初中数学九年级下册圆周角和圆心角的关系1

3.4 圆周角和圆心角的关系 第1课时 圆周角和圆心角的关系

教学目标

1．理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；(重点)

2．能运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算．(难点)

教学过程 一、情境导入

在下图中，当球员在B, D, E 处射门时，他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC ，∠AEC .这三个角的大小有什么关系？

二、合作探究

探究点：圆周角定理及其推论 【类型一】 利用圆周角定理求角

的度数

如图，已知CD 是⊙O 的直径，

过点D 的弦DE 平行于半径OA ，若∠D 的度数是50°，则∠C 的度数是( )

A ．25°

B ．30°

C ．40° D

．50°

解析：∵OA ∥DE ，∠D ＝50°，∴∠AOD ＝50°.∵∠C ＝1

2

∠AOD ，∴∠C

＝12×50°＝25°.故选A. 方法总结：解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理．

【类型二】 利用圆周角定理的推

论求角的度数

如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵

，

∠A ＝30°，则∠B ＝( )

A ．150°

B ．75°

C ．60°

D ．15°

解析：因为AB ︵＝AC ︵

，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”得到∠B ＝∠C ，因为∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，所以∠A ＋2∠B ＝180°，又因为∠A ＝30°，所以30°＋2∠B ＝180°，解得∠B ＝75°.故选B.

方法总结：解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的

圆周角也相等．注意方程思想的应用．

【类型三】 圆周角定理与垂径定

理的综合

如图所示，AB 是⊙O 的一条

弦，OD ⊥AB ，垂足为点C ，交⊙O 于点

D ，

E 在⊙O 上．

(1)∠AOD ＝52°，求∠DEB 的度数；

(2)若AC ＝7，CD ＝1，求⊙

O 的半径．

解析：(1)由OD ⊥AB ，根据垂径定理的推论可求得AD ︵

＝BD ︵

，再由圆周角定理及其推论求∠DEB 的度数；(2)首先设⊙O 的半径为x ，然后由勾股定理得到方程解答．

解：(1)∵AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB ，∴AD ︵

＝BD ︵

，∴∠DEB ＝1

2

∠AOD

＝1

2

×52°＝26°； (2)设⊙O 的半径为x ，则OC ＝OD －CD ＝x －1.∵OC 2＋AC 2＝OA 2，∴(x －1)2＋(7)2＝x 2，解得x ＝4，∴⊙O 的半径为4.

方法总结：本题综合考查了圆周角定理及其推论、垂径定理以及勾股

定理．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．

【类型四】 圆周角定理的推论与

圆心角、弧、弦之间的关系的综合

如图，△ABC 内接于⊙O ，AB

＝AC ，点D 在弧AB 上，连接CD 交AB 于点E ，点B 是CD ︵

的中点，求证：∠

B ＝∠BE

C .

解析：由点B 是CD ︵

的中点，得∠BCE ＝∠BAC ，即可得∠BEC ＝∠ACB ，然后由等腰三角形的性质，证得结论．

证明：∵B 是CD ︵的中点，∴BC ︵＝BD ︵，∴∠BCE ＝∠BAC .∵∠BEC ＝180°－∠B －∠BCE ，∠ACB ＝180°－∠BAC －∠B ，∴∠BEC ＝∠ACB .∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ，∴∠B ＝∠BEC .

方法总结：此题考查了圆周角定理的推论以及等腰三角形的性质．解答时一定要结合图形．

【类型五】 圆周角定理的推论与

三角形知识的综合

如图，A 、P 、B 、C 是⊙O 上

四点，且∠APC ＝∠CPB ＝60°.连接

AB 、BC 、AC .

(1)试判断△ABC 的形状，并给予证明；

(2)求证：CP ＝BP ＋AP . 解析：(1)利用圆周角定理可得∠BAC ＝∠CPB ，∠ABC ＝∠APC ，而∠APC ＝∠CPB ＝60°，所以∠BAC ＝∠ABC ＝60°，从而可判断△ABC 的形状；(2)在PC 上截取PD ＝AP ，则△APD 是等边三角形，然后证明△APB ≌△ADC ，证明BP ＝CD ，即可证得．

(1)解：△ABC 是等边三角形．证明如下：在⊙O 中，∵∠BAC 与∠CPB 是BC ︵

所对的圆周角，∠ABC 与∠APC 是AC ︵

所对的圆周角，∴∠BAC ＝∠CPB ，∠ABC ＝∠APC .又∵∠APC ＝∠CPB ＝60°，∴∠ABC ＝∠BAC ＝60°，∴△

ABC 为等边三角形；

(2)证明：在PC 上截取PD ＝AP ，连接AD .又∵∠APC ＝60°，∴△APD 是等边三角形，∴AD ＝AP ＝PD ，∠ADP ＝60°，即∠ADC ＝120°.又∵∠APB ＝∠APC ＋∠BPC ＝120°，∴∠ADC ＝∠APB .在△APB 和△ADC 中，

⎩⎨⎧∠APB ＝∠ADC ，∠ABP ＝∠ACD ，AP ＝AD ，

∴△APB ≌△

ADC (AAS)，∴BP ＝CD .又∵PD ＝AP ，∴CP ＝BP ＋AP .

方法总结：本题考查了圆周角定理的理论以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．

【类型六】 圆周角定理的推论与

相似三角形的综合

如图，点E 是BC ︵

的中点，点

A 在⊙O 上，AE 交BC 于D .求证：BE 2＝AE

·DE .

解析：点E 是BC ︵

的中点，根据圆周角定理的推论可得∠BAE ＝∠CBE ，可证得△BDE ∽△ABE ，然后由相似三角形的对应边成比例得结论．

证明：∵点E 是BC ︵的中点，即BE ︵

＝CE ︵

，∴∠BAE ＝∠CBE .∵∠E ＝∠E (公共角)，∴△BDE ∽△ABE ，∴BE ∶AE ＝

DE ∶BE ，∴BE 2＝AE ·DE .

方法总结：圆周角定理的推论是和角有关系的定理，所以在圆中，解决相似三角形的问题常常考虑此定