函数对称性的研究

函数对称性的研究
函數是高中数学教学的主线之一，也是高中数学的核心内容，同时还是整个高中数学的基础。

函数的性质是各类考试的重点与热点。

函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决。

下面通过对函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。

一、中心对称
点关于点的对称
点(x,y)关于点(a,b)的对称点的坐标为(2a-x,2b-y)
事实上，点关于点的对称的对称中心恰恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。

2、线关于点的对称（中心）
曲线f(x,y)=0关于点A(a,b)的对称曲线的方程是f(2a-x,2b-y)=0
例如：点(a,b)关于x轴的对称点(a,-b)，关于y轴的对称点为(-a,b)，关于原点的对称点(-a,-b)
关于中心对称的进一步结论：
1、若则函数的图象关于点对称
2、若则函数的图象关于点对称
3、函数与的图象关于点对称
4、函数与的图象关于点对称
5、函数与的图象关于点对称
下面给出结论1证明：函数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是
f (x) + f (2a－x) = 2b
证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点
∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)
图像上
∴2b－y = f (2a－x)
即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b
（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)
∵f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。

故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P‘关于点
A (a ,b)对称。

二、轴对称
3、点关于线的对称
由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线“，利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：
设点(x0,y0)关于直线Ax+By+c=0的对称点(x’,y’)，则
4、直线（轴）的对称问题的一般思想是用代入转移法。

曲线f(x,y)=0关于直线Ax+By+c=0的对称曲线的求法：
设所求曲线上任一点P(x,y)关于直线Ax+By+c=0对称点P0(x0,y0)，在已知曲线f(x,y)=0上，满足f(x0,y0)=0，利用方程组，解得x0,y0，代入f(x0,y0)=0，从而得对称曲线方程。

例如：点(a,b) 关于直线y=x的对称点为(b,a)，关于直线y=-x的对称点(-b,-a)，关于直线y=x+m的对称点为(b-m,a+m),关于直线y=-x+m的对称点(m-b,m-a).
关于轴对称的进一步结论：
若则函数的图象关于直线对称
若则函数的图象关于直线对称
函数与的图象关于直线对称
函数与的图象关于直线对称
函数与的图象关于直线对称
5、曲线f(x,y)=0关于x轴的对称曲线f(x,-y)=0，关于y轴的对称曲线f(-x,y)=0，关于原点的对称曲线f(-x,-y)=0，关于直线y=x的对称曲线f(y,x)=0，关于直线y=-x 的对称曲线f(-y,-x)=0，关于直线y=x+m的对称曲线为f(y-m,x+m),关于直线y=-x+m的对称曲线为f(m-y,m-x).
三、三角函数图像的对称性列表
函数对称中心坐标对称轴方程
y = sin x ( kπ, 0 )（k∈Z）x = kπ+π/2 （k∈Z）
y = cos x ( kπ+π/2 ,0 )（k∈Z）x = kπ（k∈Z）
y = tan x (kπ/2 ,0 ) （k∈Z）无
四、函数对称性应用举例
例、已知椭圆方程为，试确定实数的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称。

解法一：设、是椭圆上关于直线对称的相异的两点，中点为。

则有
由点差法得，所以，点坐标为。

而是中点，∴点在椭圆内部。

∴。

解得。

解法二：该问题等价于存在直线，使得这直线与椭圆有两个不同的交点、，线段的中点落在直线上。

由消去得
∵直线与椭圆有两个不同交点。

∴①
由韦达定理得：，。

故中点为又在直线上
∴，∴②
由①②知
2、定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（）(A)是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数
(C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数
解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10－x).
∴f (x)有两条对称轴x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数，∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。

故选(A)
3、设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，
f (x) = －x，则f (8.6 ) = _________
解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴；
又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴。

故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3
4、设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x≤1时，
f (x) = x，则f (7.5 ) = （）
(A)0.5 (B) －0.5 (C) 1.5 (D) －1.5
解：∵y = f (x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；
又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)，∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为2的周期函数。

∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故选(B)。