2019年四川省中考数学真题汇编专题04二次函数

专题04二次函数
一、选择题
1．（2019四川自贡）一次函数y＝ax+b与反比列函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象是（）
A．B．
C．D．
【答案】A．
【解析】解：∵一次函数y1＝ax+c图象过第一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴﹣＞0，
∴二次函数y3＝ax2+bx+c开口向下，二次函数y3＝ax2+bx+c对称轴在y轴右侧；
∵反比例函数y2＝的图象在第一、三象限，
∴c＞0，
∴与y轴交点在x轴上方．
满足上述条件的函数图象只有选项A．
故选：A．
2．（2019四川遂宁）二次函数y＝x2﹣ax+b的图象如图所示，对称轴为直线x＝2，下列结论不正确的是（）
B．当b＝﹣4时，顶点的坐标为（2，﹣8）
C．当x＝﹣1时，b＞﹣5
D．当x＞3时，y随x的增大而增大
【答案】C．
【解析】解：∵二次函数y＝x2﹣ax+b
∴对称轴为直线x＝＝2
∴a＝4，故A选项正确；
当b＝﹣4时，y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8
∴顶点的坐标为（2，﹣8），故B选项正确；
当x＝﹣1时，由图象知此时y＜0
即1+4+b＜0
∴b＜﹣5，故C选项不正确；
∵对称轴为直线x＝2且图象开口向上
∴当x＞3时，y随x的增大而增大，故D选项正确；
故选：C．
3．（2019四川达州）如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与
EF在一条直线上，点A与点F重合．现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运
动，当点F与B重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积
S与运动时间t的函数图象大致是（）
A．B．C．D．
【答案】C．
【解析】解：当0≤t≤2时，S＝，即S与t是二次函数关系，有最小值（0，0），开
当2＜t≤4时，S＝＝，即S与t是二次函数关系，开口向下，
由上可得，选项C符合题意，
故选：C．
4.（2019四川攀枝花）在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图
像可能是（）
【答案】：C.
【解析】一次函数与y轴交点为：（0，），
对于A，由直线与y轴交点可知，＜0，即a＞0，
一次函数的图象中，y随x的增大而增大，所以，b＞0，
因此，＜0，但由图可知，抛物线的对称轴＞0，矛盾，排除；
对于B，由，得：＝0，△＝－4a2＜0，
即直线与抛物线无交点，所以，B排除；
对于D，因为抛物线必经过原点，所以，D排除；
故选C.
5．（2019四川成都）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（5，0），下
列说法正确的是（）
A．c＜0
B．b2﹣4ac＜0
C．a﹣b+c＜0
D．图象的对称轴是直线x＝3
【答案】D
【解析】解：A．由于二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴交于正半轴，所以c＞0，故A错误；
B．二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴由2个交点，所以b2﹣4ac＞0，故B错误；
C．当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故C错误；
D．因为A（1，0），B（5，0），所以对称轴为直线x＝＝3，故D正确．
故选：D．
6.（2019四川绵阳）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于两点（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1．下列四个结论：①abc＜0；②2a-c＞0；③a+2b+4c＞0；④，正确的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D.
【解析】解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴的右侧，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
②∵图象与x轴交于两点（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1，∴＜＜，∴1＜＜，
当＜时，b＞-3a，
∵当x=2时，y=4a+2b+c=0，
∴b=-2a-c，
∴-2a-c＞-3a，
∴2a-c＞0，故②正确；
③∵＜1，
∴2a+b＞0，
∵c＞0，4c＞0，
∴a+2b+4c＞0，
故③正确；
④∵＜1，
∴2a+b＞0，
∴（2a+b）2＞0，
4a2+b2+4ab＞0，
4a2+b2＞-4ab，
∵a＞0，b＜0，
∴ab＜0，
∴，
即，
故④正确．
故选：D．
7.（2019四川乐山）如图，抛物线与轴交于、两点，是以点（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结.则线段的最大值是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为抛物线与轴交于、两点，
所以A（-4,0），B（4,0），即OA=4.
又因为P在圆C上，且半径为2，即CP=2，OC=3，Q是AP上的中点.
所以当AP与圆C相切时OQ最大.
可得∠APC=90°，
连接AC，在Rt△ACO中由勾股定理得AC=5，
连接BC，可知B、C、P在同一直线上，
所以BP=BC+CP=7，
因为Q为AP中点，O为AB中点，
所以OQ=BP=.
8．（2019四川南充）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a＞0，顶点坐标为（，m），
给出下列结论：①若点（n，y1）与（﹣2n，y2）在该抛物线上，当n＜时，则y1＜y2；
②关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0无实数解，那么（）
A．①正确，②正确B．①正确，②错误
C．①错误，②正确D．①错误，②错误
【答案】A．
【解析】解：①∵顶点坐标为（，m），n＜，
∴点（n，y1）关于抛物线的对称轴x＝的对称点为（1﹣n，y1），
∴点（1﹣n，y1）与（﹣2n，y2）在该抛物线上，
∵（1﹣n）﹣（﹣2n）＝n﹣＜0，
∴1﹣n＜﹣2n，
∵a＞0，
∴当x＞时，y随x的增大而增大，
∴y1＜y2，故此小题结论正确；
②把（，m）代入y＝ax2+bx+c中，得m＝a+b+c，
∴一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0中，△＝b2﹣4ac+4am﹣4a＝b2﹣4ac+4a（a+b+c﹣4a＝（a+b）2﹣4a＜0，
∴一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1＝0无实数解，故此小题正确；
故选：A．
9．（2019四川凉山州）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a﹣b
＝0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＞0；④4b+3c＞0，其中错误结论的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A.
【解析】解：由图象可知a＜0，c＞0，对称轴为x＝﹣，
∴x＝﹣＝﹣，
∴b＝3a，
①正确；
∵函数图象与x轴有两个不同的交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，
②正确；
当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，
当x＝﹣3时，9a﹣3b+c＞0，
∴10a﹣4b+2c＞0，
∴5a﹣2b+c＞0，
③正确；
由对称性可知x＝1时对应的y值与x＝﹣4时对应的y值相等，
∴当x＝1时a+b+c＜0，
∵b＝3a，
∴4b+3c＝3b+b+3c＝3b+3a+3c＝3（a+b+c）＜0，
∴4b+3c＜0，
④错误；
故选：A．
10．（2019四川宜宾）已知抛物线y＝x2﹣1与y轴交于点A，与直线y＝kx（k为任意实数）相交于B，C两点，则下列结论不正确的是（）
A．存在实数k，使得△ABC为等腰三角形
B．存在实数k，使得△ABC的内角中有两角分别为30°和60°
C．任意实数k，使得△ABC都为直角三角形
D．存在实数k，使得△ABC为等边三角形
【答案】D．
【解析】解：A、如图1，可以得△ABC为等腰三角形，正确；
B、如图3，∠ACB＝30°，∠ABC＝60°，可以得△ABC的内角中有两角分别为30°和60°正确；
C、如图2和3，∠BAC＝90°，可以得△ABC为直角三角形，正确；
D、不存在实数k，使得△ABC为等边三角形，不正确；
故选：D．
11．（2019四川广安）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：
①abc＜0；②b＜c；③3a+c＝0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3.
其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D．
【解析】解：①对称轴位于x轴的右侧，则a，b异号，即ab＜0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．
∴abc＜0．
故①正确；
②∵抛物线开口向下，∴a＜0．
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a．
∵x＝﹣1时，y＝0，∴a﹣b+c＝0，
而b＝﹣2a，∴c＝﹣3a，
∴b﹣c＝﹣2a+3a＝a＜0，
即b＜c，
故②正确；
③∵x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
而b＝﹣2a，
∴c＝﹣3a，
∴3a+c＝0．
故③正确；
④由抛物线的对称性质得到：抛物线与x轴的另一交点坐标是（3，0）．
∴当y＞0时，﹣1＜x＜3
故④正确．
综上所述，正确的结论有4个．
故选：D．
12．（2019四川资阳）如图是函数y＝x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象，直线l∥x轴且过点（0，m），将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，得到
一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（）
A．m≥1B．m≤0C．0≤m≤1D．m≥1或m≤0
【答案】C.
【解析】解：如图1所示，当t等于0时，
∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为（1，﹣4），
当x＝0时，y＝﹣3，
∴A（0，﹣3），
当x＝4时，y＝5，
∴C（4，5），
∴当m＝0时，
D（4，﹣5），
∴此时最大值为0，最小值为﹣5；
如图2所示，当m＝1时，
此时最小值为﹣4，最大值为1．
综上所述：0≤m≤1，
故选：C．
13．（2019四川巴中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论①b2＞4ac，②abc＜0，③2a+b﹣c＞0，④a+b+c＜0．其中正确的是（）
A．①④B．②④C．②③D．①②③④
【答案】A．
【解析】解：①∵抛物线与x轴由两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
即b2＞4ac，
所以①正确；
②由二次函数图象可知，
a＜0，b＜0，c＞0，
∴abc＞0，
故②错误；
③∵对称轴：直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴2a+b﹣c＝4a﹣c，
∵a＜0，4a＜0，
c＞0，﹣c＜0，
∴2a+b﹣c＝4a﹣c＜0，
故③错误；
④∵对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴一个交点﹣3＜x1＜﹣2，
∴抛物线与x轴另一个交点0＜x2＜1，
当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
故④正确．
故选：A．
二、填空题
14．（2019四川宜宾）将抛物线y＝2x2的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为．
【答案】y＝2（x+1）2﹣2．
【解析】解：将抛物线y＝2x2的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，
所得图象的解析式为：y＝2（x+1）2﹣2．
故答案为：y＝2（x+1）2﹣2．
15．（2019四川凉山州）将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向左平移个单位后经过点A（2，2）．【答案】3．
【解析】解：∵将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向左平移后经过点A（2，2），
∴设平移后解析式为：y＝（x﹣3+a）2﹣2，
则2＝（2﹣3+a）2﹣2，
解得：a＝3或a＝﹣1（不合题意舍去），
故将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向左平移3个单位后经过点A（2，2）．
故答案为：3．
16．（2019四川广安）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行
分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣，由此可知该生此次实心球训练的成绩为米．
【答案】10．
【解析】解：当y＝0时，y＝﹣＝0，
解得，x＝2（舍去），x＝10．
故答案为：10．
17．（2019四川凉山州）当0≤x≤3时，直线y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点，则a
的取值范围是．
【答案】﹣3≤a≤1．
【解答】解：
法一：y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点
则有a＝（x﹣1）2﹣3，整理得x2﹣2x﹣2﹣a＝0
∴△＝b2﹣4ac＝4+4（2+a）≥0
解得a≥﹣3，
∵0≤x≤3，对称轴x＝1
∴y＝（3﹣1）2﹣3＝1
∴a≤1
法二：由题意可知，
∵抛物线的顶点为（1，﹣3），而0≤x≤3
∴抛物线y的取值为﹣3≤y≤1
∵y＝a，则直线y与x轴平行，
∴要使直线y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点，
∴抛物线y的取值为﹣3≤y≤1，即为a的取值范围，
∴﹣3≤a≤1．
故答案为：﹣3≤a≤1．
18．（2019四川遂宁）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O落在坐标原点，点A、点C分别位于x轴，y轴的正半轴，G为线段OA上一点，将△OCG沿CG翻折，O点恰好落在对角线AC上的点P处，反比例函数y＝经过点B．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过C（0，3）、G、A三点，则该二次函数的解析式为．（填一般式）
【答案】y＝x2﹣x+3．
【解析】解：点C（0，3），反比例函数y＝经过点B，则点B（4，3），
则OC＝3，OA＝4，
∴AC＝5，
设OG＝PG＝x，则GA＝4﹣x，PA＝AC﹣CP＝AC﹣OC＝5﹣3＝2，
由勾股定理得：（4﹣x）2＝4+x2，
解得：x＝，故点G（，0），
将点C、G、A坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故答案为：y＝x2﹣x+3．
19．（2019四川达州）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的
一个交点在2和3之间，顶点为B．
①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；
②若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为
y＝﹣（x+1）2+m；
④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为．
其中正确判断的序号是．
【答案】①③④．
【解析】解：①把y＝m+2代入y＝﹣x2+2x+m+1中，得x2﹣2x+1＝0，∵△＝4﹣4＝0，∴此方程两个相等的实数根，则抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点，故此小题结论正确；
②∵抛物线的对称轴为x＝1，∴点P（2，y3）关于x＝1的对称点为P′（0，y3），∵a＝﹣1＜0，∴当x＜1
时，y随x增大而减小，又∵﹣2＜0＜，点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P′（0，y3）在该函数图象上，∴y2＜y3＜y1，故此小题结论错误；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+2（x+2）x+m+1﹣2，即y＝﹣（x+1）2+m，故此小题结论正确；
④当m＝1时，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+2，∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），作点B关于y轴的对称点B′（﹣1，3），作C点关于x轴的对称点C′（2，﹣2），连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E 点，如图，
则BE+ED+CD+BC＝B′E+ED+C′D+BC＝B′C′+BC，根据两点之间线段最短，知B′C′最短，而BC的长度一定，∴此时，四边形BCDE周长＝B′C′+BC最小，为：
，故此小题结论正确；
故答案为：①③④．
三、解答题
20．（2019四川凉山州）已知二次函数y＝x2+x+a的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）
两点，且，求a的值．
【答案】a＝﹣1+或a＝﹣1﹣.
【解析】解：y＝x2+x+a的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，
∴x1+x2＝﹣1，x1•x2＝a，
∵，
∴a＝﹣1+或a＝﹣1﹣．
21．（2019四川南充）在“我为祖国点赞“征文活动中，学校计划对获得一，二等奖的学生
分别奖励一支钢笔，一本笔记本．已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔
和5个笔记本共70元．
（1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？
（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加1支，单价降低0.1元；超过50支，
均按购买50支的单价售，笔记本一律按原价销售．学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等奖学生多少人时，购买奖品总金额最少，最少为多少元？
【答案】（1）钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元；
（2）奖励一等奖学生50人时，购买奖品总金额最少，最少为700元．
【解析】解：（1）钢笔、笔记本的单价分别为x、y元，
根据题意得，，
解得：，
答：钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元；
（2）设钢笔的单价为a元，购买数量为b元，支付钢笔和笔记本的总金额w元，
①当30≤b≤50时，a＝10﹣0.1（b﹣30）＝﹣0.1b+13，
w＝b（﹣0.1b+13）+6（100﹣b）＝﹣0.1b2+7b+600＝﹣0.1（b﹣35）2+722.5，
∵当b＝30时，w＝720，当b＝50时，w＝700，
∴当30≤b≤50时，700≤w≤722.5；
②当50＜b≤60时，a＝8，w＝8b+6（100﹣b）＝2b+600，
700＜w≤720，
∴当30≤b≤60时，w的最小值为700元，
∴这次奖励一等奖学生50人时，购买奖品总金额最少，最少为700元．
22．（2019四川成都）随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待，某公司
计划在某地区销售一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而
变化．设该产品在第x（x为正整数）个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如
图所示的一次函数关系．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）设该产品在第x个销售周期的销售数量为p（万台），p与x的关系可以用p＝x+来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？
【答案】（1）y＝﹣500x+7500；
（2）第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是4000元．
【解析】解：（1）设函数的解析式为：y＝kx+b（k≠0），由图象可得，
，
解得，，
∴y与x之间的关系式：y＝﹣500x+7500；
（2）设销售收入为w万元，根据题意得，
w＝yp＝（﹣500x+7500）（x+），
即w＝﹣250（x﹣7）2+16000，
∴当x＝7时，w有最大值为16000，
此时y＝﹣500×7+7500＝4000（元）
答：第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是4000元．
23.（2019四川绵阳）辰星旅游度假村有甲种风格客房15间，乙种风格客房20间．按现有定价：若全部入住，一天营业额为8500元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5000元．
（1）求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元？
（2）度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有两个房间空闲．如果游客居住房间，度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用．当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润m最大，最大利润是多少元？【答案】（1）甲、乙两种客房每间现有定价分别是300元、200元；
（2）当每间房间定价为200元时，乙种风格客房每天的利润m最大，最大利润是2400元．
【解析】解：设甲、乙两种客房每间现有定价分别是x元、y元，
根据题意，得：，
解得，
答：甲、乙两种客房每间现有定价分别是300元、200元；
（2）设当每间房间定价为x元，
m=x（）-80×20=，
∴当x=200时，m取得最大值，此时m=2400，
答：当每间房间定价为200元时，乙种风格客房每天的利润m最大，最大利润是2400元．
24.（2019四川攀枝花）已知抛物线的对称轴为直线，其图像与轴
相交于、两点，与轴交于点.
（1）求，的值；
（2）直线与轴交于点，
①如图1，若∥轴，且与线段及抛物线分别相交于点、，点关于直线
的对称点为，求四边形面积的最大值；
H
图1图2
②如图2，若直线与线段相交于点，当∽时，求直线的表达式.
【答案】（1）；（2）①最大值为；②.
【解析】：解：（1）由题可知：
，解得；
（2）①由题可知，，∴.
由（1）可知，，∴：.
设，则，∴，
∴.
∴当时，四边形的面积最大，最大值为.
②由（1）可知，
由∽，可得，
∴，∴，
由，可得，
∴，
作于点，设，则，
∴，.
∴.
即，解得.
∴，∴：.
25．（2019四川眉山）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣
5，0）和点B（1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G，过点G 作GF⊥x轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；
（3）如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN交线段AD 于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+，D（﹣2，4）；
（2）点P的横坐标为﹣；
（3）AN＝1或．
【解析】解：（1）抛物线的表达式为：y＝﹣（x+5）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+，
则点D（﹣2，4）；
（2）设点P（m，﹣x2﹣x+），
则PE＝﹣m2﹣m+，PG＝2（﹣2﹣m）＝﹣4﹣2m，
矩形PEFG的周长＝2（PE+PG）＝2（﹣m2﹣m+﹣4﹣2m）＝﹣（m+）2+，
∵﹣＜0，故当m＝﹣时，矩形PEFG周长最大，
此时，点P的横坐标为﹣；
（3）∵∠DMN＝∠DBA，
∠BMD+∠BDM＝180°﹣∠ADB，
∠NMA +∠DMB ＝180°﹣∠DMN ，
∴∠NMA ＝∠MDB ，
∴△BDM ∽△AMN ，
，
而AB ＝6，AD ＝BD ＝5，
①当MN ＝DM 时，
∴△BDM ≌△AMN ，
即：AM ＝BD ＝5，则AN ＝MB ＝1；
②当NM ＝DN 时，
则∠NDM ＝∠NMD ，
∴△AMD ∽△ADB ，
∴AD 2＝AB ×AM ，即：25＝6×AM ，则AM ＝，而，即，
解得：AN ＝；
③当DN ＝DM 时，
∵∠DMN ＞∠DAB ，而∠DAB ＝∠DMN ，
∴∠DNM ＞∠DMN ，
∴DN ≠DM ；
故AN ＝1或．
26．（2019四川凉山州）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 的图象过点A （﹣1，0）、B （3，0）、
C （0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△PAC 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及△PAC 的周长；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得S △PAM ＝S △PAC ？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2点P（1，2）使△PAC的周长最小，最小值为；（3）存在，且点M坐标为（1，4）．
【解析】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）∴可设交点式y＝a（x+1）（x﹣3）
把点C（0，3）代入得：﹣3a＝3
∴a＝﹣1
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得△PAC的周长最小．如图1，连接PB、BC
∵点P在抛物线对称轴直线x＝1上，点A、B关于对称轴对称
∴PA＝PB
＝AC+PC+PA＝AC+PC+PB
∴C
△PAC
∵当C、P、B在同一直线上时，PC+PB＝CB最小
∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）
∴AC＝，BC＝，
∴C
＝AC+CB＝最小
△PAC
设直线BC解析式为y＝kx+3
把点B代入得：3k+3＝0，解得：k＝﹣1
∴直线BC：y＝﹣x+3
∴y P ＝﹣1+3＝2
∴点P （1，2）使△PAC 的周长最小，最小值为
．
（3）存在满足条件的点M ，使得S △PAM ＝S △PAC ．
∵S △PAM ＝S △PAC
∴当以PA 为底时，两三角形等高
∴点C 和点M 到直线PA 距离相等
∵M 在x 轴上方
∴CM ∥PA
∵A （﹣1，0），P （1，2），设直线AP 解析式为y ＝px +d ∴，解得：.∴直线AP ：y ＝x +1，
∴直线CM 解析式为：y ＝x +3，∵，解得：（即点C ），
∴点M 坐标为（1，4）
27．（2019四川巴中）如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣5（a ≠0）经过x 轴上的点A （1，0）和点
B 及y 轴上的点
C ，经过B 、C 两点的直线为y ＝x +n ．
①求抛物线的解析式．
②点P 从A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动，同时点E 从B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，求t 为何
值时，△PBE的面积最大并求出最大值．
③过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．
【答案】①y＝﹣x2+6x﹣5；
②当t＝2时，△PBE的面积最大，最大值为2；
③，点N的横坐标为：4或或．
【解析】解：①∵点B、C在直线为y＝x+n上，
∴B（﹣n，0）、C（0，n），
∵点A（1，0）在抛物线上，
∴，
∴a＝﹣1，b＝6，
∴抛物线解析式：y＝﹣x2+6x﹣5；
②由题意，得，
PB＝4﹣t，BE＝2t，
由①知，∠OBC＝45°，
∴点P到BC的高h为BP sin45°＝（4﹣t），
∴S
＝BE•h＝，
△PBE
当t＝2时，△PBE的面积最大，最大值为2；
③由①知，BC所在直线为：y＝x﹣5，
∴点A到直线BC的距离d＝2，
过点N作x轴的垂线交直线BC于点P，交x轴于点H．
设N（m，﹣m2+6m﹣5），则H（m，0）、P（m，m﹣5），
易证△PQN为等腰直角三角形，即NQ＝PQ＝2，
∴PN＝4，
Ⅰ．NH+HP＝4，
∴﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）＝4
解得m1＝1，m2＝4，
∵点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴m＝4；
Ⅱ．NH+HP＝4，
∴m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）＝4
解得m1＝，m2＝，
∵点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，m＞5，
∴m＝，
Ⅲ．NH﹣HP＝4，
∴﹣（﹣m2+6m﹣5）﹣[﹣（m﹣5）]＝4，
解得m1＝，m2＝，
∵点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，m＜0，
∴m＝，
综上所述，若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，点N的横坐标为：4或或．
28．（2019四川广安）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），
与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另
一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不
与A、D重合）．
（1）求抛物线和直线l的解析式；
（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；
（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；
（2）当x＝2时，PE+PF最大值为18；
（3）点P的坐标为：（2+，﹣3﹣）或（2﹣，﹣3+）或（4，﹣5）或（﹣4，3）．
【解析】解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：，解得，
故直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，
将点A、D的坐标代入抛物线表达式，
同理可得抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；
（2）直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，则直线l与x轴的夹角为45°，
即：则PE＝PE，
设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4）、则点F（x，﹣x﹣1），
PE+PF＝2PF＝2（﹣x2+3x+4+x+1）＝﹣2（x﹣2）2+18，
∵﹣2＜0，故PE+PF有最大值，
当x＝2时，其最大值为18；
（3）NC＝5，
①当NC是平行四边形的一条边时，
设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4）、则点M（x，﹣x﹣1），
由题意得：|y M﹣y P|＝5，即：|﹣x2+3x+4+x+1|＝5，
解得：x＝2或0或4（舍去0），
则点P坐标为（2+，﹣3﹣）或（2﹣，﹣3+）或（4，﹣5）；
②当NC是平行四边形的对角线时，
则NC的中点坐标为（﹣，2），
设点P坐标为（m，﹣m2+3m+4）、则点M（n，﹣n﹣1），
N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形，则NC的中点即为PM中点，
即：﹣＝，2＝，
解得：m＝0或﹣4（舍去0），
故点P（﹣4，3）；
故点P的坐标为：（2+，﹣3﹣）或（2﹣，﹣3+）或（4，﹣5）或（﹣4，3）．。