2019年四川省中考数学真题汇编专题04二次函数
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专题04二次函数
一、选择题
1.(2019四川自贡)一次函数y=ax+b与反比列函数y=的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx+c的大致图象是()
A.B.
C.D.
【答案】A.
【解析】解:∵一次函数y1=ax+c图象过第一、二、四象限,
∴a<0,b>0,
∴﹣>0,
∴二次函数y3=ax2+bx+c开口向下,二次函数y3=ax2+bx+c对称轴在y轴右侧;
∵反比例函数y2=的图象在第一、三象限,
∴c>0,
∴与y轴交点在x轴上方.
满足上述条件的函数图象只有选项A.
故选:A.
2.(2019四川遂宁)二次函数y=x2﹣ax+b的图象如图所示,对称轴为直线x=2,下列结论不正确的是()
B.当b=﹣4时,顶点的坐标为(2,﹣8)
C.当x=﹣1时,b>﹣5
D.当x>3时,y随x的增大而增大
【答案】C.
【解析】解:∵二次函数y=x2﹣ax+b
∴对称轴为直线x==2
∴a=4,故A选项正确;
当b=﹣4时,y=x2﹣4x﹣4=(x﹣2)2﹣8
∴顶点的坐标为(2,﹣8),故B选项正确;
当x=﹣1时,由图象知此时y<0
即1+4+b<0
∴b<﹣5,故C选项不正确;
∵对称轴为直线x=2且图象开口向上
∴当x>3时,y随x的增大而增大,故D选项正确;
故选:C.
3.(2019四川达州)如图,边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置,AB与
EF在一条直线上,点A与点F重合.现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运
动,当点F与B重合时停止.在这个运动过程中,正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积
S与运动时间t的函数图象大致是()
A.B.C.D.
【答案】C.
【解析】解:当0≤t≤2时,S=,即S与t是二次函数关系,有最小值(0,0),开
当2<t≤4时,S==,即S与t是二次函数关系,开口向下,
由上可得,选项C符合题意,
故选:C.
4.(2019四川攀枝花)在同一坐标系中,二次函数与一次函数的图
像可能是()
【答案】:C.
【解析】一次函数与y轴交点为:(0,),
对于A,由直线与y轴交点可知,<0,即a>0,
一次函数的图象中,y随x的增大而增大,所以,b>0,
因此,<0,但由图可知,抛物线的对称轴>0,矛盾,排除;
对于B,由,得:=0,△=-4a2<0,
即直线与抛物线无交点,所以,B排除;
对于D,因为抛物线必经过原点,所以,D排除;
故选C.
5.(2019四川成都)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0),B(5,0),下
列说法正确的是()
A.c<0
B.b2﹣4ac<0
C.a﹣b+c<0
D.图象的对称轴是直线x=3
【答案】D
【解析】解:A.由于二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于正半轴,所以c>0,故A错误;
B.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴由2个交点,所以b2﹣4ac>0,故B错误;
C.当x=﹣1时,y<0,即a﹣b+c<0,故C错误;
D.因为A(1,0),B(5,0),所以对称轴为直线x==3,故D正确.
故选:D.
6.(2019四川绵阳)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于两点(x1,0),(2,0),其中0<x1<1.下列四个结论:①abc<0;②2a-c>0;③a+2b+4c>0;④,正确的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D.
【解析】解:①∵抛物线开口向上,∴a>0,
∵抛物线对称轴在y轴的右侧,
∴b<0,
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,
∴c>0,
∴abc<0,所以①正确;
②∵图象与x轴交于两点(x1,0),(2,0),其中0<x1<1,∴<<,∴1<<,
当<时,b>-3a,
∵当x=2时,y=4a+2b+c=0,
∴b=-2a-c,
∴-2a-c>-3a,
∴2a-c>0,故②正确;
③∵<1,
∴2a+b>0,
∵c>0,4c>0,
∴a+2b+4c>0,
故③正确;
④∵<1,
∴2a+b>0,
∴(2a+b)2>0,
4a2+b2+4ab>0,
4a2+b2>-4ab,
∵a>0,b<0,
∴ab<0,
∴,
即,
故④正确.
故选:D.
7.(2019四川乐山)如图,抛物线与轴交于、两点,是以点(0,3)为圆心,2为半径的圆上的动点,是线段的中点,连结.则线段的最大值是()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为抛物线与轴交于、两点,
所以A(-4,0),B(4,0),即OA=4.
又因为P在圆C上,且半径为2,即CP=2,OC=3,Q是AP上的中点.
所以当AP与圆C相切时OQ最大.
可得∠APC=90°,
连接AC,在Rt△ACO中由勾股定理得AC=5,
连接BC,可知B、C、P在同一直线上,
所以BP=BC+CP=7,
因为Q为AP中点,O为AB中点,
所以OQ=BP=.
8.(2019四川南充)抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数),a>0,顶点坐标为(,m),
给出下列结论:①若点(n,y1)与(﹣2n,y2)在该抛物线上,当n<时,则y1<y2;
②关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1=0无实数解,那么()
A.①正确,②正确B.①正确,②错误
C.①错误,②正确D.①错误,②错误
【答案】A.
【解析】解:①∵顶点坐标为(,m),n<,
∴点(n,y1)关于抛物线的对称轴x=的对称点为(1﹣n,y1),
∴点(1﹣n,y1)与(﹣2n,y2)在该抛物线上,
∵(1﹣n)﹣(﹣2n)=n﹣<0,
∴1﹣n<﹣2n,
∵a>0,
∴当x>时,y随x的增大而增大,
∴y1<y2,故此小题结论正确;
②把(,m)代入y=ax2+bx+c中,得m=a+b+c,
∴一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1=0中,△=b2﹣4ac+4am﹣4a=b2﹣4ac+4a(a+b+c﹣4a=(a+b)2﹣4a<0,
∴一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1=0无实数解,故此小题正确;
故选:A.
9.(2019四川凉山州)二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,有以下结论:①3a﹣b
=0;②b2﹣4ac>0;③5a﹣2b+c>0;④4b+3c>0,其中错误结论的个数是()
A.1B.2C.3D.4
【答案】A.
【解析】解:由图象可知a<0,c>0,对称轴为x=﹣,
∴x=﹣=﹣,
∴b=3a,
①正确;
∵函数图象与x轴有两个不同的交点,
∴△=b2﹣4ac>0,
②正确;
当x=﹣1时,a﹣b+c>0,
当x=﹣3时,9a﹣3b+c>0,
∴10a﹣4b+2c>0,
∴5a﹣2b+c>0,
③正确;
由对称性可知x=1时对应的y值与x=﹣4时对应的y值相等,
∴当x=1时a+b+c<0,
∵b=3a,
∴4b+3c=3b+b+3c=3b+3a+3c=3(a+b+c)<0,
∴4b+3c<0,
④错误;
故选:A.
10.(2019四川宜宾)已知抛物线y=x2﹣1与y轴交于点A,与直线y=kx(k为任意实数)相交于B,C两点,则下列结论不正确的是()
A.存在实数k,使得△ABC为等腰三角形
B.存在实数k,使得△ABC的内角中有两角分别为30°和60°
C.任意实数k,使得△ABC都为直角三角形
D.存在实数k,使得△ABC为等边三角形
【答案】D.
【解析】解:A、如图1,可以得△ABC为等腰三角形,正确;
B、如图3,∠ACB=30°,∠ABC=60°,可以得△ABC的内角中有两角分别为30°和60°正确;
C、如图2和3,∠BAC=90°,可以得△ABC为直角三角形,正确;
D、不存在实数k,使得△ABC为等边三角形,不正确;
故选:D.
11.(2019四川广安)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=1,下列结论:
①abc<0;②b<c;③3a+c=0;④当y>0时,﹣1<x<3.
其中正确的结论有()
A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D.
【解析】解:①对称轴位于x轴的右侧,则a,b异号,即ab<0.
抛物线与y轴交于正半轴,则c>0.
∴abc<0.
故①正确;
②∵抛物线开口向下,∴a<0.
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,∴b=﹣2a.
∵x=﹣1时,y=0,∴a﹣b+c=0,
而b=﹣2a,∴c=﹣3a,
∴b﹣c=﹣2a+3a=a<0,
即b<c,
故②正确;
③∵x=﹣1时,y=0,
∴a﹣b+c=0,
而b=﹣2a,
∴c=﹣3a,
∴3a+c=0.
故③正确;
④由抛物线的对称性质得到:抛物线与x轴的另一交点坐标是(3,0).
∴当y>0时,﹣1<x<3
故④正确.
综上所述,正确的结论有4个.
故选:D.
12.(2019四川资阳)如图是函数y=x2﹣2x﹣3(0≤x≤4)的图象,直线l∥x轴且过点(0,m),将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折,在直线l下方的图象保持不变,得到
一个新图象.若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5,则m的取值范围是()
A.m≥1B.m≤0C.0≤m≤1D.m≥1或m≤0
【答案】C.
【解析】解:如图1所示,当t等于0时,
∵y=(x﹣1)2﹣4,
∴顶点坐标为(1,﹣4),
当x=0时,y=﹣3,
∴A(0,﹣3),
当x=4时,y=5,
∴C(4,5),
∴当m=0时,
D(4,﹣5),
∴此时最大值为0,最小值为﹣5;
如图2所示,当m=1时,
此时最小值为﹣4,最大值为1.
综上所述:0≤m≤1,
故选:C.
13.(2019四川巴中)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论①b2>4ac,②abc<0,③2a+b﹣c>0,④a+b+c<0.其中正确的是()
A.①④B.②④C.②③D.①②③④
【答案】A.
【解析】解:①∵抛物线与x轴由两个交点,
∴b2﹣4ac>0,
即b2>4ac,
所以①正确;
②由二次函数图象可知,
a<0,b<0,c>0,
∴abc>0,
故②错误;
③∵对称轴:直线x=﹣=﹣1,
∴b=2a,
∴2a+b﹣c=4a﹣c,
∵a<0,4a<0,
c>0,﹣c<0,
∴2a+b﹣c=4a﹣c<0,
故③错误;
④∵对称轴为直线x=﹣1,抛物线与x轴一个交点﹣3<x1<﹣2,
∴抛物线与x轴另一个交点0<x2<1,
当x=1时,y=a+b+c<0,
故④正确.
故选:A.
二、填空题
14.(2019四川宜宾)将抛物线y=2x2的图象,向左平移1个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式为.
【答案】y=2(x+1)2﹣2.
【解析】解:将抛物线y=2x2的图象,向左平移1个单位,再向下平移2个单位,
所得图象的解析式为:y=2(x+1)2﹣2.
故答案为:y=2(x+1)2﹣2.
15.(2019四川凉山州)将抛物线y=(x﹣3)2﹣2向左平移个单位后经过点A(2,2).【答案】3.
【解析】解:∵将抛物线y=(x﹣3)2﹣2向左平移后经过点A(2,2),
∴设平移后解析式为:y=(x﹣3+a)2﹣2,
则2=(2﹣3+a)2﹣2,
解得:a=3或a=﹣1(不合题意舍去),
故将抛物线y=(x﹣3)2﹣2向左平移3个单位后经过点A(2,2).
故答案为:3.
16.(2019四川广安)在广安市中考体考前,某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行
分析,发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系为y=﹣,由此可知该生此次实心球训练的成绩为米.
【答案】10.
【解析】解:当y=0时,y=﹣=0,
解得,x=2(舍去),x=10.
故答案为:10.
17.(2019四川凉山州)当0≤x≤3时,直线y=a与抛物线y=(x﹣1)2﹣3有交点,则a
的取值范围是.
【答案】﹣3≤a≤1.
【解答】解:
法一:y=a与抛物线y=(x﹣1)2﹣3有交点
则有a=(x﹣1)2﹣3,整理得x2﹣2x﹣2﹣a=0
∴△=b2﹣4ac=4+4(2+a)≥0
解得a≥﹣3,
∵0≤x≤3,对称轴x=1
∴y=(3﹣1)2﹣3=1
∴a≤1
法二:由题意可知,
∵抛物线的顶点为(1,﹣3),而0≤x≤3
∴抛物线y的取值为﹣3≤y≤1
∵y=a,则直线y与x轴平行,
∴要使直线y=a与抛物线y=(x﹣1)2﹣3有交点,
∴抛物线y的取值为﹣3≤y≤1,即为a的取值范围,
∴﹣3≤a≤1.
故答案为:﹣3≤a≤1.
18.(2019四川遂宁)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O落在坐标原点,点A、点C分别位于x轴,y轴的正半轴,G为线段OA上一点,将△OCG沿CG翻折,O点恰好落在对角线AC上的点P处,反比例函数y=经过点B.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过C(0,3)、G、A三点,则该二次函数的解析式为.(填一般式)
【答案】y=x2﹣x+3.
【解析】解:点C(0,3),反比例函数y=经过点B,则点B(4,3),
则OC=3,OA=4,
∴AC=5,
设OG=PG=x,则GA=4﹣x,PA=AC﹣CP=AC﹣OC=5﹣3=2,
由勾股定理得:(4﹣x)2=4+x2,
解得:x=,故点G(,0),
将点C、G、A坐标代入二次函数表达式得:,解得:,
故答案为:y=x2﹣x+3.
19.(2019四川达州)如图,抛物线y=﹣x2+2x+m+1(m为常数)交y轴于点A,与x轴的
一个交点在2和3之间,顶点为B.
①抛物线y=﹣x2+2x+m+1与直线y=m+2有且只有一个交点;
②若点M(﹣2,y1)、点N(,y2)、点P(2,y3)在该函数图象上,则y1<y2<y3;
③将该抛物线向左平移2个单位,再向下平移2个单位,所得抛物线解析式为
y=﹣(x+1)2+m;
④点A关于直线x=1的对称点为C,点D、E分别在x轴和y轴上,当m=1时,四边形BCDE周长的最小值为.
其中正确判断的序号是.
【答案】①③④.
【解析】解:①把y=m+2代入y=﹣x2+2x+m+1中,得x2﹣2x+1=0,∵△=4﹣4=0,∴此方程两个相等的实数根,则抛物线y=﹣x2+2x+m+1与直线y=m+2有且只有一个交点,故此小题结论正确;
②∵抛物线的对称轴为x=1,∴点P(2,y3)关于x=1的对称点为P′(0,y3),∵a=﹣1<0,∴当x<1
时,y随x增大而减小,又∵﹣2<0<,点M(﹣2,y1)、点N(,y2)、点P′(0,y3)在该函数图象上,∴y2<y3<y1,故此小题结论错误;
③将该抛物线向左平移2个单位,再向下平移2个单位,抛物线的解析式为:y=﹣(x+2)2+2(x+2)x+m+1﹣2,即y=﹣(x+1)2+m,故此小题结论正确;
④当m=1时,抛物线的解析式为:y=﹣x2+2x+2,∴A(0,2),C(2,2),B(1,3),作点B关于y轴的对称点B′(﹣1,3),作C点关于x轴的对称点C′(2,﹣2),连接B′C′,与x轴、y轴分别交于D、E 点,如图,
则BE+ED+CD+BC=B′E+ED+C′D+BC=B′C′+BC,根据两点之间线段最短,知B′C′最短,而BC的长度一定,∴此时,四边形BCDE周长=B′C′+BC最小,为:
,故此小题结论正确;
故答案为:①③④.
三、解答题
20.(2019四川凉山州)已知二次函数y=x2+x+a的图象与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)
两点,且,求a的值.
【答案】a=﹣1+或a=﹣1﹣.
【解析】解:y=x2+x+a的图象与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,
∴x1+x2=﹣1,x1•x2=a,
∵,
∴a=﹣1+或a=﹣1﹣.
21.(2019四川南充)在“我为祖国点赞“征文活动中,学校计划对获得一,二等奖的学生
分别奖励一支钢笔,一本笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元,购买4支钢笔
和5个笔记本共70元.
(1)钢笔、笔记本的单价分别为多少元?
(2)经与商家协商,购买钢笔超过30支时,每增加1支,单价降低0.1元;超过50支,
均按购买50支的单价售,笔记本一律按原价销售.学校计划奖励一、二等奖学生共计100人,其中一等奖的人数不少于30人,且不超过60人,这次奖励一等奖学生多少人时,购买奖品总金额最少,最少为多少元?
【答案】(1)钢笔、笔记本的单价分别为10元,6元;
(2)奖励一等奖学生50人时,购买奖品总金额最少,最少为700元.
【解析】解:(1)钢笔、笔记本的单价分别为x、y元,
根据题意得,,
解得:,
答:钢笔、笔记本的单价分别为10元,6元;
(2)设钢笔的单价为a元,购买数量为b元,支付钢笔和笔记本的总金额w元,
①当30≤b≤50时,a=10﹣0.1(b﹣30)=﹣0.1b+13,
w=b(﹣0.1b+13)+6(100﹣b)=﹣0.1b2+7b+600=﹣0.1(b﹣35)2+722.5,
∵当b=30时,w=720,当b=50时,w=700,
∴当30≤b≤50时,700≤w≤722.5;
②当50<b≤60时,a=8,w=8b+6(100﹣b)=2b+600,
700<w≤720,
∴当30≤b≤60时,w的最小值为700元,
∴这次奖励一等奖学生50人时,购买奖品总金额最少,最少为700元.
22.(2019四川成都)随着5G技术的发展,人们对各类5G产品的使用充满期待,某公司
计划在某地区销售一款5G产品,根据市场分析,该产品的销售价格将随销售周期的变化而
变化.设该产品在第x(x为正整数)个销售周期每台的销售价格为y元,y与x之间满足如
图所示的一次函数关系.
(1)求y与x之间的关系式;
(2)设该产品在第x个销售周期的销售数量为p(万台),p与x的关系可以用p=x+来描述.根据以上信息,试问:哪个销售周期的销售收入最大?此时该产品每台的销售价格是多少元?
【答案】(1)y=﹣500x+7500;
(2)第7个销售周期的销售收入最大,此时该产品每台的销售价格是4000元.
【解析】解:(1)设函数的解析式为:y=kx+b(k≠0),由图象可得,
,
解得,,
∴y与x之间的关系式:y=﹣500x+7500;
(2)设销售收入为w万元,根据题意得,
w=yp=(﹣500x+7500)(x+),
即w=﹣250(x﹣7)2+16000,
∴当x=7时,w有最大值为16000,
此时y=﹣500×7+7500=4000(元)
答:第7个销售周期的销售收入最大,此时该产品每台的销售价格是4000元.
23.(2019四川绵阳)辰星旅游度假村有甲种风格客房15间,乙种风格客房20间.按现有定价:若全部入住,一天营业额为8500元;若甲、乙两种风格客房均有10间入住,一天营业额为5000元.
(1)求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元?
(2)度假村以乙种风格客房为例,市场情况调研发现:若每个房间每天按现有定价,房间会全部住满;当每个房间每天的定价每增加20元时,就会有两个房间空闲.如果游客居住房间,度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用.当每间房间定价为多少元时,乙种风格客房每天的利润m最大,最大利润是多少元?【答案】(1)甲、乙两种客房每间现有定价分别是300元、200元;
(2)当每间房间定价为200元时,乙种风格客房每天的利润m最大,最大利润是2400元.
【解析】解:设甲、乙两种客房每间现有定价分别是x元、y元,
根据题意,得:,
解得,
答:甲、乙两种客房每间现有定价分别是300元、200元;
(2)设当每间房间定价为x元,
m=x()-80×20=,
∴当x=200时,m取得最大值,此时m=2400,
答:当每间房间定价为200元时,乙种风格客房每天的利润m最大,最大利润是2400元.
24.(2019四川攀枝花)已知抛物线的对称轴为直线,其图像与轴
相交于、两点,与轴交于点.
(1)求,的值;
(2)直线与轴交于点,
①如图1,若∥轴,且与线段及抛物线分别相交于点、,点关于直线
的对称点为,求四边形面积的最大值;
H
图1图2
②如图2,若直线与线段相交于点,当∽时,求直线的表达式.
【答案】(1);(2)①最大值为;②.
【解析】:解:(1)由题可知:
,解得;
(2)①由题可知,,∴.
由(1)可知,,∴:.
设,则,∴,
∴.
∴当时,四边形的面积最大,最大值为.
②由(1)可知,
由∽,可得,
∴,∴,
由,可得,
∴,
作于点,设,则,
∴,.
∴.
即,解得.
∴,∴:.
25.(2019四川眉山)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣
5,0)和点B(1,0).
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)点P是抛物线上A、D之间的一点,过点P作PE⊥x轴于点E,PG⊥y轴,交抛物线于点G,过点G 作GF⊥x轴于点F,当矩形PEFG的周长最大时,求点P的横坐标;
(3)如图2,连接AD、BD,点M在线段AB上(不与A、B重合),作∠DMN=∠DBA,MN交线段AD 于点N,是否存在这样点M,使得△DMN为等腰三角形?若存在,求出AN的长;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)抛物线的表达式为:y=﹣x2﹣x+,D(﹣2,4);
(2)点P的横坐标为﹣;
(3)AN=1或.
【解析】解:(1)抛物线的表达式为:y=﹣(x+5)(x﹣1)=﹣x2﹣x+,
则点D(﹣2,4);
(2)设点P(m,﹣x2﹣x+),
则PE=﹣m2﹣m+,PG=2(﹣2﹣m)=﹣4﹣2m,
矩形PEFG的周长=2(PE+PG)=2(﹣m2﹣m+﹣4﹣2m)=﹣(m+)2+,
∵﹣<0,故当m=﹣时,矩形PEFG周长最大,
此时,点P的横坐标为﹣;
(3)∵∠DMN=∠DBA,
∠BMD+∠BDM=180°﹣∠ADB,
∠NMA +∠DMB =180°﹣∠DMN ,
∴∠NMA =∠MDB ,
∴△BDM ∽△AMN ,
,
而AB =6,AD =BD =5,
①当MN =DM 时,
∴△BDM ≌△AMN ,
即:AM =BD =5,则AN =MB =1;
②当NM =DN 时,
则∠NDM =∠NMD ,
∴△AMD ∽△ADB ,
∴AD 2=AB ×AM ,即:25=6×AM ,则AM =,而,即,
解得:AN =;
③当DN =DM 时,
∵∠DMN >∠DAB ,而∠DAB =∠DMN ,
∴∠DNM >∠DMN ,
∴DN ≠DM ;
故AN =1或.
26.(2019四川凉山州)如图,抛物线y =ax 2+bx +c 的图象过点A (﹣1,0)、B (3,0)、
C (0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P ,使得△PAC 的周长最小,若存在,请求出点P 的坐标及△PAC 的周长;若不存在,请说明理由;
(3)在(2)的条件下,在x 轴上方的抛物线上是否存在点M (不与C 点重合),使得S △PAM =S △PAC ?若存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;
(2点P(1,2)使△PAC的周长最小,最小值为;(3)存在,且点M坐标为(1,4).
【解析】解:(1)∵抛物线与x轴交于点A(﹣1,0)、B(3,0)∴可设交点式y=a(x+1)(x﹣3)
把点C(0,3)代入得:﹣3a=3
∴a=﹣1
∴y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;
(2)在抛物线的对称轴上存在一点P,使得△PAC的周长最小.如图1,连接PB、BC
∵点P在抛物线对称轴直线x=1上,点A、B关于对称轴对称
∴PA=PB
=AC+PC+PA=AC+PC+PB
∴C
△PAC
∵当C、P、B在同一直线上时,PC+PB=CB最小
∵A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)
∴AC=,BC=,
∴C
=AC+CB=最小
△PAC
设直线BC解析式为y=kx+3
把点B代入得:3k+3=0,解得:k=﹣1
∴直线BC:y=﹣x+3
∴y P =﹣1+3=2
∴点P (1,2)使△PAC 的周长最小,最小值为
.
(3)存在满足条件的点M ,使得S △PAM =S △PAC .
∵S △PAM =S △PAC
∴当以PA 为底时,两三角形等高
∴点C 和点M 到直线PA 距离相等
∵M 在x 轴上方
∴CM ∥PA
∵A (﹣1,0),P (1,2),设直线AP 解析式为y =px +d ∴,解得:.∴直线AP :y =x +1,
∴直线CM 解析式为:y =x +3,∵,解得:(即点C ),
∴点M 坐标为(1,4)
27.(2019四川巴中)如图,抛物线y =ax 2+bx ﹣5(a ≠0)经过x 轴上的点A (1,0)和点
B 及y 轴上的点
C ,经过B 、C 两点的直线为y =x +n .
①求抛物线的解析式.
②点P 从A 出发,在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动,同时点E 从B 出发,在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动.当其中一个点到达终点时,另一点也停止运动.设运动时间为t 秒,求t 为何
值时,△PBE的面积最大并求出最大值.
③过点A作AM⊥BC于点M,过抛物线上一动点N(不与点B、C重合)作直线AM的平行线交直线BC于点Q.若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形,求点N的横坐标.
【答案】①y=﹣x2+6x﹣5;
②当t=2时,△PBE的面积最大,最大值为2;
③,点N的横坐标为:4或或.
【解析】解:①∵点B、C在直线为y=x+n上,
∴B(﹣n,0)、C(0,n),
∵点A(1,0)在抛物线上,
∴,
∴a=﹣1,b=6,
∴抛物线解析式:y=﹣x2+6x﹣5;
②由题意,得,
PB=4﹣t,BE=2t,
由①知,∠OBC=45°,
∴点P到BC的高h为BP sin45°=(4﹣t),
∴S
=BE•h=,
△PBE
当t=2时,△PBE的面积最大,最大值为2;
③由①知,BC所在直线为:y=x﹣5,
∴点A到直线BC的距离d=2,
过点N作x轴的垂线交直线BC于点P,交x轴于点H.
设N(m,﹣m2+6m﹣5),则H(m,0)、P(m,m﹣5),
易证△PQN为等腰直角三角形,即NQ=PQ=2,
∴PN=4,
Ⅰ.NH+HP=4,
∴﹣m2+6m﹣5﹣(m﹣5)=4
解得m1=1,m2=4,
∵点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形,
∴m=4;
Ⅱ.NH+HP=4,
∴m﹣5﹣(﹣m2+6m﹣5)=4
解得m1=,m2=,
∵点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形,m>5,
∴m=,
Ⅲ.NH﹣HP=4,
∴﹣(﹣m2+6m﹣5)﹣[﹣(m﹣5)]=4,
解得m1=,m2=,
∵点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形,m<0,
∴m=,
综上所述,若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形,点N的横坐标为:4或或.
28.(2019四川广安)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),
与y轴交于点N,过A点的直线l:y=kx+n与y轴交于点C,与抛物线y=﹣x2+bx+c的另
一个交点为D,已知A(﹣1,0),D(5,﹣6),P点为抛物线y=﹣x2+bx+c上一动点(不
与A、D重合).
(1)求抛物线和直线l的解析式;
(2)当点P在直线l上方的抛物线上时,过P点作PE∥x轴交直线l于点E,作PF∥y轴交直线l于点F,求PE+PF的最大值;
(3)设M为直线l上的点,探究是否存在点M,使得以点N、C,M、P为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)直线l的表达式为:y=﹣x﹣1,抛物线的表达式为:y=﹣x2+3x+4;
(2)当x=2时,PE+PF最大值为18;
(3)点P的坐标为:(2+,﹣3﹣)或(2﹣,﹣3+)或(4,﹣5)或(﹣4,3).
【解析】解:(1)将点A、D的坐标代入直线表达式得:,解得,
故直线l的表达式为:y=﹣x﹣1,
将点A、D的坐标代入抛物线表达式,
同理可得抛物线的表达式为:y=﹣x2+3x+4;
(2)直线l的表达式为:y=﹣x﹣1,则直线l与x轴的夹角为45°,
即:则PE=PE,
设点P坐标为(x,﹣x2+3x+4)、则点F(x,﹣x﹣1),
PE+PF=2PF=2(﹣x2+3x+4+x+1)=﹣2(x﹣2)2+18,
∵﹣2<0,故PE+PF有最大值,
当x=2时,其最大值为18;
(3)NC=5,
①当NC是平行四边形的一条边时,
设点P坐标为(x,﹣x2+3x+4)、则点M(x,﹣x﹣1),
由题意得:|y M﹣y P|=5,即:|﹣x2+3x+4+x+1|=5,
解得:x=2或0或4(舍去0),
则点P坐标为(2+,﹣3﹣)或(2﹣,﹣3+)或(4,﹣5);
②当NC是平行四边形的对角线时,
则NC的中点坐标为(﹣,2),
设点P坐标为(m,﹣m2+3m+4)、则点M(n,﹣n﹣1),
N、C,M、P为顶点的四边形为平行四边形,则NC的中点即为PM中点,
即:﹣=,2=,
解得:m=0或﹣4(舍去0),
故点P(﹣4,3);
故点P的坐标为:(2+,﹣3﹣)或(2﹣,﹣3+)或(4,﹣5)或(﹣4,3).。