PB = 则11PTA BPB ∠=∠，所以11PTA BPB ∆≅∆， 则111TA PB ==，
所以11cos TP B B TP B B PTA ⋅=⋅⋅
∠
22⎛⎫
=⨯=- ⎝，
【点睛】
本题考查了直线与平面垂直的性质应用，平面向量数量积的运算，属于基础题. 4、A 【解析】
对于①，根据基尼系数公式Gini a
S
=
，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a 越小，国民分配越公平，所以①正确.对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得(0,1)x ∀∈，均有()f x x <，可得
()
1f x x
<，所以②错误.对于③，因为12
23100111()d ()|236
a x x x x x =-=-=⎰，所以1
16Gini 132
a S ===，所以③错误.对于④，因为
1324100111()d ()|244
a x x x x x =-=-=⎰，所以1
14Gini 122a S ===，所以④正确.故选A ． 5、C 【解析】
易得||2AF a =，||4BF a =，又1
()2
FO FB FA =+，平方计算即可得到答案. 【详解】
设双曲线C 的左焦点为E ，易得AEBF 为平行四边形， 所以||||||||2BF AF BF BE a -=-=，又||2||BF AF =， 故||2AF a =，||4BF a =，1
()2
FO FB FA =+， 所以2
221
(41624)4
c a a a a =
+-⨯，即223c a =，
故离心率为e =. 故选：C. 【点睛】
本题考查求双曲线离心率的问题，关键是建立,,a b c 的方程或不等关系，是一道中档题. 6、D 【解析】
易知()f x 单调递增,由(1)0f =可得唯一零点1m =,通过已知可求得02n ≤≤,则问题转化为使方程
230x ax a --+=在区间[]0,2上有解,化简可得4
121
a x x =++
-+,借助对号函数即可解得实数a 的取值范围. 【详解】
易知函数1
()2x f x e x -=+-单调递增且有惟一的零点为1m =，所以|1|1n -≤，∴02n ≤≤，问题转化为：使方程
2
30x ax a --+=在区间[]0,2上有解，即223(1)2(1)44
12111
x x x a x x x x ++-++=
==++-+++ 在区间[]0,2上有解，而根据“对勾函数”可知函数4
121
y x x =++-+在区间[]0,2的值域为[2,3]，∴23a ≤≤. 故选D ． 【点睛】
本题考查了函数的零点问题,考查了方程有解问题,分离参数法及构造函数法的应用,考查了利用“对勾函数”求参数取值范围问题,难度较难. 7、B 【解析】 化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案.
【详解】
为纯虚数，故
且
，即
.
故选：. 【点睛】
本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力. 8、D 【解析】
讨论0x >，0x =，0x <三种情况，求导得到单调区间，画出函数图像，根据图像得到答案. 【详解】
当0x >时，()x f x =
，故'()2x f x xe =
，函数在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递减，且122e f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
； 当0x =时，()00f =； 当0x <时，()x f x -=
，'()02x f e x x =<，函数单调递减； 如图所示画出函数图像，则12012e m f ⎛⎫<-<=
⎪⎝⎭
，故()21e m +∈.
故选：D .
【点睛】
本题考查了利用导数求函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力. 9、D 【解析】
由两向量垂直可得()()
0a b a b +⋅-=，整理后可知22
0a b -=，将已知条件代入后即可求出实数m 的值. 【详解】 解：
(
)()
a b a b +⊥-，()()
0a b a b ∴+⋅-=，即22
0a b -=，
将1a =和2
2
212b m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
代入，得出2
34m =，所以3m =. 故选:D. 【点睛】
本题考查了向量的数量积，考查了向量的坐标运算.对于向量问题，若已知垂直，通常可得到两个向量的数量积为0，继而结合条件进行化简、整理. 10、A 【解析】
计算AB 的中点坐标为()3,0，圆半径为2r =.
【详解】
AB 的中点坐标为：()3,0，圆半径为22
2222
2
AB
r +==
=， 圆方程为2
2
(3)2x y -+=. 故选：A .
本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.
11、A
【解析】
先求出p ，再求焦点F 坐标，最后求MF 的斜率
【详解】
解：抛物线()220y px p =>经过点(M (2
22p =⨯，2p =，
()
1,0F ，MF k =，
故选：A
【点睛】
考查抛物线的基础知识及斜率的运算公式，基础题.
12、C
【解析】
判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项.
【详解】
()()f x f x -=-，∴函数是奇函数，排除D ，
0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0f x >，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，排除B ， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin 20,1x ∈，2111,888x e e π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
()0,1⊂ 0,2x π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭
时，()()0,1f x ∈，排除A ， C 符合条件，故选C.
【点睛】
本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、0或6
计算得到圆心()1,2C -，半径3r =，根据AC BC ⊥得到d =
. 【详解】 222440x y x y ++--=，即()()22
129x y ++-=，圆心()1,2C -，半径3r =.
AC BC ⊥，故圆心到直线的距离为d =2d ==，故6a =或0a =. 故答案为：0或6.
【点睛】 本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力。

14、【解析】
根据,a b 均为正数，等价于2222234442322a ab b b ab k a ab a ab
++-≤=+++恒成立，令,0b xa x =>，转化为2423,021
x x k x x -≤+>+恒成立，利用基本不等式求解最值. 【详解】
由题,a b 均为正数，不等式222(2)443ab a k b ab a +≤++恒成立，等价于
2222234442322a ab b b ab k a ab a ab
++-≤=+++恒成立， 令,0b xa x =>则24223212121
x x k x x x -≤+=++++， 2
2121
x x ++≥+
当且仅当22121x x +=
+即12x =时取得等号，
故k 的最大值为
故答案为：【点睛】
此题考查不等式恒成立求参数的取值范围，关键在于合理进行等价变形，此题可以构造二次函数求解，也可利用基本不等式求解.
15
【解析】 根据正弦定理得121212
2PF sin PF F PF sin PF F ∠==∠，根据余弦定理得2212PF PF +-2PF 1•PF 2cos ∠F 1PF 2212F F ==3，联立方程
得到12PF PF =
=. 【详解】 ∵△PF 1F 2中，sin ∠PF 1F 2
sin ∠PF 1F 2
121212
2PF sin PF F PF sin PF F ∠==∠，① 又∵1212
tan PF F ∠=，tan ∠PF 2F 1＝﹣2， ∴tan ∠F 1PF 2＝﹣tan （∠PF 2F 1+∠PF 1F 2）123214
122
-=-=+⨯，可得cos ∠F 1PF 245=， △PF 1F 2中用余弦定理，得2212PF PF +-2PF 1•PF 2cos ∠F 1PF 2212F F ==3，②
①②联解，得1233PF PF ==
，可得123
PF PF -=，
∴双曲线的2a =
，结合2c =
，得离心率22c e a ==.
. 【点睛】 本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.
16、10 900
【解析】
由题意列出方程组，求解即可.
【详解】
100100x y -=⎧
故答案为10 900
【点睛】
本题主要考查二元一次方程组的解法，用消元法来求解即可，属于基础题型.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）13a =；25a =.21n a n =+；（2）()8413
n n S =
- 【解析】
（1）根据题意，知0n a >，且()22120n n a n a n n -+--=，令1n =和2n =即可求出1a ，2a ，以及运用递推关系求出{}n a 的通项公式；
（2）通过定义法证明出{}n b 是首项为8，公比为4的等比数列，利用等比数列的前n 项和公式，即可求得{}2n
a 的前n 项和n S .
【详解】
解：（1）由题可知，0n a >，且()22120n n a n a n n -+--=，
当1n =时，211230a a --=，则13a =， 当2n =时，2223100a a --=，25a =，
由已知可得()()210n n a n a n +-+=⎡⎤⎣⎦，且0n a >，
∴{}n a 的通项公式：21n a n =+.
（2）设2n a
n b =，则212n n b +=， 所以21
22112242
n n n n b b +--===，3128b ==， 得{}n b 是首项为8，公比为4的等比数列，
所以数列{}n b 的前n 项和n S 为：
12n n S b b b =+++，
即()()3521814822241143n n n n
S +-=++⋅⋅⋅+==--， 所以数列{}2
n a 的前n 项和：()8413
n n S =-.
本题考查通过递推关系求数列的通项公式，以及等比数列的前n 项和公式，考查计算能力.
18、（1
cos sin 40θρθ+-=；2sin ρθ=（2）13,24
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】
（1）直接利用转换公式，把参数方程，直角坐标方程与极坐标方程进行转化； （2）利用极坐标方程将||||
OB OA 转化为三角函数求解即可. 【详解】
（1
）因为,4x t y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以l
40y +-=， 又cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=，
l
cos sin 40θρθ+-=，
C 的方程即为2220x y y +-=，对应极坐标方程为2sin ρθ=.
（2）由己知设()1,A ρα，()2,B ρα
，则1ρ=22sin ρα=，
所以，)
21||12sin sin ||4OB OA ραααρ==⨯
+12cos 214αα⎤=-+⎦ 12sin 2146πα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦ 又5612π
πα≤≤，22663
πππα≤-≤， 当266π
π
α-=，即6π
α=时，||||OB OA 取得最小值12
； 当262π
π
α-=，即3πα=时，||||OB OA 取得最大值34
. 所以，||||OB OA 的取值范围为13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
本题主要考查了直角坐标方程，参数方程与极坐标方程的互化，三角函数的值域求解等知识，考查了学生的运算求解
19、（1）30A =︒；（2）233 【解析】 （1）由sin 3sin sin sin C B a b A B c
--=+，利用正弦定理转化整理为2223a b c bc =+-，再利用余弦定理求解. （2）根据2sin sin 1cos A B C =+，利用两角和的余弦得到()cos 1A B -=，利用数形结合，设1AC =，在ADC 中，由正弦定理求得AD ，在AOE △中，求得AE 再求解.
【详解】
（1）因为sin 3sin sin sin C B a b A B c
--=+， 所以()
()()3c b c a b a b -=+-， 即2223a b c bc =+-，即3cos 2
A =，所以30A =︒. （2）∵()2sin sin 1cos 1cos A
B
C A B =+=-+，
1cos cos sin sin A B A B =-+.
所以()cos 1A B -=，从而A B =.
所以30B =︒，120C =︒.
不妨设1AC =，O 为ABC 外接圆圆心
则AO =1，3AB =，45ADC EAO ∠=∠=︒.
在ADC 中，由正弦定理知，有1sin120sin sin 45AD AC ADC ==︒∠︒
. 即62
AD =；
从而AE =
所以AE AD λ==. 【点睛】
本题主要考查平面向量的模的几何意义，还考查了数形结合的方法，属于中档题.
20、（1）证明见解析；（2）
5 【解析】
（1）根据余弦定理，可得AB BD ⊥，利用AB //CD ，可得CD //平面ABMN ，然后利用线面平行的性质定理，CD //MN ，最后可得结果.
（2）根据二面角M AB D --平面角大小为30，可知N 为PD 的中点，然后利用建系，计算PC 以及平面BMN 的一个法向量，利用向量的夹角公式，可得结果.
【详解】
（1）不妨设2AB =，则4=AD ，
在ABD ∆中,
2222cos BD AB AD AB AD A =++⋅⋅，
则BD =
因为22241216AB BD AD +=+==，
所以AB BD ⊥，因为AB //CD ，
且A 、B 、M 、N 四点共面，所以CD //平面ABMN .
又平面ABMN 平面PCD MN =，所以CD //MN .
而CD BD ⊥，MN BD ⊥.
（2）因为平面PBD ⊥平面BCD ，且PB BD ⊥，
所以PB ⊥平面BCD ，PB AB ⊥，
因为AB BD ⊥，所以AB ⊥平面PBD ，BN AB ⊥，
因为BD AB ⊥，平面BMN 与平面BCD 夹角为30，
所以30DBN ∠=︒，在Rt PBD ∆中，易知N 为PD 的中点，
如图，建立空间直角坐标系，
则()0,0,0B ，()002P ,
,，()2,23,0C ， ()3,1N ，()
3,1M ， ()1,0,0NM =，()0,3,1BN =，()
2,23,2PC =-，
设平面BMN 的一个法向量为(),,n x y z =， 则由00030
x n NM n BN z =⎧⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=+=⎩， 令1y =，得(0,1,3n =-.
设PC 与平面BMN 所成角为θ， 则()15sin cos 905
n PC
n PC θθ⋅=︒-==⋅. 【点睛】
本题考查线面平行的性质定理以及线面角，熟练掌握利用建系的方法解决几何问题，将几何问题代数化，化繁为简，
属中档题.
21、
(1)a =
(2)(i)22002y a =+，(0,4]a ∈；
(ii)40-【解析】
（1）在OBC ∆中，由正弦定理可得所求；
（2）（i ）由余弦定理得222210020cos ,10020cos AC a a AOC BC a a BOC =+-∠=+-∠，两式相加可得所求解析式．（ii ）在ABC ∆中，由余弦定理可得2222222
222442cos 12100CA CB a CA CB a a ACB CA CB CA CB a
+-+-∠=≥=-⋅++，根据ACB ∠的最大值不小于
6
π可得关于a 的不等式，解不等式可得所求． 【详解】 （1）在OBC ∆中，由正弦定理得
sin sin OC OB OBC BCO
=∠∠，
所以1103293OC sin BCO OB sin OBC sin π⨯⋅∠===∠，
即a = （2）（i ）在AOC ∆中，由余弦定理得2210020cos AC a a AOC =+-∠，
在BOC ∆中，由余弦定理得2210020cos BC a a BOC =+-∠，
又AOC BOC π∠=-∠
所以2222002CA CB a +=+，
即22002y a =+．
又2222002232CA CB a +=+≤，解得04a <≤，
所以所求关系式为22002y a =+，(]
0,4a ∈． （ii ）当观赏角度ACB ∠的最大时，cos ACB ∠取得最小值．
在ABC ∆中，由余弦定理可得
2222222
222
442cos 12100CA CB a CA CB a a ACB CA CB CA CB a +-+-∠=≥=-⋅++， π
所以2221100a a -≤+
，解得20a ≥-
经验证知(]200,4-，
所以240a ≥-
即,A B
两处喷泉间距离的最小值为40-．
【点睛】
本题考查解三角形在实际中的应用，解题时要注意把条件转化为三角形的边或角，然后借助正余弦定理进行求解．解题时要注意三角形边角关系的运用，同时还要注意所得结果要符合实际意义．
22、（1）2；（2）
92 【解析】
分析：（1）将()2f x x a x b =++-转化为分段函数，求函数的最小值
（2）分离参数，利用基本不等式证明即可．
详解：（Ⅰ）证明：2b a -< ()3,,23,2x a b x a b f x x a b a x b x a b x ⎧⎪--+<-⎪⎪∴=-++-≤≤⎨⎪⎪+->⎪⎩
，显然()f x 在,2b ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在,2b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()f x 的最小值为122b b f a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
，即22a b +=． （Ⅱ）因为2a b tab +≥恒成立，所以2a b t ab +≥恒成立， ()212112122925+222
a b a b a b ab b a b a b a +⎛⎫⎛⎫≥+=++=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当23a b ==
时，2a b ab +取得最小值92
， 所以92t ≤，即实数t 的最大值为92． 点睛：本题主要考查含两个绝对值的函数的最值和不等式的应用，第二问恒成立问题分离参数，利用基本不等式求解很关键，属于中档题．。