(全国通用)2017年高考数学大二轮专题复习 第二编 专题整合突破 专题二 函数与导数 第三讲 导数的简单应用

值，最小的一个是最小值．
[重要性质]
1．定积分的性质
(1)bkf(x)dx＝kbf(x)dx；
a
a
(2)b[f1(x)±f2(x)]dx＝
bf1(x)dx±bf2(x)dx
a
a
.
a
(3)bf(x)dx＝
cf(x)dx＋bf(x)dx
a
c
(其中 a<c<b)．
2.根据函数的单调性求参数取值范围的思路 (1)求 f′(x)． (2)将单调性转化为导数 f′(x)在该区间上满足的不等 式恒成立问题求解．
考点 利用导数研究函数的极值与最值 典例示法 题型 1 求函数的极值(最值) 典例 5 [2016·合肥质检]已知函数 f(x)＝e1－x(2ax－ a2)(其中 a≠0)． (1)若函数 f(x)在(2，＋∞)上单调递减，求实数 a 的取 值范围； (2)设函数 f(x)的最大值为 g(a)，当 a>0 时，求 g(a)的最 大值．
提醒：求曲线的切线方程时，务必分清在点 P 处的切线 还是过点 P 的切线，前者点 P 为切点，后者点 P 不一定为 切点，求解时应先求出切点坐标．
考点 利用导数研究函数的单调性 典例示法 题型 1 利用导数研究函数的单调性(单调区间) 典例 3 [2014·全国卷Ⅱ]已知函数 f(x)＝ex－e－x－2x. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)设 g(x)＝f(2x)－4bf(x)，当 x>0 时，g(x)>0，求 b 的 最大值； (3)已知 1.4142< 2<1.4143，估计 ln 2 的近似值(精确到 0.001)．
题型 2 定积分的计算
典例 2 [2014·湖北高考]若函数 f(x)，g(x)满足 1 f(x)g(x)dx＝0，则称 f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的一组
-1
正交函数．给出三组函数：
①f(x)＝sin12x，g(x)＝cos12x；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1； ③f(x)＝x，g(x)＝x2.
则 g′(x)＝2mx－1＋1x－2m＝2mx2－2mx ＋1x＋1＝
2mx－1x－1
x
.
当 m＝12时，g′(x)≥0，又 g(x)不是常数函数，故 g(x)
在(0，＋∞)上单调递增．
∴函数 g(x)有且只有一个零点 x＝1，满足题意．
当 0<m<12时，由 g′(x)＝0，得 x＝21m或 x＝1.
f′(x)＝ axln a
原函数
导函数
f(x)＝ex
f′(x)＝ ex
f(x)＝logax(a>0，且 a≠1)
f′(x)ln x
1 f′(x)＝ x
2.导数四则运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ； (2)[f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ；
其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 对于①，-11sin12xcos12xdx ＝-1112sinxdx＝12-11sinxdx ＝ 12－cosx1－1＝21{－cos 1－[－cos(－1)]} ＝12(－cos 1＋cos 1)＝0. 故①为一组正交函数；
41x41－1＝0.
故③为一组正交函数，故选 C.
1．求曲线 y＝f(x)的切线方程的三种类型及方法 (1)已知切点 P(x0，y0)，求 y＝f(x)过点 P 的切线方程： 求出切线的斜率 f′(x0)，由点斜式写出方程． (2)已知切线的斜率为 k，求 y＝f(x)的切线方程： 设切点 P(x0，y0)，通过方程 k＝f′(x0)解得 x0，再由点 斜式写出方程．
根据上表知 g21m<0. 又 g(x)＝mxx－2＋m1 ＋m＋ln x＋1.
∴g2＋m1 >0， 故在21m，＋∞上，函数 g(x)又有一个零点，不符合题 意． 综上所述，m＝12.
1．导数与单调性之间的关系 (1)导数大(小)于 0 的区间是函数的单调递增(减)区间． (2)函数 f(x)在 D 上单调递增⇔∀x∈D，f′(x)≥0 且 f′(x)在区间 D 的任何子区间内都不恒为零； 函数 f(x)在 D 上单调递减⇔∀x∈D，f′(x)≤0 且 f′(x) 在区间 D 的任何子区间内都不恒为零．
且21m>1，由 g′(x)>0，得 0<x<1 或 x>21m；
由
g′(x)<0，得
1 1<x<2m.
故当 x 在(0，＋∞)上变化时，g′(x)、g(x)的变化情况
如下表：
x (0,1) 1
g′ ＋
0
(x)
1，21m －
1 2m
21m，＋∞
0
＋
g(x)
极大值
极小值
2．函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果 f′(x)>0(f′(x)<0) ，那 么函数 y＝f(x)在这个区间内单调递增(单调递减)．
3．函数的极值 设函数 f(x)在点 x0 附近有定义，如果对 x0 附近所有的 点 x，都有 f(x)<f(x0) ，那么 f(x0)是函数的一个极大值， 记作 y 极大值＝f(x0)；如果对 x0 附近的所有的点都有 f(x)>f(x0) ，那么 f(x0)是函数的一个极小值，记作 y 极小值 ＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值． 4．函数的最值 将函数 y＝f(x)在[a，b]内的 各极值 与 端点处的函数值 f(a)，f(b)比较 ，其中 最大的一个是最大
专题二 函数与导数
第三讲 导数的简单应用
主干知识整合
[必记公式]
1．基本初等函数的八个导数公式
原函数
导函数
f(x)＝C(C 为常数) f(x)＝xα(α∈R)
f′(x)＝ 0 f′(x)＝ αxα－1
f(x)＝sinx f(x)＝cosx
f′(x)＝ cosx f′(x)＝ －sinx
f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)
(3)由(2)知，g(ln 2)＝32－2 2b＋2(2b－1)ln 2.
当 b＝2 时，g(ln 2)＝23－4 2＋6ln 2>0，
8 ln 2>
122－3>0.6928；
当 b＝342＋1 时，ln (b－1＋ b2－2b)＝ln 2，
g(ln 2)＝－32－2 2＋(3 2＋2)ln 2<0，
(3)已知切线上一点(非切点)，求 y＝f(x)的切线方程： 设切点 P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率 f′(x0)，然 后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得 x0，再由点斜 式或两点式写出方程． 2．利用切线(或方程)与其他曲线的关系求参数 已知过某点切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直，利 用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方 程(组)或函数求解．
18＋ 2 ln 2< 28 <0.6934.
所以 ln 2 的近似值为 0.693.
题型 2 根据函数的单调性求参数的范围 典例 4 [2016·西安质检]已知函数 f(x)＝mx2－x＋ln x. (1)若在函数 f(x)的定义域内存在区间 D，使得该函数在 区间 D 上为减函数，求实数 m 的取值范围； (2)当 0<m≤12时，若曲线 C：y＝f(x)在点 x＝1 处的切 线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点，求 m 的值或取值范围．
a
2．微积分基本定理
一般地，如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F′(x)
＝f(x)，那么bf(x)dx＝F(b)－F(a)． a
[失分警示] 1．对复合函数求导法则用错． 2．判断极值的条件掌握不清：利用导数判断函数的极 值时，忽视“导数等于零，并且两侧导数的符号相反”这两 个条件同时成立． 3．混淆在点 P 处的切线和过点 P 的切线：前者点 P 为 切点，后者点 P 不一定为切点，求解时应先设出切点坐标． 4．关注函数的定义域：求函数的单调区间及极(最)值 应先求定义域．
f′xgx－fxg′x
(3)gfxx′＝
[gx]2
(g(x)≠0)；
(4)若 y＝f(u)，u＝ax＋b，则 yx′＝ yu′·ux′，
即 yx′＝a·yu′.
[重要概念] 1．切线的斜率 函数 f(x)在 x0 处的导数是曲线 f(x)在点 P(x0，f(x0))处的 切线的斜率，因此曲线 f(x)在点 P 处的切线的斜率 k＝ f′(x0)，相应的切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3．求定积分的三种方法 (1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强．
(2)利用微积分基本定理求定积分．
(3)利用定积分的几何意义求定积分．当曲边梯形面积
易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．例如，定积
分 1 0
1－x2 dx
的
几
何
意
义
是
求
单
位
圆
面
积
的
1 4
，
所
以
1 0
1－x2dx＝π4.
[解] (1)f′(x)＝2mx－1＋1x＝2mx2－x x＋1，即 2mx2
－x＋1<0 在(0，＋∞)上有解．
当 m≤0 时显然成立；
当 m>0 时，由于函数 y＝2mx2－x＋1 的图象的对称轴
x＝41m>0，故需且只需
Δ>0，即
1－8m>0，故
1 0<m<8.
综上所述，m<81，故实数 m 的取值范围为－∞，81.
热点考向探究
考点 导数的几何意义及定积分 典例示法 题型 1 导数的几何意义 典例 1 [2015·陕西高考]设曲线 y＝ex 在点(0,1)处的 切线与曲线 y＝1x(x>0)上点 P 处的切线垂直，则 P 的坐标为 __(_1_,_1_) __．
[解析] y′＝ex，则 y＝ex 在点(0,1)处的切线的斜率 k 切＝1，又曲线 y＝x1(x>0)上点 P 处的切线与 y＝ex 在点(0,1) 处的切线垂直，所以 y＝x1(x>0)在点 P 处的切线的斜率为－ 1，设 P(a，b)，则曲线 y＝1x(x>0)上点 P 处的切线的斜率为 y′|x＝a＝－a－2＝－1，可得 a＝1，又 P(a，b)在 y＝1x上，所 以 b＝1，故 P(1,1)．
①当 b≤2 时，g′(x)≥0，等号仅当 x＝0 时成立，所 以 g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
而 g(0)＝0，所以对任意 x>0，g(x)>0；
②当 b>2 时，若 x 满足 2<ex＋e－x<2b－2， 即 0<x<ln (b－1＋ b2－2b)时，g′(x)<0. 而 g(0)＝0，因此当 0<x<ln (b－1＋ b2－2b)时， g(x)<0. 综上，b 的最大值为 2.
对 于 ② ， 1 [(x ＋ 1)(x － 1)]dx ＝ 1 (x2 － 1)dx ＝
-1
-1
13x3－x－1 1＝13－1－－13＋1＝23－2＝－43≠0， 故②不是一组正交函数；
对于③，1
-1
(x·x2)dx＝1 x3dx＝ -1
[解] (1)由 f(x)＝e1－x(2ax－a2)， 得 f′(x)＝－e1－x(2ax－a2)＋2ae1－x＝－e1－x(2ax－a2－ 2a)＝0，又 a≠0，故 x＝1＋2a， 当 a>0 时 ， f(x) 在 －∞，1＋2a 上 为 增 函 数 ， 在 1＋2a，＋∞上为减函数，∴1＋2a≤2，即 a≤2， ∴0<a≤2；当 a<0 时，不合题意， 故 a 的取值范围为(0,2]．
(2)∵f(1)＝m－1，f′(1)＝2m，故切线方程为 y－m＋1
＝2m(x－1)，即 y＝2mx－m－1.
从而方程 mx2－x＋ln x＝2mx－m－1 在(0，＋∞)上有
且只有一解．
设 g(x)＝mx2－x＋ln x－(2mx－m－1)，则 g(x)在(0，
＋∞)上有且只有一个零点．
又 g(1)＝0，故函数 g(x)有零点 x＝1.
[解] (1)f′(x)＝ex＋e－x－2≥0，等号仅当 x＝0 时成 立，所以 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
(2)g(x)＝f(2x)－4bf(x)＝e2x－e－2x－4b(ex－e－x)＋(8b－ 4)x，
g′(x)＝2[e2x＋e－2x－2b(ex＋e－x)＋(4b－2)]＝2(ex＋e－x －2)(ex＋e－x－2b＋2)．