2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义:第13讲 函数与方程含答案
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函数 y =f(x)在区间(a ,b )内至少有 一个零点 .
⎨Δ - <m f (m )>0 第 13 讲 函数与方程
1.结合二次函数图象,了解函数的零点与方程根的联系. 2.判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
知识梳理
1.函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数 y =f(x),把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y =f(x)的零点. (2)三个等价关系
方程 f(x)=0 有实根 函数 y =f(x)的图象与 x 轴 有交点 函数 y =f(x)有 零点 . (3)函数零点的判定(零点存在定理)
如果函数 y =f(x)在区间[a ,b ]上是一条 连续不断 的曲线,并且有 f(a )· f (b ) < 0,那么
.. 2.二分法
(1)二分法的意义
对于区间[a ,b ]上连续不断且 f(a )· f (b )<0 的函数 y =f(x),通过不断地把函数 f(x)的零点所
在的区间 一分为二 ,使区间的两个端点逐步逼近 零点 ,进而得到零点近似值的方法叫做二 分法.
(2)利用二分法求函数 f(x)的零点的近似值的步骤:
第一步,确定区间[a ,b ],验证 f(a)f(b )<0 ,给定精确度 ε. 第二步,求区间(a ,b )的中点 x 1. 第三步,计算 f(x 1);
①若 f(x 1)=0,x 1 就是函数的 零点 ;
②若 f(a)f(x 1)<0,则令 b =x 1,此时零点 x 0∈ (a ,x 1) ; ③若 f(x 1)f(b )<0,则令 a =x 1,此时零点 x 0∈ (x 1,b ) .
第四步,判断是否达到精确度的要求,否则重复第二至第四步.
1.有关函数零点的结论
(1)若连续函数 f(x)在定义域上是单调函数,则 f(x)至多有一个零点. (2)连续函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
(3)连续函数的图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号. 2.二次函数 f(x)=ax 2+bx +c(a>0)零点的分布
零点的分布 (m ,n ,p 为常数)
图
象 满足条件
x 1<x 2<m
⎧ ⎩
b 2a
m<x 1<x 2
b
- >m f (m )>0 ⎨Δ 2a
⎨Δ= m<- <n
2a
A. B .-1 C .0 或 D .0
⎩
⎧ ⎩
x 1<m<x 2
f(m )<0
m<x 1<x 2<n
m<x 1<n <x 2<p
只有一个零点 在(m ,n )之间
{f (m ) f (n ) f (p )>0
⎧ b ⎩
或 f(m )· f (n )<0
3.三个等价关系的推广
方程 f(x)-g (x)=0 有实根 函数 y =f(x)与 y =g (x)的图象有交点 函数 F(x)=f(x)-g (x)有零点.
热身练习
⎧⎪2x -1,
x ≤1, 1.(2018· 济宁模拟)已知函数 f(x)=⎨
则 f(x)的零点为(D) ⎪1+log 2x , x >1,
1 2
1 2
当 x ≤1 时,由 f(x)=2x -1=0,解得 x =0;
1
当 x >1 时,由 f(x)=1+log 2x =0,解得 x =2,
又因为 x >1,所以此时方程无解. 综上,函数 f(x)的零点只有 0.
2.函数 f(x)=x 3+3x -1 在以下哪个区间内一定有零点(B) A .(-1,0) B .(0,1) C .(1,2) D .(2,3)
因为 f (0)· f (1)<0,所以 f(x)在(0,1)上一定有零点.
3.已知函数 f(x)=2ax -a +3.若 x 0∈(-1,1),f(x 0)=0,则实数 a 的取值范围是(A) A .(-∞,-3)∪(1,+∞) B .(-∞,-3) C .(-3,1) D .(1,+∞)
当 a =0 时,显然不成立.
4.(2018· 武昌区模拟)函数 f(x)= x 2 -( )x 的零点的个数为(B)
在同一平面直角坐标系内作出 y = x 2 与 y =( )x
的图象(如图), 因此函数 f(x)= x 2 -( )x 只有 1 个零点.
⎪
⎩
当 a ≠0 时,由题意知 f(-1)· f (1)<0,
即(-3a +3)(a +3)<0,解得 a <-3 或 a>1.
1 1
2
A .0
B .1
C .2
D .3
1 1 2
由图可知,两函数图象只有一个交点,
1 1 2
5.若函数 f(x)=x 3+x 2-2x -2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:
f(1)=-2 f(1.25)=-0.984
f(1.4375)=0.162
f(1.5)=0.625
f(1.375)=-0.260 f(1.40625)=-0.054
那么方程 x 3+x 2-2x -2=0 的一个近似值(精确到 0.1)为(C)
A .1.2
B .1.3
C .1.4
D .1.5
可知方程的解在区间(1.40625,1.4375)上,
因为 1.40625≈1.4,1.4375≈1.4,故近似解为 1.4.
函数零点的判断与求解
(1)设 x 0 是方程 ln x +x =4 的解,则 x 0 属于区间
A .(0,1)
B .(1,2)
C .(2,3)
D .(3,4)
⎧x 2-2, x ≤0, (2)函数 f(x)=⎨
的零点个数是____________. ⎪2x -6+ln x , x >0
(1)设 f(x)=ln x +x -4,
因为 f(1)=-3<0,f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3-1>ln e -1=0,所以 f (2)· f (3)<0, 所以 f(x)在(2,3)上有零点.
(2)当 x ≤0 时,由 x 2-2=0,得 x =- 2;
当 x >0 时,f(x)=2x -6+ln x 在(0,+∞)上为增函数,且 f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3>0. 所以 f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点. 综上,f(x)的零点个数为 2.
(1)C (2)2
判断方程的根的个数,函数的零点个数等问题,常用方法有:
(1)直接求零点:令 f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点. (2) 利用函数零点存在定理:利用定理不仅要函数在区间 [a , b ] 上是连续不断的曲线,且
A .(- ,0)
B .(0, )
C .( , )
D .( , )
f( )= e 4 +4× -3= e 4 -2<0, f( )= e 2 +4× -3= e 2 -1>0, 所以 f(x)在( , )内存在唯一零点.
解得 x =-9 或 x = 满足条件.
⎩ 1 1 ⎩ ⎩
f(a)f(b )<0,还必须结合函数的性质(如单调性、奇偶性等)才能确定函数有多少个零点.
(3)利用函数图象交点的个数:将函数变形为两个函数的差,画出两个函数的图象,看其有几 个交点,就有几个不同的零点.
1.(1)在下列区间中,函数 f(x)=e x +4x -3 的零点所在的区间为(C)
1 1
4 4
1 1 1 3
4 2 2 4
⎧⎪x 2+2x ,x ≤0, (2)(2018· 岳麓区校级模拟)已知函数 f(x)=⎨
则函数 g (x)=f(1-x)-1 的零点个
⎪|lg x|, x >0,
数为(C)
A .1
B .2
C .3
D .4
(1)因为 f(x)是 R 上的增函数且图象是连续的,且
1 1
1 4 4
1 1
1 2 2
1 1
4 2
⎧⎪(1-x )2
+2(1-x ), x ≥1,
(2)由题意得 f(1-x)=⎨
⎪|lg (1-x )|, x <1,
⎧⎪x 2
-4x +3,
x ≥1, 即 f(1-x)=⎨
⎪|lg (1-x )|, x<1.
当 x ≥1 时,由 f(1-x)-1=x 2-4x +2=0,
解得 x =2+ 2或 x =2- 2(舍去);
当 x <1 时,由 f(1-x)-1=|lg(1-x)|-1=0,
9
10
综上所述,函数 g (x)的零点有 3 个,故选 C.
二次函数的零点
已知函数 f(x)=x 2+2mx +2m +1.
(1)若函数有两个零点,其中一个零点在区间(-1,0)内,另一个零点在区间(1,2)内,求 m 的取 值范围;
(2)若函数的两个零点均在(0,1)内,求 m 的取值范围.
(1)条件说明抛物线:
f(x)=x 2+2mx +2m +1 的零点分别在(-1,0)和(1,2)内,画出示意图,得:
⎧⎪f(0)=2m+1<0,⎧m<-
,
,
⎨f(-1)=2>0,⎨
⎪⎩f(1)=4m+2<0,⎪m<-,
⎩
m>-5.所以-<m<-.
⎪⎩Δ>0,2 2
所以-<m<1- 2.
⎧⎪Δ=4a-4(2+a)>0,
所以
⎨-=a>1,
⎪⎩
⎩1 2
f(2)=6m+5>0
6
51
62
(2)根据f(x)的零点落在(0,1)内,列不等式组:
⎧⎪f(0)>0,⎨f(1)>0,0<-m<1⎧⎪m>-1,
⎨m>-1,
⎪⎩m>1+2或m<1-
-1<m<0.
2,
1
2
利用二次函数图象,采用数形结合是求解二次函数零点分布问题的基本方法.求解时,一般要考虑如下四个方面:“开口方向、方程有解的条件、对称轴的位置、区间端点函数值的正负”.其中方程有解的条件可以是:①Δ≥0;②零点存在定理.
2.若关于x的方程x2-2ax+2+a=0有两个不相等的实根,分别满足下列条件,求a的取值范围.
(1)方程的两根都大于1;
(2)方程一根大于1,另一根小于1.
设f(x)=x2-2ax+2+a.
(1)两根都大于1,即f(x)在(1,+∞)上有两个不同的零点,
2
-2a
2
f(1)=3-a>0,
解得2<a<3.
(2)方程一根大于1,另一根小于1,
即要求f(x)=x2-2ax+2+a的两零点在x=1的两旁,
所以只需要f(1)<0,所以a>3.
函数零点和参数的范围
⎧⎪e x,x≤0,
(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=⎨g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则
⎪ln x,x>0,
A .- B. C. D .1
要使 f(x)有唯一零点,则必有 2a =1,即 a = .
a 的取值范围是( )
A .[-1,0)
B .[0,+∞)
C .[-1,+∞)
D .[1,+∞)
令 h (x)=-x -a ,则 g (x)=f(x)-h (x).
在同一坐标系中画出 y =f(x),y =h (x)图象的示意图,如图:
若 g (x)存在 2 个零点,则 y =f(x)的图象与 y =h (x)的图象有 2 个交点,平移 y =h (x)的图象,可 知
当直线 y =-x -a 过点(0,1)时,有 2 个交点, 此时 1=-0-a ,解得 a =-1.
当 y =-x -a 在 y =-x +1 上方,即 a <-1 时,仅有 1 个交点,不符合题意. 当 y =-x -a 在 y =-x +1 下方,即 a >-1 时,有 2 个交点,符合题意. 综上,a 的取值范围为[-1,+∞).
C
由函数的零点确定参数的取值范围,常采用数形结合的方法.有如下两种常用的方法.
(1)将参数分离,化为 b =g (x)的形式,转化为 y =b 与 y =g (x)的交点问题;
(2)将函数 f(x)化为 f(x)=h (x)-g (x)的形式,根据 f(x)=0 h (x)=g (x),转化为 y =h (x)与 y =g (x) 的交点问题.
3.(2017· 全国卷Ⅲ)已知函数 f(x)=x 2-2x +a(e x -1+e -x +1)有唯一零点,则 a =(C)
1 1
2 3
1
2
(方法一)f(x)= a(e x -1+e -x +1)=-x 2+2x.
令 g (x)=-x 2+2x ,h (x)=a(e x -1-e -x +1), 因为 g (x)=-(x -1)2+1≤1, 当且仅当 x =1 时取“=”.
又因为 e x -1+e -x +1≥2 e x -1·e -x +1=2, 当且仅当 x =1 时取“=”.
若 a >0,则 h (x)=a(e x -1+e -x +1)≥2a ,
1
2
若 a ≤0,则 f(x)的零点不唯一.
(方法二)f(x)=x 2-2x +a(e x -1+e -x +1)
所以 2a -1=0,解得 a = .
f(x)有唯一零点
f(1)=0,所以 a = .
=(x -1)2+a[e x -1+e -(x -1)]-1,
令 t =x -1,g (t)=f(t +1)=t 2+a(e t +e -t )-1. 因为 g (-t)=(-t)2+a(e -t +e t )-1=g (t), 所以函数 g (t)为偶函数.
因为 f(x)有唯一零点,所以 g (t)也有唯一零点. 又 g (t)为偶函数,由偶函数的性质知 g (0)=0,
1
2
(方法三)f(x)=(x -1)2+a(e x -1+e -x +1),
因为 f(2-x)=f(x),所以 f(x)关于 x =1 对称,
1
2
1.函数 y =f(x)的零点是一个实数,是方程 f (x)=0 的实数根,也是 y =f(x)的图象与 x 轴交点的
横坐标.
2.函数零点的判定的常用方法有:
(1)零点存在定理;(2)数形结合;(3)解方程 f(x)=0.
3.方程 f(x)=g (x)的解,实质上就是研究 F(x)=f(x)-g (x)的零点,可利用函数思想,将其转化 为两个函数图象的交点问题.
4.二次方程根的分布问题实质上是函数零点存在的范围问题,因此可借助函数,运用数形结 合的思想方法进行处理.在利用二次函数的图象研究根的分布问题时,要注意考察如下四个方面: ①开口方向;②方程有根的条件;③对称轴位置;④区间端点函数值的正负.。