9-3 单摆和复摆

弹簧振子 k m
单摆
g l
复摆
mgl
J
第九章 振动
cos( 0) cos cos0 sin sin0
sin ;cos 1;sin0
a a2
g2
; cos0

g a2 g2
5、运动方程：
d 2
a2 g2
0
dt 2
l
6、单摆周期： T 2
l
g2 a2
a ma 0
a
0
9-3 单摆和复摆(Simple Pendulum and Compound Pendulum)
所受合力：F mg [V ( D)2 x] g
2
F g( D)2 x
2
kx
x
T 2 m
k
T 4 m D g
9-3-3 两个轻弹簧的劲度系数为k1和k2,则物体在光滑斜面上振动。 (1)证明其运动仍是简谐运动。 (2)求系统的振动频率。
k1 k2
弹簧振子放在倾角为的光滑斜面上，
区别：单摆是细线的长度， 复摆是支点到质心的距离。
第九章 振动
物理攻略
1.确定平衡位置，建立坐标。
2.偏离一点平衡位置， 做受力分析
3.利用牛顿定律列出运动方程。
4.通过判断加速度是否与位移成 正比且方向相反来确定是否是简 谐运动,能否得到简谐振动微分方 程。 5.是简谐运动，确定角频率。
9-3-2 如图所示，一质量为m、直径为D的塑料圆柱体一部分浸入密度为
正 向
FT m
r O
Fg sin
Fg cos
Fg
第九章 振动
9-3 单摆和复摆(Simple Pendulum and Compound Pendulum)
5 0.0873rad, sin5 0.0875
M J
转
A
动
正
向
v FT m
O
r J ml 2 Fg
第九章 振动
2 20
2
22
F k k1 k2 x k1k2 x
2 k1 k2 2
k1 k2
系统的振动频率：
即系统仍然做简谐运动，两个弹簧串联
后的等效劲度系数k k1k2 k k
v

1 T

1
2
k1
m 2
1
2
1 k1k2 m k1 k2
9-3 单摆和复摆(Simple Pendulum and Compound Pendulum)
2、对单摆做微扰，偏离平衡位置，且很小。
3、对单摆做受力分析：总力矩=惯性力力矩+重力矩
M mal cos( 0 ) mgl sin( 0 )
M

J

ml 2
d 2 dt 2
mal
cos(
0 ) mgl
sin(
0 )
4、数学分析： sin( 0) sin cos0 cos sin0
9-3 单摆和复摆( Simple Pendulum and Compound Pendulum)
单摆
1、O点为平衡位置：因为摆在 不摆动是就停止在该处。
2、定义正方向
3、力矩关系式：
r M

r rF
(通过转轴的力分量不影响转动)
M l Fg sin( ) l Fg sin
转
A
动
l v
弹簧一端固定，则弹簧振子的频率为：
v= 1 k
2 m
设原来弹簧系数为k,弹簧减掉一半后，劲度系数为：
设变为k ： 1
mg k
mg mg
k1 k1
kk 1
k

k1
11
k1

2 k1
k1 2k 增加为原来的两倍
9-3-3两个轻弹簧的劲度系数为k1和k2 ,则物体在光滑斜面上振动。 (1)证明其运动仍是简谐运动。 (2)求系统的振动频率。
的液体中，另一部分浮在液面上。如果用手轻轻向下按动圆柱体，放手后 圆柱体将上下振动。试证明该振动为简谐运动，并求振动周期(圆柱体表面 与液体的摩擦力忽略不计)。
1、以圆柱体平衡时为坐标原点，向下建立Ox轴。
平衡时所受合力：F gV mg 0
O
2、离开平衡位置移动一微小距离x, 受合力：
向上运动的电梯中，其频率为多少？
(1) v 1 1 g 0.35Hz
T 2 l
(2) 平衡位置 =0, 将单摆离开平衡位置x处 0
T cos ma mg
T
sin

m
d2x dt 2
= 1
T ma mg

T
x l

m
d2x dt 2
v 1 ag
2 l
d2x a g x 0 dt 2 l
=0.386Hz
思考题：若火车沿水平轨道以加速度a直线运动， 则车厢中摆长为l 的单摆周期为：
g2 a2

l
1、在非惯性参考系中进行受力分析，设平衡位置单摆与垂直 方向夹角0，绳子拉力T。则： T cos0 mg; T sin0 ma
对于平衡状态，设物体质量为m,有： 当离开平衡位置x处，有
mg sin

kx 2 20
k2 x20 k1x10
k (x x ) k (x x )
22
20
11
10
k x kx
22
11
物体在非平衡位置上所受合力为： 物体在非平衡位置上所受合力为：
F mg sin k (x x ) k x
复摆(物理摆)
一个质量分布复杂，形状任意的实 际物体，摆动是否也进行简谐运动？ 如果是，它的周期又是多少呢？
1、0点为支点，C点为复摆的质心， l 为支点与质心的距离
2、O点为平衡位置，定义正方向
3、 受力分析得运动方程
转动正向 O
l
*C
r Fg
（C点为质心）
第九章 振动
9-3 单摆和复摆( Simple Pendulum and Compound Pendulum)
9-3 单摆和复摆( Simple Pendulum and Compound Pendulum)
g
l
转
A
动
l
正 向
FT m
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J
ml 2
P
第九章 振动
挂灯与摆钟
9-3-1 (受力和力矩两种分析方法) (1) 摆长为2m的单摆频率为多少？ (2) 假定单摆的振幅很小，将它放在以加速度2.0 m/ s2
转动正向
O

l
*C
（C点为质心）
第九章 振动
9-3 单摆和复摆(Simple Pendulum and Compound Pendulum)
如果复摆的支点通过质心，它就不会摆
动，因为 l 0, T，意味着这样一
个摆永远无法完成一次摆动。
转动正向
O

l
*C
角谐振动
（C点为质心）
第九章 振动
9-3 单摆和复摆(Simple Pendulum and Compound Pendulum)