9-3 单摆和复摆
单摆复摆的区别
单摆和复摆最本质的区别应该是摆动所绕的轴不一样（单摆是绕点），从而导致了一系列的差异，详述如下：单摆simplependulum质点振动系统的一种，是最简单的摆。
绕一个悬点来回摆动的物体，都称为摆，但其周期一般和物体的形状、大小及密度的分布有关。
但若把尺寸很小的质块悬于一端固定的长度为l 且不能伸长的细绳上，把质块拉离平衡位置，使细绳和过悬点铅垂线所成角度小于5°，放手后质块往复振动，可视为质点的振动，其周期T只和l和当地的重力加速度g有关，即T=2π√(L/g)，而和质块的质量、形状和振幅的大小都无关系，其运动状态可用简谐振动公式表示，称为单摆或数学摆。
如果振动的角度大于5°，则振动的周期将随振幅的增加而变大，就不成为单摆了。
如摆球的尺寸相当大，绳的质量不能忽略，就成为复摆（物理摆），周期就和摆球的尺寸有关了。
伽利略第一个发现摆的振动的等时性，并用实验求得单摆的周期随长度的二次方根而变动。
惠更斯制成了第一个摆钟。
单摆不仅是准确测定时间的仪器也可用来测量重力加速度的变化。
惠更斯的同时代人天文学家J.里希尔曾将摆钟从巴黎带到南美洲法属圭亚那，发现每天慢2.5分钟，经过校准，回巴黎时又快2.5分钟。
惠更斯就断定这是由于地球自转引起的重力减弱。
I.牛顿则用单摆证明物体的重量总是和质量成正比的。
直到20世纪中叶，摆依然是重力测量的主要仪器。
复摆compoundpendulum在重力作用下，能绕通过自身某固定水平轴摆动的刚体。
又称物理摆。
复摆的转轴与过刚体质心C并垂直于转轴的平面的交点O称为支点或悬挂点。
摆动过程中，复摆只受重力和转轴的反作用力，而重力矩起着回复力矩的作用。
设质量为m的刚体绕转轴的转动惯量为I，支点至质心的距离为s，则复摆微幅振动的周期T=2π√(I/mgs)，式中g为重力加速度。
它相当于摆长l＝I／ms的单摆作微幅振动的周期。
在OC的延长线上取O′点使OO′＝l（l称等价摆长）则此点称为复摆的摆动中心。
简谐振动演示09
2 A2
2 A1 A2 cos( 2 1 )
o
2 2 2
60
0
A
x
A A A 5 10 (m)
平衡位置 x = 0
55
关于谐振动的合成的计算
教材
下册书 P38 9-5 9-28 9-30
56
(二)、 同一直线上两个不同频率谐振动的合成
当 2 1时 2 1 2 1 x1
9-6
9-7
基训:P93 例1 习题:A卷:一 1. 2. B卷:一 1.
17
9-2、旋转矢量
1.设一矢量 OM 逆时针方向 匀速转动，角速为
OM A
y
y
M
A
t 0
2. t 时刻矢端 M 点的位
o
t 0 x
置（坐标） x A cos(t 0 ) y A sin( t 0 )
由此可见： 旋转矢量的端点在坐标轴上投影点的运 动为谐振动 旋转矢量旋转一周 投影点全振动一次
19
X
例1
一谐振动的相位为
3 3 3 画旋转矢量，指出其投影点 的位置
, 2
,
60
x
o
60
例2
质点在平衡位置向 x 轴正向运动，
画对应的旋矢，指出其相位是多 少？ 3 ( )
t=0时与x轴
正方向夹角 t时刻与x轴
x
正方向夹角
t=0时 刻 与t时 夹角
相位 t +
平衡位置 x=0 t
简谐振动的解题方法：
1. 解析法 2. 图示法
x A cos(t )
3。旋转矢量法（几何法） x x
《单摆和复摆》课件
如何设计一个实验来验证单摆 和复摆的周期公式？
THANKS
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复摆的回复力由重力和支点的 支持力合成，方向始终指向平 衡位置。
单摆和复摆的能量转换
单摆和复摆在运动过程中，动能 和势能之间相互转换。
当摆角较小时，单摆的运动近似 简谐振动，能量转换呈现周期性
变化。
复摆在运动过程中，由于支点摩 擦和空气阻力等因素，能量会有
所损失，导致运动周期变长。
03
单摆和复摆的应用
02
4. 启动计时器，记录复摆完成一 个周期的时间。
实验结果和实验分析
实验结果
通过实验测量得到单摆和复摆的运动周期，并记录在表格中。
实验分析
根据测量结果，分析单摆和复摆的运动特性，比较两者之间的差异。通过计算单摆的振动周期公式 T=2π√(L/g) ，其中L为单摆的长度，g为重力加速度，验证理论公式是否与实验结果相符。对于复摆，分析其转动惯量、质量 等因素对周期的影响。
钟表和计时器中的应用
钟表的核心机制
复摆在高级钟表中的应用
单摆被用作钟表的核心计时机制。其 规律的周期性运动被转换成时间单位 ，如秒、分、小时。
在高级机械钟表中，复摆常用于更精 确地调节和平衡钟表的运行。
精确度与稳定性
由于单摆的简单运动模式和自然频率 的稳定性，它为钟表提供了高精度的 时间基准。
振动隔离和减震中的应用
实验步骤和实验操作
3. 开始计时，记录单摆和复摆的运动周期。 4. 重复实验多次，求平均值。
5. 分析实验数据，得出结论。
实验步骤和实验操作
实验操作 1. 调整单摆的长度，使小球能够自由摆动。
2. 启动计时器，记录单摆完成一个周期的时间。
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单摆是质点振动系统的一种,是最简单的摆.绕一个悬点来回摆动的物体,都称为摆,但其周期一般和物体的形状、大小及密度的分布有关.但若把尺寸很小的质块悬于一端固定的长度为l且不能伸长的细绳上,把质块拉离平衡位置,使细绳和过悬点铅垂线所成角度小于5°,放手后质块往复振动,可视为质点的振动,其周期T只和l和当地的重力加速度g有关,即T=2π√(L/g),而和质块的质量、形状和振幅的大小都无关系,其运动状态可用简谐振动公式表示,称为单摆或数学摆.如果振动的角度大于5°,则振动的周期将随振幅的增加而变大,就不成为单摆了.如摆球的尺寸相当大,绳的质量不能忽略,就成为复摆（物理摆）,周期就和摆球的尺寸有关了.复摆是在重力作用下,能绕通过自身某固定水平轴摆动的刚体.又称物理摆.复摆的转轴与过刚体质心C并垂直于转轴的平面的交点O称为支点或悬挂点.摆动过程中,复摆只受重力和转轴的反作用力,而重力矩起着回复力矩的作用.
《单摆和复摆》课件
定义：复摆是一类特殊的摆动装置，由刚体绕一固定点在平面内或空间内作周期性摆动形成
原理：复摆的摆动可看作是两个或多个单摆的组合运动，通过调整各单摆的参数和相对位置，实现特定的运动规律和特性
复摆的周期公式
公式推导：根据单摆周期公式推导复摆周期公式
解决方法：减小空气阻力和机械摩擦，采用高精度材料制作摆轴等。
单摆和复摆的实验研究
单摆实验的设计和操作
实验目的：研究单摆的周期与摆长、摆角的关系
实验器材：支架、细线和重物
实验步骤：将细线悬挂在支架上，固定好重物并使其自然下垂；释放重物，使其开始摆动；使用秒表记录摆动的周期
实验数据记录：记录不同摆长和摆角下单摆的周期，分析数据并得出结论
环保领域：用于测量风速、风向等。
总结与展望
单摆和复摆的重要性和应用前景
重要性和应用前景：单摆和复摆在物理学和工程学中具有重要地位，其应用前景广泛，包括测量、控制、仿真等领域。
未来研究方向：随着科技的发展，单摆和复摆的研究方向将更加深入，未来将会有更多的应用场景和新的研究领域。
挑战与机遇：虽然单摆和复摆的研究面临一些挑战，但也存在许多机遇，需要更多的研究和探索。
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单摆的分类
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复摆的定义和分类
单摆和复摆的应用场景
物理实验：单摆和复摆是物理学中重要的实验装置，用于研究力学、振动和波动等现象。
精密测量：单摆和复摆可以用于测量重力加速度、时间等精密参数，具有高精度和高稳定性。
影响因素：摆长、质量、重力加速度等对复摆周期的影响
简谐运动
准弹性力
系统本身决定的常数
动力学方程：
在水平方向上：
弹簧振子
F kx
由牛顿第二定律
d 2x kx m 2 dt
k 令 2 m
则有
d x 2 x 0 2 dt
二阶齐次常 微分方程
2
一般写成： 或：
x A sin t x A cost
振动和波动
共同特征：运动在时间、空间上的周期性
振动: 任何物理量在某一定值附近随时间周期性变化
波动: 振动在空间的传播
振动
机械振动：物体在某一位置附近作周期往复运动 电磁振荡：电场、磁场随时间作周期性变化
简谐振动（简谐运动）：最简单、最基本的振动
9-1简谐振动
一、简谐振动的基本特征
弹簧振子
轻弹簧 k + 刚体 m (平动~质点） 集中弹性 集中惯性
解得
2 2 v v 2 A x0 02 x 2 2
的状态如何就决定了系 统未来的振 但计算A的大小时不一定非用初 始 条件，只要同时告诉某 时刻的x与
幅A的大小。所以A由初始条件决定。
相应的v，又知道，就可以求出A。
3、初相位
初相：
由 t = 0时
x0 A cos v0 A sin
(1)、相位 t 是确定振动状态的物理量
(2) ( t )与状态参量 x，v有一一对应的关系
x A cos(t ); v A sin(t )
当 t 例：
3
时：
A x , 2
A x , 2
3 v A 2
质点在 x A 2 处以速率 v向 x方向运动
单摆与复摆
单摆与复摆读书报告一、知识点简介绕一个悬点来回摆动的物体，都称为摆，其周期一般和物体的形状、大小及密度的分布有关。
但若把尺寸很小的质块悬于一端固定的长度为l且不能伸长的细绳上，把质块拉离平衡位置，使细绳和过悬点铅垂线所成角度小于︒5，放手后质块往复振动，可视为质点的振动，其周期T只和绳长l和当地的重力加速度g 有关，而与质块的质量、形状和振幅的大小都无关。
其运动状态可用简谐振动公式表示，称为单摆或数学摆。
如果振动的角度大于︒5，则摆不再做简谐振动，振动的周期将随振幅的增加而变大。
复摆是一刚体绕固定的水平轴在重力的作用下作微小摆动的动力运动体系，又称物理摆。
复摆的周期与摆球的尺寸有关。
二、该知识点提出的背景摆与其性质是由伽利略发现并进行初步研究的。
在意大利的比萨城里，17岁的大学生伽利略在教堂时无意中观察到悬在天花板上的挂灯摆动逐渐平息的过程中，每次摆动所用的时间并不改变。
这一发现引起了伽利略的思考：是不是其他的摆动也跟吊灯相似，摆动一次的时间跟摆动幅度没关系？吊灯的轻重是否会影响摆动一次的时间？伽利略通过脉搏计时，数着吊灯的摆动次数。
吊灯的摆动幅度、摆动速度不同，但两次测量的时间是相同的。
回家后，他继续研究，发现并提出了单摆的等时性，即小角度振动的单摆的周期与质块的质量、形状和振幅无关，并通过实验求得单摆的周期随摆线长度的二次方根而变动。
在此基础上，荷兰数学家、物理学家惠更斯经过长期的研究,发现了单摆的周期规律,确定了单摆做简谐运动的周期公式,此公式为单摆做简谐运动时的周期T与摆长l、重力加速度g之间的定量关系。
如摆球的尺寸相当大，绳的质量不能忽略，在重力作用下，摆球为绕通过自身某固定水平轴摆动，视为刚体运动，当摆角不同时其运动方程的解也不同。
三、建立该知识点所经历的困难首先，伽利略实验所用的大小不同的木球、铁球、石块、铜球，体积都较大，并不能很好地视其为质点，且绳子与小球连接起来也有困难，对摆线的长度也有误差影响。
9-3单摆和复摆
dt
θ l
v FT m
o
J = ml
振 动
θ = θ m cos( ω t + ϕ )
T = 2π l g
v P
2
2
第九章
物理学
第五版
二
复摆 (θ < 5 )
o
9-3
单摆和复摆 转动正向
振动时的周期? 振动时的周期
v v v M =l ×F M = −mgl sin θ
d 2θ = Jβ = J 2 dt
第九章 振 动
A
θ
l
m
o
θ <5
o
1
物理学
第五版
动力学分析： 动力学分析：
9-3
单摆和复摆
转动 正向
θ < 5 时 , sinθ ≈ θ M = − mgl sin θ ≈ − mglθ d 2θ − mglθ = J 2
o
A
dθ g g 2 = − θ 令ω = 2 dt l l d 2θ 2 = −ω θ 2 dt
F = − kx 平衡位置 x = 0
d x 2 = −ω x 2 dt
2
x = A cos(ωt + ϕ )
单摆 弹簧振子 ω = k m 由振动系统本身性质决定） （由振动系统本身性质决定）
第九章 振 动
a = −ω x
2
v = − A ω sin( ω t + ϕ )
ω= g l
ω = mgl
π 2
Q0 I 0
O
﹡ π
2π
﹡
(ωt +ϕ)
π q = Q0 cos(ωt +ϕ) i = I0 cos(ωt +ϕ + ) 2
简谐振动的动力学特征
= A [cosω0t cosα1 sinω0t sinα1] + A2 [cosω0t cosα2 sinω0t sinα2 ] 1 = ( A cosα1 + A2 cosα2 ) cosω0t ( A sinα1 + A2 sinα2 ) sinω0t 1 1
令:
Acosα = A cosα1 + A2 cosα2 1 Asinα = A sinα1 + A2 sinα2 1
x = cos(ω0t +α)
2 2 & x a = v = && = Aω0 cos(ω0t +α ) = Aω0 cos(ω0t +α +π ) π 设: φx = ω0t +α , φv = ω0t +α + , φa = ω0t +α +π 2 π π 则, φv φx = , φa φv = , φa φx = π
x = Acos(ω0t +α)
1 2 2 1 2 1 Ek = kA sin (ω0t +α ), Ep = kx = kAcos2 (ω0t +α ) 2 2 2
弹簧振子的总能为: 故,弹簧振子的总能为:E = E
k
+ Ep
由此可见:动能和势能互相转化. 由此可见:动能和势能互相转化.
22
2 例 若单摆的振幅为 θ0 ,试证明悬线所受的最大拉力等于 mg(1+θ0 )
23
24
§9-4 简谐振动的合成 一,同方向同频率简谐振动的合成
设质点参与同方向同频率的两个简谐振动: 设质点参与同方向同频率的两个简谐振动:
x1 = A cos(ω0t +α1 ) 1
单摆复摆——精选推荐
单摆复摆第四节单摆和复摆⼀、单摆1. 单摆、摆锤和摆线单摆⾓谐振动: 005<θ2. 动⼒学⽅程质量为m 的⼩球⽤细线悬挂，当球在⼩⾓度摆动时，则有：系统所受⼒矩：θmgl M sin -=由转动定律：βJ M =可得⾓加速度:θθβθsin sin 222lgml mgl J M dt d -=-===定义⾓频率:l g =ω，并注意到：θθ≈sin ，可得：0222=+θωθdt d （1）这就是单摆⾓谐振动所满⾜的动⼒学⽅程。
3. 运动学⽅程、周期⽅程（1）的解为：()?ωθθ+=t m cos ，最⼤摆⾓m θ和初相?由初始条件决定。
⽽且有：2020+=ωθθl v m ，=00θω?l v arctg 振动周期：g lT πωπ22==4. 应⽤：测量重⼒加速度，探矿等。
⼆、复摆任意形状的刚体悬挂后绕⼀固定轴O 作⼩⾓度摆动，质⼼到转轴距离为l ，则有：θθβθJmglJ mgl J M dt d -=-===sin 22为谐振动⽅程，相应的⾓频率:J mgl =ω，周期：mgl JT πωπ22==应⽤：测量转动惯量。
第五节简谐运动的能量⼀、能量表达式以在⽔平⾯上作简谐振动的弹簧振⼦为例，分析其能量变化，显然振⼦只受弹性⼒这⼀保守⼒作⽤，符合能量守恒。
设在任⼀时刻t ，振⼦位移为x ，速度为v ，注意到：x =A c o s (ωt +φ)，v =-ωA s i n (ωt +φ)，则其弹性势能E p 动能E K 分别为：动能: E k =m v 2/2=m ω2A 2s i n 2(ωt +φ)/2弹性势能: E p =k x 2/2=k A 2c o s 2(ωt +φ)/2= m ω2 A 2c o s 2(ωt +φ)/2 因此系统总机械能为：E =E k +E p = m ω2 A 2/2= k A 2/2 可见系统机械能守恒。
⼆、能量曲线注意理解能量守恒和动能、势能相互转化过程。
《单摆和复摆》课件
单摆的周期和频率
单摆的周期T=2π√(L/g)，其中L为摆长，g为重力加速度。 单摆的频率f=1/T，即f=√(g/4π^2L)。
单摆的能量分析
单摆的动能E_k=1/2mV^2， 其中m为摆球质量，V为摆球速 度。
单摆的势能E_p=mgh，其中h 为摆球相对于平衡位置的高度 。
复摆的周期和频率
01
02
03
周期
复摆完成一次完整的旋转 所需的时间。
频率
单位时间内复摆完成的旋 转次数。
关系
周期和频率互为倒数，即 $T = frac{2pi}{omega}$ 。
复摆的能量分析
定义
能量分析是指对系统能量 的来源、转换和消耗进行 分析。
机械能守恒
在无外力矩作用的情况下 ，复摆的机械能守恒。
感谢您的观看
THANKS
当摆角θ较小时，单摆的总能 量E=E_k+E_p=1/2mgL(1cosθ)。
03
复摆的运动分析
复摆的运动方程
定义
解法
复摆是指具有固定轴的刚体绕固定点 旋转的装置。
通过求解该方程，可以得到复摆的运 动规律。
运动方程
$Ifrac{domega}{dt} + Domega = 0$，其中$I$是转动惯量，$omega$ 是角速度，$D$是阻尼系数。
特点
单摆的运动具有周期性，即小球可以 在一个固定的圆周上摆动。单摆的周 期与摆长、地球的重力加速度以及小 球的转动惯量有关。
复摆的定义和特点
定义
复摆是一个质量为m的小球，在一根刚性杆的一端固定，另一端通过一根无质 量的线悬挂起来。当小球在垂直平面内摆动时，它的运动可以看作是简谐振动 。
9-3单摆和复摆
1
大学物理
§9-3 单摆和复摆
单摆：
由一根不可伸长、质量不计的绳 子，上端固定，下端系一质点的装置 叫做单摆。单摆在摆角小于5°的条件 下振动时，可近似认为是简谐运动。 物理摆、弹性摆、绳摆、沙漏 摆、……
理学院 物理系
大学物理
§9-3 单摆和复摆
一 单摆
动力学分析：
A
5 时， sin
g l FT源自Ol转 动 正 向 m
m cos( t )
l T 2π g
理学院 物理系
J ml P
2
物理学
第五版
9-3
单摆和复摆
小结：单摆在摆角角度很小时，在平衡位置附近作简谐运动；
振动表达式为： m cos( t )
周期为 T 2 π
大学物理
§9-3 单摆和复摆
三
简谐运动的描述和特征
（1）物体受线性回复力作用 F kx 平衡位置 x 0
d2 x 2 x0 （2）简谐运动的动力学描述 dt 2
（3）简谐运动的运动学描述
x A cos( t ) v A sin(t ) （4）加速度与位移成正比而方向相反
a x
2
理学院 物理系
物理学
第五版
9-3
单摆和复摆
§9-3 单摆和复摆
弹簧振子由于受到遵从f=-kx的弹性力作 用才做简谐运动。在其他的机械运动中， 不论作用力是否起源于弹性力，只要它 遵从类似于f=-kx那样的规律，则其运动 必是简谐运动。这种类似于弹性力的回 复力，人们称之为“准弹性力”。
物理摆、弹性摆、绳摆、沙漏 摆、……
《单摆和复摆》课件
《单摆和复摆》课件一、教学内容二、教学目标1. 让学生了解单摆和复摆的定义、特点和运动规律。
2. 培养学生观察、实验、分析问题的能力。
3. 培养学生的团队合作精神，提高学生的实践操作能力。
三、教学难点与重点重点：单摆和复摆的运动规律。
难点：理解并掌握单摆和复摆的运动规律。
四、教具与学具准备教具：讲义、PPT、实验器材（包括单摆和复摆模型、计时器等）。
学具：笔记本、笔、实验报告表格。
五、教学过程1. 引入：通过展示单摆和复摆的模型，引导学生思考单摆和复摆的定义和特点。
2. 讲解：讲解单摆和复摆的定义、特点和运动规律，结合PPT和实验器材进行讲解。
3. 实验：让学生分组进行实验，观察并记录单摆和复摆的运动规律。
5. 练习：让学生运用所学的知识，解决一些实际问题。
六、板书设计板书设计如下：单摆和复摆2. 特点：单摆和复摆的摆动都是周期性的。
3. 运动规律：单摆和复摆的摆动规律与摆长、重力加速度等因素有关。
七、作业设计1. 请用简洁的语言描述单摆和复摆的定义和特点。
答案：单摆和复摆的摆动规律与摆长、重力加速度等因素有关。
八、课后反思及拓展延伸课后反思：本节课通过讲解和实验，让学生了解了单摆和复摆的定义、特点和运动规律。
但在实验环节，部分学生对实验操作不熟悉，需要在课后加强实验操作的培训。
拓展延伸：让学生进一步研究单摆和复摆的其他运动规律，如摆长、重力加速度等因素对摆动规律的影响。
重点和难点解析一、教学内容二、教学目标1. 让学生了解单摆和复摆的定义、特点和运动规律。
2. 培养学生观察、实验、分析问题的能力。
3. 培养学生的团队合作精神，提高学生的实践操作能力。
三、教学难点与重点重点：单摆和复摆的运动规律。
难点：理解并掌握单摆和复摆的运动规律。
四、教具与学具准备教具：讲义、PPT、实验器材（包括单摆和复摆模型、计时器等）。
学具：笔记本、笔、实验报告表格。
五、教学过程1. 引入：通过展示单摆和复摆的模型，引导学生思考单摆和复摆的定义和特点。
9-3单摆和复摆
第五版
9-3
单摆和复摆
实际发生的振动问题并不象弹簧振子那么简 大多数比较复杂； 单，大多数比较复杂；例如 回复力不一定是弹性力，而是重力， （1）回复力不一定是弹性力，而是重力，浮 力等其它性质的力； 力等其它性质的力； 合外力可能是非线性力， （2）合外力可能是非线性力，只有在一定的 条件下，才能近似当作线性回复力。 条件下，才能近似当作线性回复力。 此时研究问题的方法一般为： 此时研究问题的方法一般为：根据问题的性 突出主要因素，建立合理的物理模型， 质，突出主要因素，建立合理的物理模型，使计 算简化。下面讨论两个实际振理： 单摆与复摆。 单摆与复摆。
转动定律
mgl ω = J
2
张
欢
第九章
振 动
8
物理学
第五版
9-3
单摆和复摆
3.周期与频率 3.周期与频率
J T＝2π mgl
ω=
4.应用 4.应用 •测重力加速度 测重力加速度 •测转动惯量 测转动惯量
mgl J
张
欢
第九章
振 动
9
物理学
第五版
9-3
单摆和复摆
弹簧振子 T = 2 π m
k
ω= k m
张
欢
第九章
振 动
6
物理学
第五版
9-3
单摆和复摆
二、复摆——物理摆 复摆——物理摆 ——
1.概念 1.概念
张
欢
第九章
振 动
7
物理学
第五版
9-3
单摆和复摆
2.运动方程 2.运动方程
重力矩
M＝－ mgl sin θ ≈ －mgl θ
d 2θ －mgl θ＝Jα＝J 2 dt
单摆和复摆、混沌现象
A
v
不能保证Ａ与Ｂ、Ｃ同时接 触，初值无限小的偏离造成 截然不同的结果。
第24页 共40页
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数学问题 迭代 取
x n = 4 xn 1 (1 xn 1 )
x 0 = 0 .1
x0 = 0.10000001
dθ 2 + ω sinθ = 0 2 dt
2
当θ 很小时
sin θ ≈ θ
简谐振动（角谐振动）
d 2θ 2 +ω θ = 0 2 dt
运动方程：
θ = θ m cos( ω t + )
由初始条件决定
周期：
2π T = = 2π ω
l g
第4页 共40页
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究竟如何运动？ 取决于初始条件的细微差别
问题
P34图
轻杆上联结质点组成单摆，给一个初值， 让它恰好摆到最高点静止，能否实现？
T ：小角度摆动周期
T ′ ：大角度摆动周期
θm → π , T′ → ∞
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dθ > 0 向原方向旋转 dt
（2）： θ ↓ d θ < 0 向回摆动 dt 5.
}
行为不完全确定
初始能量再增大。相图不再闭合：旋转运动
第12页 共40页
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大学物理第9章振动第3节单摆和复摆
单摆和复摆 转 动 正 向 m
d g 2 dt l g 2 令 l 2 d 2 2 dt
2
A
FT
O
l
m cos( t )
l T 2π g
第九章 振 动
J ml P
2
2
物理学
第五版
9-3
单摆和复摆
二 复摆 ( 5 ) M l F M mgl sin d 2 J J 2
题目类型 • 证明是否为简谐运动
• 求振动周期或角频率 从简谐运动的特征入手 选平衡位置；
建坐标系，原点在平衡位置； 让物体有一小的(角)位移，看回复力(矩)。
第九章 振 动
7
物理学
第五版
9-3
单摆和复摆
简谐运动的两种表示法
A
x
x t图
T
A
o
t
t
A
v
a
v t 图
T
o
A
a t图
第九章 振 动
o
t=0
11
l
*C
J T 2π （C点为质心） mgl m cos( t ) 角谐振动
第九章 振 动
9-3
单摆和复摆
总
结
简谐运动的描述和特征
简谐运动的表示法 三种常见简谐运动
第九章
振 动
5
物理学
第五版
9-3
单摆和复摆
简谐运动的描述和特征
（1）物体受线性回复力作用 F kx 平衡位置 x 0 （2）简谐运动的动力学描述 （3）简谐运动的运动学描述
T
A 2
o
单摆和复摆在不同摆角情形下的特性分析
刚体 绕定 轴 转 动定 理 ． 可 以证 明复
摆 的运 动是谐 振动
Ｏ
平 衡 位置 ０ 来 回摆 动 ． 这样 的 系统
称为单摆（ 或 称数 学 摆 ） 。图 １中 ． 当摆 动 角度 很 小 时 ． 应 用质 点 动 量 矩 定 理 可 以证 明 单 摆 的运 动 是 谐
振 动
ｓ ｉ ｎ Ｏ ＝ Ｏ －７ １ ＋…
Ｏ
若单摆运 动时 ． ０实 际取 在 很
小 的范 围 内变 化 （ 后 面 将说 明取 值
与误差关 系 ） ， 可近 似地 取 ｓ ｉ ｎ Ｏ ￣０ ，
这时 ， 式（ １ ） 简化 为 ：
量０ ： ０
图 ２ 复 摆 运动 的谐 振 动 图
小 角 度 摆 动情 况下 它 们 的周 期 、 频
率都 是 确 定 的 ，与起 始 条件 无 关 ， 均具有 周期 性和 等时性 。
令∞ 阜 ， 则有 ：
０ ＋ ｏ ） ２ ０ ０ ＝ ０
Ｘ 图 １ 单 摆运 动 的谐 振 动 圈
以复摆 为 研 究 对象 ． 复 摆受 作
（ ２ ）
用 于质 心 （ 重心） Ｃ的重力 Ｐ和 过悬
在摆 角很小 时 ， 式（ ２ ） 证 明单 摆 的运 动是 谐 振 动 ． 则 周期 和 频率 分 别为 ：
略。 文章 证 明单摆 和复摆在 较 小 角度 情 况 下 ， 作周 期性 简谐振 动 ， 具有 等 时性 ， 当摆 角较 大 时 ． 分
析 周 期与摆 角之 间存 在 复杂 关 系． 并分析 误 差情 况 关键 词 ： 单摆 ； 复摆 ； 周期 性 ； 等 时性 ： 简谐 振动
中 图分 类 号 ： Ｇ ７ １ ２ 文 献标 识码 ： Ａ ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ６ ５ — ２ ２ ７ ２ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ２ ． ０ ５ ０
复摆的动力学方程
复摆的动力学方程
摘要：
1.复摆的定义和基本概念
2.复摆的动力学方程的推导过程
3.复摆的动力学方程的应用
4.总结
正文：
1.复摆的定义和基本概念
复摆是一种特殊的单摆在运动过程中受到空气阻力影响而振动的摆动系统。
在物理学中，单摆在运动过程中只受到重力作用，而复摆在运动过程中除了受到重力作用外，还会受到空气阻力的影响。
复摆的动力学方程描述了复摆在空气阻力影响下的振动规律。
2.复摆的动力学方程的推导过程
为了推导复摆的动力学方程，我们首先需要了解复摆的基本构成。
复摆由一个质点（摆球）和一个不可伸缩的轻质细绳组成。
设质点的质量为m，细绳的长度为L，质点在运动过程中的速度为v，加速度为a，细绳的张力为T。
根据牛顿第二定律，我们可以得到以下方程：
T - mg sinθ= ma
其中，θ表示质点与竖直方向的夹角。
考虑到空气阻力的影响，我们需要对上述方程进行修正。
假设空气阻力与质点的速度v 和摆球与竖直方向的夹角θ有关，可以表示为：
f = kvv sinθ
其中，k 表示空气阻力系数，v 表示质点的速度。
将空气阻力f 加入到牛顿第二定律的方程中，我们可以得到复摆的动力学方程：
T - mg sinθ- kvv sinθ= ma
3.复摆的动力学方程的应用
复摆的动力学方程在实际应用中有很多重要作用，例如：
（1）分析复摆在不同条件下的振动特性，如振动周期、振幅等；
（2）研究复摆在受到不同外力影响时的稳定性；
（3）设计复摆类装置，如空气钟、振荡器等。
4.总结
复摆的动力学方程描述了复摆在空气阻力影响下的振动规律。
单摆和复摆实验心得
单摆和复摆实验心得单摆是我们中学物理实验中的一个重要内容，对于单摆有关问题的研究，在很多时候能够帮助同学更好地解决一些实际生活中所遇到的难点。
通过本次单摆和复摆实验，使我了解并掌握了单摆、复摆等测量技术，以及用单摆与复摆测定质量、密度等基础知识，巩固了课堂教学效果。
但由于经验不足，本人也存在着诸如探究不深入、演示数据记录不详细、操作程序有误、工具选择错误等问题，下面就自己亲身感受谈几点体会：首先，演示不充分。
为了让大家观察清楚、直观，往往在单摆的两根线上加上手拉力，而且总觉得这样就万事大吉，其实这种做法很片面，因为导致了接触处的连接松动，导致失真；另外再比如实验时没有使用“天平”，只是用砝码代替，但用称出来的结果还是不准确的。
第二，探究不深入。
设计中考虑最多的可能就是只需演示一遍即可，结果试图让大家都懂却发现有很多小组完全忽略了这点，从而引起许多同学都想象不出摆球运动方式。
说明设计之初应该充分考虑各类情况，留有余地，既要考虑到表达的精炼性又要照顾到各个层次的能力培养，做到科学合理。
此外，虽然前期对于实验装置做了精心安排和预备，但仍有部分组由于思维不严谨或操作不熟练未检查装置的正确性，导致最后推翻了原设计的物理模型（本组属此类）。
在制作中，应认真检查实验步骤，尤其是应注意使用新材料的应用，尽量避免由于金属丝头部磨损、腐蚀导致无法伸长的现象发生。
在演示单摆或复摆振荡时，需仔细调节系统各环节的配件以保证演示效果良好。
第三，操作有误。
若不小心将螺母拧反则导致物体运动状态与电子的控制相反。
在分析电路原理图时，没有把开关、磁铁和天平看成一个整体来考虑，导致回路混乱，电流表的指针逆向偏转。
在仪器安装、布局上不注意合理，导致回路串联和并联的地方较多，造成误差累积。
有一次，在讲评课上老师提到了那位同学不注意液体溅落在桌面的高度时，才猛然醒悟那个重要的细节，并自觉进行纠正。
此外，用秒表读取实验数据时也是一个常见的错误，通常会忘掉读取秒数。
9-3 单摆与复摆
A
FT
O
l
转 动 正 向 m
g
J ml P
2
第九章 振动
挂灯与摆钟
9-3-1 (受力和力矩两种分析方法) (1) 摆长为2m的单摆频率为多少？ (2) 假定单摆的振幅很小，将它放在以加速度2.0 m/ s 2 向上运动的电梯中，其频率为多少？
1 1 (1) v T 2 g 0.35Hz
9-3 单摆和复摆(Simple Pendulum and Compound Pendulum)
复摆(物理摆)
一个质量分布复杂，形状任意的实 际物体，摆动是否也进行简谐运动？ 如果是，它的周期又是多少呢？
转动正向 O
1、 0点为支点，C点为复摆的质心， 为支点与质心的距离
l *
C
2、O点为平衡位置，定义正方向 3、 受力分析得运动方程
3、对单摆做受力分析：总力矩=惯性力力矩+重力矩
M ma cos( 0 ) mg sin( 0 ) 2 d M J m 2 2 ma cos( 0 ) mg sin( 0 ) dt 4、数学分析： sin( 0 ) sin cos0 cos sin 0
(2) 平衡位置 0 =0, 将单摆离开平衡位置x处
T cos ma mg d 2x T sin m 2 dt 1
T ma mg x d 2x T m 2 dt
d 2x a g 2 x0 dt
v
1 ag 2 =0.386Hz
cos( 0 ) cos cos 0 sin sin 0
sin ;cos 1;sin 0
a a2 g 2
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3、对单摆做受力分析：总力矩=惯性力力矩+重力矩
M mal cos( 0 ) mgl sin( 0 )
M
J
ml 2
d 2 dt 2
mal
cos(
0 ) mgl
sin(
0 )
4、数学分析： sin( 0) sin cos0 cos sin0
弹簧振子 k m
单摆
g l
复摆
mgl
J
第九章 振动
2 20
2
22
F k k1 k2 x k1k2 x
2 k1 k2 2
k1 k2
系统的振动频率：
即系统仍然做简谐运动，两个弹簧串联
后的等效劲度系数k k1k2 k k
v
1 T
1
2
k1
m 2
1
2
1 k1k2 m k1 k2
9-3 单摆和复摆(Simple Pendulum and Compound Pendulum)
正 向
FT m
r O
Fg sin
Fg cos
Fg
第九章 振动
9-3 单摆和复摆(Simple Pendulum and Compound Pendulum)
5 0.0873rad, sin5 0.0875
M J
转
A
动
正
向
v FT m
O
r J ml 2 Fg
第九章 振动
9-3 单摆和复摆( Simple Pendulum and Compound Pendulum)
g
l
转
A
动
l
正 向
FT m
O
J
ml 2
P
第九章 振动
挂灯与摆钟
9-3-1 (受力和力矩两种分析方法) (1) 摆长为2m的单摆频率为多少？ (2) 假定单摆的振幅很小，将它放在以加速度2.0 m/ s2
复摆(物理摆)
一个质量分布复杂，形状任意的实 际物体，摆动是否也进行简谐运动？ 如果是，它的周期又是多少呢？
1、0点为支点，C点为复摆的质心， l 为支点与质心的距离
2、O点为平衡位置，定义正方向
3、 受力分析得运动方程
转动正向 O
l
*C
r Fg
（C点为质心）
第九章 振动
9-3 单摆和复摆( Simple Pendulum and Compound Pendulum)
9-3 单摆和复摆( Simple Pendulum and Compound Pendulum)
单摆
1、O点为平衡位置：因为摆在 不摆动是就停止在该处。
2、定义正方向
3、力矩关系式：
r M
r rF
(通过转轴的力分量不影响转动)
M l Fg sin( ) l Fg sin
转
A
动
l v
向上运动的电梯中，其频率为多少？
(1) v 1 1 g 0.35Hz
T 2 l
(2) 平衡位置 =0, 将单摆离开平衡位置x处 0
T cos ma mg
T
sin
m
d2x dt 2
= 1
T ma mg
T
x l
m
d2x dt 2
弹簧一端固定，则弹簧振子的频率为：
v= 1 k
2 m
设原来弹簧系数为k,弹簧减掉一半后，劲度系数为：
设变为k ： 1
mg k
mg mg
k1 k1
kk 1
k
k1
11 k1Fra bibliotek2 k1
k1 2k 增加为原来的两倍
9-3-3两个轻弹簧的劲度系数为k1和k2 ,则物体在光滑斜面上振动。 (1)证明其运动仍是简谐运动。 (2)求系统的振动频率。
转动正向
O
l
*C
（C点为质心）
第九章 振动
9-3 单摆和复摆(Simple Pendulum and Compound Pendulum)
如果复摆的支点通过质心，它就不会摆
动，因为 l 0, T，意味着这样一
个摆永远无法完成一次摆动。
转动正向
O
l
*C
角谐振动
（C点为质心）
第九章 振动
9-3 单摆和复摆(Simple Pendulum and Compound Pendulum)
区别：单摆是细线的长度， 复摆是支点到质心的距离。
第九章 振动
物理攻略
1.确定平衡位置，建立坐标。
2.偏离一点平衡位置， 做受力分析
3.利用牛顿定律列出运动方程。
4.通过判断加速度是否与位移成 正比且方向相反来确定是否是简 谐运动,能否得到简谐振动微分方 程。 5.是简谐运动，确定角频率。
9-3-2 如图所示，一质量为m、直径为D的塑料圆柱体一部分浸入密度为
v 1 ag
2 l
d2x a g x 0 dt 2 l
=0.386Hz
思考题：若火车沿水平轨道以加速度a直线运动， 则车厢中摆长为l 的单摆周期为：
g2 a2
l
1、在非惯性参考系中进行受力分析，设平衡位置单摆与垂直 方向夹角0，绳子拉力T。则： T cos0 mg; T sin0 ma
的液体中，另一部分浮在液面上。如果用手轻轻向下按动圆柱体，放手后 圆柱体将上下振动。试证明该振动为简谐运动，并求振动周期(圆柱体表面 与液体的摩擦力忽略不计)。
1、以圆柱体平衡时为坐标原点，向下建立Ox轴。
平衡时所受合力：F gV mg 0
O
2、离开平衡位置移动一微小距离x, 受合力：
对于平衡状态，设物体质量为m,有： 当离开平衡位置x处，有
mg sin
kx 2 20
k2 x20 k1x10
k (x x ) k (x x )
22
20
11
10
k x kx
22
11
物体在非平衡位置上所受合力为： 物体在非平衡位置上所受合力为：
F mg sin k (x x ) k x
cos( 0) cos cos0 sin sin0
sin ;cos 1;sin0
a a2
g2
; cos0
g a2 g2
5、运动方程：
d 2
a2 g2
0
dt 2
l
6、单摆周期： T 2
l
g2 a2
a ma 0
a
0
9-3 单摆和复摆(Simple Pendulum and Compound Pendulum)
所受合力：F mg [V ( D)2 x] g
2
F g( D)2 x
2
kx
x
T 2 m
k
T 4 m D g
9-3-3 两个轻弹簧的劲度系数为k1和k2,则物体在光滑斜面上振动。 (1)证明其运动仍是简谐运动。 (2)求系统的振动频率。
k1 k2
弹簧振子放在倾角为的光滑斜面上，