专题8 截长补短（含答案）

专题8 截长补短
知识解读
有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系.这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解.所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系.所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等.然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系。

有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解.
我们大致可把截长补短分为下面几种类型： 类型①a b c ±=；类型②a b kc ±=；类型③
a b
c
±. 对于类型①，可采取直接截长或补短，然后进行证明.或者化为类型②证明.
对于类型②，可以将a b ±与c 构建在一个三角形中，然后证明这个三角形为特殊三角形，如等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为30°的直角三角形等。

对于类型③，一般将截长或补短后的a b ±与c 构建在一个三角形中，与类型②相同。

实际上是求类型②中的k 值。

培优学案
典例示范
一、截长补短基本思路
例1如图2-8-1，AB //CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD .求证：BC =AB +CD . 【提示】要证明“BC =AB +CD ”有两种思路，思路一：（截长法）将BC 分成两部分，一部分等于AB ，一部分等于CD ；思路二：（补短法）将AB 或CD 补长，使这条线段等于AB +CD ，然后证明这条线段等于BC . 【解答】方法1：截长法 方法2：补短法
【技巧点评】
（1）截长补短法适合解决形如“a=b 士c”型。

（2）本题也可延长BE ，交CD 延长线于点F ，从而达到补短的目的. 【跟踪训练】
1.已知ABC ∆的内角平分线AD 交BC 于D,2B C ∠=∠.求证：AB BD AC +=.
二、三条线段间的数量关系,常考虑截长补短
例2（北京中考题）如图2-8-2，ABC ∆中，60A ∠=︒，BD ，CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD ，CE 交于点O ，试判断BE ，CD ，BC 的数量关系,并加以证明.
【提示】三条线段之间的数量关系，首先考虑两个较小的线段相加等于较长的线段，本题中
BC BE CD =+ ，可考虑在BC 上截取BF BE = ，连接OF ，即可得到两对全等三角形.
【解答】
O
E
D
C
B
A
图2-8-2
【跟踪训练】
2.如图2-8-3，ABC ∆是等边三角形，D 是ABC ∆外一点，且120BDC ∠=︒ .试判断BD ，CD ，AD 的数量关系，并加以证明.
D
C
B
A
图2-8-3
三、从变换的角度，看截长补短
例3如图2-8-4，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的
度数.
【提示】方法1：延长AB 至E 使BE BD =，连接ED ，EC ，如图2-8-5. 方法2：在AC 上取点E ，使得AE AB = ，如图2-8-6.
D
C
B
A
E
D
C
B
E
A
B
C
D
图2-8-5 图2-8-5 图2-8-6
【解答】
【技巧点评】
由已知条件可以想到将折线ABD “拉直”成AC ，利用角平分线AD 可以构造全等三角形.同样地，将AC 拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的。

需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想。

【跟踪训练】
3.如图2-8-7，在五边形ABCD 中,AB AE =，BC DE CD +=，180ABC AED ∠+∠=︒，求证:AD 平分
CDE ∠.
E D
C
B
A
图2-8-7
【跟踪训练】
例4（北京石景山一模题）如图2-8-8，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒.
（1）如图①，直线l 是BC 的垂直平分线，请在图①中画出点A 关于直线l 的对称点A'，连接A'C ，A'B
A'B 与AB 交于点E ；
（2）将图①中的直线AB 沿着EC 方向平移，与直线EC 交于点D ，与直线BC 交于点F ，过点F 作直线AB 的垂线，垂足为点H .
①如图②，若点D 在线段EC 上，请猜想线段FH ,DF ,AC 之间的数量关系，并证明； ②若点D 在线段EC 的延长线上，直接写出线段FH ，DF ，AC 之间的数量关系.
l
C B
A
D
F H
E
C
B
A
A
B
C
E
① ② 备用图
图2-8-8
【提示】（1）关于直线l 对称的两点的连线段，应该能被直线l 垂直平分；（2）三条线段的数量，首先考虑两条较短的线段之和等于最长的线段，本题可考虑证明AC FH FD =+.可考虑延长HF （补短）或过点F 作AC 的垂线（截长）.
【解答】
【跟踪训练】
4.（北京石景山一模题）如图2-8-9，在ABC ∆中，2ACB B ∠=∠，BAC ∠的平分线AO 交BC 于点D ，点H 为AO 上一动点，过点H 作直线l AO ⊥于H ，分别交直线AB ，AC ，BC 于点N ，E ，M .
（1）当直线l 经过点C 时（如图②），求证：BN CD =；
（2）当M 是BC 中点时，写出CE 和CD 之间的等量关系，并加以证明；
l
N
H
E O
D
C
B
A
l N
H O
D
C
B
A
① ②
图2-8-9
例5（北京海淀一模题）如图2-8-10，在四边形ABDE 中，C 是BD 边的中点.
（1）如图①，若AC 平分BAE ∠，90ACE ∠=︒，则线段AE ，AB ，DE 的长度满足的数量关系为 ；（直接写出答案）
（2）如图②，AC 平分BAE ∠，EC 平分AED ∠，若120ACE ∠=︒，则线段AB ，BD ，DE ，AE 的长度满足怎样的数量关系? 写出结论并证明；
（3）如图③，8BD =，2AB =，8DE =，135ACE ∠=︒，则线段AE 长度的最大值是 （直接写出答案）.
E
D
C
B
A
E
D C
B
A
E
D
C
B
A
① ② ③
图2-8-10
【提示】（1）在AE 上截取AF AB =，设法证明EF ED =；（2）在AE 上截取AF AB =，EG ED =，最后证明FGC ∆是等边三角形；（3）分别作点B 、点D 关于AC ，CE 的对称点F ，G ，则2AF AB ==，
8EG EB ==，FCG ∆是直角三角形，利用勾股定理，可求得42FG =，当A ，F ，G ，E 在同一条直
线上的时候，AE 最长.
【解答】 【跟踪训练】
5.（四川内江期末题）（1）如图2-8-11①，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，
BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D ，E .证明：DE BD CE =+.
（2）如图2-8-11②，将（1）中的条件改为：在ABC ∆中，AB AC =，D ，A ，E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE BD CE =+是否成立?如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.
m E D
C
B
A
m
E
D C
B
A
① ②
图2-8-11
【竞赛链接】
例6（湖北省初中数学竞赛八年级预赛题）如图2-8-12，ABC ∆是等边三角形，BDC ∆是顶角
120BDC ∠=︒的等腰三角形，M 是AB 延长线上一点，N 是CA 延长线上一点，且60MDN ∠=︒.试探究BM ，MN ，CN 之间的数量关系，并给出证明.
【提示】先考虑两条较短的线段之和等于较长的线段，即证明CN BM MN =+.可考虑在CN 上截取
CE BM =，然后利用全等证明NE MN =即可.
【解答】
N
M
D
C
B
A
图2-8-12
【跟踪训练】
6.（希望杯竞赛题）如图2-8-13，在五边形ABCD 中，AB AE =，
BC DE CD +=，120BAE BCD ∠=∠=︒，
180ABC AED ∠+∠=︒，连接AD .求证：AD 平分CDE ∠.
E
D
C B
A
图2-8-13
培优训练
1.如图2-8-14，AD 是等腰Rt ABC ∆的底角的平分线，90C ∠=︒，求证：AB AC CD =+.
D
C
B
A
图2-8-14
2.如图2-8-15,ABC ∆是等边三角形，BDC ∆是顶角BDC ∠为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个
60︒角，角的两边分别交AB ，AC 边于M ，N 两点，连接MN .试探究：线段BM ，MN ，NC NC 之间
的关系，并加以证明.
N
M D
C
B
A
图2-8-15
3.如图2-8-16，在四边形ABCD 中，//AB DC ，E 为BC 边的中点，BAE EAF ∠=∠，AF 与DC 的延长线相交于点F .试探究线段AB 与AF ，CF 之间的数量关系，并证明你的结论。

F
E
D C B
A
图2-8-16
直击中考
4.★★★★（2017·黑龙江牡丹江）已知：线段AB 直线l 于点B ，点D 在直线l 上，分别以AB ，AD 为边作等边△ABC 和等边△ADE，直线CE 交直线l 于点F.
（1）当点F 在线段BD 上时，如图①，求证：DF=CE-CF ；
（2）当点F 在线段BD 延长线上时，如图②；当点F 在线段DB 延长上时，如图③，请分别写出线段DF ，CE ，CF 之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）、（2）的条件下，若BD=2BF ，EF=6，则CF= 。

挑战竞赛
5.（河南竞赛题）（1）问题发现：
如图2-8-18①，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE.
①∠AEB的度数为；
②线段AD，BE之间的数量关系为。

（2）拓展探究：
如图2-8-18②，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE.请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由.
（3）解决问题：
如图2-8-18③，在正方形ABCD中，CD=2.若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出
．．．．．点A到BP 的距离。