沪教版(上海)数学八年级下册-20.2 一次函数图像与坐标轴围成的图形面积问题 教案

20.2(3) 一次函数图像与坐标轴围成的图形面积问题
一、教材分析：
从数学自身发展的过程来看，正是由于引进了变量，确立了函数的思想，才使数学发生了重大转折，实现了常量数学向变量数学的飞跃和发展，本章内容是学生已经学过一次函数相关知识的延续和提高。

这一章节的函数学习中蕴含的数学思想和方法对学生观察问题、研究问题、解决问题都十分有益。

本节课是在学生学习了一次函数的定义、解析式、图像、性质的基础上，对一次函数图像与坐标轴围成的面积的深入研究，其中蕴含的数形结合、分类讨论、转化、方程的数学思想，对培养学生的观察问题、研究问题、解决问题的能力起着重要的作用，是发展学生用图形研究数量关系，并把数量关系用图形体现的各项能力的重要内容。

本节课在研究一次函数图像与坐标轴围成的图形面积的过程中，完美的融入着数形结合的思想，使学生感悟体会“代数问题几何化、几何问题代数化”的完美结合。

二、教学对象分析：
①学生已经掌握了一次函数的定义、解析式、图像相关内容，为本节课的学习提供了很好的知识储备；
②学生的学习积极性比较高，基本比较扎实，已经初步具有对数学问题进行合作探究的能力；
三、教学设计思路：
基于学生对利用图形面积求一次函数解析式时暴露的三个方面的问题：(1)用待定系数法求解一次函数解析式时，由于缺乏数学抽象能力，对用含有字母的式子表示点的坐标很生疏；(2)在点的坐标和线段长度互相转化时，由于不能区别两者之间的必然联系，总会漏掉一种情况；(3)对数形结合、分类讨论、转化、方程的思想领悟不透，导致不能很好地利用这些数学思想便捷地求解一次函数的解析式或者检验结论的正确性。

我对本课内容的教学设计进行了由表及里、以点带面的本质性归纳和梳理，希望学生们能透过现象看本质。

在整个教学过程中，领悟本节课所蕴含的数学思想是本节课的重点，也是难点，所以尽可能把题目设计的有坡度便于学生们发散
x
y
y =2x-4
O
思维、合作探究。

基于本节课内容的特点和八年级学生的年龄特征，我以“启发式”体验教学法为主来完成教学，让学生在问题解决的情境中，在教师的引导启发下，同学的合作帮助下，通过探究发现，加深对数学知识的理解。

教师转眼于引导，学生着眼于探索。

整个过程侧重于学生能力的提高，思维的训练，学习的体检。

四、现代化教学手段：
PPT 、几何画板 五、教学目标
（1） 通过本节课的复习，会利用一次函数解析式求一次函数图像与坐标轴围成的图形面积；会利用图形面积求一次函数解析式，并发现求一次函数解析式的本质；
（2）经历分析问题、解决问题的探究过程，感悟数形结合、分类讨论、转化、 方程的数学思想；
（3）通过归纳、梳理解题方法与策略，体验解决问题方法的多样性，发展创 新意识；
（4）在与“出入相补”原理建立联系的过程中感受我国古代数学的有用与有 趣。

六、重难点
重点：用分类讨论和数形结合的思想求一次函数图像与坐标轴围成的图形面积； 难点：用分类讨论和数形结合的思想根据一次函数图像与坐标轴围成的图形面积
求一次函数解析式. 七、教学流程 （一）问题引入
复习引入：求一次函数24y x =-的图像与坐标轴围成
的三角形面积
问题引入（展现作业）
梳理与归纳（解题步骤）
问题探
究（把握本质）
问题拓展（寻找实质）
课堂小结（领悟思
设计说明：这是20.2（2）的一道课后练习题，以这道题为出发点，把握数学学习来自于现实情景，也让学生整体感知数学学习的逻辑性和循序渐进性，通过整体分析，学生解答，最后梳理解题步骤. 归纳梳理：：一次函数解析式
点的坐标
转化
线段长度
图形面积 （二）问题探讨
问题1：求一次函数24y x =-，6y x =-+的图像和x 轴
所围成的三角形面积.
设计说明：通过类比感受求一次函数图像与坐标轴围成的图形面积的通性通法，寻求解题本质.
变式1:求一次函数24y x =-，6y x =-+的图像和y 轴所围成的三角形面积____. 设计说明：学生自己解决，上台展示。

这是对问题（1）的变式，也是对问题（1）的灵活运用，更为问题（3）的面积和差做好铺垫。

变式2:求一次函数24y x =-，6y x =-+的图像和坐标轴所围成的图形面积是__. 设计说明：学生讨论，总结方法，融入古老的数学思想“出入相补原理”即割补法，并渗透求多边形的面积的基本方法.
问题2：求一次函数4y kx =-的图像与坐标轴围成的
三角形面积是4，求k 的值.
设计说明：通过逆向思维让学生感知点的坐标与线段长度转化时的异同，并对暴露出学生容易漏解的问题进行引导和指正，并梳理出解决此类问题的不同解法为下变式中方法的选取做好铺垫.
变式：求一次函数3y x b =+的图像与坐标轴围成的三角形面积是6，则一次函数
解析式是______________________________.
设计说明：对上一问题的灵活运用，强化数学学习中的分类讨论、数形结合和方程思想. （三）思维拓展
拓展：正比例函数y =kx (k ≠0)将一次函数24y x =-求正比例函数的解析式.
变式1：正比例函数(0)y kx k =≠将一次函数24y x =-的图像与坐标轴围成的三角形面积分成了面积为1:3的两部分，求正比例函数的解析式.
变式2：一次函数-1(0)y kx k =≠将一次函数24y x =-的图像与坐标轴围成的三角形面积分成了面积为1:3的两部分，求一次函数的解析式.
设计说明：通过系列拓展练习的探究意在让学生尝试不同方法带来的利弊，也通过拓展把握由图形面积求一次函数解析式的本质，并在这个过程中，让学生领略数学学习中蕴含的各种数学思想及辨析意识和开创意识. （四）课堂小结
通过这节课，你有什么收获？ 学到了……
领悟了…… 八、板书设计：
归纳： 一次函数解析式
交点坐标
转化
线段长度
图形面积
九、课后作业
1、过点P （2,2）分别作PD x ⊥、PE y ⊥轴，垂足分别为点D 、E ，绕着点 B （0， 4）旋转直线AB ，使得直线AB 把四边形ODPE 的面积分为1:3 两部分，求直线AB 的解析式.
2、过点P （2,2）分别作PD x ⊥、PE y ⊥轴，垂足分别为点D 、E ，平移直线AB ， 使得平移后直线AB 把四边形ODPE 的面积分为1:3两部分，求平移后直线的 解析式.
十、教学反思
根据“以人为本、以学定教”的教育理念，整堂课我把着眼点放在如何引导学生自主探究知识、获得知识、逐步提高能力上，所以本节课的教学，我从学生已有的认知基础出发，以学生自主探索，师生合作、生生合作为主线，让学生经历数学知识的形成与应用过程，加深对所学知识的理解，从而突出重点、突破难点。

整节课是一个动眼观察、动脑猜想、动手验证、巩固应用的动态生成过程，注重学生能力的培养和习惯的养成。

教师是整个教学活动的组织者，策划者，学生是学习的主人。

由于学生的层次不一，教师要全程关注每一个学生的学习状态，对可能出现的突发事件，要因势利导，随机应变，适时调整教学环节。

同时将“教学反映”评价和“教学反馈”评价相结合，促进学生的自主评价，努力推进愉快教育的理念，把握评价的时机与尺度，实现评价主体和形式的多样化，从而激发学生的学习兴趣，激活课堂气氛，使课堂教学达到最佳状态。

反思一：选题
1、一次函数图像与坐标轴围成的图形面积问题，在沪教版八下教材第8页的第二十章的第二节课的第二课时的课后练习中出现，而课后很多综合性练习却很多，基于这点我对教材进行了深入的挖掘和延伸；
2、通过本节课的学习，可以在课堂上融合数形结合、分类讨论、转化、方程的思想，这些数学思想是初中数学乃至高中数学的重要数学思想；
3、本节课重点解决的问题是同学们在由线段长度转化为点的坐标时，总是漏掉一种情况，这一问题的本质就是线段长度和点的坐标区别与联系，也是对k、b分类讨论的应用，更是对高中阶段学习斜率的初步渗透，这样能使初、高中相关知识得到有效衔接，为今后的学习打下坚实的基础。

反思二：教学活动
《数学教育学》的作者斯托利亚尔认为：“数学教学就是数学活动的教学”。

学生讨论、合作交流和学生发言，就是使学生积极参与到数学教学的思维活动中去，只有这样才能充分发挥学生的主体。

于是，我在教学设计中尽可能地先让学生思考、讨论、回答然后师生合作点评总结。

反思三：教学思路
首先我通过一道上一课的课后练习，开始有目的的复习，意在让学生能通过自己的解题步骤领悟解决这种问题的基本方法；
然后我通过一道系列问题的探究，把问题由特殊引向一般，题目的复杂化导致学生们的问题暴露明显，由学生讲解学生点评，师生互动，更能体现学生的学习主体地位。

反思四：教学效果
虽然本课梳理了两种方法求解一次函数解析式，但是在探究中发现不是所有的面积问题都能用直接用面积关系求出点的坐标进而求出一次函数解析式，而必须用含有k、b的代数式表示出点的坐标，然后利用面积列出方程，而学生这一个时候会出现困难①点的坐标转化为线段长总是忽略绝对值，导致漏解；②解决含对值的方程（方程组）有困难，导致课堂及时解决问题难度较高，效果不是很明显。