2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义：第13讲 函数与方程含答案

函数 y ＝f(x)在区间(a ，b )内至少有 一个零点 .
⎨Δ － <m f (m )>0 第 13 讲 函数与方程
1．结合二次函数图象，了解函数的零点与方程根的联系． 2．判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
知识梳理
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数 y ＝f(x)，把使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 y ＝f(x)的零点． (2)三个等价关系
方程 f(x)＝0 有实根 函数 y ＝f(x)的图象与 x 轴 有交点 函数 y ＝f(x)有 零点 . (3)函数零点的判定(零点存在定理)
如果函数 y ＝f(x)在区间[a ，b ]上是一条 连续不断 的曲线，并且有 f(a )· f (b ) < 0，那么
．． 2．二分法
(1)二分法的意义
对于区间[a ，b ]上连续不断且 f(a )· f (b )<0 的函数 y ＝f(x)，通过不断地把函数 f(x)的零点所
在的区间 一分为二 ，使区间的两个端点逐步逼近 零点 ，进而得到零点近似值的方法叫做二 分法．
(2)利用二分法求函数 f(x)的零点的近似值的步骤：
第一步，确定区间[a ，b ]，验证 f(a)f(b )<0 ，给定精确度 ε. 第二步，求区间(a ，b )的中点 x 1. 第三步，计算 f(x 1)；
①若 f(x 1)＝0，x 1 就是函数的 零点 ；
②若 f(a)f(x 1)<0，则令 b ＝x 1，此时零点 x 0∈ (a ，x 1) ； ③若 f(x 1)f(b )<0，则令 a ＝x 1，此时零点 x 0∈ (x 1，b ) .
第四步，判断是否达到精确度的要求，否则重复第二至第四步．
1．有关函数零点的结论
(1)若连续函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点． (2)连续函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续函数的图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 2．二次函数 f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a>0)零点的分布
零点的分布 (m ，n ，p 为常数)
图
象 满足条件
x 1<x 2<m
⎧ ⎩
b 2a
m<x 1<x 2
b
－ >m f (m )>0 ⎨Δ 2a
⎨Δ＝ m<－ <n
2a
A. B ．－1 C ．0 或 D ．0
⎩
⎧ ⎩
x 1<m<x 2
f(m )<0
m<x 1<x 2<n
m<x 1<n <x 2<p
只有一个零点 在(m ，n )之间
{f (m ) f (n ) f (p )>0
⎧ b ⎩
或 f(m )· f (n )<0
3.三个等价关系的推广
方程 f(x)－g (x)＝0 有实根 函数 y ＝f(x)与 y ＝g (x)的图象有交点 函数 F(x)＝f(x)－g (x)有零点．
热身练习
⎧⎪2x －1，
x ≤1， 1．(2018· 济宁模拟)已知函数 f(x)＝⎨
则 f(x)的零点为(D) ⎪1＋log 2x ， x >1，
1 2
1 2
当 x ≤1 时，由 f(x)＝2x －1＝0，解得 x ＝0；
1
当 x >1 时，由 f(x)＝1＋log 2x ＝0，解得 x ＝2，
又因为 x >1，所以此时方程无解． 综上，函数 f(x)的零点只有 0.
2．函数 f(x)＝x 3＋3x －1 在以下哪个区间内一定有零点(B) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(2,3)
因为 f (0)· f (1)<0，所以 f(x)在(0,1)上一定有零点．
3．已知函数 f(x)＝2ax －a ＋3.若 x 0∈(－1,1)，f(x 0)＝0，则实数 a 的取值范围是(A) A ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－3) C ．(－3,1) D ．(1，＋∞)
当 a ＝0 时，显然不成立．
4．(2018· 武昌区模拟)函数 f(x)＝ x 2 －( )x 的零点的个数为(B)
在同一平面直角坐标系内作出 y ＝ x 2 与 y ＝( )x
的图象(如图)， 因此函数 f(x)＝ x 2 －( )x 只有 1 个零点．
⎪
⎩
当 a ≠0 时，由题意知 f(－1)· f (1)<0，
即(－3a ＋3)(a ＋3)<0，解得 a <－3 或 a>1.
1 1
2
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
1 1 2
由图可知，两函数图象只有一个交点，
1 1 2
5．若函数 f(x)＝x 3＋x 2－2x －2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f(1)＝－2 f(1.25)＝－0.984
f(1.4375)＝0.162
f(1.5)＝0.625
f(1.375)＝－0.260 f(1.40625)＝－0.054
那么方程 x 3＋x 2－2x －2＝0 的一个近似值(精确到 0.1)为(C)
A ．1.2
B ．1.3
C ．1.4
D ．1.5
可知方程的解在区间(1.40625,1.4375)上，
因为 1.40625≈1.4,1.4375≈1.4，故近似解为 1.4.
函数零点的判断与求解
(1)设 x 0 是方程 ln x ＋x ＝4 的解，则 x 0 属于区间
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4)
⎧x 2－2， x ≤0， (2)函数 f(x)＝⎨
的零点个数是____________． ⎪2x －6＋ln x ， x >0
(1)设 f(x)＝ln x ＋x －4，
因为 f(1)＝－3<0，f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3－1>ln e －1＝0，所以 f (2)· f (3)<0， 所以 f(x)在(2,3)上有零点．
(2)当 x ≤0 时，由 x 2－2＝0，得 x ＝－ 2；
当 x >0 时，f(x)＝2x －6＋ln x 在(0，＋∞)上为增函数，且 f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3>0. 所以 f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点． 综上，f(x)的零点个数为 2.
(1)C (2)2
判断方程的根的个数，函数的零点个数等问题，常用方法有：
(1)直接求零点：令 f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2) 利用函数零点存在定理：利用定理不仅要函数在区间 [a ， b ] 上是连续不断的曲线，且
A ．(－ ，0)
B ．(0， )
C ．( ， )
D ．( ， )
f( )＝ e 4 ＋4× －3＝ e 4 －2<0， f( )＝ e 2 ＋4× －3＝ e 2 －1>0， 所以 f(x)在( ， )内存在唯一零点．
解得 x ＝－9 或 x ＝ 满足条件．
⎩ 1 1 ⎩ ⎩
f(a)f(b )<0，还必须结合函数的性质(如单调性、奇偶性等)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用函数图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画出两个函数的图象，看其有几 个交点，就有几个不同的零点．
1．(1)在下列区间中，函数 f(x)＝e x ＋4x －3 的零点所在的区间为(C)
1 1
4 4
1 1 1 3
4 2 2 4
⎧⎪x 2＋2x ，x ≤0， (2)(2018· 岳麓区校级模拟)已知函数 f(x)＝⎨
则函数 g (x)＝f(1－x)－1 的零点个
⎪|lg x|， x >0，
数为(C)
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
(1)因为 f(x)是 R 上的增函数且图象是连续的，且
1 1
1 4 4
1 1
1 2 2
1 1
4 2
⎧⎪(1－x )2
＋2(1－x )， x ≥1，
(2)由题意得 f(1－x)＝⎨
⎪|lg (1－x )|， x <1，
⎧⎪x 2
－4x ＋3，
x ≥1， 即 f(1－x)＝⎨
⎪|lg (1－x )|， x<1.
当 x ≥1 时，由 f(1－x)－1＝x 2－4x ＋2＝0，
解得 x ＝2＋ 2或 x ＝2－ 2(舍去)；
当 x <1 时，由 f(1－x)－1＝|lg(1－x)|－1＝0，
9
10
综上所述，函数 g (x)的零点有 3 个，故选 C.
二次函数的零点
已知函数 f(x)＝x 2＋2mx ＋2m ＋1.
(1)若函数有两个零点，其中一个零点在区间(－1,0)内，另一个零点在区间(1,2)内，求 m 的取 值范围；
(2)若函数的两个零点均在(0,1)内，求 m 的取值范围．
(1)条件说明抛物线：
f(x)＝x 2＋2mx ＋2m ＋1 的零点分别在(－1,0)和(1,2)内，画出示意图，得：
⎧⎪f(0)＝2m＋1＜0，⎧m＜－
，
，
⎨f(－1)＝2＞0，⎨
⎪⎩f(1)＝4m＋2＜0，⎪m＜－，
⎩
m＞－5.所以－＜m＜－.
⎪⎩Δ>0，2 2
所以－＜m<1－ 2.
⎧⎪Δ＝4a－4(2＋a)>0，
所以
⎨－＝a>1，
⎪⎩
⎩1 2
f(2)＝6m＋5＞0
6
51
62
(2)根据f(x)的零点落在(0,1)内，列不等式组：
⎧⎪f(0)＞0，⎨f(1)＞0，0＜－m＜1⎧⎪m＞－1，
⎨m＞－1，
⎪⎩m>1＋2或m<1－
－1＜m＜0.
2，
1
2
利用二次函数图象，采用数形结合是求解二次函数零点分布问题的基本方法．求解时，一般要考虑如下四个方面：“开口方向、方程有解的条件、对称轴的位置、区间端点函数值的正负”．其中方程有解的条件可以是：①Δ≥0；②零点存在定理．
2．若关于x的方程x2－2ax＋2＋a＝0有两个不相等的实根，分别满足下列条件，求a的取值范围．
(1)方程的两根都大于1；
(2)方程一根大于1，另一根小于1.
设f(x)＝x2－2ax＋2＋a.
(1)两根都大于1，即f(x)在(1，＋∞)上有两个不同的零点，
2
－2a
2
f(1)＝3－a>0，
解得2<a<3.
(2)方程一根大于1，另一根小于1，
即要求f(x)＝x2－2ax＋2＋a的两零点在x＝1的两旁，
所以只需要f(1)<0，所以a>3.
函数零点和参数的范围
⎧⎪e x，x≤0，
(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝⎨g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则
⎪ln x，x>0，
A ．－ B. C. D ．1
要使 f(x)有唯一零点，则必有 2a ＝1，即 a ＝ .
a 的取值范围是( )
A ．[－1,0)
B ．[0，＋∞)
C ．[－1，＋∞)
D ．[1，＋∞)
令 h (x)＝－x －a ，则 g (x)＝f(x)－h (x)．
在同一坐标系中画出 y ＝f(x)，y ＝h (x)图象的示意图，如图：
若 g (x)存在 2 个零点，则 y ＝f(x)的图象与 y ＝h (x)的图象有 2 个交点，平移 y ＝h (x)的图象，可 知
当直线 y ＝－x －a 过点(0,1)时，有 2 个交点， 此时 1＝－0－a ，解得 a ＝－1.
当 y ＝－x －a 在 y ＝－x ＋1 上方，即 a <－1 时，仅有 1 个交点，不符合题意． 当 y ＝－x －a 在 y ＝－x ＋1 下方，即 a >－1 时，有 2 个交点，符合题意． 综上，a 的取值范围为[－1，＋∞)．
C
由函数的零点确定参数的取值范围，常采用数形结合的方法．有如下两种常用的方法．
(1)将参数分离，化为 b ＝g (x)的形式，转化为 y ＝b 与 y ＝g (x)的交点问题；
(2)将函数 f(x)化为 f(x)＝h (x)－g (x)的形式，根据 f(x)＝0 h (x)＝g (x)，转化为 y ＝h (x)与 y ＝g (x) 的交点问题．
3．(2017· 全国卷Ⅲ)已知函数 f(x)＝x 2－2x ＋a(e x －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则 a ＝(C)
1 1
2 3
1
2
(方法一)f(x)＝ a(e x －1＋e －x ＋1)＝－x 2＋2x.
令 g (x)＝－x 2＋2x ，h (x)＝a(e x －1－e －x ＋1)， 因为 g (x)＝－(x －1)2＋1≤1， 当且仅当 x ＝1 时取“＝”．
又因为 e x －1＋e －x ＋1≥2 e x －1·e －x ＋1＝2， 当且仅当 x ＝1 时取“＝”．
若 a ＞0，则 h (x)＝a(e x －1＋e －x ＋1)≥2a ，
1
2
若 a ≤0，则 f(x)的零点不唯一．
(方法二)f(x)＝x 2－2x ＋a(e x －1＋e －x ＋1)
所以 2a －1＝0，解得 a ＝ .
f(x)有唯一零点
f(1)＝0，所以 a ＝ .
＝(x －1)2＋a[e x －1＋e －(x －1)]－1，
令 t ＝x －1，g (t)＝f(t ＋1)＝t 2＋a(e t ＋e －t )－1. 因为 g (－t)＝(－t)2＋a(e －t ＋e t )－1＝g (t)， 所以函数 g (t)为偶函数．
因为 f(x)有唯一零点，所以 g (t)也有唯一零点． 又 g (t)为偶函数，由偶函数的性质知 g (0)＝0，
1
2
(方法三)f(x)＝(x －1)2＋a(e x －1＋e －x ＋1)，
因为 f(2－x)＝f(x)，所以 f(x)关于 x ＝1 对称，
1
2
1．函数 y ＝f(x)的零点是一个实数，是方程 f (x)＝0 的实数根，也是 y ＝f(x)的图象与 x 轴交点的
横坐标．
2．函数零点的判定的常用方法有：
(1)零点存在定理；(2)数形结合；(3)解方程 f(x)＝0.
3．方程 f(x)＝g (x)的解，实质上就是研究 F(x)＝f(x)－g (x)的零点，可利用函数思想，将其转化 为两个函数图象的交点问题．
4．二次方程根的分布问题实质上是函数零点存在的范围问题，因此可借助函数，运用数形结 合的思想方法进行处理．在利用二次函数的图象研究根的分布问题时，要注意考察如下四个方面： ①开口方向；②方程有根的条件；③对称轴位置；④区间端点函数值的正负．。