2021年广东省肇庆市香山中学高一数学理联考试卷含解析

2021年广东省肇庆市香山中学高一数学理联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如果二次函数不存在零点，则的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案：
B
略
2. 下列四组函数中，为同一函数的一组是( )
A．f（x）=1与g（x）=x0 B．f（x）=与g（x）=x
C．f（x）=|﹣x|与g（x）=D．f（x）=与g（x）=x+1
参考答案：
C
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．
【解答】解：对于A，函数f（x）=1（x∈R），与函数g（x）=x0=1（x≠0）的定义域不同，所以不是同一函数；
对于B，函数f（x）==|x|（x∈R），与函数g（x）=x（x∈R）的对应关系不同，所以不是同一函数；
对于C，函数f（x）=|﹣x|=|x|（x∈R），与函数g（x）==|x|（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数；
对于D，函数f（x）==x+1（x≠1），与函数g（x）=x+1（x∈R）的定义域不同，所以不是同一函数．
故选：C．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目．
3. 如果函数在区间上是减少的，那么实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
略
4. 不等式的解集为
A. (－∞,2]
B. [2,+∞)
C. [1,2]
D. (1,2]
参考答案：
D
5. 将-885°化为的形式是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
B
将-885°化为的形式是。

6. 正四面体中，与平面所成角的正弦值为
A．B． C．D．
参考答案：
A
7. 已知的定义域为，则函数的定义域
是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
8. 已知tan（+α）=2，则sin2α=（）
A．﹣B．C．﹣D．
参考答案：
D
【考点】GS：二倍角的正弦．
【分析】由已知及两角和与差的正切函数公式，二倍角公式，同角三角函数关系式即可求值．
【解答】解：∵tan（+α）==2，解得：tanα=，
∴sin2α===．
故选：D．
9. 为了得到函数,的图象,只需把函数,的图象（）
A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度
参考答案：
B
只需把向左平移个单位长度
故选
10. 已知m、l是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，且m⊥α，l∥β，则下列说法正确的是（）
A．若m∥l，则α∥βB．若α⊥β，则m∥l C．若m⊥l，则α∥βD．若α∥β，则m⊥l
参考答案：
D
【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】根据空间直线和平面、平面和平面平行或垂直的判定定理和性质定理分别进行判断即可．【解答】解：若m∥l，m⊥α，则l⊥α，又l∥β，则α⊥β，即A不正确；
若α⊥β，则m、l位置不确定，即B不正确；
若m⊥l，则α∥β或α，β相交，即C 不正确；
若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又l∥β，则m⊥l，即D正确，
故选D．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在集合中随机取一个元素，在集合中随机取一个元素，得到点，则点P在圆
内部的概率为
参考答案：
12. 若关于x的方程有正数解，则实数a的取值范围为________。

参考答案：
(－2，0]
13. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题正确的是________ (写出所有正确命题的序号)．
①cos C<1－cos B；
②若a cos A＝c cos C，则△ABC一定为等腰三角形；
③若A是钝角△ABC中的最大角，则－1<sin A＋cos A<1；
④若A＝，a＝，则b的最大值为2.
参考答案：
④ 略
14. 设函数f （x ）=则的值为
．
参考答案：
【考点】函数的值；分段函数的解析式求法及其图象的作法．
【分析】本题是分段函数求值，规律是先内而外逐层求值，先求f （2
）值，再根据的取值范围
判断应该用那一段上的函数解析式，代入求值即为的值．
【解答】解：由于2＞1，故f （2）=22+2﹣2=4 故=≤1
故=1﹣=
故答案为
．
15. 已知函数f （x ）的定义域为R ，且f （x ）不为常值函数，有以下命题： ①函数g （x ）=f （x ）+f （﹣x ）一定是偶函数；
②若对任意x∈R 都有f （x ）+f （2﹣x ）=0，则f （x ）是以2为周期的周期函数；
③若f （x ）是奇函数，且对于任意x∈R，都有f （x ）+f （2+x ）=0，则f （x ）的图象的对称轴方程为x=2n+1（n∈Z）；
④对于任意的x 1，x 2∈R，且x 1≠x 2，若＞0恒成立，则f （x ）为R 上的增函
数，
其中所有正确命题的序号是 ．
参考答案：
①③④
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】综合题；探究型；函数的性质及应用；推理和证明．
【分析】根据函数奇偶性的定义，可判断①；根据已知分析函数的对称性，可判断②；根据已知分析
出函数的周期性和对称性，可判断③；根据已知分析出函数的单调性，可判断④
【解答】解：∵g（﹣x ）=f （﹣x ）+f （x ）=g （x ），故函数g （x ）=f （x ）+f （﹣x ）一定是偶函数，故①正确；
②若对任意x∈R 都有f （x ）+f （2﹣x ）=0，则f （x ）的图象关于点（1，0）对称，但不一定是周期函数，故错误；
③若f （x ）是奇函数，且对于任意x∈R，都有f （x ）+f （2+x ）=0，则函数的周期为4，则f （x ）的图象的对称轴方程为x=2n+1（n∈Z），故正确；
④对于任意的x 1，x 2∈R，且x 1≠x 2，若＞0恒成立，则f （x ）为R 上的增函
数，故正确， 故答案为：①③④
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的奇偶性，函数的对称性，函数的周期性和函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．
16. 函数的定义域是 ．
参考答案：
(－∞,1)∪(1,4]
试题分析：要使函数有意义，需满足，定义域为
17. 函数的定义域是 ．
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）若函数f （x ）在定义域内存在实数x 0，使得f （x 0+1）=f （x 0）+f （1）成立，则称函数f （x ）有“飘移点”x 0．
（Ⅰ）证明f（x）=x2+e x在区间(0，)上有“飘移点”（e为自然对数的底数）；
（Ⅱ）若f(x)=lg()在区间（0，+∞）上有“飘移点”，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】函数与方程的综合运用．
【分析】（Ⅰ）f（x）=x2+e x，设g（x）=f（x+1）﹣f（x）﹣f（1），则g（x）=2x+（e﹣1）e x﹣e．只要判断g（0）g（）＜0即可．
（II）函数在区间（0，+∞）上有“飘移点”x0，即有
成立，即，整理得
．从而问题转化为关于x的方程（2﹣a）x2﹣2ax+2﹣2a=0在区间（0，+∞）上有实数根x0时实数a的范围．设h（x）=（2﹣a）x2﹣2ax+2﹣2a，由题设知a＞0．对a分类讨论即可得出．
【解答】（Ⅰ）证明：f（x）=x2+e x，设g（x）=f（x+1）﹣f（x）﹣f（1），
则g（x）=2x+（e﹣1）e x﹣e．
因为g（0）=﹣1，，
所以．
所以g（x）=0在区间上至少有一个实数根，
即函数f（x）=x2+e x在区间上有“飘移点”．
（Ⅱ）解：函数在区间（0，+∞）上有“飘移点”x0，即有
成立，即，
整理得．
从而问题转化为关于x的方程（2﹣a）x2﹣2ax+2﹣2a=0在区间（0，+∞）上有实数根x0时实数a的范围．设h（x）=（2﹣a）x2﹣2ax+2﹣2a，由题设知a＞0．
当a＞2且x＞0时，h（x）＜0，方程h（x）=0无解，不符合要求；
当a=2时，方程h（x）=0的根为，不符合要求；
当0＜a＜2时，h（x）=（2﹣a）x2﹣2ax+2﹣2a图象的对称轴是，
要使方程h（x）=0在区间（0，+∞）上有实数根，则只需△=4a2﹣4（2﹣a）（2﹣2a）≥0，
解得．
所以，即实数a的取值范围是．
【点评】本题考查了函数的零点、二次函数的性质、分类讨论方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
19. （本题满分10分）已知等差数列满足：，且成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，数列的前项和为，当时，对于任意的正整数n，不等式恒成立，求的取值范围。

参考答案：
（Ⅱ）∵
∴
… … … 7分
20. 已知函数.
（1）当时，求的值域；
（2）如果，，求的值；
（3）如果，求的值.
参考答案：
（1）（2）（3）
解析：解：（1）解：… 2分
... 3分的值域为 (4)
分
（2）
又，
…5分
…7分
= ==…8分
（3）
…10分
…12分
=… 13分
略
21. 如图，三棱锥P-ABC中，、均为等腰直角三角形，且，若平面PAC⊥平面ABC．
（1）证明：；
（2）点M为棱PA上靠近A点的三等分点，求M点到平面PCB的距离．
参考答案：
（1）见解析（2）
【分析】
（1）取的中点为，连接．证明，，推出⊥平面，即可证明．
（2）可证明平面，先利等积法求出点到平面距离，则点到平面
的距离
等于前者的．
【详解】（1）证明：取的中点为，连接．
∵在中，，为的中点，∴，
∵在中，，为的中点，∴，
∵，，平面，∴⊥平面，
∵平面，∴．
（2）∵平面平面，，
平面平面，平面．∴平面．
在三棱锥中，，由题意，，
．
∵
在中，，∴，
则由得，
因点为棱上靠近点的三等分点，
则点到平面的距离等于点到平面距离的．
∴点到平面的距离等于．
【点睛】线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化. 点到平面的距离的计算可以利用面面垂直或线面垂直得到点到平面的距离，可以根据等积法把点到平面的距离归结为一个容易求得的几何体的体积. 22. 若函数对一切恒有意义，求实数的取值范围。

参考答案：
解：要使函数有意义，必须有①
又由题意可知，函数的定义域为，所以不等式①的解集为（2分）
所以有（1）当时，不等式①可化为，其解集为（3分）
（2）当时，有
，（5分）
解得
（7分）
综合（1）（2）得所求的取值范围是
（8分）。