(全国通用)2017年高考数学大二轮专题复习 第二编 专题整合突破 专题二 函数与导数 第三讲 导数的简单应用
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值,最小的一个是最小值.
[重要性质]
1.定积分的性质
(1)bkf(x)dx=kbf(x)dx;
a
a
(2)b[f1(x)±f2(x)]dx=
bf1(x)dx±bf2(x)dx
a
a
.
a
(3)bf(x)dx=
cf(x)dx+bf(x)dx
a
c
(其中 a<c<b).
2.根据函数的单调性求参数取值范围的思路 (1)求 f′(x). (2)将单调性转化为导数 f′(x)在该区间上满足的不等 式恒成立问题求解.
考点 利用导数研究函数的极值与最值 典例示法 题型 1 求函数的极值(最值) 典例 5 [2016·合肥质检]已知函数 f(x)=e1-x(2ax- a2)(其中 a≠0). (1)若函数 f(x)在(2,+∞)上单调递减,求实数 a 的取 值范围; (2)设函数 f(x)的最大值为 g(a),当 a>0 时,求 g(a)的最 大值.
提醒:求曲线的切线方程时,务必分清在点 P 处的切线 还是过点 P 的切线,前者点 P 为切点,后者点 P 不一定为 切点,求解时应先求出切点坐标.
考点 利用导数研究函数的单调性 典例示法 题型 1 利用导数研究函数的单调性(单调区间) 典例 3 [2014·全国卷Ⅱ]已知函数 f(x)=ex-e-x-2x. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)设 g(x)=f(2x)-4bf(x),当 x>0 时,g(x)>0,求 b 的 最大值; (3)已知 1.4142< 2<1.4143,估计 ln 2 的近似值(精确到 0.001).
题型 2 定积分的计算
典例 2 [2014·湖北高考]若函数 f(x),g(x)满足 1 f(x)g(x)dx=0,则称 f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一组
-1
正交函数.给出三组函数:
①f(x)=sin12x,g(x)=cos12x;②f(x)=x+1,g(x)=x-1; ③f(x)=x,g(x)=x2.
则 g′(x)=2mx-1+1x-2m=2mx2-2mx +1x+1=
2mx-1x-1
x
.
当 m=12时,g′(x)≥0,又 g(x)不是常数函数,故 g(x)
在(0,+∞)上单调递增.
∴函数 g(x)有且只有一个零点 x=1,满足题意.
当 0<m<12时,由 g′(x)=0,得 x=21m或 x=1.
f′(x)= axln a
原函数
导函数
f(x)=ex
f′(x)= ex
f(x)=logax(a>0,且 a≠1)
f′(x)ln x
1 f′(x)= x
2.导数四则运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′= f′(x)±g′(x) ; (2)[f(x)·g(x)]′= f′(x)g(x)+f(x)g′(x) ;
其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
[解析] 对于①,-11sin12xcos12xdx =-1112sinxdx=12-11sinxdx = 12-cosx1-1=21{-cos 1-[-cos(-1)]} =12(-cos 1+cos 1)=0. 故①为一组正交函数;
41x41-1=0.
故③为一组正交函数,故选 C.
1.求曲线 y=f(x)的切线方程的三种类型及方法 (1)已知切点 P(x0,y0),求 y=f(x)过点 P 的切线方程: 求出切线的斜率 f′(x0),由点斜式写出方程. (2)已知切线的斜率为 k,求 y=f(x)的切线方程: 设切点 P(x0,y0),通过方程 k=f′(x0)解得 x0,再由点 斜式写出方程.
根据上表知 g21m<0. 又 g(x)=mxx-2+m1 +m+ln x+1.
∴g2+m1 >0, 故在21m,+∞上,函数 g(x)又有一个零点,不符合题 意. 综上所述,m=12.
1.导数与单调性之间的关系 (1)导数大(小)于 0 的区间是函数的单调递增(减)区间. (2)函数 f(x)在 D 上单调递增⇔∀x∈D,f′(x)≥0 且 f′(x)在区间 D 的任何子区间内都不恒为零; 函数 f(x)在 D 上单调递减⇔∀x∈D,f′(x)≤0 且 f′(x) 在区间 D 的任何子区间内都不恒为零.
且21m>1,由 g′(x)>0,得 0<x<1 或 x>21m;
由
g′(x)<0,得
1 1<x<2m.
故当 x 在(0,+∞)上变化时,g′(x)、g(x)的变化情况
如下表:
x (0,1) 1
g′ +
0
(x)
1,21m -
1 2m
21m,+∞
0
+
g(x)
极大值
极小值
2.函数的单调性 在某个区间(a,b)内,如果 f′(x)>0(f′(x)<0) ,那 么函数 y=f(x)在这个区间内单调递增(单调递减).
3.函数的极值 设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,如果对 x0 附近所有的 点 x,都有 f(x)<f(x0) ,那么 f(x0)是函数的一个极大值, 记作 y 极大值=f(x0);如果对 x0 附近的所有的点都有 f(x)>f(x0) ,那么 f(x0)是函数的一个极小值,记作 y 极小值 =f(x0).极大值与极小值统称为极值. 4.函数的最值 将函数 y=f(x)在[a,b]内的 各极值 与 端点处的函数值 f(a),f(b)比较 ,其中 最大的一个是最大
专题二 函数与导数
第三讲 导数的简单应用
主干知识整合
[必记公式]
1.基本初等函数的八个导数公式
原函数
导函数
f(x)=C(C 为常数) f(x)=xα(α∈R)
f′(x)= 0 f′(x)= αxα-1
f(x)=sinx f(x)=cosx
f′(x)= cosx f′(x)= -sinx
f(x)=ax(a>0,且 a≠1)
(3)由(2)知,g(ln 2)=32-2 2b+2(2b-1)ln 2.
当 b=2 时,g(ln 2)=23-4 2+6ln 2>0,
8 ln 2>
122-3>0.6928;
当 b=342+1 时,ln (b-1+ b2-2b)=ln 2,
g(ln 2)=-32-2 2+(3 2+2)ln 2<0,
(3)已知切线上一点(非切点),求 y=f(x)的切线方程: 设切点 P(x0,y0),利用导数求得切线斜率 f′(x0),然 后由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解得 x0,再由点斜 式或两点式写出方程. 2.利用切线(或方程)与其他曲线的关系求参数 已知过某点切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直,利 用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方 程(组)或函数求解.
18+ 2 ln 2< 28 <0.6934.
所以 ln 2 的近似值为 0.693.
题型 2 根据函数的单调性求参数的范围 典例 4 [2016·西安质检]已知函数 f(x)=mx2-x+ln x. (1)若在函数 f(x)的定义域内存在区间 D,使得该函数在 区间 D 上为减函数,求实数 m 的取值范围; (2)当 0<m≤12时,若曲线 C:y=f(x)在点 x=1 处的切 线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点,求 m 的值或取值范围.
a
2.微积分基本定理
一般地,如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且 F′(x)
=f(x),那么bf(x)dx=F(b)-F(a). a
[失分警示] 1.对复合函数求导法则用错. 2.判断极值的条件掌握不清:利用导数判断函数的极 值时,忽视“导数等于零,并且两侧导数的符号相反”这两 个条件同时成立. 3.混淆在点 P 处的切线和过点 P 的切线:前者点 P 为 切点,后者点 P 不一定为切点,求解时应先设出切点坐标. 4.关注函数的定义域:求函数的单调区间及极(最)值 应先求定义域.
f′xgx-fxg′x
(3)gfxx′=
[gx]2
(g(x)≠0);
(4)若 y=f(u),u=ax+b,则 yx′= yu′·ux′,
即 yx′=a·yu′.
[重要概念] 1.切线的斜率 函数 f(x)在 x0 处的导数是曲线 f(x)在点 P(x0,f(x0))处的 切线的斜率,因此曲线 f(x)在点 P 处的切线的斜率 k= f′(x0),相应的切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).
3.求定积分的三种方法 (1)利用定义求定积分(定义法),可操作性不强.
(2)利用微积分基本定理求定积分.
(3)利用定积分的几何意义求定积分.当曲边梯形面积
易求时,可通过求曲边梯形的面积求定积分.例如,定积
分 1 0
1-x2 dx
的
几
何
意
义
是
求
单
位
圆
面
积
的
1 4
,
所
以
1 0
1-x2dx=π4.
[解] (1)f′(x)=2mx-1+1x=2mx2-x x+1,即 2mx2
-x+1<0 在(0,+∞)上有解.
当 m≤0 时显然成立;
当 m>0 时,由于函数 y=2mx2-x+1 的图象的对称轴
x=41m>0,故需且只需
Δ>0,即
1-8m>0,故
1 0<m<8.
综上所述,m<81,故实数 m 的取值范围为-∞,81.
热点考向探究
考点 导数的几何意义及定积分 典例示法 题型 1 导数的几何意义 典例 1 [2015·陕西高考]设曲线 y=ex 在点(0,1)处的 切线与曲线 y=1x(x>0)上点 P 处的切线垂直,则 P 的坐标为 __(_1_,_1_) __.
[解析] y′=ex,则 y=ex 在点(0,1)处的切线的斜率 k 切=1,又曲线 y=x1(x>0)上点 P 处的切线与 y=ex 在点(0,1) 处的切线垂直,所以 y=x1(x>0)在点 P 处的切线的斜率为- 1,设 P(a,b),则曲线 y=1x(x>0)上点 P 处的切线的斜率为 y′|x=a=-a-2=-1,可得 a=1,又 P(a,b)在 y=1x上,所 以 b=1,故 P(1,1).
①当 b≤2 时,g′(x)≥0,等号仅当 x=0 时成立,所 以 g(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
而 g(0)=0,所以对任意 x>0,g(x)>0;
②当 b>2 时,若 x 满足 2<ex+e-x<2b-2, 即 0<x<ln (b-1+ b2-2b)时,g′(x)<0. 而 g(0)=0,因此当 0<x<ln (b-1+ b2-2b)时, g(x)<0. 综上,b 的最大值为 2.
对 于 ② , 1 [(x + 1)(x - 1)]dx = 1 (x2 - 1)dx =
-1
-1
13x3-x-1 1=13-1--13+1=23-2=-43≠0, 故②不是一组正交函数;
对于③,1
-1
(x·x2)dx=1 x3dx= -1
[解] (1)由 f(x)=e1-x(2ax-a2), 得 f′(x)=-e1-x(2ax-a2)+2ae1-x=-e1-x(2ax-a2- 2a)=0,又 a≠0,故 x=1+2a, 当 a>0 时 , f(x) 在 -∞,1+2a 上 为 增 函 数 , 在 1+2a,+∞上为减函数,∴1+2a≤2,即 a≤2, ∴0<a≤2;当 a<0 时,不合题意, 故 a 的取值范围为(0,2].
(2)∵f(1)=m-1,f′(1)=2m,故切线方程为 y-m+1
=2m(x-1),即 y=2mx-m-1.
从而方程 mx2-x+ln x=2mx-m-1 在(0,+∞)上有
且只有一解.
设 g(x)=mx2-x+ln x-(2mx-m-1),则 g(x)在(0,
+∞)上有且只有一个零点.
又 g(1)=0,故函数 g(x)有零点 x=1.
[解] (1)f′(x)=ex+e-x-2≥0,等号仅当 x=0 时成 立,所以 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
(2)g(x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e-2x-4b(ex-e-x)+(8b- 4)x,
g′(x)=2[e2x+e-2x-2b(ex+e-x)+(4b-2)]=2(ex+e-x -2)(ex+e-x-2b+2).
[重要性质]
1.定积分的性质
(1)bkf(x)dx=kbf(x)dx;
a
a
(2)b[f1(x)±f2(x)]dx=
bf1(x)dx±bf2(x)dx
a
a
.
a
(3)bf(x)dx=
cf(x)dx+bf(x)dx
a
c
(其中 a<c<b).
2.根据函数的单调性求参数取值范围的思路 (1)求 f′(x). (2)将单调性转化为导数 f′(x)在该区间上满足的不等 式恒成立问题求解.
考点 利用导数研究函数的极值与最值 典例示法 题型 1 求函数的极值(最值) 典例 5 [2016·合肥质检]已知函数 f(x)=e1-x(2ax- a2)(其中 a≠0). (1)若函数 f(x)在(2,+∞)上单调递减,求实数 a 的取 值范围; (2)设函数 f(x)的最大值为 g(a),当 a>0 时,求 g(a)的最 大值.
提醒:求曲线的切线方程时,务必分清在点 P 处的切线 还是过点 P 的切线,前者点 P 为切点,后者点 P 不一定为 切点,求解时应先求出切点坐标.
考点 利用导数研究函数的单调性 典例示法 题型 1 利用导数研究函数的单调性(单调区间) 典例 3 [2014·全国卷Ⅱ]已知函数 f(x)=ex-e-x-2x. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)设 g(x)=f(2x)-4bf(x),当 x>0 时,g(x)>0,求 b 的 最大值; (3)已知 1.4142< 2<1.4143,估计 ln 2 的近似值(精确到 0.001).
题型 2 定积分的计算
典例 2 [2014·湖北高考]若函数 f(x),g(x)满足 1 f(x)g(x)dx=0,则称 f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一组
-1
正交函数.给出三组函数:
①f(x)=sin12x,g(x)=cos12x;②f(x)=x+1,g(x)=x-1; ③f(x)=x,g(x)=x2.
则 g′(x)=2mx-1+1x-2m=2mx2-2mx +1x+1=
2mx-1x-1
x
.
当 m=12时,g′(x)≥0,又 g(x)不是常数函数,故 g(x)
在(0,+∞)上单调递增.
∴函数 g(x)有且只有一个零点 x=1,满足题意.
当 0<m<12时,由 g′(x)=0,得 x=21m或 x=1.
f′(x)= axln a
原函数
导函数
f(x)=ex
f′(x)= ex
f(x)=logax(a>0,且 a≠1)
f′(x)ln x
1 f′(x)= x
2.导数四则运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′= f′(x)±g′(x) ; (2)[f(x)·g(x)]′= f′(x)g(x)+f(x)g′(x) ;
其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
[解析] 对于①,-11sin12xcos12xdx =-1112sinxdx=12-11sinxdx = 12-cosx1-1=21{-cos 1-[-cos(-1)]} =12(-cos 1+cos 1)=0. 故①为一组正交函数;
41x41-1=0.
故③为一组正交函数,故选 C.
1.求曲线 y=f(x)的切线方程的三种类型及方法 (1)已知切点 P(x0,y0),求 y=f(x)过点 P 的切线方程: 求出切线的斜率 f′(x0),由点斜式写出方程. (2)已知切线的斜率为 k,求 y=f(x)的切线方程: 设切点 P(x0,y0),通过方程 k=f′(x0)解得 x0,再由点 斜式写出方程.
根据上表知 g21m<0. 又 g(x)=mxx-2+m1 +m+ln x+1.
∴g2+m1 >0, 故在21m,+∞上,函数 g(x)又有一个零点,不符合题 意. 综上所述,m=12.
1.导数与单调性之间的关系 (1)导数大(小)于 0 的区间是函数的单调递增(减)区间. (2)函数 f(x)在 D 上单调递增⇔∀x∈D,f′(x)≥0 且 f′(x)在区间 D 的任何子区间内都不恒为零; 函数 f(x)在 D 上单调递减⇔∀x∈D,f′(x)≤0 且 f′(x) 在区间 D 的任何子区间内都不恒为零.
且21m>1,由 g′(x)>0,得 0<x<1 或 x>21m;
由
g′(x)<0,得
1 1<x<2m.
故当 x 在(0,+∞)上变化时,g′(x)、g(x)的变化情况
如下表:
x (0,1) 1
g′ +
0
(x)
1,21m -
1 2m
21m,+∞
0
+
g(x)
极大值
极小值
2.函数的单调性 在某个区间(a,b)内,如果 f′(x)>0(f′(x)<0) ,那 么函数 y=f(x)在这个区间内单调递增(单调递减).
3.函数的极值 设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,如果对 x0 附近所有的 点 x,都有 f(x)<f(x0) ,那么 f(x0)是函数的一个极大值, 记作 y 极大值=f(x0);如果对 x0 附近的所有的点都有 f(x)>f(x0) ,那么 f(x0)是函数的一个极小值,记作 y 极小值 =f(x0).极大值与极小值统称为极值. 4.函数的最值 将函数 y=f(x)在[a,b]内的 各极值 与 端点处的函数值 f(a),f(b)比较 ,其中 最大的一个是最大
专题二 函数与导数
第三讲 导数的简单应用
主干知识整合
[必记公式]
1.基本初等函数的八个导数公式
原函数
导函数
f(x)=C(C 为常数) f(x)=xα(α∈R)
f′(x)= 0 f′(x)= αxα-1
f(x)=sinx f(x)=cosx
f′(x)= cosx f′(x)= -sinx
f(x)=ax(a>0,且 a≠1)
(3)由(2)知,g(ln 2)=32-2 2b+2(2b-1)ln 2.
当 b=2 时,g(ln 2)=23-4 2+6ln 2>0,
8 ln 2>
122-3>0.6928;
当 b=342+1 时,ln (b-1+ b2-2b)=ln 2,
g(ln 2)=-32-2 2+(3 2+2)ln 2<0,
(3)已知切线上一点(非切点),求 y=f(x)的切线方程: 设切点 P(x0,y0),利用导数求得切线斜率 f′(x0),然 后由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解得 x0,再由点斜 式或两点式写出方程. 2.利用切线(或方程)与其他曲线的关系求参数 已知过某点切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直,利 用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方 程(组)或函数求解.
18+ 2 ln 2< 28 <0.6934.
所以 ln 2 的近似值为 0.693.
题型 2 根据函数的单调性求参数的范围 典例 4 [2016·西安质检]已知函数 f(x)=mx2-x+ln x. (1)若在函数 f(x)的定义域内存在区间 D,使得该函数在 区间 D 上为减函数,求实数 m 的取值范围; (2)当 0<m≤12时,若曲线 C:y=f(x)在点 x=1 处的切 线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点,求 m 的值或取值范围.
a
2.微积分基本定理
一般地,如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且 F′(x)
=f(x),那么bf(x)dx=F(b)-F(a). a
[失分警示] 1.对复合函数求导法则用错. 2.判断极值的条件掌握不清:利用导数判断函数的极 值时,忽视“导数等于零,并且两侧导数的符号相反”这两 个条件同时成立. 3.混淆在点 P 处的切线和过点 P 的切线:前者点 P 为 切点,后者点 P 不一定为切点,求解时应先设出切点坐标. 4.关注函数的定义域:求函数的单调区间及极(最)值 应先求定义域.
f′xgx-fxg′x
(3)gfxx′=
[gx]2
(g(x)≠0);
(4)若 y=f(u),u=ax+b,则 yx′= yu′·ux′,
即 yx′=a·yu′.
[重要概念] 1.切线的斜率 函数 f(x)在 x0 处的导数是曲线 f(x)在点 P(x0,f(x0))处的 切线的斜率,因此曲线 f(x)在点 P 处的切线的斜率 k= f′(x0),相应的切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).
3.求定积分的三种方法 (1)利用定义求定积分(定义法),可操作性不强.
(2)利用微积分基本定理求定积分.
(3)利用定积分的几何意义求定积分.当曲边梯形面积
易求时,可通过求曲边梯形的面积求定积分.例如,定积
分 1 0
1-x2 dx
的
几
何
意
义
是
求
单
位
圆
面
积
的
1 4
,
所
以
1 0
1-x2dx=π4.
[解] (1)f′(x)=2mx-1+1x=2mx2-x x+1,即 2mx2
-x+1<0 在(0,+∞)上有解.
当 m≤0 时显然成立;
当 m>0 时,由于函数 y=2mx2-x+1 的图象的对称轴
x=41m>0,故需且只需
Δ>0,即
1-8m>0,故
1 0<m<8.
综上所述,m<81,故实数 m 的取值范围为-∞,81.
热点考向探究
考点 导数的几何意义及定积分 典例示法 题型 1 导数的几何意义 典例 1 [2015·陕西高考]设曲线 y=ex 在点(0,1)处的 切线与曲线 y=1x(x>0)上点 P 处的切线垂直,则 P 的坐标为 __(_1_,_1_) __.
[解析] y′=ex,则 y=ex 在点(0,1)处的切线的斜率 k 切=1,又曲线 y=x1(x>0)上点 P 处的切线与 y=ex 在点(0,1) 处的切线垂直,所以 y=x1(x>0)在点 P 处的切线的斜率为- 1,设 P(a,b),则曲线 y=1x(x>0)上点 P 处的切线的斜率为 y′|x=a=-a-2=-1,可得 a=1,又 P(a,b)在 y=1x上,所 以 b=1,故 P(1,1).
①当 b≤2 时,g′(x)≥0,等号仅当 x=0 时成立,所 以 g(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
而 g(0)=0,所以对任意 x>0,g(x)>0;
②当 b>2 时,若 x 满足 2<ex+e-x<2b-2, 即 0<x<ln (b-1+ b2-2b)时,g′(x)<0. 而 g(0)=0,因此当 0<x<ln (b-1+ b2-2b)时, g(x)<0. 综上,b 的最大值为 2.
对 于 ② , 1 [(x + 1)(x - 1)]dx = 1 (x2 - 1)dx =
-1
-1
13x3-x-1 1=13-1--13+1=23-2=-43≠0, 故②不是一组正交函数;
对于③,1
-1
(x·x2)dx=1 x3dx= -1
[解] (1)由 f(x)=e1-x(2ax-a2), 得 f′(x)=-e1-x(2ax-a2)+2ae1-x=-e1-x(2ax-a2- 2a)=0,又 a≠0,故 x=1+2a, 当 a>0 时 , f(x) 在 -∞,1+2a 上 为 增 函 数 , 在 1+2a,+∞上为减函数,∴1+2a≤2,即 a≤2, ∴0<a≤2;当 a<0 时,不合题意, 故 a 的取值范围为(0,2].
(2)∵f(1)=m-1,f′(1)=2m,故切线方程为 y-m+1
=2m(x-1),即 y=2mx-m-1.
从而方程 mx2-x+ln x=2mx-m-1 在(0,+∞)上有
且只有一解.
设 g(x)=mx2-x+ln x-(2mx-m-1),则 g(x)在(0,
+∞)上有且只有一个零点.
又 g(1)=0,故函数 g(x)有零点 x=1.
[解] (1)f′(x)=ex+e-x-2≥0,等号仅当 x=0 时成 立,所以 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
(2)g(x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e-2x-4b(ex-e-x)+(8b- 4)x,
g′(x)=2[e2x+e-2x-2b(ex+e-x)+(4b-2)]=2(ex+e-x -2)(ex+e-x-2b+2).