解析几何中的定点和定值问题精编版

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解析几何中的定点,定值问答(含答案解析)

分析几何中的定点和定值问题【教课目的】学会集理选择参数（坐标、斜率等）表示动向图形中的几何对象，研究、证明其不变性质 ( 定点、定值等 )，领会“设而不求” 、“整体代换”在简化运算中的作用．【教课难、要点】解题思路的优化．【教课方法】议论式【教课过程】一、基础练习1 、过直线x 4 上动点 P 作圆O：x2y2 4 的切线PA、PB，则两切点所在直线AB 恒过必定点．此定点的坐标为．【答案】(1,0)yPB4xA【分析】设动点坐标为P(4,t），则以OP直径的圆C方程为：x(x 4)y( y t ) 0 ，故 AB 是两圆的公共弦，其方程为4x ty 4 ．注：部分优异学生可由x0 x y0 y r 2公式直接得出．4x40令0得定点 (1,0) .y2 、已知 PQ 是过椭圆 C : 2 x2y21中心的任一弦， A 是椭圆 C 上异于P、Q的随意一点．若AP、AQ分别有斜率 k1、 k2，则 k1k2=______________．【答案】 -2【分析】设P( x, y), A( x0 , y0 ) ，则Q(x,y) y0y y0y y02y 2k1 k2x x0x 2x2，x0x02x2y 21又由 A 、 P 均在椭圆上，故有：00，2x2y21y02y2两式相减得 2( x02x 2 )( y02y2 ) 0， k1k2222x0x3 、椭圆x 2y 21，过右焦点F作不垂直于 x 轴的直线交椭圆于A、 B 两点，3627AB 的垂直均分线交x 轴于N e=1，则 NF : AB 等于_______.42【答案】1 4【分析】设直线 AB 斜率为 k ，则直线方程为y k x 3 ,与椭圆方程联立消去y 整理可得34k 2x224k2 x36k 2 1080 ,则 x1 x224k22, x1x236k 2108 34k34k2,所以 y1y218k, 34k2则 AB 中点为12k 2,9k. 34k24k23所以 AB 中垂线方程为 y9k21x12k22,34k k 3 4k令则 x3k 2即N 3k22 ,0y 0 ,34k2,34k,所以 NF33k 29(1k 2 ) 34k234k 2.AB1 k2x 1 236 1 k 2NF 1x 24x 1 x 24k 2,所以.3 AB4４、已知椭圆 x 2y 2 1(a b 0) ， A, F 是其左极点和左焦点，P是圆 x 2y 2b 2a 2b 2上的动点，若PA = 常数，则此椭圆的离心率是PF【答案】 e = 5 12【分析】PA常数，所以当点 P 分别在（± b ，0 ）时比值相等，因为 PF即a b = a+b，整理得： b 2 ac ，b c b+c又因为 b 2 a 2 c 2 ，所以 a 2c 2ac同除以 a 2 可得 e 2 + e -1=0 ，解得离心率 e =5 1 ．2二、典例议论例１、如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 C ：x 2y 2 1的左极点为 A ，过原点 O 的直线（与42坐标轴不重合）与椭圆C 交于 P ，Q 两点，直线 PA ，QA 分别与 y 轴交于 M ， N 两点．试问以 MN 为直径的圆能否经过定点（与直线 PQ 的斜率没关）？请证明你的结论．yMAPOQNx剖析一：设 PQ 的方程为 ykx ，设点 P x 0 , y 0 （ x 0 0 ），则点 Q x 0 , y 0 ．联立方程组ykx,消去 y 得 x 24 2．22y 241x2k所以 x 02，则 y 02k．1 2k21 2 k2所以直线 AP 的方程为 ykx 2 ．进而 M 0,2k1 1 2k 21 2k 21同理可得点 N0, 2k．112k 2所以以 MN 为直径的圆的方程为x 2( y12k 2k 2)( y 2k ) 01 11 2k 2整理得： x 2y 2 ( 2k2k ) y 2 011 2k 211 2k2 x 2 y 2 2 02, 0)由，可得定点 F (y剖析二：设 P （ x 0， y 0 ），则 Q （﹣ x 0 ，﹣ y 0），代入椭圆方程可得 x 0 2 2 y 02 4 ．由直线 PA 方程为：yy 0 ( x 2) ，可得 M 0,2y 02 y 0 x 0x 0，同原因直线 QA 方程可得 N 0,，可得以22x 02MN 为直径的圆为 x 2y2y 02y 2y 0 2 0 ，x 0x 0整理得： x 2y 22y 02 y 0 y 4 y 2 0x 0 2x 0 2 x 0 2 4242，代入整理即可得x 2y 24x 0 y 0 y 2 0因为 x 02y 0x 0 24此圆过定点 F (2, 0) ．剖析三：易证： k AP k AQb 2 1 a 2，2故可设直线AP 斜率为 k ，则直线 AQ 斜率为1 .2k直线 AP 方程为 y k( x2) ，进而得 M (0, 2k ) ，以1 1代 k 得 N 0,2kk故知以 MN 为直径的圆的方程为 x 2( y 2k)( y1 ) 0k整理得： x2y22 (12k ) y 0kx 2 y 22 02, 0) .由，可得定点 F (y剖析四、设 M (0, m), N (0, n) ，则以 MN 为直径的圆的方程为x 2 ( y m)( yn) 0即 x 2y 2(m n) y mn再由k AP k AQ k AM k AN = b 21得 mn - 2 ，下略a22.例 2 、已知离心率为 e 的椭圆C :x2y2恰过两点，，a2b21(a b 0)(1 e) 和 20 .(1)求椭圆 C 的方程；(2) 已知AB、MN为椭圆C上的两动弦，此中M 、N 对于原点O对称，AB过点 E(1, 0) ，且 AB、MN 斜率互为相反数.试问：直线AM、BN的斜率之和能否为定值？证明你的结论.yMAx分析：O Ea23B Ne (1)由题意：1e22a2b21b21所以椭圆 C 的方程为x2y21. 4(2)设 AB 方程为y k( x1) ， A( x1 , y1) ， B( x2 , y2 ) ，则 MN 方程为y kx又设 M ( x3,kx3 ) ， N ( x3 , kx3 )k AM kBNy1kx3y2kx3k( x1 1) kx3k ( x21) kx3x1x3x2x3x1x3x2x3则整理得： k AM k BN k ( x1x3 1)(x2x3 ) (x2x3 1)(x1 x3 )( x1x3 )( x2x3 )k AM kBNk 2x1x22x32( x1x2 )①( x1x3 )( x2x3 )由y k( x1)消元整理得： (4 k 21)x28k2 x 4k 240 ，x2 4 y24.所以 x1 x28k 21 , x1 x24k4k24k224②1y kx又由消元整理得：x2 4 y2 4(4 k 2 1)x2 4 ，所以 x3241③4k 2将②、③代入①式得： k AM kBN0.例 2( 变式 ) 、已知离心率为 e 的椭圆Cx2y21(a b 0)，，. :a2b2恰过两点 (1 e) 和 20(3)求椭圆 C 的方程；(4)已知 AB、MN 为椭圆C上的两动弦，此中 M、N 对于原点O对称，AB过定点E(m, 0), ( 2 m 2) ，且 AB、MN 斜率互为相反数. 试问：直线 AM 、 BN 的斜率之和能否为定值？证明你的结论.yMAx分析：O Ea2B N e3(3)由题意：1e22a2b21b21所以椭圆 C 的方程为x2y21. 4(4)设 AB 方程为y k( x m) ， A(x1, y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，则 MN 方程为y kx又设 M ( x3,kx3 ) ， N ( x3 , kx3 ).kAM kBNy1kx3y2kx3x1x3x2x3k( x1m)kx3k (x2m)kx3 x1x3x2x3则整理得： k AM kBNk ( x1x3m)( x2x3 ) ( x2x3m)( x1x3 )(x1x3 )( x2x3 )kAMkBNk 2x1x22x32m( x1x2 )①( x1x3 )( x2x3 )y k( x m)消元整理得： (4 k21)x28k 2mx4k 2 m240 ，由4 y24x2所以 x1x28k2m, x1 x24k 2m24②4k214k21又由y kx消元整理得：x2 4 y24(4 k 21)x2 4 ，所以 x3241③4k 2将②、③代入①式得：kAMkBN0.三、课外作业1 、已知椭圆x2y2A、B是其左、右极点，动点M知足MB⊥AB，连接AM交椭圆于点P1 ，，42在 x 轴上有异于点A、B 的定点 Q，以 MP 为直径的圆经过直线BP、MQ 的交点，则点 Q 的坐标为．【答案】（0,0 ）【分析】试题剖析：设M (2,t ), 则AM : y t( x 2) ，与椭圆方程联立消y 得(t28) x24t 2 x 4t 232 0，4.28t t 28t162t，所以 k BP 82，即 k BP k OM1，点Q的坐 O所以 x P28， y P22t2tt t 816t 282（0,0 ）x2y21上不一样于左点A、右点 B 的随意一点，直PA， PB 的斜率2 、已知 P 是412分 k1 , k2 ,则 k1k2的．1【答案】3【分析】P( x, y) ， A(23,0), B(23,0)y， k2yk1x2，x 2 33y y y2 k1k2x2，⋯⋯①x 2 3 x 2 312因 P 在上，所以x2y2 1 ，即 y212x2⋯⋯②1243把②代入①，得k1k2y21 x2123x2y21(a b0) 的离心率e=1， A,B 是的左右点，P 上不一样于3 、已知b2a22AB 的点，直PA,PB 的斜角分,， cos() =.cos()【答案】 7【分析】.试题剖析：因为A,B 是椭圆的左右极点，P 为椭圆上不一样于 AB 的动点，kPAkPBb 2 Q e1 c 1 a2 b 21 b23 kPA b 2 3 a 22 a 2a 24 a 24，k PB，a 24cos( ) cos cos sin sin 1 tan tan 1 34 7cos() cos cossinsin1 tantan1 344 、以下图，已知椭圆x 2 y 21，在椭圆 C 上任取不一样两点A ，B ，点 A 对于 x 轴的对称C ：4点为 A ' ，当 A ， B 变化时，假如直线 AB 经过 x 轴上的定点 T (1 ， 0) ，则直线 A 'B 经过 x 轴上的定点为 ________．【答案】 (4 ， 0)AB 的方程为 x ＝ my ＋ 1 ，由 x 2 y 2 1得 (my ＋ 1) 2 ＋ 4 y 2 ＝4 ，即 (m 2 ＋ 4) y 2＋【分析】设直线 4x my 12 my －3 ＝ 0.记 A (x 1， y 1 )， B (x 2， y 2)，则 A ′(x 1 ，－ y 1)，且 y 1＋ y 2＝－ 2m， y 1 y 2＝－3 ，m 24m 2 4当 m ≠0 时，经过点 A ′(x 1，－ y 1 )，B( x 2， y 2 )的直线方程为yy 1 ＝ x x 1.令 y ＝ 0 ，得 x ＝y 2y 1 x 2x 1x 2 x 1 y 1 ＋ x 1my 2 my 1 y 1 ＋ my 1 ＋ 1 ＝ my 1 y 2－my 12＋my 1 y 2＋ my 12＋ 1 ＝2my 1 y 2 ＋ 1 ＝y 2y 1 ＝y 1y 2＋ y 1y 2＋ y 1y 2.－2m3m24＋ 1 ＝ 4 ，所以y＝ 0 时，x＝4.2mm24当 m ＝0时，直线AB的方程为 x＝1，此时A′，B重合，经过A′，B的直线有无数条，自然能够有一条经过点 (4 ，0) 的直线．当直线 AB 为 x 轴时，直线A′B就是直线 AB ，即x轴，这条直线也经过点 (4 ， 0) ．综上所述，当点A，B 变化时，直线A′B 经过 x 轴上的定点(4，0)．x2y21的右焦点 F2的直线交椭圆于于M ,N 两点，令F2 M m, F2 N n ，则5、过椭圆34mn____ ．m n【答案】34【分析】x2y 21，得 M 试题剖析：不失一般性，不如取MN垂直 x 轴的状况，此时 MN ：x=1, 联立43x1（1，3）,N （1，-3），∴m=n= 3 ，∴ mn3 222m n46 、已知椭圆C的中心在座标原点，焦点在 x 轴上，左极点为A，左焦点为F12，0，点B 2,2在椭圆 C 上，直线y kx k0与椭圆 C 交于E F两点，直线AE AF分别与y轴交于点M，，，N ．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）以 MN 为直径的圆能否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明原因．x2y21(a b 0) ，分析：（Ⅰ）解法一：设椭圆 C 的方程为b2a2因为椭圆的左焦点为 F12，0 ，所以a2b2 4 ．设椭圆的右焦点为F2 2，0，已知点 B2,2在椭圆 C 上，由椭圆的定义知 BF1BF22a ，所以 2a3224 2 ．所以 a22，进而 b2．所以椭圆 C 的方程为x2y 2 1 ．84解法二：设椭圆C 的方程为x2y 2a2b21(a b0) ，因为椭圆的左焦点为F12，0 ，所以a2b2 4 ．①因为点 B 2,2421．②在椭圆 C 上，所以b2a2由①②解得， a2 2 ，b 2．所以椭圆 C 的方程为x2y 21 ．84（Ⅱ）解法一：因为椭圆 C 的左极点为 A ，则点 A 的坐标为22,0．因为直线 y kx ( k0) 与椭圆x2y21交于两点E，F，84设点 E x, y（不如设 x00 ），则点 F x0 ,y0．00y kx,28联立方程组x2y2消去 y 得x2．84112k所以 x022，则 y022k．12k122 k2所以直线 AE 的方程为ykx22．112k 2因为直线 AE ， AF 分别与 y 轴交于点M，N，令 x22k22k0 得 y12k2，即点 M 0,1．112k2同理可得点22kN 0,．1 1 2k222k22k2 2 12k 2．所以 MN12k 2112k2k1设 MN 的中点为P，则点P的坐标为P 0,2k．22 22 12k 2则以 MN 为直径的圆的方程为x2yk ，k即 x2y 22 2 y 4 ．k令 y0 ，得 x2 4 ，即x2或 x 2 ．故以 MN 为直径的圆经过两定点P12,0， P22,0．解法二：因为椭圆 C 的左端点为 A ，则点 A 的坐标为22,0 ．因为直线 y kx (k0) 与椭圆x2y21交于两点 E，F，84设点 E( x0 , y0 ) ，则点 F (x0 ,y0 ) ．所以直线 AE 的方程为yy0x22．x022因为直线 AE 与 y 轴交于点M，令 x2 2 y0，即点 M2 2 y0．0 得 y220,x0x022同理可得点 N 0,2 2 y0．x0222 2 y0 2 2 y016 y0．所以 MN2 2 x0x028x0 2 2因为点 E(x0 , y0 ) 在椭圆C上，所以x02y021 ．84.所以 MN 8．y0设 MN 的中点为P，则点P的坐标为P2x0．0,y02则以 MN 为直径的圆的方程为x2y 2x016．y02y0即 x2y2 +2 2x0 y4 ．y0令 y0 ，得 x2 4 ，即x2或 x 2 ．故以 MN 为直径的圆经过两定点P12,0， P22,0．解法三：因为椭圆 C 的左极点为 A ，则点 A 的坐标为 2 2,0．因为直线 y kx ( k 0) 与椭圆x2y21交于两点E，F，84设点 E2 2 cos,2sin（ 0），则点 F2 2 cos ,2sin ．所以直线 AE 的方程为y2sin x22．22 cos 2 2因为直线 AE 与 y 轴交于点M，令 x 0 得 y2sin，即点 M0,2sin．cos1cos1同理可得点 N0, 2sin．cos1所以 MN2sin2sin41cos1．cos sin设 MN 的中点为P，则点P的坐标为P 0,2cos．sin2则以 MN 为直径的圆的方程为x2y2cos4，sin sin2.即 x 2y 24cosy 4 ．sin令 y0 ，得 x 24 ，即 x 2或 x 2 ．故以 MN 为直径的圆经过两定点P 1 2,0 ，P 2 2,0 ．、已知椭圆x 2y 2（a， b）的离心率为 3 A (1 ，3在椭圆 C 上．7C: a2b 2=1>0>0，点2 )2(I) 求椭圆 C 的方程；(Ⅱ )设动直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，判断能否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与 l 订交于两点 P 1， P 2 （两点均不在座标轴上），且使得直线 OP 1 ， OP 2 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明原因．（Ⅰ）解：由题意，得c 3 ， a 2 b 2 c 2 ，又因为点 A(1, 3 )在椭圆 C 上，a22所以13 1 ，解得a2 ， b 1， c3 ，a 24b 2所以椭圆 C 的方程为x 2y 21.4（Ⅱ）结论：存在切合条件的圆，且此圆的方程为x 2y 25 .证明以下：假定存在切合条件的圆，并设此圆的方程为 x 2y 2 r 2 (r0) .当直线 l 的斜率存在时，设l的方程为ykx m .y kxm,222由方程组x 2得 (4k1) x8kmx 4m40 ，y21,4因为直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，所以 1 (8km) 24(4k21)(4m24) 0 ，即 m 24k 2 1 ..y kx m,得 (k 222kmxm 2r 20 ，由方程组y 2r 2 ,1)xx 2则2(2km)24(k21)(m2r 2 ) 0 .设 P 1 (x 1, y 1 ) ， P 2 (x 2 , y 2 ) ，则x 1x 2 2km ， y2xb ，k 2 1设直线 OP 1 ， OP 2 的斜率分别为 k 1 ， k 2 ，y y2 (kxm)(kx 2m) k 2 x x2km( xx ) m 2k 1k 211112x 1x 2x 1 x 2x 1 x 2所以k 2 m 2 r 2 km k 2km m 2 m 2 2 2k 21 2 1r k2 r 22 r 2mmk 2 1，k 1 k 2(4 r 2 )k 2124k 214k 2(1r 2) .将m代入上式，得要使得k 1k2为定值，则4 r 21241 r2 ，即 r 5 ，考证切合题意 .所以当圆的方程为x 2 y 25 时，圆与 l 的交点 P 1, P 2 知足 k 1k 2 为定值 1 .4 当直线 l 的斜率不存在时，由题意知 l的方程为 x2 ，此时，圆 x 2 y 25 与 l 的交点 P 1 , P 2 也知足 k 1k 21 .4y 2 2228、已知椭圆 C 1 ：x1( a b0) 的离心率为，且过定点 M (1 ， )． a 222 2b(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 已知直线 l ： y kx1(k R) 与椭圆 C 交于 A 、 B 两点，试问在 y 轴上能否存在定点P ，使得3以弦 AB 为直径的圆恒过 P 点？若存在，求出 P 点的坐标，若不存在，说明原因．ec25a2a 222a 22(1) 解：由已知 b cb251 112a 224b∴椭圆 C 的方程为2 y24x21 55y kx 1322(2) 解：由得：9(2k4) x12kx 43 02y24x215 5设 A(x1， y1)， B(x2， y 2)，则 x1、 x2是方程①的两根∴x1x212k，x1 x2439(2k24)9(2k24)uuur，uuur，设 P(0， p )，则PA ( x1，p)y1p) PB ( x2y2uuur uuurp 21PA PB x1 x2y1 y2p( y1y2 )x1 x2(kx1)( kx2(18p 245)k236 p23 24 p39uuur uuur uuur 9(2k24) uuur若 PA PB ，则 PA PB即 (18 p245)k 236 p224 p39 0对随意 k∈R恒建立18p 245 0∴24 p39036 p2此方程组无解，∴不存在定点知足条件.①1) pk ( x1 x2 ) 2 p p233。

解析几何中定值与定点问题

7“解析几何中定值与定点问题【探究问题解决的技巧、方法】(1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关•在这类试题中选择消元的方向是非常关键的. ⑵解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究. 【实例探究】题型1:定值问题：例1:已知椭圆C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线：的2后焦点，离心率等于：(I)求椭圆 c 的标准方程；(H)过椭圆 C 的右焦点作直线I 交椭圆C 于A B 两点，交y 轴于M 点，若MA- \AF,MB 二划朋'，求证孙+心为定值.(II )方法一：设A 、B 、M 点的坐标分别为偽 Ji)/(曲 jjMQyJ 易知F 点的坐标为(2, 0).MA :. (x Lr ^L -y 0) = ^(2-Xi-yj2JL y 心= ---------- ,v T -- -------- .\ + \ [ +召2J去分母整理得1'' - J将A 点坐标代入到椭圆方程中，得5:则由题意知b = 1.同理鉱二4辭］得:才+10& +5-5^ =Q :.心站是方程？+1X+5-5允二啲两个根, ，”召 +血-10.方法二：设A、B、M点的坐标分别为又易知F点的坐标为（2, 0）.显然直线I存在的斜率，设直线I的斜率为k,则直线I的方程是y-k（x-2）. 将直线I的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得（l+5t3）x a-20jk3x+20t a-5=0+20疋20^ —5v MA = \AFMB =诵細点坐标代入得石=/一X] 2_召又♦“ 两勺2（x1+ x a）-2x1x2“:石 +爲=—+—二----------------------- ----- =■ =-10.2-兀1 2-巧4_ 2（如+ xj+斤工2例2.已知椭圆C经过点A（1,3/2）,两个焦点为（-1,0）,（1,0）.1）求椭圆方程2）E、F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值（1）a2-b2=c2 =1设椭圆方程为x2/（b2+1）+y2/b2=1将（1，3/2）代入整理得4bM-9b2-9=0解得b2=3 （另一值舍）所以椭圆方程为x2/4+y2/3=1（2）设AE斜率为k则AE 方程为y-（3/2）=k（x-1）①x2/4+y2/3=1 ②①，②联立得出两个解一个是A（1,3/2 ）另一个是E（x1，y1）①代入②消去y 得（1/4+k2/3）x2-（2k2/3-k）x+k2/3-k-1/4=0根据韦达定理x1 •= （k2/3-k-1/4 ）/ （1/4+k2/3［③将③的结果代入①式得y1= （-k2/2-k/2+3/8 ）/（1/4+k2 /3）设AF 斜率为-k，F (x2，y2) 则AF 方程为y- (3/2 ) =-k (x-1 [④x2/4+y2/3=1 ②5不存在，请说明理由.••• MA.(x 1-m,y 1),MB -g-my),5 3k 2,^(x ^m)(x 2 -m) y 1y 13k 2 1 k2x1 1 x2 13k 5 11k 2 X 1X 2 kF X 1 X 2m2k 2 3：!②④联立同样解得x2= ( k2/3+k-1/4 ) / (1/4+k2/3) y2= (-k2/2+k/2+3/8 ) / (1/4+k2/3)EF 斜率为(y2-y1 ) /(x2-x1)=1/2所以直线EF 斜率为定值，这个定值是1/2。

(完整)解析几何中的定点和定值问题

解析几何中的定点定值问题考纲解读:定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。

此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆,圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。

考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。

一、定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系,通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。

例1、已知A 、B 是抛物线y 2=2p x (p 〉0)上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β,当α、β变化且α+β=4π时，证明直线AB 恒过定点,解析：设A （121,2y p y ),B （222,2y py ）,则212tan ,2tan y py p ==βα，代入1)tan(=+βα 得221214)(2p y y y y p -=+ (1）又设直线AB 的方程为b kx y +=，则022222=+-⇒⎩⎨⎧=+=pb py ky pxy bkx y ∴kpy y kpby y 2,22121=+=，代入(1）式得pk p b 22+= ∴直线AB 的方程为)2(2p x k p y +=- ∴直线AB 过定点(-)2,2p p说明：本题在特殊条件下很难探索出定点，因此要从已知出发，把所求的定点问题转化为求直线AB ，再从AB 直线系中看出定点。

例2．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切． ⑴求椭圆C 的方程；⑵设(4,0)P ,M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围;⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．解析：⑴由题意知c e a ==,所以22222234c a b e a a -===，即224a b =，又因为1b ==，所以224,1a b ==，故椭圆C 的方程为C ：2214x y +=．⑵由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为(4)y k x =- ①联立22(4)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得:2222(41)324(161)0k x k x k --+-=, 由2222(32)4(41)(644)0k k k ∆=-+->得21210k -<，又0k =不合题意,所以直线PN的斜率的取值范围是0k <<或0k <<． ⑶设点1122(,),(,)N x y E x y ,则11(,)M x y -，直线ME 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--，令0y =,得221221()y x x x x y y -=-+，将1122(4),(4)y k x y k x =-=-代入整理,得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ②由得①2212122232644,4141k k x x x x k k -+==++代入②整理，得1x =，所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)．【针对性练习1】在直角坐标系xOy 中，点M到点()1,0F，)2,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程;⑵当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系,并证明直线l 过定点．解:⑴∵点M到(),0，),0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4,焦点在x轴上焦中为的椭圆，其方程为2214x y +=．⑵将y kx b =+，代入曲线C 的方程，整理得22(14)40k x +++= ,因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ∆=-+-=-+> ①设()11,P x y ,()22,Q x y ，则1228214k x x k +=-+，122414x x k =+ ② 且2212121212()()()()y y kx b kx b k x x kb x x b ⋅=++=+++，显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -，所以()112,AP x y =+，()222,AQ x y =+．由0AP AQ ⋅=，得1212(2)(2)0x x y y +++=．将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．所以(2)(65)0k b k b -⋅-=，即2b k =或65b k =．经检验,都符合条件①，当2b k =时,直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点．即直线l 经过点A ，与题意不符．当65b k =时，直线l 的方程为6556y kx k k x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．显然,此时直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点，且不过点A ．综上，k 与b 的关系是:65b k =,且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点．【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中，如图,已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F.设过点T(m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ,其中m 〉0,0,021<>y y .(1）设动点P 满足422=-PB PF ，求点P 的轨迹；（2）设31,221==x x ，求点T 的坐标; （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关)。

微专题25解析几何中的定点与定值问题(解析)

微专题25 解析几何中的定点与定值问题考题导航题组一通过设点坐标强化坐标运算、整体运算、消元思想 1.33解析：根据椭圆的对称性可知，A 、B 两点关于原点对称，所以设点A(x 1，y 1)，B(－x 1，－y 1)，P(x ，y)．所以k PA ·k PB ＝y 2－y 21x 2－x 21，因为x 2a 2＋y 2b 2＝x 21a 2＋y 21b 2，所以k PA ·k PB ＝－b 2a 2＝－23，解得a ＝3c ，所以e ＝33. 2. 解析：(1) 设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x ，y)，则x 212＋y 21＝1①，x 222＋y 22＝1②. 因为OM →＝cos θOA →＋sin θOB →，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1cos θ＋x 2sin θ，y ＝y 1cos θ＋y 2sin θ. 又因为点M 在椭圆上，故（x 1cos θ＋x 2sin θ）22＋(y 1cos θ＋y 2sin θ)2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫x 212＋y 21cos 2θ＋⎝⎛⎭⎫x 222＋y 22sin 2θ＋2(x 1x 22＋y 1y 2)cos θsin θ＝1. 将①②代入上式，得⎝⎛⎭⎫x 1x 22＋y 1y 2cos θsin θ＝0，因为cos θsin θ≠0，所以x 1x 22＋y 1y 2＝0，所以k OA ·k OB ＝y 1y 2x 1x 2＝－12为定值．(2) 由(1)得(y 1y 2)2＝⎝⎛⎭⎫－x 1x 222＝x 212·x 222＝(1－y 21)·(1－y 22)＝1－(y 21＋y 22)＋y 21y 22，故y 21＋y 22＝1.又⎝⎛⎭⎫x 212＋y 21＋⎝⎛⎭⎫x 222＋y 22＝2，故x 21＋x 22＝2，所以OA 2＋OB 2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝3.1. 解析：设点P(x 0，y 0)，点M(x 1，y 1)，点N(－x 1，y 1)，则直线MP 的方程为y －y 0y 1－y 0＝x －x 0x 1－x 0，令x ＝0得y S ＝－x 0（y 1－y 0）x 1－x 0＋y 0＝x 1y 0－x 0y 1x 1－x 0，同理可得y R ＝x 1y 0＋x 0y 1x 1＋x 0，故y R ·y S ＝x 21y 20－x 20y 21x 21－x 20.又点M 与点P 在椭圆上，故y 21＝1－x 214，y 20＝1－x 204，代入上式，得y R ·y S ＝x 21⎝⎛⎭⎫1－x 204－x 20⎝⎛⎭⎫1－x 214x 21－x 2＝x 21－x 2x 21－x 20＝1，所以OR →·OS →＝y R ·y S ＝1为定值．题组二定点问题的常见处理方法：特值法再证明或直接法1. 解析：①若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0，则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－81＋2k 2.由题意知k 1＋k 2＝y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝8，所以kx 1＋m －2x 1＋kx 2＋m －2x 2＝8，即2k ＋(m －2)x 1＋x 2x 1x 2＝8，所以k －mk m ＋2＝4，整理得m ＝k2－2.故直线AB 的方程为y ＝kx ＋12k －2，即y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12－2. 所以直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫－12，－2； ②若直线AB 的斜率不存在，设直线AB 的方程为x ＝x 0，点A(x 0，y 0)，B(x 0，－y 0)．则由题知y 0－2x 0＋－y 0－2x 0＝8，解得x 0＝－12.此时直线AB 的方程为x ＝－12，显然直线AB 过点⎝⎛⎭⎫－12，－2，综上可知，直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫－12，－2.1. ⎝⎛⎭⎫－289，0 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 24＝1，y ＝k 1（x ＋4），解得x M ＝4－16k 211＋4k 21，同理可得x N ＝4－16k 221＋4k 22＝4k 21－64k 21＋16，所以y M ＝8k 11＋4k 21，y N ＝－16k 116＋k 21，取k 1＝1，则点M(－125，85)，N(－6017，－1617)，直线MN 的方程为y －85＝94⎝⎛⎭⎫x ＋125，令y ＝0，解得x ＝－289，所以直线MN 经过x 轴上的定点⎝⎛⎭⎫－289，0. 【总结】一般情况：在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上一定点A 作两条弦AM 、AN 分别交椭圆于M 、N 两点，直线AM 、AN 的斜率记为k 1，k 2，当k 1·k 2为非零常数时，直线MN 经过x 轴上的定点．题组三通过设斜方法研究定点定值综合问题，揭示问题的本质1. 解析：假设存在符合条件的点M(m ，0)，设点P(x 1，y 1)，点Q(x 2，y 2)，则MP →＝(x 1－m ，y 1)，MQ →＝(x 2－m ，y 2)，MP →·MQ →＝(x 1－m)·(x 2－m)＋y 1y 2＝x 1x 2－m(x 1＋x 2)＋m 2＋y 1y 2. ①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k·(x －1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k （x －1），消去y 得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋(2k 2－2)＝0，所以x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，y 1y 2＝k 2(x1－1)(x 2－1)＝k 2[x1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－k 22k 2＋1，所以MP →·MQ →＝2k 2－22k 2＋1－m·4k 22k 2＋1＋m 2－k 22k 2＋1＝（2m 2－4m ＋1）k 2＋（m 2－2）2k 2＋1.因为对于任意的k 值，MP →·MQ →为定值，所以2m 2－4m ＋1＝2(m 2－2)，得m ＝54，所以点M ⎝⎛⎭⎫54，0，MP →·MQ →＝－716； ②当直线l 的斜率不存在时，则直线l ：x ＝1， x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝1，y 1y 2＝－12.由m ＝54得MP →·MQ →＝－716.综上，符合条件的点M 存在，其坐标为⎝⎛⎭⎫54，0﹒1. ⎝⎛⎭⎫12，12 12 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3＝0，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即点M 的坐标为(1，1)．设点N(a ，b)，点Q(x 1，y 1)，且x 21＋y 21＝1，则QN 2QM 2＝（x 1－a ）2＋（y 1－b ）2（x 1－1）2＋（y 1－1）2＝λ(λ>0)，整理得2(a －λ)x 1＋2(b －λ)y 1－(a 2＋b 2＋1－3λ)＝0，对任意的点Q 都成立，可得⎩⎪⎨⎪⎧a －λ＝0，b －λ＝0，a 2＋b 2＋1＝3λ，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，a ＝12，b ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，a ＝1，b ＝1(舍去)，即点N ⎝⎛⎭⎫12，12，此时λ＝12. 冲刺强化训练(25)1. (2，0)和(0，2) 解析：由题意得－2t(x ＋y －2)＋x 2＋y 2－4＝0过定点，即对于任意t 等式恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x 2＋y 2－4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，所以圆C 过定点(2，0)和(0，2)．2. a 2b 2a 2＋b 2解析：设M(x 0，y 0)是双曲线上任意一点，由双曲线的两渐近线方程为bx＋ay ＝0和bx －ay ＝0，可得d 1＝|bx 0＋ay 0|a 2＋b 2，d 2＝|bx 0－ay 0|a 2＋b 2，所以d 1d 2＝|b 2x 20－a 2y 20|a 2＋b 2.又点M满足b 2x 20－a 2y 20＝a 2b 2，所以d 1d 2＝a 2b 2a 2＋b 2，故点M 到两条渐近线的距离之积为定值a 2b 2a 2＋b2.3. 20 解析：设圆心O 到AC 、BD 的距离分别为d 1、d 2，则AC 2＋BD 2＝4(4－d 21)＋4(4－d 22)＝32－4(d 21＋d 22)＝32－4OM 2＝20.4. (1，0) 解析：设点P(4，y 0)，则直线AB 的方程为4x ＋yy 0＝4，故直线AB 过定点(1，0)．5. －13 解析：由题意知，在该椭圆中a ＝23，b ＝2，所以点A(－23，0)，B(23，0)，设点P(x 0，y 0)(y 0≠0)，且x 2012＋y 204＝1，又k 1＝y 0x 0＋23，k 2＝y 0x 0－23，所以k 1·k 2＝y 20x 20－12＝4⎝⎛⎭⎫1－x 212x 20－12＝－13.6. (3，0) 解析：设点A(m ，n)，点P(x ，y)，由PA ＝2PO ，得(x －m)2＋(y －n)2＝4(x 2＋y 2)，化简得3x 2＋3y 2＋2mx ＋2ny －m 2－n 2＝0，又因为x 2＋y 2＋2x －3＝0，所以(2m －6)x ＋2ny ＋9－m 2－n 2＝0，因为对任意的x ，y 恒成立，所以m ＝3，n ＝0，所以点A(3，0)．7. 7 解析：因为A ，B 是椭圆的左右顶点，P 为椭圆上不同于AB 的动点，所以k PA ·k PB ＝－b 2a 2.因为e ＝12，所以c a ＝12，所以a 2－b 2a 2＝14，所以b 2a 2＝34，所以k PA ·k PB ＝－b 2a2＝－34.cos （α＋β）cos （α－β）＝cos αcos β－sin αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝1－tan αtan β1＋tan αtan β＝1＋341－34＝7. 8. (4，0) 解析：设直线AB 的方程为x ＝my ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x ＝my ＋1得(my ＋1)2＋4y 2＝4，即(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则A′(x 1，－y 1)，且y 1＋y 2＝－2mm 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4，当m ≠0时，经过点A′(x 1，－y 1)，B(x 2，y 2)的直线方程为y ＋y 1y 2＋y 1＝x －x 1x 2－x 1.令y ＝0，得x ＝x 2－x 1y 2＋y 1y 1＋x 1＝my 2－my 1y 2＋y 1y 1＋my 1＋1＝2my 1y 2y 2＋y 1＋1＝2m·－3m 2＋4－2mm 2＋4＋1＝4，所以y＝0时，x ＝4.当m ＝0时，直线AB 的方程为x ＝1，此时A′，B 重合，经过A′，B 的直线有无数条，当然可以有一条经过点(4，0)的直线．当直线AB 为x 轴时，直线A′B 就是直线AB ，即x 轴，这条直线也经过点(4，0)．综上所述，当点A ，B 变化时，直线A′B 经过x 轴上的定点(4，0)．9. 解析：设点P(x 0，y 0)，则圆P 的方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝x 20＋y 20，即x 2＋y 2－2x 0x －2y 0y ＝0.①又圆F 的方程为(x －3)2＋y 2＝5.②由①－②得直线QT 的方程为(x 0－3)x ＋y 0y －1＝0，所以FH ＝|3（x 0－3）－1|（x 0－3）2＋y 20＝|3x 0－4|x 20＋y 20－23x 0＋3.因为点P(x 0，y 0)在椭圆上，所以x 204＋y 20＝1，即y 20＝1－x 204，所以FH ＝|3x 0－4|x 20＋⎝⎛⎭⎫1－x 204－23x 0＋3＝ |3x 0－4|3x 204－23x 0＋4＝|3x 0－4|⎝⎛⎭⎫32x 0－22＝2，故点F 到直线QT 的距离FH 为定值2.10. 解析：当直线l 的斜率为0时，令y ＝－1，则x ＝±4，此时以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝16；当直线l 的斜率不存在时，以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝9, 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（y ＋1）2＝16，x 2＋y 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3，即两圆过点T(0，3)．猜想以AB 为直径的圆恒过定点T(0，3).对一般情况证明如下：设过点M(0，－1)的直线l 的方程为y ＝kx －1与椭圆C 交于点A(x 1，y 1)，点B(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＋2y 2＝18，消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2－4kx －16＝0，所以x 1＋x 2＝4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－161＋2k 2. 因为TA →·TB →＝(x 1，y 1－3)·(x 2，y 2－3)＝x 1x 2＋y 1y 2－3(y 1＋y 2)＋9＝x 1x 2＋(kx 1－1)·(kx 2－1)－3(kx 1－1＋kx 2－1)＋9＝(k 2＋1)x 1x 2－4k(x 1＋x 2)＋16＝－16（k 2＋1）1＋2k 2－16k 21＋2k 2＋16＝－16（1＋2k 2）1＋2k 2＋16＝0，所以TA ⊥TB ，所以存在以AB 为直径的圆恒过定点T ，且定点T 的坐标为(0，3)． 11. 解析：(1) 设点P(x 0，y 0)，则点Q(－x 0，－y 0)，点A(－2，0)，所以直线AP 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，所以点M ⎝⎛⎭⎫0，2y 0x 0＋2，所以AM →＝⎝⎛⎭⎫2，2y 0x 0＋2.同理可得N ⎝⎛⎭⎫0，2y 0x 0－2，AN →＝⎝⎛⎭⎫2，2y 0x 0－2，所以AM →·AN →＝4＋4y 20x 20－4.又点P 在椭圆C 上，故x 204＋y 203＝1，即x 20－4＝－43y 20，所以AM →·AN →＝4＋4y 20x 20－4＝1(定值)．(2) 设点P(x 1，y 1)，点Q(x 2，y 2)．设直线AP 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x ＋2），x 24＋y 23＝1，消去y 并整理得(3＋4k 21)x 2＋16k 21x ＋16k 21－12＝0，所以－2＋x 1＝－16k 213＋4k 21，x 1＝6－8k 213＋4k 21，y 1＝12k 13＋4k 21，所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 213＋4k 21，12k 13＋4k 21. 因为k 1·k 2＝－1，所以点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 21－83k 21＋4，－12k 13k 21＋4.当k 21＝1时，6－8k 213＋4k 21＝－27＝6k 21－83k 21＋4，点P 和点Q 的横坐标相同，直线PQ 的方程为x ＝－27，由此可见，如果直线PQ 经过定点R ，则点R 的横坐标一定为－27；当k 21≠1时，k PQ ＝12k 13＋4k 21－－12k 13k 21＋46－8k 213＋4k 21－6k 21－83k 21＋4＝7k 14（1－k 21），直线PQ 的方程为y －12k 13＋4k 21＝7k 14（1－k 21）(x －6－8k 213＋4k 21)，令x ＝－27，得y ＝7k 14（1－k 21）⎝ ⎛⎭⎪⎫－27－6－8k 213＋4k 21＋12k 13＋4k 21＝0，所以直线PQ 过定点R ⎝⎛⎭⎫－27，0.。

解析几何中定点、定值、定直线问题

解析几何中定点、定值、定直线问题解析几何中定点定值问题例1 已知椭圆)1(1222>=+a y ax 的上顶点为M （0，1），过M的两条动弦MA 、MB 满足MA ⊥MB 。

对于给定的实数)1(>a a ，证明：直线AB 过定点。

解：由MA MB ⋅=u u u r u u u r知MA MB ⊥，从而直线MA 与坐标轴不垂直，故可设直线MA 的方程为1y kx =+，直线MB 的方程为11y x k=-+ 将1y kx =+代入椭圆C 的方程，整理得 2222(1)20a k x a kx ++=解得0x =或22221a kx a k -=+，故点A 的坐标为222222221(,)11a k a k a k a k--++同理，点B 的坐标为22222222(,)a k k a k a k a -++ 知直线l 的斜率为2222222222222211221k a a k k a a k a k a kk a a k ---++--++=221(1)k a k-+ 直线l 的方程为22222222212()(1)k a k k a y x a k k a k a --=-++++，即222211(1)1k a y x a k a --=-++∴直线l 过定点2210,1a a ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭例3 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，+与)1,3(-=a 共线.（1）求椭圆的离心率；即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ ①由（I ）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+))((33.8321212121222222221c x c x x x y y x x c ba b a c a x x --++=+∴=+-=∴.0329233)(3422222121=+-=++-=c c c c c x x x x又222222212133,33b y x b y x=+=+又，代入①得 .122=+μλ故22μλ+为定值，定值为1.例4 设21,F F 是椭圆134:22=+y x C 的左右焦点，B A ,分别为左顶点和上顶点，过右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于N M ,两点，直线AN AM ,分别与已知直线4=x 交于点Q P ,，试探究以PQ 为直径的圆与直线l 的位置关系.高二数学作业（13）1.过双曲线22143x y -=左焦点1F 的直线交曲线的左支于M N，两点，2F 为其右焦点，则22MFNF MN+-的值为______．82.AB 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中不平行于对称轴的一条弦，M是AB 的中点，O 是椭圆的中心，OMABk k ⋅=______22ab -3.在椭圆2212x y +=上，对不同于顶点的任意三个点,,M A B ，存在锐角θ，使OB OA OM θθsin cos +=．则直线OA 与OB 的斜率之积为 . 12-4.如图，AB 是平面α的斜线段．．．，A 为斜足，若点P 在平面α内运动，使得ABP △的面积为定值，则动点P 的轨迹是椭圆5.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:221=-y x C .椭圆14:222=+y x C . 若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值.解：当直线ON 垂直于x 轴时，|ON|=1，|OM|=22，则OA B P α （第4到直线MN 的距离为33.当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为kxy =（显然22||>k ），则直线OM 的方程为x y k1-=.由⎩⎨⎧=+=1422y x kxy ，得⎪⎩⎪⎨⎧==++22242412k k k y x ，所以22412||k kON ++=.同理121222||-+=k k OM .设O 到直线MN 的距离为d ，因为22222||||)|||(|ON OM d ON OM =+，所以3133||1||1122222==+=++k k ON OM d ，即d=33.综上，O 到直线MN 的距离是定值.6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22143x y +=若点A ，B分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l于点.M 设过点M 垂直于PB 的直线为m .求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标.证明：直线BP 的斜率为1212y kx =-，直线m 的斜率为112mx ky -=,则直线m 的方程为112(2)x y yx y --=-，111101111222(2)4(2)2x x x y y x y x y y y x ---=-+=-++ABMPOlxym2211111122(4)4(2)x x y x y x y --+=++2211111122(4)123(2)x x x x y x y --+-=++=111122x x x y y --+=112(1)xx y-+，所以直线m 过定点(1,0)-．7.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，且过点)21,22(P ，记椭圆的左顶点为.A（1）求椭圆的方程；（2）设垂直于y 轴的直线l 交椭圆于B ，C 两点，试求ABC ∆面积的最大值；（3）过点A 作两条斜率分别为1k ，2k 的直线交椭圆于D ，E两点，且221=k k ，求证：直线DE 恒过一个定点.高二数学教学案（13）例1 已知椭圆)1(1222>=+a y ax 的上顶点为M （0，1），过M的两条动弦MA 、MB 满足MA ⊥MB 。

解析几何中的定点与定值问题

题型一、设点坐标强化坐标运算、整体运算、消元思想
例1：在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆T的方程为

+ = , 设, , 是椭圆上的三点（异于椭圆顶
点），且存在锐角θ，使
= + .
(1)求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；
(2)求 + 的值。
两点，设两直线的斜率分别为
, , 且 + = , 求直线
AB恒过定点的坐标。
小结：
2、通过设动直线方程再利用
条件，寻找动直线中的字母关
系（k与b）；或者解出动点坐
标，再出动直线方程，通过
化简求出定点；或者利用两个
特殊位置先求出定点，再证明。
变式训练：
在平面直角坐标系xoy中，椭圆C；
右顶点B的任意一点P，
记直线PA,PB的斜率分别为 , ,则 ∙
的值为_____________.
题型二、特值法（再证明）、设动直线方程、
解动点坐标等方法处理定点问题

例2、已知椭圆C: + =1,M(0,2)

是椭圆的一个顶点，过点M分
别作直线MA,MB交椭圆于A,B

+

= , 过点， −
的动直线与
椭圆交于, 两点，试判断以为
直径的圆是否恒过定点，说明理
由。
课堂小结：
本节课你学习到了？
小结：
1、设曲线上的动点坐
标，利用动点在曲线上
进行坐标运算、
以及整体运算、和消元
思想。
变式训练：

1、设M为双曲线

− =1(a>0,b>0)上的任意

解析几何中定点、定值、定直线问题

解析几何中定点定值问题例1 已知椭圆)1(1222>=+a y ax 的上顶点为M 〔0，1〕，过M 的两条动弦MA 、MB 满足MA ⊥MB 。

对于给定的实数)1(>a a ，证明：直线AB 过定点。

解：由0MA MB ⋅=知MA MB ⊥，从而直线MA 与坐标轴不垂直，故可设直线MA 的方程为1y kx =+，直线MB 的方程为11y x k=-+ 将1y kx =+代入椭圆C 的方程，整理得 2222(1)20a k x a kx ++=解得0x =或22221a k x a k -=+，故点A 的坐标为222222221(,)11a k a k a k a k --++ 同理，点B 的坐标为22222222(,)a k k a k a k a-++ 知直线l 的斜率为2222222222222211221k a a k k a a k a k a k k a a k ---++--++=221(1)k a k-+ 直线l 的方程为22222222212()(1)k a k k a y x a k k a k a --=-++++，即222211(1)1k a y x a k a --=-++∴直线l 过定点2210,1a a ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭例3 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线. 〔1〕求椭圆的离心率；〔2〕设M 为椭圆上任意一点，且),(R OB OA OM ∈+=μλλλ，证明22μλ+为定值.〔I 〕解：设椭圆方程为),0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为1,2222=+-=by a x c x y 代入化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令),,(),,(2211y x B y x A则 .,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+),,(2121y y x x OB OA ++=+由a OB OA a 与+-=),1,3(共线，得.0)()(32121=+++x x y y.36,36.3,232.23,0)()2(3,,22222222121212211===-=∴==+=+∴=++-+∴-=-=a c e ab ac b a cba c a cx x x x c x x c x y c x y 故离心率所以即又〔II 〕证明：由〔I 〕知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为22233b y x =+.),,(),(),(),,(2211y x y x y x y x OM μλ+==由已知得设 ⎩⎨⎧+=+=∴.,2121y y y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ即 .3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ ①由〔I 〕知.21,23,23222221c b c a c x x ===+))((33.8321212121222222221c x c x x x y y x x c ba b a c a x x --++=+∴=+-=∴ .0329233)(3422222121=+-=++-=c c c c c x x x x又222222212133,33b y x b y x =+=+又，代入①得 .122=+μλ 故22μλ+为定值，定值为1.例4 设21,F F 是椭圆134:22=+y x C 的左右焦点，B A ,分别为左顶点和上顶点，过右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于N M ,两点，直线AN AM ,分别与已知直线4=x 交于点Q P ,，试探究以PQ 为直径的圆与直线l 的位置关系.高二数学作业〔13〕1.过双曲线22143x y -=左焦点1F 的直线交曲线的左支于M N ，两点，2F 为其右焦点，则22MF NF MN +-的值为______．82.AB 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中不平行于对称轴的一条弦，M 是AB 的中点，O 是椭圆的中心，OM AB k k ⋅=______ 22ab -3.在椭圆2212x y +=上，对不同于顶点的任意三个点,,M A B ，存在锐角θ，使OB OA OM θθsin cos +=．则直线OA 与OB 的斜率之积为 . 12-4.如图，AB 是平面α的斜线段．．．，A 为斜足，假设点P 在平面α内运动，使得ABP △的面积为定值，则动点P 的轨迹是椭圆5.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:221=-y x C .椭圆14:222=+y x C . 假设M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值.解：当直线ON 垂直于x 轴时，|ON|=1，|OM|=22，则O 到直线MN 的距离为33.当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为kx y =〔显然22||>k 〕，则直线OM 的方程为x y k1-=.由⎩⎨⎧=+=1422y x kxy ，得⎪⎩⎪⎨⎧==++22242412k k k y x ，所以22412||k kON ++=.同理121222||-+=k k OM .设O 到直线MN 的距离为d ，因为22222||||)|||(|ON OM d ON OM =+，所以3133||1||1122222==+=++k k ON OM d ，即d=33.综上，O 到直线MN 的距离是定值.A B P α〔第4题〕6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22143x y +=假设点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点.M 设过点M 垂直于PB 的直线为m .求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标.证明：直线BP 的斜率为1212y k x =-，直线m 的斜率为112m x k y -=,则直线m 的方程为1012(2)x y y x y --=-， 111101111222(2)4(2)2x x x y y x y x y y y x ---=-+=-++ 2211111122(4)4(2)x x y x y x y --+=++2211111122(4)123(2)x x x x y x y --+-=++=111122x x x y y --+=112(1)x x y -+，所以直线m 过定点(1,0)-．7.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为22，且过点)21,22(P ，记椭圆的左顶点为.A 〔1〕求椭圆的方程；〔2〕设垂直于y 轴的直线l 交椭圆于B ，C 两点，试求ABC ∆面积的最大值；〔3〕过点A 作两条斜率分别为1k ，2k 的直线交椭圆于D ，E 两点，且221=k k ，求证：直线DE 恒过一个定点.高二数学教学案〔13〕例1 已知椭圆)1(1222>=+a y ax 的上顶点为M 〔0，1〕，过M 的两条动弦MA 、MB 满足MA ⊥MB 。

高考数学解析几何中的定点定值定线问题

◆直线与圆锥曲线的定点、定值、定线问题一、定点问题定点问题，一般是直线系（或者曲线系）恒过定点的问题，这类问题一般解法是根据曲线的动因，先选择适当的参数，用参数表示出直线系（或者曲线系）方程，然后按参数整理，并令参数的系数为0得方程组，解方程方程组求出定点坐标.例如：（1）直线系1y kx =+中，当k 变化时，恒过定点(0,1)；（2）直线系2(1)y k x +=-中，当k 变化时，恒过定点(1,2)-；（3）已知直线1:40l x y +-=，2:270l x y +-=，则过1l ，2l 交点的直线可以设为(4)(27)0x y m x y +-++-=，即(21)(1)7m x m y m +++--=.直线系(21)(1)740m x m y m +++--=恒过1l ，2l 的交点.1．如图，等边三角形OAB的边长为且其三个顶点均在抛物线上．（1）求抛物线E 的方程；（2）设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线1y =-相交于点Q ．证明：以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．2.一条直线l 与抛物线22y px =（0p >）交于A 、B 两点，OA OB ⊥（O 为坐标原点）.求证直线l 恒过定点，并求出定点的坐标.3.222122221223231311(0)45|PF |=3|MN|=4.(1)C a b C xC C C y C C yx yab+=>>=已知椭圆：的右焦点F 与抛物线：的焦点重合，椭圆与抛物线在第一象限的交点为P ，，圆C 的圆心T 是抛物线上的动点，圆C 与轴交于M,N 两点，且求椭圆的方程。

（2）证明：无论点T 运动到何处，圆C 恒经过椭圆上一点二、定值问题定值问题的主要处理方法是函数方法，首先，选择适当的量为变量，然后把证明为定值的量表示为上述变量的函数（可能含多元），最后把得到的函数解析式化简，消去变量得到定值.消去变量的过程中，经常要用到点在曲线上进行坐标代换消元.有时先从特殊情形入手，求出定值，再对一般情形进行证明，这样可使问题的方向更加明确.另外关注图形的几何性质可简化计算.例如（1）椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为定值；（2）双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值为定值；（3）抛物线上任意一点到焦点的距离与到准线的距离的比等于 1.（4）过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 作直线与抛物线交于A 、B 两点，则A 、B 两点的横坐标之积为定值4221p x x =，纵坐标之积为定值y 1y 2=-p 2.；11AF BF +为定值2p . 【顺便记住)(21x x p AB ++== 2p sin 2θ.】4.已知椭圆2214y x +=的左，右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 双曲线．设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ．（1）求曲线C 的方程；（2）设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ，求证：12x x ⋅为定值，并求出此定值．5.设000(,)A x y 是曲线2:4C x y =上的一个定点，过点0A 任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线C 相交于另外两点P 、Q .证明：直线PQ 的斜率为定值.三.定直线（轨迹）问题证明动点在某一直线上（或某轨迹上）的问题，可以转化为求动点的轨迹问题，基本的方法有直接法和消参法。

解析几何复习专题六定点定值问题

专题六定点、定值问题知识点一、直线和曲线过定点直线或曲线方程中一定含有参数，既然过定点，那么这个方程就要对参数取任意值均成立。

所以把方程一端化为0，分离参数，化成λλ(,0),(),(=+y x g y x f 为参数）⎩⎨⎧==⇒0),(0),(y x g y x f ，解这个方程组，这个方程组的解所确定点就是直线或曲线所经过的定点。

注意：（1）面对复杂问题时，可从特殊情况入手确定定点（定直线）然后证明即先猜后证；（2）遇到含有参数方程时，清楚方程为哪一类曲线（直线），从而观察曲线是否过定点，尤其含参方法（1（2例13。

（1线MA例2（145=，例3、椭圆方程为：13422=+y x ，其短轴端点为M 、N ，直线l 过点P （0，1）交椭圆于A 、B 两点（异于点M 、N ）证明直线AM 与直线BN 的交点的纵坐标为定值。

练习1、椭圆方程为：13422=+y x ，其长轴端点为M 、N ，直线l 过右焦点交椭圆于A 、B 两点（异于点M 、N ）证明直线AM 与直线BN 的交点的轨迹为定直线.1:1-y x l （1例4（1）点P （2）点2倍，例5、椭圆方程为：13422=+y x ，过右焦点F 的直线21,l l 分别交椭圆于A 、B 和C 、D ，且21l l ⊥，证明：过AB 和CD 中点的直线过定点。

归纳：椭圆：)0(12222>>=+b a by a x ， ①过右焦点F 的直线21,l l 分别交椭圆于A 、B 和C 、D ，且21l l ⊥，则过AB 和CD 中点的直线过定点)0,(222ba c a +。

②过点M （)0,m 的直线21,l l 分别交椭圆于A 、B 和C 、D ，且21l l ⊥，则过AB 和CD 中点的直线过定点,m (222b a a +例6，证明：直线AB例7m 交例8,,21k k （1）求证：4121-=⋅k k ；（2）试探求⊿OPQ 的面积S 是否为定值，并说明理由。

解析几何中的定值与定点问题-玩转压轴题(解析版)

专题5．4 解析几何中的定值与定点问题一．方法综述解析几何中的定值与定点问题近年高考中的热点问题，其解决思路下；（1）定值问题：解决这类问题时，要运用辩证的观点，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性；一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。

（2）定点问题：定点问题是动直线（或曲线）恒过某一定点的问题；一般方法是先将动直线（或曲线）用参数表示出来，再分析判断出其所过的定点．定点问题的难点是动直线（或曲线）的表示，一旦表示出来，其所过的定点就一目了然了．所以动直线（或曲线）中，参数的选择就至关重要．解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。

二．解题策略类型一定值问题【例1】（2020•青浦区一模）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作两条相互垂直的弦AB和CD，则+的值为（）A．B．C．2p D．【答案】D【解析】抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（），所以设经过焦点直线AB的方程为y＝k（x﹣），所以，整理得，设点A（x1，y1），B（x2，y2），所以，所以，同理设经过焦点直线CD的方程为y＝﹣（x﹣），所以，整理得，所以：|CD|＝p+（p+2k2p），所以，则则+＝．故选：D．【点评】求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.【举一反三】1.（2020•华阴市模拟）已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F的直线与抛物线交于不同的两点A，D，与圆（x﹣1）2+y2＝1交于不同的两点B，C（如图），则|AB|•|CD|的值是（）A．2B．2C．1D．【答案】C【解析】设A（x1，y1），D（x2，y2），抛物线方程为y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1，圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心为F（1，0），圆心与焦点重合，半径为1，又由直线过抛物线的焦点F，则|AB|＝x1+1﹣1＝x1，|CD|＝x2+1﹣1＝x2，即有|AB|•|CD|＝x1x2，设直线方程为x＝my+1，代入抛物线方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4＝0，则y1y2＝﹣4，x1x2＝＝1，故选：C．2．（2020温州高三月考）如图，P为椭圆上的一动点，过点P作椭圆的两条切线P A，PB，斜率分别为k1，k2．若k1•k2为定值，则λ＝（）A．B．C．D．【答案】C【解析】取P（a，0），设切线方程为：y＝k（x﹣a），代入椭圆椭圆方程可得：（b2+a2k2）x2﹣2a3k2x+a4k2﹣a2b2λ＝0，令△＝4a6k4﹣4（b2+a2k2）（a4k2﹣a2b2λ）＝0，化为：（a2﹣a2λ）k2＝b2λ，∴k1•k2＝，取P（0，b），设切线方程为：y＝kx+b，代入椭圆椭圆方程可得：（b2+a2k2）x2﹣2kba2x+a2b2（1﹣λ）＝0，令△＝4k2b2a4﹣4（b2+a2k2）a2b2（1﹣λ）＝0，化为：λa2k2＝b2（1﹣λ），∴k1•k2＝，又k1•k2为定值，∴＝，解得λ＝．故选：C．3．（2020•公安县高三模拟）已知椭圆的离心率为，三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3（k1k2k3≠0）．若直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1（O为坐标原点），则＝．【答案】2【解析】∵椭圆的离心率为，∴，则，得．又三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，三条边所在直线的斜率分别为k1、k2，k3，且k1、k2，k3均不为0．O为坐标原点，直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则，，两式作差得，，则，即，同理可得，．∴＝＝﹣2×（﹣1）＝2．类型二定点问题【例2】（2020•渝中区高三模拟）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，A是抛物线C上异于坐标原点的任意一点，过点A的直线l交y轴的正半轴于点B，且A，B同在一个以F为圆心的圆上，另有直线l′∥l，且l′与抛物线C相切于点D，则直线AD经过的定点的坐标是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，0）D．（2，0）【答案】A【解析】设A（m，m2），B（0，n），∵抛物线C：x2＝4y的焦点为F（0，1）又A，B同在一个以F为圆心的圆上，∴|BF|＝|AF|∴n﹣1＝＝m2+1∴n＝m2+2∴直线l的斜率k＝＝﹣∵直线l′∥l，∴直线l′的斜率为k，设点D（a，a2），∵y＝x2，∴y′＝x，∴k＝a，∴a＝﹣，∴a＝﹣∴直线AD的斜率为＝＝＝，∴直线AD的方程为y﹣m2＝（x﹣m），整理可得y＝x+1，故直线AD经过的定点的坐标是（0，1），故选：A．【点评】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．【举一反三】1．（2020·全国高考模拟（理））已知抛物线28x y =，过点(),4P b 作该抛物线的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，若直线AB 恒过定点，则该定点为（）A ．()4,0B ．()3,2C ．()0,4-D ．()4,1【答案】C【解析】设A B ，的坐标为()11x y ，，()22x y ，28x y =，4x y '=， PA PB ，的方程为()1114x y y x x -=-，()2224xy y x x -=- 由22118x y =，22228x y =，可得114x y x y =-，224x y x y =-切线PA PB ，都过点()4P b ，1144x b y ∴=⨯-，2244xb y =⨯-，故可知过A ，B 两点的直线方程为44bx y =-，当0x =时，4y =∴直线AB 恒过定点()04-，，故选C2．（2020·重庆高考模拟（理））已知圆22:1C x y +=，点P 为直线142x y+=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,,,PA PB A B 为切点，则直线AB 经过定点.（）A ．11,24⎛⎫⎪⎝⎭ B ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭ C．⎫⎪⎪⎝⎭D．⎛ ⎝⎭ 【答案】B【解析】设()42,,,P m m PA PB -是圆C 的切线，,,CA PA CB PB AB ∴⊥⊥∴是圆C 与以PC 为直径的两圆的公共弦，可得以PC 为直径的圆的方程为()()22222224m m x m y m ⎛⎫⎡⎤--+-=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭， ① 又221x y += ， ②①-②得():221AB m x my -+=，可得11,42⎛⎫⎪⎝⎭满足上式，即AB 过定点11,42⎛⎫⎪⎝⎭，故选B. 3．（2020大理一模）已知椭圆221164x y +=的左顶点为A ，过A 作两条弦AM 、AN 分别交椭圆于M 、N 两点，直线AM 、AN 的斜率记为12,k k ，满足122k k ⋅=-，则直线MN 经过的定点为___________．【答案】28,09T ⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】由()2221211141616414=+4M x y k x k y k x ⎧+=-⎪⇒=⎨+⎪⎩，同理222122214164641416N k k x k k --==++． 121814M k y k =+，1211616Nk y k -=+, 取11k =，由对称性可知，直线MN 经过x 轴上的定点28,09T ⎛⎫-⎪⎝⎭.【归纳总结】在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆()222210x y a b a b+=>>上一定点A 作两条弦AM 、AN 分别交椭圆于M 、N 两点，直线AM 、AN 的斜率记为12,k k ，当12k k ⋅为非零常数时，直线MN 经过定点.三．强化训练1．（2020·黑龙江高三模拟）直线l 与抛物线x y C 2:2=交于B A ,两点，O 为坐标原点，若直线OB OA ,的斜率1k ，2k 满足3221=k k ，则l 的横截距（） A ．为定值3- B ．为定值3 C ．为定值1- D ．不是定值【答案】A【解析】设直线l 的方程为y kx b =+，由题意得22y kx b y x=+⎧⎨=⎩，则得()222220k x kb x b +-+=；设A ，B 两点的坐标为()11,A x y ，()22,B x y ，则得12222kb x x k-+=，2122b x x k =；又因为3221=k k ，即121223y y x x =，所以()2222222121222221222222222223k x x kb x x b kb k b k k b k b k k b k k k k x x b b b b +++--+-=++=+=== ，则得3b k =，直线l 的方程为()33y kx b kx k k x =+=+=+；当0y =时，3x =-，所以直线l 的横截距为定值3-.故选A.2．（2020·辽宁省朝阳市第二高级中学高二期中（文））如果直线7ax by +=（0a >，0b >）和函数()1log m f x x =+（0m >，1m ≠）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆22(1)(1)25x b y a +-++-=的内部或圆上，那么ba的取值范围是（）A ．3443⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦B ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．340,,43⎛⎤⎡⎫⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】A【解析】根据指数函数的性质，可得函数()1log ,(0,1)m f x x m m >≠=+，恒过定点(1,1). 将点(1,1)代入7ax by +=，可得7a b +=.由于(1,1)始终落在所给圆的内部或圆上，所以2225a b +.又由227,25,a b a b +=⎧⎨+=⎩解得34a b =⎧⎨=⎩或43a b =⎧⎨=⎩，所以点(,)a b 在以(3,4)和(4,3)为端点的线段上运动，当取点(3,4)时，43b a =，取点(4,3)时，34b a，所以b a 的取值范围是34,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦.3．（2020·全国高三模拟）过x 轴上的点(),0P a 的直线与抛物线28y x =交于,A B 两点，若2211||||AP BP +为定值，则实数a 的值为（）A.1B.2 C ．3 D ．4 【答案】D【解析】设直线AB 的方程为x my a =+，代入28y x =，得2880y my a --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则12128,8y y m y y a +=⋅=-.()()()2222222111111AP x a y my y m y =-+=+=+，同理，()22221BP m y =+，∴()21212222222221212211111111y y y y m y y m y y AP BP+-⎛⎫+=+= ⋅⎪++⎝⎭ ()()22222264284164114m a m am a a m -⨯-+=+⋅=+，∵2211||||AP BP +为定值，是与m 无关的常数，∴4a =．故选D ．4．（2020•越城区高三期末）已知A 、B 是抛物线y 2＝4x 上异于原点O 的两点，则“•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的（） A ．充分非必要条件 B ．充要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件【答案】B【解析】根据题意，A 、B 是抛物线y 2＝4x 上异于原点O 的两点，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若“•＝0”，则设直线AB 方程为x ＝my +b ，将直线AB 方程代入抛物线方程y 2＝4x ，可得y 2﹣4my ﹣4b ＝0，则y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4b ，若•＝0，则•＝x 1x 2+y 1y 2＝（）+y 1y 2＝+y 1y 2＝b 2﹣4b ＝0，解可得：b ＝4或b ＝0，又由b ≠0，则b ＝4，则直线AB 的方程为x ＝my +4，即my ＝x ﹣4，则直线AB 恒过定点（4，0）， “•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的充分条件；反之：若直线AB 恒过定点（4，0），设直线AB 的方程为x ＝my +4，将直线AB 方程代入抛物线方程y 2＝4x ，可得y 2﹣4my ﹣16＝0，则有y 1y 2＝﹣16，此时•＝x 1x 2+y 1y 2＝（）+y 1y 2＝+y 1y 2＝0，故“•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的必要条件；综合可得：“•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的充要条件；故选：B ．5．（2020·湖北高考模拟）设12(,0),(,0)F c F c -是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，点P 是C 右支上异于顶点的任意一点，PQ 是12F PF ∠的角平分线，过点1F 作PQ 的垂线，垂足为Q ，O 为坐标原点，则||OQ 的长为（） A ．定值a B ．定值bC ．定值cD ．不确定，随P 点位置变化而变化【答案】A【解析】依题意如图，延长F 1Q ，交PF 2于点T ， ∵PQ 是∠F 1PF 2的角分线．TF 1是PQ 的垂线， ∴PQ 是TF 1的中垂线，∴|PF 1|＝|PT |，∵P 为双曲线2222x y a b-=1上一点，∴|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ， ∴|TF 2|＝2a ，在三角形F 1F 2T 中，QO 是中位线， ∴|OQ |＝a ．故选：A ．6．（2020·浙江省杭州第二中学高三）设点(),P x y 是圆22:2210C x y x y ++-+=上任意一点，若212x y x y a -+++--为定值，则a 的值可能为（）A ．3-B ．4-C ．5-D ．6-【答案】D【解析】圆C 标准方程为22(1)(1)1x y ++-=，圆心为(1,1)C -，半径为1r =，直线:20l x y a --=2115a---=，35a =-当35a =-+C 在直线l 上方，20x y a --≤，当=--35a C 在直线l 下方，20x y a --≥，若212x y x y a -+++--为定值，则20x y a --≥，因此35a ≤-D 满足．故选：D.7．（2020·湖北高考模拟（理））已知圆C ： 224x y +=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,PA PB ， ,A B 为切点，则直线AB 经过定点（）A ．48,99⎛⎫⎪⎝⎭ B ．24,99⎛⎫⎪⎝⎭C ．()2,0D ．()9,0 【答案】A【解析】设()()()112200,,,,,,A x y B x y P x y 则1122:4;:4;PA x x y y PB x x y y +=+= 即101020204;4;x x y y x x y y +=+=因此A 、B 在直线004x x y y +=上，直线AB 方程为004x x y y +=，又00290x y +-=，所以()()0009242940y x y y y y x x -+=⇒-+-= 即8420,940,99y x x y x -=-=⇒==，直线AB 经过定点48,99⎛⎫⎪⎝⎭，选A. 8．（2020·全国高三期末（理））已知圆O ：2214x y +=，直线l ：y =kx +b (k ≠0)，l 和圆O 交于E ，F 两点，以Ox 为始边，逆时针旋转到OE ，OF 为终边的最小正角分别为α，β，给出如下3个命题： ①当k 为常数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值； ②当k 为变数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值； ③当k 为变数，b 为常数时，sin (α＋β)是定值．其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】设点11()E x y ，，22()F x y ，，由三角函数的定义得111cos 21sin 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，221cos 21sin 2x y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，将直线EF 的方程与的方程联立2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得2221(1)204k x kbx b +++-=，由韦达定理得122212221141kb x x k b x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，，所以2112sin()sin cos cos sin 44x y x y αβαβαβ+=+=+=222112121222188244()4()84()11k b kb k x kx b x kx b kx x b x x k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭+++=++==-++，因此，当k 是常数时，sin()αβ+是常数，故选B (特值法可秒杀)9．（2020·浙江高三期末）斜率为k 的直线l 过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，交抛物线于,A B 两点，点00(,)P x y 为AB 中点，作OQ AB ⊥，垂足为Q ，则下列结论中不正确的是（）A ．0ky 为定值B ．OA OB ⋅为定值C ．点P 的轨迹为圆的一部分D ．点Q 的轨迹是圆的一部分【答案】C【解析】设抛物线22(0)y px p =>上,A B 两点坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ，则2211222,2,y px y px ==两式做差得，121212()()2()y y y y p x x +-=-，整理得1201212022,,2.y y p pk ky p x x y y y -=∴=∴=-+为定值，所以A 正确.因为焦点(,0)2p F ，所以直线AB 方程为()2p y k x =-.由2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩得2222244(2)0k x p k x p k -++=，则22121222(2),,4p k p x x x x k ++== 222212121212()()[()]2224p p p p y y k x x k x x x x p =--=-++=-.2121234OA OB x x y y p ∴⋅=+=-为定值.故B 正确. ,OQ AB ⊥∴点Q 的轨迹是以OF 为直径的圆的一部分，故D 正确.本题选择C 选项.10．（2020·安徽高三月考（理））已知抛物线2:8C y x =，圆22:(2)4F x y -+=，直线:(2)(0)l y k x k =-≠自上而下顺次与上述两曲线交于1234,,,M M M M 四点，则下列各式结果为定值的是（） A ．1324M M M M ⋅ B ．14FM FM ⋅ C ．1234M M M M ⋅ D ．112FM M M ⋅【答案】C 【解析】由()228y k x y x⎧=-⎨=⎩消去y 整理得2222(48)40(0)k x k x k k -++=≠，设111422(,),(,)M x y M x y ，则21212248,4k x x x x k++==．过点14,M M 分别作直线:2l x '=-的垂线，垂足分别为,A B ，则11422,2M F x M F x =+=+．对于A ，13241412(2)(2)(4)(4)M M M M M F M F x x ⋅=++=++12124()16x x x x =+++，不为定值，故A 不正确．对于B ，14121212(2)(2)2()4FM FM x x x x x x ⋅=++=+++，不为定值，故B 不正确．对于C ，12341412(2)(2)4M M M M M F M F x x ⋅=--==，为定值，故C 正确．对于D ，1121111(2)(2)FM M M M F M F x x ⋅=⋅-=+，不为定值，故D 不正确．选C ．11．（2020·南昌县莲塘第一中学高三月考（理））在平面直角坐标系中，两点()()111222,,,P x y P x y 间的“L -距离”定义为121212|||||.PP x x y y =-+-‖则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“L -距离”之和等于定值（大于12|F F ）的点的轨迹可以是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设12(,0),(,0)F c F c -，再设动点(,)M x y ，动点到定点12,F F 的“L距离”之和等于(20)m m c >>，由题意可得：x c y x c y m ++-++=，即2x c x c y m -+++=，当,0x c y <-≥时，方程化为220x y m -+=；当,0x c y <-<时，方程化为220x y m ++=；当,0c x c y -≤<≥时，方程化为2my c =-；当,0c x c y -≤<<时，方程化为2my c =-；当,0x c y ≥≥时，方程化为220x y m +-=；当,0x c y ≥<时，方程化为220x y m --=；结合题目中给出四个选项可知，选项A 中的图象符合要求，故选A ． 12．（2020·东北育才学校高三月考（理））有如下3个命题；①双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上任意一点P 到两条渐近线的距离乘积是定值；②双曲线2222222211(0,0)x y x y a b a b b a-=-=>>与的离心率分别是12e e 、，则22122212e e e e +是定值；③过抛物线22(0)x py p =>的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是A B 、，则直线AB 过定点；其中正确的命题有（） A ．3个 B ．2个C ．1个D ．0个【答案】A【解析】①双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）上任意一点P ，设为（m ，n ），两条渐近线方程为y=±ba x=222222b m a n a b -+，由b 2m 2﹣a 2n 2=a 2b 2，可得两个距离乘积是定值2222a b a b+； ②双曲线2222x y a b -=1与22221x y b a -=（a ＞0，b ＞0）的离心率分别是e 1，e 2，即有e 12=222a b a +，e 22=222a b b +，可得22122212e e e e +为定值1；③过抛物线x 2=2py （p ＞0）的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是A ，B ，可设A （s ，22s p），B （t ，22t p ），由OA ⊥OB 可得st+2224s t p=0，即有st=﹣4p 2， k AB =()222t s p t s --=2t s p +，可得直线AB 的方程为y ﹣22s p=2t s p +（x ﹣s ），即为y=2t s p +x+2p ，则直线AB 过定点（0，2p ）．三个命题都正确．故选A ．13．已知O 为坐标原点，点M 在双曲线22:C x y λ-=（λ为正常数）上，过点M 作双曲线C 的某一条渐近线的垂线，垂足为N ，则ON MN ⋅的值为（） A ．2λB ．λC ．2λD ．无法确定【来源】四川省南充市2021届高三第三次模拟考试数学（文）试题【答案】A【解析】设(,)M m n ，即有22m n λ-=，双曲线的渐近线为y x =±，可得MN =，由勾股定理可得ON ===，可得2222m n ON MN λ-⋅=== ．故选：A ．14．已知1F 、2F 是双曲线C ：2214y x -=的左、右两个焦点，若双曲线在第一象限上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||||PF PF λ=，则λ的值为（）.A ．13B ．12C ．2D ．3【来源】河南省豫南九校2020-2021学年高三上学期期末联考理数试题【答案】C 【解析】1a =，2b =，∴c =1(F，2F，设点)P m ，∴2222()(1))1504m OP OFF P m m m +⋅=⋅=+-+=， ∴2165m =，m =，则P ±，14PF ===， ∴2122PF PF a =-=，∴12422PF PF λ===，故选：C.15．已知1F ，2F 是双曲线221169x y -=的焦点，PQ 是过焦点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为60︒，那么22||+-PF QF PQ 的值为A ．16B ．12C ．8D ．随α变化而变化【答案】A【解析】由双曲线方程221169x y -=知，28a =，双曲线的渐近线方程为34y x 直线PQ 的倾斜角为60︒，所以334PQ k =>，又直线PQ 过焦点1F ，如图所以直线PQ 与双曲线的交点都在左支上.由双曲线的定义得，2128PF PF a -==…………(1)，2128QF QF a -== (2)由(1)+(2)得2211()16PF QF QF PF +-+=，2216PF QF PQ ∴+-=. 故选：A16．已知椭圆()2221024x y b b+=<<，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一点，()2,1M ，1MF 平分角12PF F ∠，则1MPF 与2MPF 的面积之和为( ) A ．1B ．32C ．2D ．3【来源】中学生标准学术能力诊断性测试2020-2021学年高三上学期1月测试理文数学（一卷）试题【答案】C【解析】如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一点，作一圆与线段F 1P ，F 1F 2的延长线都相切，并且与线段PF 2也相切，切点分别为D ，A ，B ，1111221122||||||||||||||||||||F D F A PF PD F F F A PF PB F F F A =⇔+=+⇔+=+， 12122212122||||||||||||||||||2||PF PB F B F F F A F B PF PF F F F A ⇔++=++⇔+=+，所以2||F A a c =-(c 为椭圆半焦距)，从而点A 为椭圆长轴端点，即圆心M 的轨迹是直线x =a (除点A 外). 因点M (2,1)在12PF F ∠的平分线上，且椭圆右端点A (2,0)，所以点M 是上述圆心轨迹上的点，即点M 到直线F 1P ，PF 2，F 1F 2的距离都相等，且均为1，1MPF 与2MPF 的面积之和为1212111||1||1(||||)2222PF PF PF PF ⋅⋅+⋅⋅=+=.故选：C17．已知椭圆2214x y +=的上顶点为,A B C 、为椭圆上异于A 的两点，且AB AC ⊥，则直线BC 过定点（） A ．(1,0) B ．(3,0)C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】设直线BC 的方程为x ky m =+，()()1122,,B x y C x y 、，则由2214x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2224240k y mky m +++-=，所以212122224,44mk m y y y y k k --+==++， ()22222121212224244m mkx x k y y mk y y m k mk m k k --=+++=++++，因为()0,1A ，()()1122,1,1A x y B C x y A --==,，AB AC ⊥，所以()()()1212121212111x x y y x x y y y y AB AC +-=-=++⋅-+22222222224242125304444m mk m mk k mk m km m k k k k k ---=+++++=+-=++++解得m k =-或35m k =，当m k =-时，直线BC 的方程为()1x ky k k y =-=-，直线过()0,1点而()0,1A ，而,A B C 、不在同一直线上，不合题意；当35m k =时，直线BC 的方程为3355x ky k k y ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，直线过30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭，符合题意.故选：D.18．已知椭圆221124y x +=，圆22:4O x y +=，过椭圆上任一与顶点不重合的点G 引圆的两条切线，切点分别为,P Q ，直线PQ 与x 轴，y 轴分别交于点,M N ，则2231OMON+=（）A ．54B ．45C ．43D ．34【来源】安徽省宣城市第二中学2020-2021学年高三下学期第一次月考理科数学试题【答案】D【解析】设112233(,),(,),(,)P x y Q x y G x y ，则切线GP 的方程为114x x y y +=，切线GQ 的方程为224x x y y +=，因为点G 在切线,GP GQ 上，所以13134x x y y +=，23234x x y y +=，所以直线PQ 的方程为334x x y y +=，所以3344(,0),(0,)M N x y ，因为点33(,)G x y 在椭圆221124y x +=上，所以2233312x y +=，所以22223333223311123(3)161616164x y x y OM ON+=+=+==，故选：D19．已知椭圆22:142x y C +=的左右顶点分别为,A B ，过x 轴上点(4,0)M -作一直线PQ 与椭圆交于,P Q 两点（异于,A B ），若直线AP 和BQ 的交点为N ，记直线MN 和AP 的斜率分别为12,k k ，则12:k k =（） A ．13B ．3C ．12D ．2【来源】湖北省“大课改、大数据、大测评”2020-2021学年高三上学期联合测评数学试题【答案】A【解析】设(),N x y ，()11,P x y ，()22,Q x y ，设直线PQ 的方程：4x my =-由,,P N A 和,,Q N B 三点共线可知11222222y y x x y y x x ⎧=⎪++⎪⎨⎪=⎪--⎩ ，解得：()()()()()()()()1221122112211221222226222262y x y x y my y my x y x y x y my y my -++-+-==--++--+-1212122623my y y y x y y --∴=-，12121226643my y y y x y y +-+=-，（*）联立224142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得()2228120m y my +-+=，22226448(2)16(6)0,6m m m m ∆=-+=->>，12121212228123,,()222m y y y y my y y y m m +==∴=+++，代入（*）得121293433y y x y y -+==-，14y k x =+，22y k x =+ ，122211443k x k x x +∴==-=++.故选：A20.（2020·北京市第二中学分校高三（理））抛物线24y x =上两个不同的点A ，B ，满足OA OB ⊥，则直线AB 一定过定点，此定点坐标为__________．【答案】(4,0).【解析】设直线l 的方程为x ty b =+代入抛物线24y x =，消去x 得2440y ty b --=,设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y b =-，∴()()()221212121212OA OB ty b ty b y y t y y bt y y b y y ⋅=+++=++++222444bt bt b b =-++- 24b b =-=0，∴0b =（舍去）或4b =, 故直线l 过定点()4,0．21．（2020·江苏扬州中学高三月考）已知点(2,0),(4,0)A B -，圆,16)()4(:22=+++b y x C 点P 是圆C 上任意一点，若PAPB为定值，则b =________.【答案】0【解析】设(,)P x y ，PAk PB =k =，整理得222222(1)(1)(48)4160k x k y k x k -+-+++-=，又P 是圆C 上的任意一点，故1k ≠，圆C 的一般方程为222820x y x by b ++++=，因此20b =，22222484168,11k k b k k+-==--，解得0b =. 22．（2020·江苏海安高级中学高三）在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 为x 轴正半轴上的两个动点，P （异于原点O ）为y 轴上的一个定点．若以AB 为直径的圆与圆x 2＋(y －2)2＝1相外切，且∠APB 的大小恒为定值，则线段OP 的长为_____．【解析】设O 2（a ，0），圆O 2的半径为r （变量），OP=t （常数），则222222221)222tan ,tan ,2tan 141,(4,22tan 3232r a r a rOPA OPB t t a r a rrtt t APB a r t a r t a r a rt tAPB t t r r +-+∠=∠=+--∴∠==-+-++=+∴=-∴∠==-+-+∵∠APB 的大小恒为定值，∴t23．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22184x y +=上一点A ，点B 是椭圆上任意一点（异于点A ），过点B 作与直线OA 平行的直线l 交椭圆于点C ，当直线AB 、AC 斜率都存在时，AB AC k k +=___________. 【答案】0【解析】取特殊点B ()0,2-，则BC的方程为22y x +=，由22242y x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得C ()所以202AB AC k k +==. 24．（2020·河北定州一中高三月考）P 为圆()22:15C x y -+=上任意一点，异于点()2,3A 的定点B 满足PBPA为常数，则点B 的坐标为______．【答案】33,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】设()()00,,,,PA P x y B x y PBλ=，则()2215x y -+=，可得2242x y x +=+，① ()()()()222220023x x y y x y y λ⎡⎤-+-=-+-⎣⎦，②由①②得()2200002224x x y y x y --+++2222617x y λλλ=--+，可得202002220022226417x y x y λλλ⎧-=-⎪-=-⎨⎪++=⎩，解得002323212x y λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，B ∴点坐标为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 25．（2020·上海长岛中学高三）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M 、N 是双曲线22124x y -=上的两个动点，动点P 满足2OP OM ON =-，直线OM 与直线ON 斜率之积为2，已知平面内存在两定点1F 、2F ，使得12PF PF -为定值，则该定值为________【答案】【解析】设P （x ，y ），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则由2OP OM ON =-，得（x ，y ）=2（x 1，y 1）-（x 2，y 2），即x=2x 1-x 2，y=2y 1-y 2，∵点M ，N 在双曲线22124x y -=上，所以2211124x y -=，2222124x y -=，故2x 2-y 2=（8x 12+2x 22-8x 1x 2）-（4y 12+y 22-4y 1y 2）=20-4（2x 1x 2-y 1y 2），设k 0M ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，根据题意可知k 0M k ON =2， ∴y 1y 2-2 x 1x 2=0， ∴2x 2-y 2=20，所以P 在双曲线2x 2-y 2=20上；设该双曲线的左，右焦点为F 1，F 2，由双曲线的定义可推断出12PF PF -为定值，该定值为26．（2020·江苏高三月考）椭圆E ：22143x y +=的左顶点为A ，点,B C 是椭圆E 上的两个动点，若直线,AB AC 的斜率乘积为定值14-，则动直线BC 恒过定点的坐标为__________．【答案】(1,0)【解析】当直线BC 的斜率存在时，设直线BC 的方程为y=kx+m ，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得：（3+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0，设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则x 1+x 2=28km 34k -+，x 1x 2=2241234m k-+，又A （﹣2，0），由题知k AB •k AC =121222y y x x ++=﹣14，则（x 1+2）（x 2+2）+4y 1y 2=0，且x 1，x 2≠﹣2，则x 1•x 2+2（x 1+x 2）+4+4（kx 1+m ）（kx 2+m ） =（1+4k 2）x 1x 2+（2+4km ）（x 1+x 2）+4m2+4=()()2221441234k m k+-++（2+4km ）28km 34k -++4m2+4=0则m 2﹣km ﹣2k 2=0， ∴（m ﹣2k ）（m+k ）=0， ∴m=2k 或m=﹣k ．当m=2k 时，直线BC 的方程为y=kx+2k=k （x+2）．此时直线BC 过定点（﹣2，0），显然不适合题意．当m=﹣k 时，直线BC 的方程为y=kx ﹣k=k （x ﹣1），此时直线BC 过定点（1，0）．当直线BC 的斜率不存在时，若直线BC 过定点（1，0），B 、C 点的坐标分别为（1，32），（1，﹣32），满足k AB •k AC =﹣14．综上，直线BC 过定点（1，0）．故答案为：（1，0）．27．已知双曲线22:13y C x -=的右焦点为F ，过点F 的直线l 与双曲线相交于P 、Q 两点，若以线段PQ为直径的圆过定点M ，则MF =______．【来源】金科大联考2020届高三5月质量检测数学（理科）试题【答案】3【解析】点F 的坐标为()2,0，双曲线的方程可化为2233x y -=，①当直线l 的斜率不存在时，点P 、Q 的坐标分别为()2,3、()2,3-，此时以线段PQ 为直径的圆的方程为()2229x y -+=；②当直线l 的斜率存在时，设点P 、Q 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，记双曲线C 的左顶点的坐标为()1,0A -，直线l 的方程为()2y k x =-，联立方程()22332x y y k x ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 后整理为()()222234340kxk x k -+-+=，2422230164(3)(34)36(1)0k k k k k ⎧-≠⎨∆=+-+=+>⎩,即k ≠ 有2122212243343k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩，()()()22121212122224y y k x x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦，222222234894333k k k k k k k ⎛⎫+=-+- ⎪---⎝⎭，()111,AP x y =+，()221,AQ x y =+，()()()1212121212111AP AQ x x y y x x x x y y ⋅=+++=+++⎡⎤⎣⎦ 22222222344931103333k k k k k k k k +-=+-+=+=----．故以线段PQ 为直径的圆过定点()1,0M -，3MF =．28．双曲线22:143x y C -=的左右顶点为,A B ，以AB 为直径作圆O ，P 为双曲线右支上不同于顶点B 的任一点，连接PA 交圆O 于点Q ，设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，若12k k λ=，则λ=_____. 【答案】34-【解析】设()()()00,,2,02,0P x y A B - 2200143x y -=，()222000331444x y x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭2000200032424PA PBy y y x x k k x =⋅=+--= PA 交圆O 于点Q ，所以PA QB ⊥ 易知:33441PA PB PB QBPA QB k k k k k k λ⎧=⎪⇒==-⎨⎪⋅=-⎩即1234k k λ==-. 故答案为：34-29．过双曲线22221x y a b-=的右焦点(,0)F c 的直线交双曲线于M 、N 两点，交y 轴于P 点，若1PM MF λ=，2PN NF λ=，规定12λλ+=PM PN MF NF +，则PM PNMF NF +的定值为222a b .类比双曲线这一结论，在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中，PM PN MF NF+的定值为________. 【来源】贵州省铜仁市思南中学2020-2021学年高三上学期期末考试数学（理）试题【答案】222a b-【解析】如图，设椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，过点(),0F c 的直线为()y k x c =-，代入椭圆的方程得：()2222222222220b a kxa k cx a k c ab +-+-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则22122222a k c x x b a k +=-+，2222212222a k c ab x x b a k-⋅=+，过点,M N 分别作x 轴的垂线，垂足为,D E ，则111x PM x c MF λ==--，222=x PNx c NFλ=--，所以()()()()()1221121212122212121212122x x c x x c x x c x x x x x c x c x x c x x c x x c x x c λλ-+--+⎛⎫+=-+=-=-⎪---++-++⎝⎭将22122222a k c x x b a k +=-+，2222212222a k c ab x x b a k -⋅=+代入化简得：21222a b λλ+=-. 故答案为：222a b-.30．若M ，P 是椭圆2214x y +=两动点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线PM ，PN 分别与x 轴相交于不同的两点A (m ，0)，B (n ，0)，则mn =_________.【来源】四川省资阳市2020-2021学年高三上学期期末数学文科试题【答案】4 【解析】设(),M a b ，则(),N a b -，(),P c d ，则2214a b +=，2214c d +=所以PM d bk c a-=- 直线PM 的方程为()d b y b x a c a --=--，令0y =可得ad bcm d b-=- 同理有PM d b k c a+=- 直线PN 的方程为()d b y b x a c a ++=--，令0y =可得ad bcn d b+=+ 则222222ad bc ad bc a d b c mn d b d b d b -+-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪-+-⎝⎭⎝⎭222222111144111144a c c a c a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭()2222414a c a c -==- 31．椭圆E ：22143x y +=的左顶点为A ，点,B C 是椭圆E 上的两个动点，若直线,AB AC 的斜率乘积为定值14-，则动直线BC 恒过定点的坐标为__________．【答案】(1,0)【解析】当直线BC 的斜率存在时，设直线BC 的方程为y=kx+m ，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得：（3+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0，设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则x 1+x 2=28km 34k -+，x 1x 2=2241234m k -+，又A （﹣2，0），由题知k AB •k AC =121222y y x x ++=﹣14，则（x 1+2）（x 2+2）+4y 1y 2=0，且x 1，x 2≠﹣2，则x 1•x 2+2（x 1+x 2）+4+4（kx 1+m ）（kx 2+m ） =（1+4k 2）x 1x 2+（2+4km ）（x 1+x 2）+4m2+4=()()2221441234k m k +-++（2+4km ）28km 34k -++4m2+4=0则m 2﹣km ﹣2k 2=0， ∴（m ﹣2k ）（m+k ）=0， ∴m=2k 或m=﹣k ．当m=2k 时，直线BC 的方程为y=kx+2k=k （x+2）．此时直线BC 过定点（﹣2，0），显然不适合题意．当m=﹣k 时，直线BC 的方程为y=kx ﹣k=k （x ﹣1），此时直线BC 过定点（1，0）．当直线BC 的斜率不存在时，若直线BC 过定点（1，0），B 、C 点的坐标分别为（1，32），（1，﹣32），满足k AB •k AC =﹣14．综上，直线BC 过定点（1，0）．故答案为（1，0）．。

解析几何中的定点、定值问题 (1)

解析几何中的定点、定值问题【典例1】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，直线0x y +-=与圆222x y b +=相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）设5(,0)4P ，过点(1,0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，证明：PA PB ⋅为定值.【解析】（1）∵椭圆C 的离心率为2，∴a =，∵直线0x y +=与圆222x y b +=相切，∴1b ==，∴a ==∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，当直线l 与x 轴不重合时，设l 的方程：1x my =+.由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210m y my ++-=，1221222212m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， ∴12242x x m +=+，2122312m x x m -=++，112255,,44PA PB x y x y ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()121212525416x x x x y y =-+++223641721616m m --=+=-+. 当直线l 与x 轴重合时，552,02,044PA PB ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅ ⎪⎪⎭⎝⎭ 25721616=-=-. ∴故PA PB ⋅为定值716-. 【典例2】已知椭圆()222210x y C a b a b+=>>：离心率等于12，()23P ，、()3,2-Q 是椭圆上的两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点.当,A B 运动时，满足APQ BPQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.【解析】（1）由题意可得2222212491c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a ＝4，b 23=，c ＝2．∴椭圆C 的方程为2211612x y +=. （2）设()11,y x A ，()22,y x B ，当BPQ APQ ∠=∠，则PA 、PB 的斜率之和为0，设直线PA 的斜率为k ，则PB 的斜率为k -，直线PA 的直线方程为()23-=-x k y ，联立()222311612y k x x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，得()()()0482********22=--+-++k x k k x k ．∴()12823234k k x k -+=+．同理直线PB 的直线方程为()23--=-x k y ，可得()()22282382323434k k k k x k k ---++==++．∴2122161234k x x k -+=+，1224834k x x k --=+， ()()()12121212121223234AB k x k x k x x k y y k x x x x x x -++--+--===---2221612413448234k k k k k k-⋅-+==-+，AB∴的斜率为定值12. 【典例3】已知点Q是圆22(y 36:M x ++=上的动点，点N ，若线段QN 的垂直平分线MQ 于点P .（Ⅰ）求动点P 的轨迹E 的方程（Ⅱ）若A 是轨迹E 的左顶点，过点()8,3-D 的直线l 与轨迹E 交于B ，C 两点，求证：直线AB 、AC 的斜率之和为定值.【解析】（Ⅰ）由题可知，线段QN 的垂直平分线交MQ 于点P ，所以PN PQ =，则6PM PN PM PQ +=+=> 所以P 的轨迹是以M N 、为焦点的椭圆，设该椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则26,a c ==24b =，可得动点P 的轨迹E 的方程为22194x y +=.（Ⅰ）由（Ⅰ）可得，过点D 的直线l 斜率存在且不为0，故可设l 的方程为()0y kx m k =+≠，()()1122,,,B x y C x y ，由22194y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22249189360k x kmx m +++-=，()()()()2222218449936144940km k m k m ∆=-+-=-+>2121222189364949km m x x x x k k -+=-=++ 而()()()()()()()()()()2211221121212123333333333AB AC y x y x kx m x kx m x y yk k x x x x x x +++++++++=+==++++++ ()()()1212121223639kx x k m x x m x x x x ++++=+++()22222293618236494993618394949m km k k m m k k m km k k -⎛⎫⨯++-+ ⎪++⎝⎭=-⎛⎫+⨯-+ ⎪++⎝⎭()833m k =-由于直线l 过点()3,8D -，所以38k m -+=，所以13AB AC k k +=（即为定值）【典例4】已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的右焦点2F 与抛物线x y 42=的焦点重合，且其离心率为21. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知与坐标轴不垂直的直线l 与C 交于M ，N 两点，线段MN 中点为P ，问OP MN k k ⋅（O 为坐标原点）是否为定值？请说明理由．【解析】（1）抛物线x y 42=的焦点为()0,1，∴椭圆C 的半焦距为1=c ，又椭圆的离心率21==a c e ，2=∴a ，则322=-=c ab ． ∴椭圆C 的方程为13422=+y x . （2）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，设l 的方程为m kx y +=，联立⎩⎨⎧=-++=0124322y x m kx y 得()0124843222=-+++m kmx x k . 0>∆即只需3422+<k m ．设()11,y x M ，()22,y x N 则221438k km x x +-=+，()221214362k mm x x k y y +=++=+ ⎪⎭⎫ ⎝⎛++-∴22433,434k m k km P ，k k km k mk OP 4343443322-=+-+=∴ 43-=⋅∴OP MN k k【典例5】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与圆O ：223x y +=有且仅有两个公共点，点P 、1F 、2F 分别是椭圆C 上的动点、左焦点、右焦点，三角形12PF F（1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 在椭圆第一象限部分上运动，过点P 作圆O 的切线1l ，过点O 作OP 的垂线2l ，求证：1l ，2l 交点Q 的纵坐标的绝对值为定值．【解析】（1）依题意122b cb ⎧=⎪⎨⨯=⎪⎩12b c a ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程是13422=+y x ．（2）设点()00,y x P ，()11,y x Q ，则12432020=+y x ，设直线1l 与圆Q 的切点为H ，由几何知识得到：OQ OP OH PQ ⋅=⋅，222OQ OP PQ +=，所以2222221131OQ OP PQOQ OP OH +=⇒⋅=，即22001x y ++22111x y +=13，又因为OP OQ ⊥，所以010101100y y x x y y x x +=⇒=-，代入上式得：22222200000022********010010000020333311111114333312x x x y x y y y x y y x x y x x x +--⎛⎫++-+=⇒=-=== ⎪++⎝⎭，所以2112y =，即1y =【典例6】已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率2e =，且椭圆过点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 与C 交于M ，N 两点，点D 在C 上，O 是坐标原点，若OM ON OD +=，判断四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.【解析】（1）因为椭圆C的离心率2e ==，即222a b =.因为点)在椭圆C 上，所以22211a b+=. 由22222211a b a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得2242a b ⎧=⎨=⎩. 所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=. （2）当直线l 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-或1x =，此时四边形OMDN 的面积.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程是m kx y +=，联立方程组22142y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()222124240k x kmx m +++-=，()228420k m∆=+->，122412km x x k -+=+，21222412m x x k -=+，()121222212m y y k x x m k +=++=+.212MNk=+，点O到直线MN的距离是d=由OM ON OD+=，得2412Dkmxk-=+，2212Dmyk=+.因为点D在曲线C上，所以有2222421212142km mk k-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得22122k m+=.由题意，四边形OMDN为平行四边形，所以四边形OMDN的面积为OMDNS MN d===.由22122k m+=，得OMDNS∆OMDN.【典例7】已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为12，M是椭圆C的上顶点，1F，2F是椭圆C的焦点，12MF F∆的周长是6．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅰ）过动点()tP,1作直线交椭圆C于A，B两点，且PBPA=，过P作直线l，使l与直线AB 垂直，证明：直线l恒过定点，并求此定点的坐标．【解析】（Ⅰ）由于M是椭圆C的上顶点，由题意得226a c+=，又椭圆离心率为12，即12ca=，解得2a=，1c=，又2223b a c=-=，所以椭圆C的标准方程22143x y+=．（Ⅰ）当直线AB斜率存在，设AB的直线方程为()1y t k x-=-，联立()2234121x yy t k x⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩，得()()()2223484120k x k t k x t k++-+--=，由题意，>0∆，设()()1122,,,A x y B x y ，则()221438k k t k x x +--=+，因为PB PA =，所以P 是AB 的中点．即1212x x +=，得()24382=+--k k t k ， 043=+kt ①又l AB ⊥，l 的斜率为1k -，直线l 的方程为()11--=-x k t y ② 把①代入②可得：114y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭所以直线l 恒过定点1,04⎛⎫⎪⎝⎭.当直线AB 斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =，此时直线l 为x 轴，也过1,04⎛⎫⎪⎝⎭.综上所述直线l 恒过点1,04⎛⎫⎪⎝⎭.【典例8】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率2e =，左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2y =的焦点F 恰好是该椭圆的一个顶点. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知圆222:3M x y +=的切线l （直线l 的斜率存在且不为零）与椭圆相交于A 、B 两点，那么以AB 为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.【解析】（1）因为椭圆C 的离心率e =，所以c a =，即a =.因为抛物线2y =的焦点F 恰好是该椭圆的一个顶点，所以a =1,1c b ==.所以椭圆C 的方程为1222=+y x .（2）因为直线l 的斜率存在且不为零.故设直线l 的方程为m kx y +=.由22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()222214220k x kmx m +++-=，所以设()()1122,,,A x y B x y ，则2121222422,2121km m x x x x k k --+==++. 所以()()()2222121212122221m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+. 所以221212232221m k OA OB x x y y k --⋅=+=+.① 因为直线l 和圆M 相切，所以圆心到直线l的距离3d ==，整理，得()22213m k =+，② 将②代入①，得0OA OB ⋅=，显然以AB 为直径的圆经过定点0(0,0) 综上可知，以AB 为直径的圆过定点(0,0).1. 过点(0,1)C 的椭圆22221(0)x y a b a b +=>>x 轴交于两点(,0)A a 、(,0)B a -，过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q .（1）求该椭圆的标准方程；（2）当点P 异于点B 时，求证：OP OQ ⋅为定值. 【解析】（1）由已知得1,2c b a ==，得2a =， ∴椭圆的方程为2214x y +=，椭圆的右焦点为)F，此时直线l的方程为13y x =-+，由222170344y x x x y ⎧=-+⎪⇒-=⎨⎪+=⎩，解得120,x x ==，1216||7CD x ∴=-==；（2）当直线l 与x 轴垂直时与题意不符，所以直线l 与x 轴不垂直，即直线的斜率存在，设直线l 的方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛≠≠+=2101k k kx y 且代入椭圆的方程，化简得()081422=++kx x k ，解得01=x 或14822+-=k kx ，代入直线l 的方程，得11=y 或1441222+-=k k y ，所以，D 的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-1441,1482222k k k k ，又直线AC 的方程为12x y +=，直线BD 方程为12(2)24ky x k+=+-，联立解得421x ky k =-⎧⎨=+⎩，即(, 2+1)4k k Q -，而P 的坐标为1,0k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,0(4,21)4OP OQ k k k ⎛⎫∴⋅=-⋅-+= ⎪⎝⎭，即OP OQ ⋅为定值.2. 已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>，椭圆22222:1(0)33x y C a b a b +=>>经过点⎝⎭.（1）求椭圆1C 的标准方程；（2）设点M 是椭圆1C 上的任意一点，射线MO 与椭圆2C 交于点N ，过点M 的直线l 与椭圆1C 有且只有一个公共点，直线l 与椭圆2C 交于,A B 两个相异点，证明：NAB ∆面积为定值.【解析】（1）因为1C，所以22619b a =-，解得223a b =.①将点22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入2222133x y a b +=，整理得2211144a b +=.② 联立①②，得21a =，213b =，故椭圆1C 的标准方程为22113y x +=. （2）证明：①当直线l 的斜率不存在时，点M 为()1,0或()1,0-，由对称性不妨取()1,0M ，由（1）知椭圆2C 的方程为2213x y +=，所以有()N .将1x =代入椭圆2C的方程得y =所以)111223NAB S MN AB ∆=⋅=3=. ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，将y kx m =+代入椭圆1C 的方程得()222136310k x kmx m +++-=，由题意得()()()2226413310km k m ∆=-+-=，整理得22313m k =+.将y kx m =+代入椭圆2C 的方程，得()222136330k x kmx m +++-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122613km x x k +=-+，21223313m x x k-=+，所以AB ===. 设()00,M x y ，()33,N x y ，ON MO λ=，则可得30x x λ=-，30y y λ=-.因为220022333113x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，所以2200222003113x y x y λ⎧+=⎪⎛⎫⎨+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得λ=λ=，所以3ON MO =，从而)1NM OM =.又因为点O 到直线l的距离为d =，所以点N到直线l的距离为)11m d ⋅=所以))111122NABS d AB ∆=⋅==，综上，NAB ∆3. 圆9:22=+y x O 上的动点P 在x 轴、y 轴上的射影分别是1P ，2P ，点M 满足122133OM OP OP =+．（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）点()1,0A ，()3,0-B ，过点B 的直线与轨迹C 交于点S ，N ，且直线AS 、AN 的斜率AS k ，AN k 存在，求证：AN AS k k ⋅为常数．【解析】（1）设()00,y x P ，()y x M ,，则()0,01x =，()02,0y =，由122133OM OP OP =+.得00002332133x x x x y y y y ⎧=⎧⎪=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==⎩⎪⎩代入92020=+y x ，所以点M 的轨迹C 的方程为2214x y +=.（2）当SN 的斜率不存在时，AS ，AN 的斜率也不存在，故不适合题意；当SN 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线SN 的方程为3-=kx y 代入椭圆方程整理得()032244122=+-+kx x k ，202>⇒>∆k 设()11,y x S ，()22,y x N ，则2214124k k x x +=+，2214132k x x +=⋅，则()()()2121212212122111644411x x x x k x x k x x kx kx x y x y k k ANAS ++-=--=-⋅-=⋅＝2222222322441632961664114143232214k k k k k k k k k ⋅-⋅+-++++==+，故AN AS k k ⋅为常数12.4. 如图，O 为坐标原点，椭圆22221x y C a b=+=（0a b >>）的焦距等于其长半轴长，,M N 为椭圆C 的上、下顶点，且||23MN =（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()0,1P 作直线l 交椭圆C 于异于,M N 的,A B 两点，直线,AM BN 交于点T ．求证：点T 的纵坐标为定值3．【解析】（1）由题意可知：2c a =，223b =222a b c =+，有3,1,2b c a ===，故椭圆C 的方程为：22143x y +=．（2）由题意知直线l 的斜率存在，设其方程为1y kx =+，用,A B 的横坐标表示T 的纵坐标，再联立l 的方程和椭圆的方程，消去y 得()2243880k x kx ++-=，利用韦达定理化简T 的纵坐标后可得所求的定值.设()()1122,,,A x y B x y （021≠x x ），联立直线方程和椭圆方程得22134120y kx x y =+⎧⎨+-=⎩，消去y 得()2243880k x kx ++-=， 122843k x x k -+=+，122843x x k -=+，且有1212x x kx x +＝，又2:BN l y x =，1:AM l y x =，由2211y y x x y y x x ⎧+=⋅-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩1=111kx x +==，整理得到=，故1y ⎤=⎥⎦2kx xx x x x +++-=33x x x x +-==．故点T 的纵坐标为3．5．已知以椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形.（1）求椭圆E 的方程；（2）直线l ：(0)y kx m km =+≠与椭圆E 交于异于椭圆顶点的A ，B 两点，O 为坐标原点，直线AO 与椭圆E 的另一个交点为C 点，直线l 和直线AO 的斜率之积为1，直线BC 与x 轴交于点M .若直线BC ，AM 的斜率分别为1k ，2k ，试判断122k k +是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由.【解析】（1）因为椭圆的两个焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形，所以22224b ca abc =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得2242a b ⎧=⎨=⎩.所以椭圆E 的方程为22142x y +=. （2）设()()1111,0A x y x y ≠，()()2222,0B x y x y ≠，则()11,C x y --，11AO y k x =，因为1AO k k ⋅=，所以11x k y =，联立22142x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y ，得()222124240k x kmx m +++-=，所以122412km x x k +=-+，()121222212my y k x x m k +=++=+，所以1211121122y y y k x x k x +==-=-+，直线BC 的方程为：()11112y y y x x x +=-+，令0y =，由10y ≠，得13x x =-，所以()13,0M x -，11211134y yk x x x ==+，所以11121122024y yk k x x +=-+⨯=.所以122k k +为定值0. 6. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，右焦点F 的坐标为20（，），且点2（在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程及离心率；（2）过点F 的直线交椭圆于,A B 两点（直线不与x 轴垂直），已知点A 与点P 关于x 轴对称，证明：直线PB 恒过定点，并求出此定点坐标．【解析】（1）由已知得22222421{ 2a b a b c c +==+=，解得228{ 4a b ==， ∴椭圆C 的标准方程22184x y +=.∴椭圆C的离心率2c e a ===. (2)设()11,P x y ，()22,B x y ，则()11,A x y -，可设PB 的直线方程为m kx y +=，联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=14822y x mkx y ，整理得()222214280k x kmx m +++-=，∴2121222428,2121km m x x x x k k --+==++，AF FB k k =，∴121222y y x x =--，整理得，()()1212240kx x m k x x m +-+-=，∴()2222842402121m kmk m k m k k --⋅+-⋅-=++，解得4m k =-， ∴PB 的直线方程为：()44y kx k k x =-=-，直线PB 恒过定点()4,0.7. 为1F ，2F ，其离心率为2，过2F 的直线 l 与 C 交于,A B 两点，且1AF B △的周长为（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的上顶点为P ，证明：当 l 的斜率为13时，点 P 在以 AB 为直径的圆上．【解析】（1）1AF B △的周长等于11AF AB BF ++ 12214AF AF BF BF a =+++=，所以4a =，从而a =因为2c e a ==，所以1c =，即2221b a c =-=，椭圆C 的方程为1222=+y x .（2）由（1）得()0,1P ，()21,0F ．设()11,A x y ， ()22,B x y ，依题意，l 的方程为31x y =+，将l 的方程代入C 并整理，可得211610y y +-=，所以12611y y +=-，12111y y =-． ()()121211PA PB x x y y ⋅=+--()()()()1212313111y y y y =+++--()121210220y y y y =+++= 所以PA PB ⊥，综上，点P 在以AB 为直径的圆上.8. 已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的一个焦点与28y x =的焦点重合且点A 为椭圆上一点（l ）求椭圆方程；（2）过点A 任作两条与椭圆C 相交且关于2x =对称的直线，与椭圆C 分别交于P 、Q 两点，求证：直线PQ 的斜率是定值.【解析】（1）抛物线28y x =的焦点为()2,0F ，则椭圆C 的一个焦点为()2,0F ，故224a b =+把点(A 带入椭圆方程得：224214b b +=+，解得2284a b ⎧=⎨=⎩ 所以，椭圆C 方程为22184x y +=（2）由题意，可设直线AP 的方程为()2y k x =-则直线A Q 的方程为()2y k x =--设()11P ,x y ，()22Q ,x y ，则()112y k x =-()222y k x =- 把直线AP 的方程与椭圆C 方程联立得：()()()2222128840k x k x k ++-+--=12x ⋅=，故1x =2x =所以()()2121212122PQk x k x y y k x x x x ⎡⎡-+--+-⎣⎦⎣⎦==--()()1212121244x x x x k x x k x x k --+⋅=-++-= 22212244212244421224421224422222222=+-+-+---+-+++--⋅=k k k k k k k k k k k k k所以，直线PQ的斜率是定值2.。

解析几何中的定值与定点专题

解析几何中的定值与定点问题【例 1】过抛物线 y 2＝2p x （p ＞0）的焦点作两条相互垂直的弦 AB 和 CD ，则+ 的值为（）A ．B ．C ．2pD ．1. 已知 F 是抛物线 y 2＝4x 的焦点，过点 F 的直线与抛物线交于不同的两点 A ，D ，与圆（x ﹣1）2+y 2＝1交于不同的两点 B ，C （如图），则|AB |•|CD|的值是（）A ．2B ．2C ．1D ．2 ．如图， P 为椭圆上的一动点，过点P 作椭圆的两条切线 PA ，PB ，斜率分别为 k 1，k 2．若 k 1•k 2 为定值，则 λ＝（）A ．B ．C ．D ．3．已知椭圆的离心率为，三角形 ABC 的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB 、BC 、AC 的中点分别为 D 、E 、F ，且三条边所在直线的斜率分别为 k 1，k 2，k 3（k 1k 2k 3≠0）．若直线OD 、OE 、OF 的斜率之和为﹣1（O 为坐标原点），则1＝．1 / 28+ = 1 上一动点，过点 P 向圆 C 引两条切线 P A, PB, A, B 为切 , ⎪ B ． , ⎪ ⎝ 2 4 ⎭⎝ 4 2 ⎭C ．  4 ,0 ⎪⎪D ．  0,4 ⎪⎭A ． ⎢ ⋅ ⎥B ． 0, ⎥C ． ⎢ , +∞ ⎪D ． 0, ⎥ ⋃ ⎢ , +∞ ⎪【例 2】已知抛物线 C ：x 2＝4y 的焦点为 F ，A 是抛物线 C 上异于坐标原点的任意一点，过点 A 的直线 l 交 y 轴的正半轴于点 B ，且 A ，B 同在一个以 F 为圆心的圆上，另有直线 l ′∥l ，且l ′与抛物线 C 相切于点 D ，则直线 AD 经过的定点的坐标是（）A ．（0，1）B ．（0，2）C ．（1，0）D ．（2，0）【举一反三】1．已知抛物线 x 2 = 8 y ，过点 P (b ,4 ) 作该抛物线的切线 P A ，PB ，切点为 A ，B ，若直线 AB 恒过定点，则该定点为（）A ． (4,0 )B ． (3,2 )C ． (0, -4 )D ． (4,1)2．已知圆 C : x 2 + y 2 = 1 ，点 P 为直线点，则直线 AB 经过定点.（）⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ A ． x y4 2⎛ 3 ⎫ ⎛ 3 ⎫ ⎝ ⎭ ⎝x 2 y 23．已知椭圆 + = 1 的左顶点为 A ，过 A 作两条弦 AM 、AN 分别交椭圆于 M 、N 两点，直线 AM 、AN16 4的斜率记为 k 1, k 2 ，满足 k 1 ⋅ k 2 = -2 ，则直线 MN 经过的定点为___________．三．强化训练一、选择题1．直线 l 与抛物线 C : y 2 = 2 x 交于 A, B 两点，O 为坐标原点，若直线 OA, OB 的斜率 k ，k 满足 k k = 1 2 1 2 2 3，则 l 的横截距（）A ．为定值 -3B ．为定值 3C ．为定值 -1D ．不是定值2．如果直线 ax + by = 7 （ a > 0 ， b > 0 ）和函数 f ( x ) = 1 + log x （ m > 0 ， m ≠ 1）的图象恒过同一个mb定点，且该定点始终落在圆 ( x + b - 1)2 + ( y + a - 1)2 = 25 的内部或圆上，那么的取值范围是（）a⎡ 3 4 ⎤⎛ 3⎤ ⎡ 4⎫ ⎛ 3⎤ ⎡ 4 ⎫ ⎣ 4 3 ⎦⎝4 ⎦⎣ 3⎭⎝4 ⎦ ⎣ 3⎭22 / 282 A ． ⎛ 4 8 ⎫, ⎪ B ． , ⎪C ． (2,0 )D ． (9,0 )3．过 x 轴上的点 P (a,0 )的直线与抛物线 y 2 = 8x 交于 A, B 两点，若1 1+ 为定值，则实数 a 的| AP |2 | BP |2值为（）A.1B. 2C ． 3D ． 44．已知 A 、B 是抛物线 y 2＝4x 上异于原点 O 的两点，则“ • ＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的（）A ．充分非必要条件B ．充要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件5．设 F (-c,0), F (c,0) 是双曲线 C : 1 2 x2 y 2 -a b 2= 1(a > 0,b > 0) 的左右焦点，点 P 是 C 右支上异于顶点的任意一点，PQ 是 ∠F 1PF 2 的角平分线，过点 F 1作 PQ 的垂线，垂足为 Q ，O 为坐标原点，则 | OQ | 的长为（）A ．定值 aB ．定值 bC ．定值 cD ．不确定，随 P 点位置变化而变化6．设点 P (x, y )是圆 C : x 2 + y 2 + 2x - 2 y + 1 = 0 上任意一点，若 -2 x + y + 1 + 2 x - y - a 为定值，则 a 的值可能为（）A ． -3B ． -4C ． -5D ． -67．已知圆 C ： x 2 + y 2 = 4 ，点 P 为直线 x + 2 y - 9 = 0 上一动点，过点 P 向圆 C 引两条切线 P A, PB ，A, B 为切点，则直线 AB 经过定点（）⎛ 2 4 ⎫ ⎝ 9 9 ⎭⎝ 9 9 ⎭8．已知圆 O ： x 2+ y 2= 1，直线 l ：y = kx +b (k ≠0)，l 和圆 O 交于 E ，F 两点，以 Ox 为始边，逆时针旋转4到 OE ，OF 为终边的最小正角分别为 α，β，给出如下 3 个命题：①当 k 为常数，b 为变数时，sin(α＋β)是定值；②当 k 为变数，b 为变数时，sin(α＋β)是定值；③当 k 为变数，b 为常数时，sin(α＋β)是定值．其中正确命题的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．39．斜率为 k 的直线 l 过抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 焦点 F ，交抛物线于 A, B 两点，点 P( x , y ) 为 AB 中点，33 / 28A ． ky 为定值B ． OA ⋅ O B 为定值1 2 = 1与e 、e ，则 1 = 1(a > 0, b > 0) 的离心率分别是 1 e 2e 2 P作 OQ ⊥ AB ，垂足为 Q ，则下列结论中不正确的是（）uuuv uuuvC ．点 P 的轨迹为圆的一部分D ．点 Q 的轨迹是圆的一部分10．已知抛物线 C : y 2 = 8 x ，圆 F : ( x - 2)2 + y 2 = 4 ，直线l : y = k ( x - 2)(k ≠ 0) 自上而下顺次与上述两曲线交于 M 1, M 2 , M 3 , M 4 四点，则下列各式结果为定值的是（）A ． M M ⋅ M M1324B ． FM ⋅ FM14C ． M M ⋅ M M 1 2 34D ． FM ⋅ M M1 1211．在平面直角坐标系中，两点 P (x , y ), P (x , y111222) 间的“L -距离”定义为‖PP 1 2|=| x - x | + | y - y |. 则1 2 1 2平面内与 x 轴上两个不同的定点 F 1 , F 2 的“L -距离”之和等于定值（大于| F F 2 ）的点的轨迹可以是（）A ．B ．C ．D ．12．有如下 3 个命题；①双曲线 x 2 y 2 - a b 2= 1(a > 0, b > 0) 上任意一点 P 到两条渐近线的距离乘积是定值；②双曲线 x 2 y 2 x 2 y 2 - - a 2 b 2 b 2 a 22 e 2 + e 2 2 是定值； 1 2③过抛物线 x 2 = 2 py( p > 0) 的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是 A 、B ，则直线 AB 过定点；其中正确的命题有（）A ．3 个B ．2 个C ．1 个D ．0 个13. 抛物线 y 2 = 4 x 上两个不同的点 A ， B ，满足 OA ⊥ OB ，则直线 AB 一定过定点，此定点坐标为 __________．14．已知点 A(-2,0), B(4,0) ，圆 C : ( x + 4) 2 + ( y + b ) 2 = 16, 点 P 是圆 C 上任意一点，若 P A PB为定值，则 b = ________.15．在平面直角坐标系 xoy 中，A ，B 为 x 轴正半轴上的两个动点，（异于原点 O ）为 y 轴上的一个定点．若44 / 28， 18．在平面直角坐标系中， O 为坐标原点， M 、 N 是双曲线 - = 1 上的两个动点，动点 P 满足19．椭圆 E ： + = 1 的左顶点为 A ，点 B, C 是椭圆 E 上的两个动点，若直线 AB, AC 的斜率乘积以 AB 为直径的圆与圆 x 2＋(y －2)2＝1 相外切，且∠APB 的大小恒为定值，则线段 OP 的长为_____．16．在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆x 2 y 2+ = 1 上一点 A(2, 2) ，点 B 是椭圆上任意一点（异于点 A ） 8 4过点 B 作与直线 OA 平行的直线 l 交椭圆于点 C ，当直线 AB 、AC 斜率都存在时， k AB+ k AC =___________.17． P 为圆 C : (x - 1)2+ y 2 = 5 上任意一点，异于点 A (2,3 )的定点 B 满足PB为常数，则点 B 的坐标为P A______．x 2 y 22 4uuuv uuuuv uuuvOP = 2OM - ON ，直线 OM 与直线 ON 斜率之积为 2，已知平面内存在两定点 F 1 、F 2 ，使得 PF 1 - PF 2为定值，则该定值为________x 2 y 24 3为定值 - 1 4，则动直线 BC 恒过定点的坐标为__________．55 / 28答案【例 1】过抛物线 y 2＝2px （p ＞0）的焦点作两条相互垂直的弦 AB 和 CD ，则+ 的值为（）A ．B ．C ．2pD ．【答案】D【解析】分析：直接利用直线和曲线的位置关系式的应用建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：抛物线 y 2＝2px （p ＞0）的焦点坐标为（），所以设经过焦点直线 AB 的方程为 y ＝k （x ﹣ ），所以，整理得，设点 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），所以，所以，同理设经过焦点直线 CD 的方程为 y ＝﹣（x ﹣ ），所以，整理得，所以：|CD |＝p +（p +2k 2p ），所以，则则+ ＝．故选：D ．【点评】求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.【举一反三】1. 已知 F 是抛物线 y 2＝4x 的焦点，过点 F 的直线与抛物线交于不同的两点 A ，D ，与圆（x ﹣1）2+y 2＝1 交于不同的两点 B ，C （如图），则|AB |•|CD |的值是（）66 / 28A ．2B ．2C ．1D ．【答案】C【解析】分析：根据题意，设 A （x 1，y 1），D （x 2，y 2），分析抛物线的焦点以及圆心的坐标，由抛物线的定义可得|AB |、|CD |的值，联立直线方程和抛物线方程，应用韦达定理可得所求值．解：设 A （x 1，y 1），D （x 2，y 2），抛物线方程为 y 2＝4x 的焦点为 F （1，0），准线方程为 x ＝﹣1，圆（x ﹣1）2+y 2＝1 的圆心为 F （1，0），圆心与焦点重合，半径为 1，又由直线过抛物线的焦点 F ，则|AB |＝x 1+1﹣1＝x 1，|CD |＝x 2+1﹣1＝x 2，即有|AB |•|CD |＝x 1x 2，设直线方程为 x ＝my +1，代入抛物线方程 y 2＝4x ，可得 y 2﹣4my ﹣4＝0，则 y 1y 2＝﹣4，x 1x 2＝＝1，故选：C ．2 ．如图， P 为椭圆上的一动点，过点 P 作椭圆的两条切线 PA ，PB ，斜率分别为 k 1，k 2．若 k 1•k 2 为定值，则 λ＝（）77 / 28P y kA ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】分析：取（a ，0），设切线方程为：＝（x ﹣a ），代入椭圆椭圆方程可得：（b 2+a 2k 2）x 2﹣2a 3k 2x +a 4k 2﹣a 2b △2λ＝0，令＝0，化简可得 k 1•k 2，取 P （0，b ），设切线方程为：y ＝kx +b ，同理可得：k 1•k 2，根据 k 1•k 2 为定值进而得出 λ．解：取 P （a ，0），设切线方程为：y ＝k （x ﹣a ），代入椭圆椭圆方程可得：（b 2+a 2k 2）x 2﹣2a 3k 2x +a 4k 2﹣a 2b 2λ＝0，令＝4△a 6k 4﹣4（b 2+a 2k 2）（a 4k 2﹣a 2b 2λ）＝0，化为：（a 2﹣a 2λ）k 2＝b 2λ，∴k 1•k 2＝，取 P （0，b ），设切线方程为：y ＝kx +b ，代入椭圆椭圆方程可得：（b 2+a 2k 2）x 2﹣2kba 2x +a 2b 2（1﹣λ）＝0，令＝4△k 2b 2a 4﹣4（b 2+a 2k 2）a 2b 2（1﹣λ）＝0，化为：λa 2k 2＝b 2（1﹣λ），∴k 1•k 2＝又 k 1•k 2 为定值，，88 / 28∴＝，解得 λ＝．故选：C ．3．（2020•公安县高三模拟）已知椭圆的离心率为，三角形 ABC 的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边 AB 、BC 、AC 的中点分别为 D 、E 、F ，且三条边所在直线的斜率分别为 k 1，k 2，k 3（k 1k 2k 3≠0）．若直线 OD 、OE 、OF 的斜率之和为﹣1（O 为坐标原点），则＝．【答案】2【解析】分析：求出椭圆方程，设出 A 、B 、C 的坐标，通过平方差法转化求解斜率，然后推出结果即可．解：∵椭圆的离心率为，∴，则，得．又三角形 ABC 的三个顶点都在椭圆上，三条边 AB 、BC 、AC 的中点分别为 D 、E 、F ，三条边所在直线的斜率分别为 k 1、k 2，k 3，且 k 1、k 2，k 3 均不为 0．O 为坐标原点，直线 OD 、OE 、OF 的斜率之和为﹣1，设 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），则，，两式作差得，，则，即，同理可得，．99 / 28∴＝＝﹣2×（﹣1）＝2．【例2】已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，A是抛物线C上异于坐标原点的任意一点，过点A的直线l交y轴的正半轴于点B，且A，B同在一个以F为圆心的圆上，另有直线l′∥l，且l′与抛物线C相切于点D，则直线AD经过的定点的坐标是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，0）D．（2，0）【答案】A【解析】分析：设A（m，m2），B（0，n），根据A，B同在一个以F为圆心的圆上，可得n＝m2+2，再根据直线的斜率公式可得直线与直线和平行，以及导数的几何意义可得a＝﹣，求出直线AD的方程，即可求出直线AD经过的定点的坐标．解：设A（m，m2），B（0，n），∵抛物线C：x2＝4y的焦点为F（0，1）又A，B同在一个以F为圆心的圆上，∴|BF|＝|AF|∴n﹣1＝∴n＝m2+2∴直线l的斜率k＝∵直线l′∥l，∴直线l′的斜率为k，设点D（a，a2），∵y＝x2，∴y′＝x，∴k＝a，∴a＝﹣，＝m2+1＝﹣1010/28∴a＝﹣∴直线AD的斜率为＝＝＝，∴直线AD的方程为y﹣m2＝（x﹣m），整理可得y＝x+1，故直线AD经过的定点的坐标是（0，1），故选：A．【点评】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．1．已知抛物线x2=8y，过点P(b,4)作该抛物线的切线P A，PB，切点为A，B，若直线AB恒过定点，则该定点为（）A．(4,0)【答案】C B．(3,2)C．(0,-4)D．(4,1)【解析】设A，B的坐标为(x，y)，(x，y 1122)y=x28x，y'=，41111/28x( x - x )， y - y = 2 (x - x ) 4 48 8 4 4 ∴ 4 = x1 ⨯ b - y ， 4 =2 ⨯ b - y ，4 44- + = 1 上一动点，过点 P 向圆 C 引两条切线 P A, PB, A, B 为切, ⎪B ． , ⎪⎝ 2 4 ⎭ ⎝ 4 2 ⎭C ．  ,0 ⎪D ．  0, 4 ⎪⎭4 可得以 PC 为直径的圆的方程为 ⎡⎣ x - (2 - m )⎤⎦ 2 + y - m ⎫ m 2 = (2 - m )2 +2 ⎭4可得 ⎛ 1 1 ⎫ , ⎪ 满足上式，即 AB 过定点 , ⎪ ，故选 B.P A ，PB 的方程为 y - y =111 2 2xx 2 x 2x x 由 y 2 = 1 ， y 2 = 2 ，可得 y = 1 x - y ， y = 2 x - y 1 2 1Q 切线 P A ，PB 都过点 P (b ，)x1 22故可知过 A ， B 两点的直线方程为 4 =当 x = 0 时， y = 4∴ 直线 AB 恒过定点 (0， 4)，故选 Cb 4x - y ，2．已知圆 C : x 2+ y 2= 1 ，点 P 为直线点，则直线 AB 经过定点.（）x y4 2⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ A ． ⎛ 3 ⎫ ⎛3 ⎫ ⎪ ⎝⎭ ⎝【答案】B【解析】设 P (4 - 2m , m ),Q P A, PB 是圆 C 的切线，∴ C A ⊥ P A, C B ⊥ PB,∴ AB 是圆 C 与以 PC 为直径的两圆的公共弦，⎛⎝⎪ 2， ①又Q x 2 + y 2 = 1 ， ②①-②得 AB : 2 (2 - m )x + my = 1 ，⎛ 1 1 ⎫ ⎝ 4 2 ⎭ ⎝ 4 2 ⎭x 2 y 23．已知椭圆 + = 1 的左顶点为 A ，过 A 作两条弦 AM 、AN 分别交椭圆于 M 、N 两点，直线 AM 、AN 的斜16 4率记为 k 1 , k 2 ，满足 k 1 ⋅ k 2 = -2 ，则直线 MN 经过的定点为___________．1212 / 28【答案】 T -⎛ 28 ,0 ⎪1 + 4k ⎪ y =k (x +4 )⎩ 1 + 4k k 2 + 16y = 8k， N 1 + 4k 2 16 + k 2k = 1，由对称性可知，直线 MN 经过 x 轴上的定点 T -,0 ⎪ . 取 1 9 2 = 1则得 x + x =， x x =k 2 k 2k⎫⎝ 9 ⎭⎧ x 2 y 2⎪ + = 14 - 16k 2 【解析】由 ⎨16 4⇒ x = 1 ， M 2 114 - 16k 2 4k 2 - 64同理 x = ．N 2 21-16k1 y = 1 ,M 11⎛ 28 ⎫ ⎝ ⎭【归纳总结】在平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 x 2 y2+a 2b2 = 1(a > b > 0) 上一定点 A 作两条弦 AM 、AN 分别交椭圆于 M 、N 两点，直线 AM 、AN 的斜率记为 k 1, k 2 ，当 k 1 ⋅ k 2 为非零常数时，直线 MN 经过定点.三．强化训练一、选择题1．直线 l 与抛物线 C : y 2 = 2 x 交于 A, B 两点，O 为坐标原点，若直线 OA, OB 的斜率 k ，满足 k k = 1 2 1 2则 l 的横截距（）A ．为定值 -3B ．为定值 3C ．为定值 -1D ．不是定值【答案】A⎧ y = kx + b【解析】设直线 l 的方程为 y = kx + b ，由题意得 ⎨，⎩ y2 = 2 x则得 k 2 x 2 + (2kb - 2)x + b 2 = 0 ；设 A ，B 两点的坐标为 A (x , y )， B (x , y ) ，1 12 22kb - 2b 2；1 2 1 21323，13 / 281 g2 = = k 2 ++ k 2 = 2k 2 +== = ，A ． ⎢ ⋅ ⎥B ． 0, ⎥C ． ⎢ , +∞ ⎪D ． 0, ⎥ ⋃ ⎢ , +∞ ⎪又由 ⎨⎧a +b = 7, a 2 + b 2 = 25, b = 4 b = 3当取点 (3, 4) 时， b = ，取点 (4,3) 时， = ，⎣ 3⎦ ⎝⎦⎝ ⎦⎣⎭又因为 k k = 1 2 2 3，即 y y x x 1 22 3 ，所以k 2 x x + kb (x + x )+ b 22kb - 2k 2b 22k - 2k 2b2k 2b + 2k - 2k 2b2k 21 212x xb 2bbb 31 2则得 b = 3k ，直线 l 的方程为 y = kx + b = kx + 3k = k (x + 3) ；当 y = 0 时， x = -3 ，所以直线 l 的横截距为定值 -3 .故选 A.2．如果直线 ax + by = 7 （ a > 0 ， b > 0 ）和函数 f ( x) = 1 + log m x （ m > 0 ， m ≠ 1）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆( x + b - 1)2 + ( y + a - 1)2 = 25 的内部或圆上，那么 b a的取值范围是（）⎡ 3 4 ⎤ ⎛ 3 ⎤⎡ 4 ⎫⎛ 3 ⎤ ⎡ 4 ⎫⎣ 4 3 4 4 3⎭【答案】A【解析】【分析】根据指数函数的性质，求得函数 f ( x ) 恒过定点 (1,1) ，求得 a + b = 7 ，又由 (1,1) 始终落在所给圆的内部或圆上，得 a 2 + b 2 ≤ 25 ，联立方程组，得到点 ( a , b ) 在以 (3,4) 和 (4,3) 为端点的线段上运动，利用斜率公式，即可求解．【详解】根据指数函数的性质，可得函数 f ( x) = 1 + log m x,( m > 0, m ≠ 1) ，恒过定点 (1,1) .将点 (1,1) 代入 ax + by = 7 ，可得 a + b = 7 .由于 (1,1) 始终落在所给圆的内部或圆上，所以 a 2 + b 2 25 .⎧a = 3 ⎧a = 4解得 ⎨ 或 ⎨ ，⎩ ⎩ ⎩所以点 ( a , b ) 在以 (3,4) 和 (4,3) 为端点的线段上运动，4 b 3a 3 a 41414 / 28的取值范围是 ⎢ ⎥ AP 2 + m 2 + 1 ⎝ y 2 + 1 ⎫ ⎪ = ⋅ y 2 ⎭ m 2 + 1y 2 y 2 m 2 + 1 ⋅ 64a 2 = 4a 2(m 2 + 1) | AP |2 +所以 b⎡ 3 , 4 ⎤.a ⎣ 4 3 ⎦3．过 x 轴上的点 P (a,0 )的直线与抛物线 y 2 = 8x 交于 A, B 两点，若 1| AP |2值为（）A.1B. 2C ． 3D ． 4【答案】D【解析】设直线 AB 的方程为 x = my + a ，代入 y 2 = 8x ，得 y 2 - 8my - 8a = 0 ，1+ 为定值，则实数 a 的 | BP |2设 A (x , y ), B (x , y 1 1 2 2 ) ，则 y 1 + y = 8m , y ⋅ y = -8a .2 1 2AP 2 = (x - a )2 + y 2 = (my 111同理， BP 2 = (m 2 + 1)y 2 ，2)2 + y 2 = (m 2 + 1)y 2 ，1 1∴ 11 BP2 = 1 ⎛ 1 12 1 21 ( y + y )2 - 2 y y 1 2 1 2= 1 64m 2 - 2 ⨯ (-8a ) 4m 2 + a 1 ，∵ 1 | BP |2 为定值，是与 m 无关的常数，∴ a = 4 ．故选 D ．4．已知 A 、B 是抛物线 y 2＝4x 上异于原点 O 的两点，则“ • ＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的（）A ．充分非必要条件B ．充要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件【答案】B【解析】根据题意，A 、B 是抛物线 y 2＝4x 上异于原点 O 的两点，设 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若“• ＝0”，则设直线 AB 方程为 x ＝my +b ，将直线 AB 方程代入抛物线方程 y 2＝4x ，可得 y 2﹣4my ﹣4b ＝0，则 y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4b ，1515 / 28若• ＝0，则 • ＝x 1x 2+y 1y 2＝（）+y 1y 2＝ +y 1y 2＝b 2﹣4b ＝0，解可得：b ＝4 或 b ＝0，又由 b ≠0，则 b ＝4，则直线 AB 的方程为 x ＝my +4，即 my ＝x ﹣4，则直线 AB 恒过定点（4，0），“• ＝0”是“直线 AB 恒过定点（4，0）”的充分条件；反之：若直线 AB 恒过定点（4，0），设直线 AB 的方程为 x ＝my +4，将直线 AB 方程代入抛物线方程 y 2＝4x ，可得 y 2﹣4my ﹣16＝0，则有 y 1y 2＝﹣16，此时故“••＝x 1x 2+y 1y 2＝（）+y 1y 2＝ +y 1y 2＝0，＝0”是“直线 AB 恒过定点（4，0）”的必要条件；综合可得：“• ＝0”是“直线 AB 恒过定点（4，0）”的充要条件；故选：B ．5．设 F 1 (-c,0), F 2 (c,0) 是双曲线 C : x 2 y 2 - a 2 b2= 1(a > 0,b > 0) 的左右焦点，点 P 是 C 右支上异于顶点的任意一点，PQ 是 ∠F 1PF 2 的角平分线，过点 F 1作 PQ 的垂线，垂足为 Q ，O 为坐标原点，则 | OQ | 的长为（）A ．定值 aB ．定值 bC ．定值 cD ．不确定，随 P 点位置变化而变化【答案】A【解析】依题意如图，延长 F 1Q ，交 PF 2 于点 T ， ∵ PQ 是∠F 1PF 2 的角分线．TF 1 是 PQ 的垂线， ∴ PQ 是 TF 1 的中垂线，∴|PF 1|＝|PT |，∵P 为双曲线 x 2 y 2 - a 2 b 2= 1 上一点，∴|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ， ∴|TF 2|＝2a ，在三角形 F 1F 2T 中，QO 是中位线， ∴|OQ |＝a ．故选：A ．1616 / 286．设点P(x,y)是圆C:x2+y2+2x-2y+1=0上任意一点，若-2x+y+1+2x-y-a为定值，则a的值可能为（）A．-3B．-4C．-5D．-6【答案】D【解析】【分析】若-2x+y+1+2x-y-a为定值，则2x-y-a≥0，由直线2x-y-a=0与圆相切结合图象可得a的范围，从而得出正确选项．【详解】圆C标准方程为(x+1)2+(y-1)2=1，圆心为C(-1,1)，半径为r=1，直线l:2x-y-a=0与圆相切时，-2-1-a5=1，a=-3±5，当a=-3+5时，圆C在直线l上方，2x-y-a≤0，当a=-3-5时，圆C在直线l下方，2x-y-a≥0，若-2x+y+1+2x-y-a为定值，则2x-y-a≥0，因此a≤-3-5．只有D满足．故选：D.1717/28A ． ⎛ 48 ⎫ , ⎪B ． , ⎪C ． (2,0 )D ． (9,0 )，直线 AB 经过定点 , ⎪ ，选 A.7．已知圆 C ： x 2 + y 2 = 4 ，点 P 为直线 x + 2 y - 9 = 0 上一动点，过点 P 向圆 C 引两条切线 P A, PB ，A, B 为切点，则直线 AB 经过定点（）⎛ 2 4 ⎫ ⎝ 9 9 ⎭⎝ 9 9 ⎭【答案】A【解析】设 A (x , y ), B (x , y ), P (x , y ),1122则 P A : x 1x + y 1 y = 4; PB : x 2 x + y 2 y = 4;即 x 1 x 0 + y 1 y 0 = 4; x 2 x 0 + y 2 y 0 = 4;因此 A 、 B 在直线 x 0 x + y 0 y = 4 上，直线 AB 方程为 x 0 x + y 0 y = 4 ，又 x 0 + 2 y 0 - 9 = 0 ，所以 (9 - 2 y 0 )x + y 0 y = 4 ⇒ y (y - 2x )+ 9x - 4 = 0 08 4 ⎛ 4 8 ⎫ 即 y - 2 x = 0,9 x - 4 = 0 ⇒ y = , x =9 9 ⎝ 9 9 ⎭8．已知圆 O ： x 2+ y 2= 1，直线 l ：y = kx +b (k ≠0)，l 和圆 O 交于 E ，F 两点，以 Ox 为始边，逆时针旋4转到 OE ，OF 为终边的最小正角分别为 α，β，给出如下 3 个命题：①当 k 为常数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值；②当 k 为变数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值；③当 k 为变数，b 为常数时，sin (α＋β)是定值．其中正确命题的个数是()1818 / 281 1⎪ y = sin α， ⎪ y = sin β， 22x + y = ⎪ 1 2k + 1 2b -4 ， 8k b 2 - ⎪ - 8kb 2x = cos α， x = cos β，⎪ 1 1⎪ y = sin α， ⎪ y = sin β， x = cos α， x = cos β，⎪ x + x =-， 4x (kx + b ) + 4x (kx + b ) = 8kx x + 4b ( x + x ) = ⎝=-， k 2 + 1k 2 + 11 ⎩ ⎩⎪2 1 ⎩ ⎩⎪ 2 ⎩ ⎩ A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】⎧ ⎧ 1 ⎪ 1 2⎪ 2 2 【分析】首先设出 E( x ，y ) ， F ( x ，y ) ，进而可得 ⎨ ⎨再将直线和 1 1 2 2 ⎪ 1 2 2圆联立方程组，运用韦达定理即可进行判断.⎧ ⎧ 1 ⎪ 1 2⎪ 2 2 【详解】设点 E( x ，y ) ， F ( x ，y ) ，由三角函数的定义得 ⎨ ⎨ 1 1 2 2⎪ 1 2 2⎧ y = kx + b ，⎪将直线 EF 的方程与的方程联立 ⎨ 1⎪ 4得 (k 2+ 1)x 2+ 2kb x + b 2- 1= 0 ，4⎧2kb 2 ⎪由韦达定理得 ⎨ 1⎪ ⎪ x 1x 2 = k 2+ 1所以 sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β = 4 x y + 4 x y =2 11 2⎛ 1 ⎫ 4 ⎭ 2k2 1 1 2 1 2 1 2因此，当 k 是常数时， sin(α + β ) 是常数，故选 B (特值法可秒杀)9．斜率为 k 的直线 l 过抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 焦点 F ，交抛物线于 A, B 两点，点 P( x 0 , y 0 ) 为 AB 中点，作 OQ ⊥ AB ，垂足为 Q ，则下列结论中不正确的是（）uuuv uuuvA ． ky 0 为定值B ． OA ⋅ OB 为定值C ．点 P 的轨迹为圆的一部分D ．点 Q 的轨迹是圆的一部分1919 / 28整理得 y 1 - y 2 = ,∴ k = ,∴ ky = 2 p . 为定值，所以 A 正确. y + y y ⎪⎩ y 2 = 2 px 4k 2 x 2 - 4 p (k 2+ 2) x + p 2k 2 = 0 ，则 x + x = , x x = k 4 2 2 2 4 3 4【答案】C【解析】设抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 上 A, B 两点坐标分别为 A (x , y ), B (x , y1122) ，则y 2 = 2 px , y 1122 = 2 px , 两式做差得， ( y + y )( y - y ) = 2 p ( x - x ) ，2 1 2 1 2 1 2x - x 122 p 2 p1 2 0⎧p p p ⎪ y = k ( x - )因为焦点 F ( ,0) ，所以直线 AB 方程为 y = k ( x - ) .由 ⎨ 2 得2 21 2 2 1 2 2p (k 2 + 2) p 2,p p p p 2y y = k 2 ( x - )( x - ) = k 2[ x x - ( x + x ) + ] = - p 2 . 1 2 1 2 1 2 1 2uuuv uuuv∴ O A ⋅ O B = x x + y y = - p 2为定值.故 B 正确.1 2 1 2Q OQ ⊥ AB,∴点 Q 的轨迹是以 OF 为直径的圆的一部分，故 D 正确.本题选择 C 选项.10．已知抛物线 C : y 2 = 8 x ，圆 F : ( x - 2)2 + y 2 = 4 ，直线 l : y = k ( x - 2)(k ≠ 0) 自上而下顺次与上述两曲线交于 M 1, M 2 , M 3 , M 4 四点，则下列各式结果为定值的是（）A ． M M ⋅ M M1324B ． FM ⋅ FM14C ． M M ⋅ M M1 2 34D ． FM ⋅ M M1 12【答案】C【解析】2020 / 28⎧1由 ⎨ y = k (x - 2) ⎩ y 2 = 8x 消去 y 整理得 k 2 x 2 - (4k 2 + 8) x + 4k 2 = 0(k ≠ 0) ，设 M 1 ( x 1 , y 1 ), M 4 ( x 2 , y 2 ) ，则 x 1 + x 2 = 4k 2+ 8 k 2, x x = 4 ． 1 2过点 M 1 , M 4 分别作直线 l ' : x = -2 的垂线，垂足分别为 A, B ，则 M F = x + 2, M F = x + 2 ．11 4 2对于 A ， M M ⋅ M M 1324= ( M F +2)( M F + 2) = ( x + 4)( x + 4)1 4 1 2= x x + 4( x + x ) + 16 ，不为定值，故 A 不正确．1 2 12对于 B ， FM ⋅ FM 14= ( x + 2)( x + 2) = x x + 2( x + x ) + 4 ，不为定值，故 B 不正确．1 2 1 2 1 2对于 C ， M M ⋅ M M 1234= ( M F -2)( M F - 2) = x x = 4 ，为定值，故 C 正确．1 4 1 2对于 D ， FM ⋅ M M 112= M F ⋅( M F - 2) = ( x + 2) x ，不为定值，故 D 不正确．选 C ．1 1 1 1点睛：抛物线定义的两种应用：（1）当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点 M 满足定义，它到准线的距离为 d ，则|MF |＝d ，有关距离、最值、弦长等是考查的重点；（2）利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线．11．在平面直角坐标系中，两点 P (x , y ), P (x , y111222) 间的“L -距离”定义为‖PP 1 2|=| x - x | + | y - y |.1 2 1 2则平面内与 x 轴上两个不同的定点 F 1 , F 2 的“L -距离”之和等于定值（大于 | F F 2 ）的点的轨迹可以是（）2121 / 28当 -c ≤ x < c, y < 0 时，方程化为 y = c - ；= 1与e 、e ，则 1 = 1(a > 0, b > 0) 的离心率分别是 1 e 2e 2A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：设 F 1 (-c,0), F 2 (c,0) ，再设动点 M ( x, y) ，动点到定点 F 1 , F 2 的“L 距离”之和等于m (m > 2c > 0) ，由题意可得： x + c + y + x - c + y = m ，即 x + c + x - c + 2 y = m ，当 x < -c, y ≥ 0 时，方程化为 2 x - 2 y + m = 0 ；当 x < -c, y < 0 时，方程化为 2 x + 2 y + m = 0 ；当 -c ≤ x < c, y ≥ 0 时，方程化为 y = m 2- c ；m2当 x ≥ c, y ≥ 0 时，方程化为 2 x + 2 y - m = 0 ；当 x ≥ c, y < 0 时，方程化为 2 x - 2 y - m = 0 ；结合题目中给出四个选项可知，选项 A 中的图象符合要求，故选 A ．12．有如下 3 个命题；①双曲线 x 2 y 2 - a 2 b 2= 1(a > 0, b > 0) 上任意一点 P 到两条渐近线的距离乘积是定值；②双曲线 x 2 y 2 x 2 y 2 - - a 2 b 2 b 2 a 22 e 2 + e 2 2 是定值； 1 2③过抛物线 x 2 = 2 py( p > 0) 的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是 A 、B ，则直线 AB 过定点；其中正确的命题有（）A ．3 个B ．2 个C ．1 个D ．0 个【答案】A【解析】【分析】求得双曲线的渐近线方程，设出 P （m ，n ），运用点到直线的距离公式，化简可得定值，即可判断2222 / 28=a 2 2 2 即有 e 12= ，e 22= ，可得 1 2 p (t - s ) 2 p 2 p 2 pk AB = = ，可得直线 AB 的方程为 y ﹣ = （x ﹣s ），即为 y= x+2p ，t + ss 2 t 2①；运用双曲线的离心率公式和基本量的关系，化简可得定值，可判断②；可设 A （s ，），B （t ，）， 2 p 2 p求得直线 AB 的斜率和 st=﹣4p 2，运用点斜式方程可得直线 AB 的方程，化简可得定点，即可判断③．【详解】①双曲线 x 2 y 2 - a 2 b 2= 1 （a ＞0，b ＞0）上任意一点 P ，设为（m ，n ），bbm + an bm - an b 2m 2 - a 2n 2 两条渐近线方程为 y=± x ，可得两个距离的乘积为 • = ，a a 2 +b 2 a 2 + b 2 a 2 + b 2由 b 2m 2﹣a 2n 2 2b 2，可得两个距离乘积是定值 a 2b 2 a 2 + b 2；②双曲线 x 2 y 2 x 2 y 2 - =1 与 - a b b a 2= 1 （a ＞0，b ＞0）的离心率分别是 e 1，e 2，a 2 +b 2 a 2 + b 2 e 2 + e 2 2 为定值 1；a 2b 2e 2e 2 1 2③过抛物线 x 2=2py （p ＞0）的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是 A ，B ，s 2 t 2 s 2t 2可设 A （s ，），B （t ，），由 OA⊥OB 可得 st+2 p 2 p 4 p 2=0，即有 st=﹣4p 2，t 2 - s 2s 2 t + s t + s 2 p则直线 AB 过定点（0，2p ）．三个命题都正确．故选 A ．13. 抛物线 y 2 = 4 x 上两个不同的点 A ， B ，满足 OA ⊥ OB ，则直线 AB 一定过定点，此定点坐标为 __________．【答案】 (4,0) .【解析】分析：设出 AB 的方程，A ，B 的坐标，进而把直线与抛物线方程联立消去 x ，根据韦达定理求得 y 1 + y 2 ，y y 的表达式，进而根据 AO⊥BO 推断出 (ty + b )(ty + b )+ y y = 0 ，求得 b ，即可求出结果．1 2 1 2 1 22323 / 28= 8, = b 2 ，解得 b = 0 .P详解：设直线 l 的方程为 x = ty + b 代入抛物线 y 2 = 4 x ，消去 x 得 y 2 - 4ty - 4b = 0 ,设 A (x , y )， B (x , y1 12 2) ，则 y 1+ y = 4t ， y y = -4b ，2 1 2uuuv uuuv∴ OA ⋅ O B = (ty + b )(ty + b )+ y y = t 2 y y + bt (y + y )+ b 2 + y y1 21 21 2121 2= -4bt 2 + 4bt 2 + b 2 - 4b= b 2 - 4b=0 ，∴ b = 0 （舍去）或 b = 4 ,故直线 l 过定点 (4,0 )．14．已知点 A(-2,0), B(4,0) ，圆 C : ( x + 4) 2+ ( y + b ) 2= 16, 点 P 是圆 C 上任意一点，若则 b = ________.【答案】0P APB为定值，【解析】试题分析：设 P( x , y) ， P A ( x + 2)2 + y 2= k ，则PB ( x - 4)2 + y 2= k ，整理得 (1- k 2 ) x 2 + (1- k 2 ) y 2 + (4 + 8k 2 ) x + 4 - 16k 2 = 0 ，又 P 是圆 C 上的任意一点，故 k ≠ 1 ，圆 C 的一般方程为 x 2 + y 2 + 8x + 2by + b 2 = 0 ，因此 2b = 0 ，4 + 8k 2 4 - 16k 21 - k2 1 - k 215．在平面直角坐标系 xoy 中，A ，B 为 x 轴正半轴上的两个动点，（异于原点 O ）为 y 轴上的一个定点．若以 AB 为直径的圆与圆 x 2＋(y －2)2＝1 相外切，且∠APB 的大小恒为定值，则线段 OP 的长为_____．【答案】 3【解析】分析：设 O 2（a ，0），圆 O 2 的半径为 r （变量），OP=t （常数），利用差角的正切公式，结合以 AB 为直径的圆与圆 x 2+（y-2）2=1 相外切．且∠APB 的大小恒为定值，即可求出线段 OP 的长．详解：设 O 2（a ，0），圆 O 2 的半径为 r （变量），OP=t （常数），则2424 / 282rt t ta 2 - r 2 t 2 + a 2 - r 2∴ tan ∠APB = 2rt ⎪⎪ 2 ()=2+2(a > b > 0) 的离心率为 2 ，点 A ⎛ c, b ⎫⎪ ，点tan ∠OP A = a - r a + r, tan ∠OPB = ,t t∴ tan ∠APB = a + r a - r -1 +t 2=Q a 2 + 4 = r + 1 , ∴ a 2 = (n r +1)2 -4,2t=t 2 + 2r - 3 t 2 - 3 r+ 2∵∠APB 的大小恒为定值，∴t＝ 3 ，∴|OP|= 3 ．故答案为 316．在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆 x 2y 2+ = 1 上一点 A(2, 2) ，点 B 是椭圆上任意一点（异于点 A ），过8 4点 B 作与直线 OA 平行的直线 l 交椭圆于点 C ，当直线 AB 、AC 斜率都存在时， k AB + k AC =___________.【答案】0【解析】取特殊点 B (0, -2)，则 BC 的方程为 y + 2 = 2x ，2⎧ 2y + 2 = x 由 ⎨ ⎪ x 2 + y 2 = 4 ⎪⎩ 2得 C 2 2,0所以 kAB+ k2+ = 0 . 2 2 - 2 2【点睛】：在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆x 2 y 2 + a 2 b 2= 12 2 ⎝ a ⎭B 是椭圆上任意一点（异于点 A ），过点 B 作直线 OA 的平行线 l 交椭圆于点C ，当直线 AB 、AC 斜率都存在时，k AB+ k AC =0.2525 / 28, ⎪⎝ 2 2 ⎭ (x - x )2 + ( y - y )2 = λ 2 ⎡(x - 2)2 + y ( y - 3)2 ⎤ ，② ⎪ 02 3 ⎪ ⎪ 可得 ⎨-2 y 0 = -6λ02，解得 ⎨ y = ，2⎪ x 2 + y 2 + 4 = 17λ 2 ⎪ ⎪ 2 ⎪ λ =∴ B 点坐标为 , ⎪ ，故答案为 , ⎪ .18．在平面直角坐标系中， O 为坐标原点， M 、 N 是双曲线 - = 1 上的两个动点，动点 P 满足17． P 为圆 C : (x - 1)2+ y 2 = 5 上任意一点，异于点 A (2,3 )的定点 B 满足______．⎛ 3 3 ⎫ 【答案】【解析】PB P A为常数，则点 B 的坐标为设 P (x, y ), B (x , y ),0 0 P A PB= λ，则 (x - 1)2 + y 2 = 5 ，可得 x 2 + y 2 = 4 + 2 x ，①0 0 ⎣ ⎦由①②得 (2 - 2x 0)x - 2 y 0y + x 2 + y 2 + 4 = -2λ 2 x - 6λ 2 y + 17λ 2 ，0 0⎧3 x = ⎧2 - 2 x = -2λ 2 ⎪0 0 ⎩ 0 01 ⎩2⎛ 3 3 ⎫ ⎛ 3 3 ⎫ ⎝ 2 2 ⎭ ⎝ 2 2 ⎭x 2 y 22 4uuuv uuuuv uuuvOP = 2OM - ON ，直线 OM 与直线 ON 斜率之积为 2，已知平面内存在两定点 F 1 、F 2 ，使得 PF 1 - PF 2为定值，则该定值为________【答案】 2 10【解析】设 P （x ，y ），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），uuuv uuuuv uuuv则由 OP = 2OM - ON ，得（x ，y ）=2（x 1，y 1）-（x 2，y 2），即 x=2x 1-x 2，y=2y 1-y 2，x 2y 2x 2 y 2 x 2 y 2 ∵点 M ，N 在双曲线 - = 1 上，所以 1 - 1 = 1 ， 2 - 2 = 1 ，2 4 2 4 2 42626 / 2819．椭圆 E ： + = 1 的左顶点为 A ，点 B, C 是椭圆 E 上的两个动点，若直线 AB, AC 的斜率乘积设 B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则 x 1+x 2=，x 1x 2= ，又 A （﹣2，0），由题知 k AB •k AC =y y 1n =﹣ ，⎩ (1 + 4k )(4m故 2x 2-y 2=（8x 12+2x 22-8x 1x 2）-（4y 12+y 22-4y 1y 2）=20-4（2x 1x 2-y 1y 2），设 k 0M ，k ON 分别为直线 OM ，ON 的斜率，根据题意可知 k 0M k ON =2， ∴y 1y 2-2 x 1x 2=0， ∴2x 2-y 2=20，所以 P 在双曲线 2x 2-y 2=20 上；设该双曲线的左，右焦点为 F 1，F 2，由双曲线的定义可推断出 PF - PF为定值，该定值为 2 101 2x 2 y 24 31为定值 - ，则动直线 BC 恒过定点的坐标为__________．4【答案】 (1,0)【解析】当直线 BC 的斜率存在时，设直线 BC 的方程为 y=kx+m ，⎧ x 2 y 2 ⎪ + 由 ⎨ 4 3= 1，消去 y 得：（3+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0， ⎪ y = kx + m-8km 4m 2 - 12 3 + 4k 2 3 + 4k 21 2x + 2 x + 2 41 2则（x 1+2）（x 2+2）+4y 1y 2=0，且 x 1，x 2≠﹣2，则 x 1•x 2+2（x 1+x 2）+4+4（kx 1+m ）（kx 2+m ） =（1+4k 2）x 1x 2+（2+4km ）（x 1+x 2）+4m2+4=23 + 4k 22- 12)+（2+4km ）-8km3 + 4k2+4m2+4=0则 m 2﹣km ﹣2k 2=0，∴（m ﹣2k ）（m+k ）=0，∴m=2k 或 m=﹣k ．2727 / 28当 m=2k 时，直线 BC 的方程为 y=kx+2k=k （x+2）．此时直线 BC 过定点（﹣2，0），显然不适合题意．当 m=﹣k 时，直线 BC 的方程为 y=kx ﹣k=k （x ﹣1），此时直线 BC 过定点（1，0）．当直线 BC 的斜率不存在时，若直线 BC 过定点（1，0），B 、C 点的坐标分别为（1，3 3），（1，﹣ ），满足 2 2k AB •k AC =﹣ 1 4．综上，直线 BC 过定点（1，0）．故答案为：（1，0）．点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.2828 / 28。

解析几何中定点定值问题

P
O
2
2
Q
A
x
Q'
y
P' M
P
O
Q
A
x
Q'
由题意， P(－a,0),Q(a,0),设 M(x0,y0),直线 PM、 MQ y0 y0 y02 的斜率分别为 k1，k2,k1k2= . = 2 2,（*） x0+a x0－a x0 －a x0 y0 x0 2 2 ∵ 2 ＋ 2 ＝1,∴y0 =b (1－ 2 ),代入（*）化简得: a b a b k1k2=－ 2． a
策略二
设直线PM和MQ方程
（斜率k1， k2）
求点P′、Q′坐标
写出圆C方程
寻找定点
解：设直线 PM、MQ 的斜率分别为 k1， k2，则 k1k2＝－1，直线 PM 的方程为 y＝k1(x＋1)，令 x＝3，则点 P′(3，4k1)，直线 MQ 的方程为 y＝k2(x－1)，令 x＝3，则点 Q′(3，2k2)，以 P′Q′为直径的圆的方程为: (x－3)(x－3)＋(y－4k1)(y－2k2)＝0， 1 即(x－3) ＋y －8－2(2k1－ )y＝0. k2
2 2
令 y＝0，得 x＝3± 2 2，所以圆 C 经过定点，定点坐标为(3± 2 2，0).
探究一
4t 2t 解法一：P′(3， ),Q′(3， ), s＋ 1 s－ 1 解法二：P′(3，4k1)，Q′(3，2k2).
4t 2t 8t2 y1 y2= = 2 =－8. s＋ 1 s－ 1 s － 1
题意分析
（1）“动因”是什么？（2）“恒成立”的式子是什么？（3）如何寻找定点？
制定策略
设点M坐标
写出直线PM和MQ方程

解析几何中的定点和定值问题

解析几何中的定点定值问题考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。

此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。

考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。

一、定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。

例1、已知A 、B 是抛物线y 2=2p x (p >0)上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+β=4π时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。

解析：设A 〔121,2y p y 〕，B 〔222,2y py 〕，则 212tan ,2tan y py p==βα，代入1)tan(=+βα得221214)(2p y y y y p -=+ 〔1〕又设直线AB 的方程为b kx y +=，则022222=+-⇒⎩⎨⎧=+=pb py ky pxy bkx y ∴kpy y kpby y 2,22121=+=，代入〔1〕式得pk p b 22+= ∴直线AB 的方程为)2(2p x k p y +=- ∴直线AB 过定点〔-)2,2p p说明：此题在特殊条件下很难探索出定点，因此要从已知出发，把所求的定点问题转化为求直线AB ，再从AB 直线系中看出定点。

例2．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -相切． ⑴求椭圆C 的方程；⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．解析：⑴由题意知c e a ==22222234c a b e a a -===，即224a b =，又因为1b ==，所以224,1a b ==，故椭圆C 的方程为C ：2214x y +=．⑵由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为(4)y k x =- ① 联立22(4)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：2222(41)324(161)0k x k x k --+-=，由2222(32)4(41)(644)0k k k ∆=-+->得21210k -<，又0k =不合题意，所以直线PN的斜率的取值范围是0k <<或0k <<． ⑶设点1122(,),(,)N x y E x y ，则11(,)M x y -，直线ME 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--，令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+，将1122(4),(4)y k x y k x =-=-代入整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ②由得①2212122232644,4141k k x x x x k k -+==++代入②整理，得1x =，所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)．【针对性练习1】在直角坐标系xOy 中，点M到点()1,0F，)2,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程；⑵当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．解：⑴∵点M到(),0，),0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x轴上焦中为的椭圆，其方程为2214x y +=．⑵将y kx b =+，代入曲线C的方程，整理得22(14)40k x +++= ，因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ∆=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y，则12x x +=，122414x x k=+ ②且2212121212()()()()y y kx b kx b k x x kb x x b ⋅=++=+++，显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -，所以()112,AP x y =+，()222,AQ x y =+．由0AP AQ ⋅=，得1212(2)(2)0x x y y +++=．将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．所以(2)(65)0k b k b -⋅-=，即2b k =或65b k =．经检验，都符合条件①，当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点．即直线l 经过点A ，与题意不符．当65b k =时，直线l 的方程为6556y kx k k x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．显然，此时直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点，且不过点A ．综上，k 与b 的关系是：65b k =，且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点．【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。

解析几何中定值与定点问题(最新整理)

y2 b2
1上的点( x0 , y0 )处的椭圆切线方程是
x0 x a2
y0 y b2
1,证明直线
AB 恒过椭圆的右
焦点 F2 ;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，试探究 1 1 的值是否恒为常数,若是,求出此常数;若不是,请 | AF2 | | BF2 |
说明理由.
x2 4、椭圆 C : a2
y2 b2
【实例探究】题型 1：定值问题:
例 1：已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线
的
焦点，离心率等于（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆 C 的右焦点作直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，交 y 轴于 M 点，若
为定值.
解：（I）设椭圆 C 的方程为
，则由题意知 b = 1.
解析几何中定值与定点问题【探究问题解决的技巧、方法】
(1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．
(2)解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究．
( 3
k2
t,
1 k
1)
1 1 1 ( 1 1) k 2
k 3k
直线SA的方程为y 2x 1 A(1 ,0) 2
同理 B( 3 ,0) 2
cos CSD cos ASB SA2 SB2 AB2 3
sin CSD 4
2SB SA
3 ,过 F1 且垂直 2
于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
(Ⅱ)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点,连接 PF1, PF2 ,设 F1PF2 的角平分线 PM 交

解析几何定点、定值问题

解析几何定点、定值问题1、已知椭圆C ：(22221>>0)y x a b a b+=的离心率为21，以原点为圆点，椭圆的短半轴为半径的圆与直线06=+-y x 相切。

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设P （4，0），A,B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；2、斜率为1的直线l 过抛物线2:2(0)y px p Ω=>的焦点F ，与抛物线交于两点A ，B 。

（1）若|AB|=8，求抛物线Ω的方程；（2）设P 是抛物线Ω上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 分别交抛物线的准线于M ，N 两点，证明M ，N 两点的纵坐标之积为定值（仅与p 有关）。

3、在平面直角坐标系中，点(,)P x y 为动点，已知点A，(B ，直线PA 与PB的斜率之积为12-.（I ）求动点P 轨迹E 的方程;（II ）过点(1,0)F 的直线l 交曲线E 于,M N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为Q (Q M 、不重合)，求证：直线MQ 过定点.4、如图，曲线C 1是以原点O 为中心，F 1、F 2为焦点的椭圆的一部分，曲线C 2是以原点O为顶点，F 2为焦点的抛物线的一部分，3(2A 是曲线C 1和C 2的交点.(Ⅰ)求曲线C 1和C 2所在的椭圆和抛物线的方程；(Ⅱ)过F 2作一条与x 轴不垂直的直线，分别与曲线C 1、C 2依次交于B 、C 、D 、E 四点，若G 为CD 中点，H 为BE 中点，问22||||||||BE GF CD HF ⋅⋅是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.5、已知抛物线)0(22>-=p px y 的焦点为F ，过F 的直线交y 轴正半轴于P 点，交抛物线于,A B 两点，其中A 在第二象限。

（1）求证：以线段FA 为直径的圆与y 轴相切；（2）若12FA AP,BF FA λλ==，求21λλ-的值.6、已知抛物线:C 22(0)y px p =>的准线为l ,焦点为F .⊙M 的圆心在x 轴的正半轴上,且与y 轴相切．过原点O 作倾斜角为3π的直线,交l 于点A , 交⊙M 于另一点B ,且2AO OB ==.（Ⅰ）求⊙M 和抛物线C 的方程；（Ⅱ）过圆心M 的直线交抛物线C 于P 、Q 两点,求OP OQ ⋅的值。

解析几何中的定点和定值问题之欧阳歌谷创编

解析几何中的定点定值问题欧阳歌谷（2021.02.01）考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。

此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。

考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。

例1、已知A、B是抛物线y2=2p x (p>0)上异于原点O点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当α、ββ=4π时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标。

例2．已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y-+=相切．⑴求椭圆C的方程；⑵设(4,0)P，M、N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PN交椭圆C于另一点E，求直线PN的斜率的取值范围；⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．【针对性练习1】在直角坐标系xOy 中，点M 到点()13,0F -，()23,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程；⑵当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。

设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y 。

（1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹；（2）设31,221==x x ，求点T 的坐标；（3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）。

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解析几何中的定点定值问题考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。

此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。

考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。

解析：设A （121,2y p y ），B （222,2y py ），则 212tan ,2tan y py p==βα，代入1)tan(=+βα得221214)(2p y y y y p -=+ （1）又设直线AB 的方程为b kx y +=，则022222=+-⇒⎩⎨⎧=+=pb py ky pxy bkx y ∴kpy y kpby y 2,22121=+=，代入（1）式得pk p b 22+= ∴直线AB 的方程为)2(2p x k p y +=- ∴直线AB 过定点（-)2,2p p说明：本题在特殊条件下很难探索出定点，因此要从已知出发，把所求的定点问题转化为求直线AB ，再从AB 直线系中看出定点。

例2．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -相切． ⑴求椭圆C 的方程；⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．解析：⑴由题意知c e a ==22222234c a b e a a -===，即224a b =，又因为1b ==，所以224,1a b ==，故椭圆C 的方程为C ：2214x y +=．⑵由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为(4)y k x =- ① 联立22(4)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：2222(41)324(161)0k x k x k --+-=，由2222(32)4(41)(644)0k k k ∆=-+->得21210k -<，又0k =不合题意，所以直线PN的斜率的取值范围是0k <<或0k <． ⑶设点1122(,),(,)N x y E x y ，则11(,)M x y -，直线ME 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--，令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+，将1122(4),(4)y k x y k x =-=-代入整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ②由得①2212122232644,4141k k x x x x k k -+==++代入②整理，得1x =，所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)．【针对性练习1】在直角坐标系xOy 中，点M到点()1,0F，)2,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程；⑵当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．解：⑴∵点M到(),0，),0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x轴上焦中为的椭圆，其方程为2214x y +=．⑵将y kx b =+，代入曲线C的方程，整理得22(14)40k x +++= ，因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ∆=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y，则12x x +=，122414x x k=+ ②且2212121212()()()()y y kx b kx b k x x kb x x b ⋅=++=+++，显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -，所以()112,AP x y =+，()222,AQ x y =+．由0AP AQ ⋅=，得1212(2)(2)0x x y y +++=．将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．所以(2)(65)0k b k b -⋅-=，即2b k =或65b k =．经检验，都符合条件①，当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点．即直线l 经过点A ，与题意不符．当65b k =时，直线l 的方程为6556y kx k k x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．显然，此时直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点，且不过点A ．综上，k 与b 的关系是：65b k =，且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点．【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。

设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y 。

（1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹；（2）设31,221==x x ，求点T 的坐标；（3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）。

【解析】本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。

考查运算求解能力和探究问题的能力。

解：（1）设点P （x ，y ），则：F （2，0）、B （3，0）、A （-3，0）。

由422=-PB PF ，得2222(2)[(3)]4,x y x y -+--+= 化简得92x =。

故所求点P 的轨迹为直线92x =。

（2）将31,221==x x 分别代入椭圆方程，以及0,021<>y y 得：M （2，53）、N （13，209-）直线MTA 方程为：0352303y x -+=+-，即113y x =+，直线NTB 方程为：032010393y x --=---，即5562y x =-。

联立方程组，解得：7103x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以点T 的坐标为10(7,)3。

（3）点T 的坐标为(9,)m直线MTA 方程为：03093y x m -+=-+，即(3)12my x =+，直线NTB 方程为：03093y x m --=--，即(3)6my x =-。

分别与椭圆15922=+y x 联立方程组，同时考虑到123,3x x ≠-≠，解得：2223(80)40(,)8080m m M m m -++、2223(20)20(,)2020m mN m m --++。

（方法一）当12x x ≠时，直线MN 方程为：222222222203(20)202040203(80)3(20)80208020m m y x m m m m m m m m m m -+-++=--+-++++ 令0y =，解得：1x =。

此时必过点D （1，0）；当12x x =时，直线MN 方程为：1x =，与x 轴交点为D （1，0）。

所以直线MN 必过x 轴上的一定点D （1，0）。

（方法二）若12x x =，则由222224033608020m m m m--=++及0m >，得210m =，此时直线MN 的方程为1x =，过点D （1，0）。

若12x x ≠，则210m ≠，直线MD 的斜率2222401080240340180MDmm m k m m m +==---+，直线ND 的斜率222220102036040120NDmm m k m mm -+==---+，得MD ND k k =，所以直线MN 过D 点。

因此，直线MN 必过x 轴上的点（1，0）。

【针对性练习3】已知椭圆C 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，短轴长为23．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是椭圆的左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．解: （Ⅰ）设椭圆的长半轴为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ，则22222,2,c b a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴ 椭圆C 的标准方程为 22143x y +=． …… 4分（Ⅱ）由方程组22143x y y kx m⎧⎪+=⎨⎪=+⎩ 消去y ，得()2223484120k x kmx m +++-=． …… 6分由题意△()()()22284344120km km=-+->，整理得：22340k m +-> ① ………7分设()()1122,,M x y N x y 、，则122834kmx x k+=-+， 212241234m x x k -=+ ． ……… 8分由已知，AM AN ⊥，且椭圆的右顶点为A (2,0)， ∴()()1212220x x y y --+=．…… 10分即 ()()()2212121240k x x km x x m ++-+++=，也即 ()()22222412812403434m km k km m k k--+⋅+-⋅++=++，整理得2271640m mk k ++=．解得2m k =- 或 27km =-，均满足① ……… 11分当2m k =-时，直线l 的方程为 2y kx k =-，过定点(2,0)，不符合题意舍去；当27k m =-时，直线l 的方程为 27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2(,0)7，故直线l 过定点，且定点的坐标为2(,0)7． ………… 13分例3、已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24x y =的焦点，离心率e =椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点。

（I ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点(,0)M m 是线段OF 上的一个动点，且()MA MB AB +⊥，求m 的取值范围；（Ⅲ）设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得C 、B 、N三点共线？若存在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由。

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