北师大选修微积分基本定理课件

• [点评] 定积分广泛应用于实际生活中，准 确理解题意，正确列出定积分是解决此类问 题的关键．此题是根据速度求路程，同样， 求给定力所做的功也可以用定积分来解决．
• 设有一长为25cm的弹簧，假设施加100N的 力，那么弹簧伸长到30cm，求使弹簧由 25cm伸长到40 cm所做的功．
• [分析] 因为弹簧的力是一个变力，所以不 能用常规的方法求解，考虑用定积分求解．
＝(13x3＋2x－32x2)|10＋(32x2－13x3－2x)|21＝1.
在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一条切线，使之与曲线 以及x轴所围成图形的面积为 112 .试求切点A的坐标以及过切点A 的切线方程．
[解析] 如图所示，设切点A(x0，
y0)，由y′＝2x，过A点的切线方程为y－
北师大选修微积分基本定理课件
§2 微积分根本定理 第四章
1 知能目标解读 2 知能自主梳理 3 学习方法指导 4 思路方法技巧
5 探索延拓创新 6 易错辨误警示 7 课堂巩固训练 8 课后强化作业
知能目标解读
• 1．通过实例，直观理解微积分根本定理的 含义及意义．
• 2．会用微积分根本定理求函数的定积分． • 3．会用定积分求相关图形的面积、变速直
• (1)求f(x)的解析式；
• (2)求由曲线y＝f(x)与y＝3x，x＝0，x＝1， x＝2所围成的平面图形的面积．
• [解析] (1)由得：f ′(1)＝2，求得a＝1， • ∴f(x)＝x2＋2.
(2)由题意知阴影部分的面积是：
S＝1(x2＋2－3x)dx＋2(3x－x2－2)dx
0
1
线运动的路程及变力做功问题．
• 本节重点：微积分根本定理． • 本节难点：微积分根本定理的应用．
知能自主梳理
1．微积分基本定理：如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函
数，即f(x)＝F′(x)，则有
b
f(x)dx＝__F_(_b_)－__F__(a_)___．定理中的
a
式子称为牛顿－莱布尼茨公式，通常称F(x)是f(x)的一个原函
－
π 2
＝
2 2.
• [点评] 当对应曲边梯形位于x轴下方时，定 积分的值取负值，此时曲边梯形的面积等于 定积分的相反数，此题求曲线与直线所围成 图形的面积时应先判断曲线在x轴上方还是 下方，否那么求出的面积是错误的．
• 利用定积分求曲边图形面积时防止出错的措 施为：(1)当对应的曲边图形位于x轴上方时
(4)31xdx. 1
[解析] (1)由于x2－4x的导函数是2x－4，根据微积分基
本定理可得5(2x－4)dx＝(x2－4x)|50＝(52－4×5)－(02－4×0)＝5. 0
(2)由于x3的导函数是3x2，根据微积分基本定理可得
5
2
3x2dx＝x3|52＝52－23＝117.
(3)由于－cosx的导函数是sinx，根据微积分基本定理可得
(1)A，C间的距离； (2)B，D间的距离； (3)电车从A站到B站所需的时间．
• [分析] 物体行驶的路程可以用定积分表示 ，先确定各段上电车的速度方程，再利用微 积分根本定理求出两点间的间隔 ．
[解析] (1)设从A到C经过t1 s，由1.2t1＝24得t1＝20， ∴AC＝∫0201.2tdt＝0.6t2|200＝240(m)． (2)设从D到B经过t2 s，由24－1.2t2＝0得t2＝20， ∴DB＝∫020(24－1.2t)dt＝(24t－0.6t2)|200＝240(m)． (3)依题意得CD＝7 200－2×240＝6 720(m)．设从C到D经 过t3 s，则t3＝6 27420＝280. ∴电车从A站到B站所需的时间为20＋280＋20＝320(s)．
• ③对于解析式含有绝对值符号的被积函数， 要去掉绝对值符号才能积分．
• 2．计算时要合理运用定积发运算性质，假 如不能直接利用公式，可进展转化．
• 3．要把定积分和用定积分计算平面图形的 面积这两个概念区分开，定积分是一种积分 和的极限，可为正，也可以为负或零，而平 面图形的面积在一般意义上总为正．
πsinxdx＝(－cosx)|0π＝(－cos π)－(－cos0)＝2.
0
(4)由于lnx的导函数是1x，根据微积分基本定理可得31xdx＝ 1
lnx|31＝ln3－ln1＝ln3.
• [点评] 牛顿－莱布尼茨公式提醒了导数和 定积分的内在联络，从而把被积函数为连续 函数的定积分计算问题化成了求被积函数的 原函数问题，这就要求纯熟掌握导数的计算 公式，学会逆运算．
，定积分的值取正值，且等于曲边图形的面 积；(2)当对应的曲边图形位于x轴下方时，
定积分的值取负值，且等于曲边图形的面积 的相反数；(3)当位于x轴上方的曲边图形面 积等于位于x轴下方的曲边图形面积时，定 积分为0，且等于位于x轴上方的曲边图形面 积减去位于x轴下方的曲边图形面积．
求由抛物线 y2＝8x(y>0)与直线 x＋y－6＝0 及 y ＝0 所围成图形的面积．
[点评] 解此类问题首先要弄清楚是恒力还是变力做功，
当力是随x而变化的变力F(x)时，由定积分的定义，物体沿与
力F相同的方向从x＝a移动到x＝b时，力F所做的功为W＝
b
a
f(x)dx.
探索延拓创新
• 综合应用
已知曲线 f(x)＝ax2＋2 在 x＝1 处的切线与直线 2x －y＋1＝0 平行．
y＝2－x， 及y＝－13x， 得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．
∴S＝1[
x－(－13x)]dx＋3[(2－x)－(－13x)]dx
0
1
＝1[
x＋13x]dx＋3[(2－x)＋13x]dx
0
1
＝(23x32 ＋16x2)|10＋(2x－12x2＋16x2)|31
＝23＋16＋(2x－13x2)|31
(1)1(ex＋2x)dx等于( 0
A．1 C．e
)
B.e－1 D.e＋1
• [答案] C
[解析] ∵被积函数ex＝2x的原函数为ex＋x2. ∴1(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)|10＝(e1＋12)－(e0＋0)＝e.
0
• [点评] 解决此题的关键是找出ex＋2x的一 个原函数，这是积分问题较容易的一种高考 题型．
[解析]
y2＝8x， 由 题 意 并 解 方 程 组 x＋y－6＝0，
y>0，
解得
x＝2， y＝4.
所以直线x＋y－6＝0与y2＝8x(y>0)的交点坐标为A(2,4)，
因此，所求面积为
S＝4(6－x－ 0
8x)dx＝
6x－12x2－2
2·23x3240＝24－8－43
2
3
×42
＝16－332
2.
[解析] 设用xcm表示弹簧伸长的长度，F(x)表示加在弹簧
上的力，k表示弹性系统，则依题意，使弹簧伸长5cm，需力
100N，即100＝5k，k＝20，则F(x)＝20x，于是现在需计算由x
＝0到x＝15所做的功，W＝
15
20xdx＝10x2|
15 0
＝2250(N·cm)＝
0
22.5(J)．所以弹簧由25cm伸长到40cm，所做的功为22.5J.
－1
－1
＝(x2＋3x)|3－1－13x3|3－1＝332.
求由曲线y＝ x，y＝2－x，y＝－13x围成的图形面积．
• [分析] 此题考察定积分在几何中的应用， 可以先画出草图，求得其交点后，确定出积 分的上限及下限，从而转化为定积分问题求 解．
[解析] 图形如图所示， 由yy＝＝2－x，x
y＝ x， 与y＝－13x
• [分析] 从图形可以看出，所求图形的面积 可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的 差，进而可以用定积分求出面积．为了确定 出被积函数和积分的上、下限，我们需要求 出两条曲线的交点的横坐标．
[解析] 由方程组yy＝＝x22x，＋3，
可得x1＝－1，x2＝3. 故所围成图形的面积为
S＝3 (2x＋3)dx－3 x2dx
[正解] 作出直线x＋y－6＝0与抛物线y2＝8x(y>0)的草 图，如图所示．
解方程组yx2＋＝y8－x，6＝0. 又y>0，∴xy＝＝24，. ∴直线x＋y－6＝0与抛物线y2＝8x(y>0)的交点坐标为 A(2,4)．
由此可得：定积分的几何意义是在区间[a，b]上曲线与x 轴所围成的图形面积的代数和，其中x轴上方的面积取正值，x 轴下方的面积取负值．
5．微积分基本定理的简单应用及需要注意的问题
(1)微积分基本定理提供了计算定积分的有效方法，避免
了用定义求解定积分的复杂运算，其应用十分广泛．常见的求
平面曲边梯形的面积，变速运动物体的行程、变力所做的功
所以x0＝1，从而切点A(1,1)，切线方程为y＝2x－1.
[点评] 本题主要考查导数与定积分的有关知识，解决本 题的关键是求出曲边三角形AOB的面积．
易错辨误警示
求曲线y＝sinπ，y＝0所
围图形的面积(如图所示)． [解析] 所示面积为S＝
－
π 2
sinxdx＝－cosx|
y0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－x
2 0
.令y＝0，
得x＝x20，记切线与x轴的交点为Cx20，0.
设由曲线和过点A的切线x轴所围成图形
的面积为S，S＝S曲边三角形AOB－S△ ABC，S曲边
三角形AOB＝∫x00x2dx＝13x3|x00＝13x30.
S△ ABC＝12|BC|·|AB|＝12x0－x20·x20＝14x30，即S＝13x30－14x30＝112 x30＝112.
＝56＋6－13×9－2＋13＝163.
• 实际应用
A，B两站相距7.2 km，一辆电车从A站开往B 站，电车开出t s后到达途中C点，这一段加速度为1.2 m/s2，到 C点速度达24 m/s，从C点到B站前的D点以等速行驶，从D 点 开始刹车，经过t s后，速度为(24－1.2t)m/s.假如在B点恰好停 车，试求：
(2)π (sinx＋cosx)dx等于( ) －π
A．0
B.－1
C．1
D.2
• [答案] A
[解析]
π
(sinx＋cosx)dx
－π
＝π
sinxdx＋π
cosxdx
－π
－π
＝(－cosx)|π－π＋sinx|π－π
＝0＋0＝0.
• 微积分根本定理的简单应用
如图所示，求直线y＝2x＋3与抛物线y＝x2所围 成的图形的面积．
a
a
b
③若 f(x)在[－a，a]上连续，则当 f(x)是偶函数时，a f(x)dx＝ －a
2a
f(x)dx；当 f(x)是奇函数时，a－a f(x)dx＝0.
0
• (4)常用技巧：
• ①对被积函数先化简，再求积分；
• ②对被积函数是分段函数的定积分，根据定 积分对区间的可加性，分段求定积分再求和 ；
数．
2．(1)0的原函数＝__c__； (2)1的原函数＝___x_＋__c__；
xα＋1 (3)xα的原函数＝___α_＋__1_____＋c(α≠－1，x>0)
(4)1x的原函数＝____ln_|_x_|＋__c____(x≠0)； (5)ex 的原函数＝__e_x_＋__c____；
(6)ax 的原函数＝_lan_xa_＋__c____； (7)cosx 的原函数＝___si_n_x_＋__c___； (8)sinx 的原函数＝__－__co_s_x_＋__c___.
等．
(2)在解决上述问题时，可利用数形结合的方法，作出y＝
f(x)的草图后再求解．
如若f(x)<0，则
b
f(x)dx<0，此时其相反数才是其平面图形
a
的面积．
思路方法技巧
• 利用微积分根本定理求定积分
计算下列定积分：
(1)5(2x－4)dx； 0
(3)πsinxdx； 0
(2)53x2dx； 2
• 4．由微积分根本定理理解定积分的几何意义
• (1)当对应的曲边梯形位于x轴上方时(如下图)定积分的值取 正值，且等于曲边梯形的面积．
• (2)当对应的曲边梯形位于x轴下方时(如下图)，定积分的值 取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数．
• (3)当位于x轴上方的曲边梯形的面积等于位于x轴下方的曲 边梯形的面积时，定积分的值为0(如下图)，且等于位于x 轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的 面积．
学习方法指导
1．微积分基本定理中应明确以下几点：
(1)利用微积分基本定理求定积分b f(x)dx 的关键是找出使 a
F′(x)＝f(x)的一个原函数 F(x)．通常我们可以运用基本初等函数
的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出 F(x)．
(2)求导运算与求原函数运算互为逆运算．
(3)①a f(x)dx＝F(a)－F(a)＝0；②b f(x)dx＝－a f(x)dx；