北京市平谷区2021届新第二次高考模拟考试数学试卷含解析

北京市平谷区2021届新第二次高考模拟考试数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）
A ．16
B ．48
C ．96
D ．128
【答案】B 【解析】 【分析】
列出每一次循环，直到计数变量i 满足3i >退出循环. 【详解】
第一次循环：12(11)4,2S i =+==；第二次循环：2
42(12)16,3S i =++==； 第三次循环：3
162(13)48,4S i =++==，退出循环，输出的S 为48. 故选：B. 【点睛】
本题考查由程序框图求输出的结果，要注意在哪一步退出循环，是一道容易题. 2．已知函数()2ln 2x
x f x ex a x
=-+-（其中e 为自然对数的底数）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．2
1,e e
⎛⎤-∞+ ⎥⎝
⎦
B ．2
1,e e ⎛⎫-∞+
⎪⎝⎭ C ．2
1,e e
⎡⎫-+∞⎪⎢⎣
⎭
D ．2
1,e e
⎛⎫-+∞ ⎪⎝
⎭
【答案】B 【解析】
求出导函数()f x '
，确定函数的单调性，确定函数的最值，根据零点存在定理可确定参数范围． 【详解】
2
1ln ()2()x
f x x e x
-'=
--，当(0,)x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，∴在(0,)+∞上()f x 只有一个极大值也是最大值2
1()f e e a e
=
+-，显然0x →时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →-∞，
因此要使函数有两个零点，则21()0f e e a e =+->，∴21a e e
<+． 故选：B ． 【点睛】
本题考查函数的零点，考查用导数研究函数的最值，根据零点存在定理确定参数范围． 3．复数z 满足()11z z i -=+ (i 为虚数单位),则z 的值是( ) A ．1i + B ．1i -
C ．i
D ．i -
【答案】C 【解析】 【分析】
直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可． 【详解】
由()11z z i -=+得：()()()
2
11111i i
z i i i i ++=
==-+- 本题正确选项：C 【点睛】
本题考查复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力． 4．若直线2y x =-的倾斜角为α，则sin 2α的值为（ ） A ．
45
B ．45
-
C ．45
±
D ．35
-
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意可得：tan 2α=-，所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tan 2α=-代入计算即可求出值．
由于直线2y x =-的倾斜角为α，所以tan 2α=-， 则22222sin cos 2tan 224
sin 22sin cos sin cos tan 1(2)15
ααααααααα-⨯=====-++-+
故答案选B 【点睛】
本题考查二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及直线倾斜角与斜率之间的关系，熟练掌握公式是解本题的关键．
5．为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（ ）
A ．乙的数据分析素养优于甲
B ．乙的数学建模素养优于数学抽象素养
C ．甲的六大素养整体水平优于乙
D ．甲的六大素养中数据分析最差 【答案】C 【解析】 【分析】
根据题目所给图像，填写好表格，由表格数据选出正确选项. 【详解】
根据雷达图得到如下数据： 数学抽象 逻辑推理 数学建模 直观想象 数学运算 数据分析 甲 4 5 4 5 4 5 乙
3
4
3
3
5
4
由数据可知选C. 【点睛】
本题考查统计问题，考查数据处理能力和应用意识.
6．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆的面为S ，且()2
2a b c =+-，则sin 4C π⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
（ ）
A ．1
B ．
2
C ．
4
D ．
4
【答案】D 【解析】 【分析】
根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出C 的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可． 【详解】
解：由()2
2a b c =+-，
得222
1sin 22ab C a b c ab =+-+，
∵ 2222cos a b c ab C +-=，
∴ sin 2cos 2C ab C ab =+，
cos 1C C -=
即2sin 16C π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，
则1sin 62
C π⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭， ∵ 0C π<<， ∴ 56
6
6
C π
π
π-
<-
<
， ∴ 6
6
C π
π
-
=
，即3
C π
=
，
则sin sin sin cos cos sin 4343434C πππππππ⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12 故选D ． 【点睛】
本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出C 的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键． 7．设i 为虚数单位，则复数2
1z i
=-在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】A
【解析】 【分析】
利用复数的除法运算化简z ，求得z 对应的坐标，由此判断对应点所在象限. 【详解】
()()()
2121111i z i i i i +=
==+--+Q ，∴对应的点的坐标为()1,1，位于第一象限. 故选：A. 【点睛】
本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.
8．已知双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的焦距为2c .点A 为双曲线C 的右顶点，若点A 到双
曲线C 的渐近线的距离为1
2
c ，则双曲线C 的离心率是（ ） A ．2 B ．3
C ．2
D ．3
【答案】A 【解析】 【分析】
由点到直线距离公式建立,,a b c 的等式，变形后可求得离心率． 【详解】
由题意(,0)A a ，一条渐近线方程为b y x a =，即0bx ay -=，∴2212d c a b ==+， 222214a b c c =，即2222
2()14
a c a c c -=，42440e e -+=，2e =． 故选：A ． 【点睛】
本题考查求双曲线的离心率，掌握渐近线方程与点到直线距离公式是解题基础．
9．如图所示，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F 且EF=2
，则下列结论中错误的是（ ）
A ．AC ⊥BE
B ．EF //平面ABCD
C ．三棱锥A-BEF 的体积为定值
D ．异面直线AE,BF 所成的角为定值
【答案】D 【解析】 【分析】
A ．通过线面的垂直关系可证真假；
B ．根据线面平行可证真假；
C ．根据三棱锥的体积计算的公式可证真假；
D ．根据列举特殊情况可证真假. 【详解】
A ．因为11,,AC BD AC DD DD BD D ⊥⊥=I ，所以AC ⊥平面11BDD
B ， 又因为BE ⊂平面11BDD B ，所以A
C BE ⊥，故正确；
B ．因为11//D B DB ，所以//EF DB ，且EF ⊂/平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ， 所以//EF 平面ABCD ，故正确；
C ．因为11224BEF S EF BB =
⨯⨯=
V 为定值，A 到平面11BDD B 的距离为12
22
h AC ==， 所以11
312
A BEF BEF V S h -=
⋅⋅=V 为定值，故正确； D ．当1111AC B D E =I ，AC BD G ⋂=，取F 为1B ，如下图所示：
因为//BF EG ，所以异面直线,AE BF 所成角为AEG ∠，
且
222tan 12
AG AEG GE ∠===
当1111AC B D F =I ，AC BD G ⋂=，取E 为1D ，如下图所示：
因为11//,D F GB D F GB =，所以四边形1D GBF 是平行四边形，所以1//BF D G ，
所以异面直线,AE BF 所成角为AEG ∠，且
2
23
2tan 212AG
AEG GE
∠=
==
⎛⎫+ ⎪
⎝⎭
由此可知：异面直线,AE BF 所成角不是定值，故错误. 故选：D. 【点睛】
本题考查立体几何中的综合应用，涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算，难度较难.注意求解异面直线所成角时，将直线平移至同一平面内.
10．已知非零向量,a b r r 满足0a b ⋅=r r ，||3a =r ，且a r 与a b +r r 的夹角为4
π
，则||b =r （ ）
A ．6
B ．32
C ．22
D ．3
【答案】D 【解析】 【分析】
利用向量的加法的平行四边形法则，判断四边形的形状，推出结果即可． 【详解】
解：非零向量a r ，b r 满足0a b =r r g ，可知两个向量垂直，||3a =r ，且a r 与a b +r r 的夹角为4
π
，
说明以向量a r ，b r
为邻边，a b +r r 为对角线的平行四边形是正方形，所以则||3b =r ．
故选：D ． 【点睛】
本题考查向量的几何意义，向量加法的平行四边形法则的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．
11．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“
”表示一个阳爻，“
”表示一个阴爻）
若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（ ）
A ．
356
B ．
328
C ．
314
D ．
14
【答案】C 【解析】 【分析】
分类讨论，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦；从仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦中取一个，再取没有阳爻的坤卦，计算满足条件的种数，利用古典概型即得解. 【详解】
由图可知，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦满足条件，其种数是2
33C =；
仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦，没有阳爻的是坤卦，此时取两卦满足条件的种数是1
33C =，于是所求
的概率2
8333
14
P C +==． 故选：C 【点睛】
本题考查了古典概型的应用，考查了学生综合分析，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题. 12．复数5i
12i
+的虚部是 ( ) A ．i B ．i -
C ．1
D ．1-
【答案】C 【解析】
因为()()()512510*********i i i i i i i i -+===+++- ，所以5i 12i
+的虚部是1 ，故选C. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知集合{}|21,A x x k k Z ==+∈，(){}
|50B x x x =-<，则A B =I _____________. 【答案】{}1,3
【解析】 【分析】
由集合A 和集合B 求出交集即可. 【详解】
解：Q 集合{}|21,A x x k k Z ==+∈，(){}
|50B x x x =-<，
∴{}13A B ⋂=，.
故答案为：{}1,3. 【点睛】
本题考查了交集及其运算，属于基础题.
14．若函数021*********()(1)(1)n n n r r n r n
n n n n n n n f x C x
C x C x C x C x -+-+-=-+-+-+-L L ，其中n N +∈且2n ≥，则(1)f '=______________．
【答案】0 【解析】 【分析】
先化简函数()f x 的解析式，在求出()f x '，从而求得()1f '的值. 【详解】
由题意，函数021*********()(1)(1)n n n r r n r n
n n n n n n n f x C x
C x C x C x C x -+-+-=-+-+-+-L L 可化简为21
012221()(1)(1)n r r r n n n n
n n n n n f x x
C C x C x C x C x x x --⎡⎤=-+-⋯+-+⋯+=-⎣⎦
， 所以22
211221()(21)(1)(1)(1)[21(31)]n n n n n n f x n x
x x n x x x n n x '-----=----=----， 所以()01f '=. 故答案为：0. 【点睛】
本题主要考查了二项式定理的应用，以及导数的运算和函数值的求解，其中解答中正确化简函数的解析式，准确求解导数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 15．已知随机变量X 服从正态分布(
)2
4,N σ，()60.78P X <=，则()2P X ≤=__________．
【答案】0.22. 【解析】 【分析】
正态曲线关于x ＝μ对称，根据对称性以及概率和为1求解即可。

【详解】
()()
2160.22
P X P X
≤=-<=
【点睛】
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题．
16．如图，在等腰三角形ABC
中，已知1
AB AC
==
，120
A
∠=︒，E F
、分别是边AB AC
、上的点，且,
AE AB AF AC
λμ
==
u u u v u u u v u u u v u u u v
,其中()
,0,1
λμ∈且41
λμ
+=，若线段EF BC
、的中点分别为M N
、，则MN
u u u u v
的最小值是_____.
【答案】
7
【解析】
【分析】
根据条件及向量数量积运算求得AB AC
⋅
uu u r uuu r
,连接,
AM AN,由三角形中线的性质表示出,
AM AN
u u u u r u u u r
.根据向量
的线性运算及数量积公式表示出2
MN
u u u u r
,结合二次函数性质即可求得最小值.
【详解】
根据题意,连接,
AM AN,如下图所示:
在等腰三角形ABC中,已知1
AB AC
==,120
A
∠=︒
则由向量数量积运算可知
1
cos11cos120
2
AB AC AB AC A
⋅=⋅=⨯⨯=-
o
u u u r u u u r u u u r u u u r
线段EF BC
、的中点分别为M N
、则
()()
11
22
AM AE AF AB AC
λμ
=+=+
u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
()
1
2
AN AB AC
=+
u u u r u u u r u u u r
由向量减法的线性运算可得
1111
2222
MN AN AM AB AC
λμ
⎛⎫⎛⎫
=-=-+-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r
所以
2
21111
2222
MN AB AC
λμ
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫
=-+-
⎪ ⎪
⎢⎥
⎝⎭⎝⎭
⎣⎦
u u u u r u u u r u u u r
222211111111222222222AB AC AB AC λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
u u u r u u u r u u u
r u u u r 22
1111111112222222222λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
因为41λμ+=,代入化简可得22221312111424477
MN μμμ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭u u u u r
因为(),0,1λμ∈ 所以当1
7
μ=
时, 2MN u u u u r 取得最小值17
因而min
MN
=
=
u u u u r
故答案为
: 【点睛】
本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．交通部门调查在高速公路上的平均车速情况，随机抽查了60名家庭轿车驾驶员，统计其中有40名男性驾驶员，其中平均车速超过90/km h 的有30人，不超过90/km h 的有10人；在其余20名女性驾驶员中，平均车速超过90/km h 的有5人，不超过90/km h 的有15人.
（1）完成下面的22⨯列联表，并据此判断是否有99.9%的把握认为，家庭轿车平均车速超过90/km h 与驾驶员的性别有关；
（2）根据这些样本数据来估计总体，随机调查3辆家庭轿车，记这3辆车中，驾驶员为女性且平均车速不超过90/km h 的人数为ξ，假定抽取的结果相互独立，求ξ的分布列和数学期望.
参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++
临界值表：
【答案】（1）填表见解析；有99.9%的把握认为，平均车速超过90/km h 与性别有关（2）详见解析 【解析】 【分析】
（1）根据题目所给数据填写22⨯列联表，计算出2K 的值，由此判断出有99.9%的把握认为，平均车速超过90/km h 与性别有关.
（2）利用二项分布的知识计算出分布列和数学期望. 【详解】 （1）
因为22
60(3015510)61613.71402035257
K ⨯⨯-⨯⨯==≈⨯⨯⨯，
13.7110.828>，所以有99.9%的把握认为，平均车速超过90/km h 与性别有关.
（2）ξ服从153,
60B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，即13,4B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
3
033127(0)4464P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ 2
1
133127(1)4464P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ 12
23
319(2)4464
P C ξ⎛⎫
⎛⎫=== ⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭ 0
3
33311(3)4464
P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭. 所以ξ的分布列如下
ξ的期望()0123646464644
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯= 【点睛】
本小题主要考查22⨯列联表独立性检验，考查二项分布分布列和数学期望，属于中档题.
18．某地在每周六的晚上8点到10点半举行灯光展，灯光展涉及到10000盏灯，每盏灯在某一时刻亮灯的概率均为()01p p <<，并且是否亮灯彼此相互独立.现统计了其中100盏灯在一场灯光展中亮灯的时长（单位：min ），得到下面的频数表：
以样本中100盏灯的平均亮灯时长作为一盏灯的亮灯时长. （1）试估计p 的值；
（2）设X 表示这10000盏灯在某一时刻亮灯的数目. ①求X 的数学期望()E X 和方差()D X ； ②若随机变量Z 满足
Z =
，则认为()0,1Z N :.假设当49005000X <≤时，灯光展处于最佳
灯光亮度.试由此估计，在一场灯光展中，处于最佳灯光亮度的时长（结果保留为整数）. 附：
①某盏灯在某一时刻亮灯的概率p 等于亮灯时长与灯光展总时长的商；
②若()0,1Z N :，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，
3309().973P X μσμσ-<≤+=.
【答案】（1）
1
2
（2）①()5000E X =，()2500D X =,②72 【解析】 【分析】
（1）将每组数据的组中值乘以对应的频率，然后再将结果相加即可得到亮灯时长的平均数，将此平均数除以150（2.5个小时），即可得到p 的估计值；
（2）①利用二项分布的均值与方差的计算公式进行求解；
②先根据条件计算出Z 的取值范围，然后根据()0,1Z N :并结合正态分布概率的对称性，求解出Z 在满足取值范围下对应的概率. 【详解】
（1）平均时间为550.1650.2750.4850.2950.175⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分钟） ∴7511502
p =
= （2）①∵110000,2X B ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
:， ∴1()1000050002E X np ==⨯
=，11
()(1)10000250022
D X np p =-=⨯⨯= ②∵49005000X <<，5000
50X Z -=
=，∴(2,0]Z ∈-
∵()0,1Z N :，0μ=，1σ= ∴11
(20)(22)0.95450.4772522
P Z P Z μσμσ-<≤=
-<≤+=⨯= ∴1500.4772571.587572⨯=≈ 即最佳时间长度为72分钟. 【点睛】
本题考查根据频数分布表求解平均数、几何概型（长度模型）、二项分布的均值与方差、正态分布的概率计算，属于综合性问题，难度一般.（1）如果(),X B n p :，则()()(),1E X np D X np p ==-；（2）计算正态分布中的概率，一定要活用正态分布图象的对称性对应概率的对称性.
19．已知椭圆22:12x C y +=，点()00,P x y 为半圆()22
30x y y =≥+上一动点，若过P 作椭圆C 的两切
线分别交x 轴于M 、N 两点. （1）求证：PM PN ⊥；
（2）当011,2
x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣
⎦
时，求MN 的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）⎡⎣.
【解析】 【分析】
（1）分两种情况讨论：①两切线PM 、PN 中有一条切线斜率不存在时，求出两切线的方程，验证结论成立；②两切线PM 、PN 的斜率都存在，可设切线的方程为()00y y k x x -=-，将该直线的方程与椭圆的方程联立，由0∆=可得出关于k 的二次方程，利用韦达定理得出两切线的斜率之积为1-，进而可得出结论；
（2）求出点M 、N 的坐标，利用两点间的距离公式结合韦达定理得出
MN =
，换
元[]20
21,2t x =-∈
，可得出MN =MN 的取值范围. 【详解】
（1）由于点P 在半圆()22
30x y y =≥+上，则22
003x y +=
.
①当两切线PM 、PN 中有一条切线斜率不存在时，可求得两切线方程为
x 1y =或x =1y =，此时PM PN ⊥；
②当两切线PM 、PN 的斜率都存在时，设切线的方程为()00y y k x x -=-（PM 、PN 的斜率分别为
1k 、2k ），
()
()()20022
000022
12422022
y kx kx y k x k y kx x y kx x y =-+⎧⇒++-+--=⎨+=⎩()()()22
22000016412220k y kx k y kx ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦
，
(
)
(
)
2
2
20
000
2210x k x y k y ∴--+-=，22
00
122
20012122
y x k k x x --∴⋅===---，PM PN ∴⊥. 综上所述，PM PN ⊥； （2）根据题意得001,0y M x k ⎛⎫
-
⎪⎝⎭、002,0y N x k ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，
001201212
y y k
MN y y k k k k k -=-=⋅=
=
令[]20
21,2t x =-∈
，则
MN =
=
所以，当1
1t =时，max MN =，当1
1
2
t =
时，min MN
=因此，
MN 的取值范围是⎡⎣.
【点睛】
本题考查椭圆两切线垂直的证明，同时也考查了弦长的取值范围的计算，考查计算能力，属于中等题. 20．ABC V 中，内角A B C ，，的对边分别为a b c 、、，22cos a c b C +=. （1）求B 的大小；
（2）若3a =，且G
为ABC V 的重心，且BG =
u u u v
，求ABC V 的面积.
【答案】（1）23π；
（2）4
【解析】 【分析】
（1）利用正弦定理，转化22cos a c b C +=为2sin sin 2sin cos B C C B C ++=，分析运算即得解； （2）由G 为ABC V 的重心，得到3BG BA BC =+u u u v u u u v u u u v
，平方可得解c,由面积公式即得解. 【详解】
（1）由22cos a c b C +=，由正弦定理得
2sin sin 2sin cos A C B +=C ，即()2sin sin 2sin cos B C C B C ++=
∴2cos sin sin 0B C C += ∵sin 0C ≠∴1
cos 2
B =-， 又∵0B π∈， ∴23
B π=
（2）由于G 为ABC V 的重心 故3BG BA BC =+u u u v u u u v u u u v
，
∴2
2
2
29323cos 193
BG c c π
=++⨯⨯= 解得5c =或2c =-舍
∴ABC V 的面积为1sin 24
ABC S ac B ==
V . 【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
21．已知椭圆：22
22:1x y C a b +=（0a b >>），四点()111P ，，()201P ，，31P ⎛- ⎝⎭，41P ⎛ ⎝⎭
中恰有三点在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；
（2）设椭圆C 的左右顶点分别为A B ，.P 是椭圆C 上异于A B ，的动点，求APB ∠的正切的最大值.
【答案】（1）2
212
x y +=；（2）-
【解析】 【分析】
（1）分析可得34P P ，必在椭圆C 上，()11，不在椭圆C 上，代入即得解；
（2）设直线PA ，PB 的倾斜角分别为αβ，，斜率为12k k ，，可得121
2
k k =-
.则AFB βα∠=-，21
12
tan 1k k APB k k -∠=
+，利用均值不等式，即得解.
【详解】
（1）因为34P P ，关于轴对称， 所以34P P ，必在椭圆C 上，
2222
111112a b a b +=<+ ∴()11，不在椭圆C 上
∴1b =，22a =，
即2
212
x y +=. （2）设椭圆上的点00（，）P x y
（0x ≠，
设直线PA ，PB 的倾斜角分别为αβ，，斜率为12k k ，
又22
0022x y +=
∴121
2k k =
=-.
AFB βα⇒∠=-，
1tan k α=，2tan k β=（不妨设b a >）.
故120,0k k ><
tan tan APB βα∠=-
21
12
1k k k k -=
+
22122k k ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭2212[()()]2k k =--+-
≤- 当且仅当2212k k -=-
，即22
k =-时等号成立 【点睛】
本题考查了直线和椭圆综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题. 22．已知函数()|21||1|f x x x =-++
（1）解不等式()3f x ≥；
（2）若a b c 、、均为正实数，且满足a b c m ++=，m 为()f x 的最小值，求证：2223
2
b c a a b c ++≥.
【答案】（1）{|1x x -„或1}x …
（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）将()f x 写成分段函数的形式，由此求得不等式()3f x ≥的解集. （2）由（1）求得()f x 最小值m ，由此利用基本不等式，证得不等式成立. 【详解】
（1）3,1,1()2,1,213,.2x x f x x x x x ⎧
⎪-<-⎪
⎪
=-+-≤≤⎨⎪
⎪>⎪⎩
当1x <-时，()3f x …
恒成立，解得1x <-； 当1
12
x -剟
时，由()3f x …
，解得1x =-； 当1
2
x >
时，由()3f x …
解得1x … 所以()3f x …
的解集为{|1x x -„或1}x … （2）由（1）可求得()f x 最小值为
3
2，即32a b c m ++== 因为,,a b c 均为正实数，且3
2
a b c ++=
222
222b c a b c a a b c a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2()a b c ≥++=++（当且仅当12a b c ===时，取“=”）
所以222b c a a b c a b c
++≥++，即2223
2b c a a b c ++≥.
【点睛】
本小题主要考查绝对值不等式的求法，考查利用基本不等式证明不等式，属于中档题.
23．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，点E 是边AD 上一点，且2AE ED =，点H 是BE 的
中点，将ABE △沿着BE 折起，使点A 运动到点S 处，且满足SC SD =.
（1）证明：SH ⊥平面BCDE ； （2）求二面角C SB E --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）3
3
【解析】 【分析】
（1）取CD 的中点M ，连接HM ，SM ，由2SE SB ==，进而SH BE ⊥，由SC SD =，得SM CD ⊥. 进而CD ⊥平面SHM ,进而结论可得证（2）（方法一）过H 点作CD 的平行线GH 交BC 于点G ，以点H 为坐标原点，,,HG HM HS 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -，求得平面SBC ，平面SBE 的法向量，由二面角公式求解即可（方法二）取BS 的中点N ，BC 上的点P ，使2BP PC =，连接,,HN PN PH ，得HN BS ⊥，HP BE ⊥，得二面角C SB E --的平面角为PNH ∠，再求解即可 【详解】
（1）证明：取CD 的中点M ，连接HM ，SM ，由已知得2AE AB ==，所以2SE SB ==，又点H 是BE 的中点，所以SH BE ⊥.
因为SC SD =，点M 是线段CD 的中点， 所以SM CD ⊥.
又因为HM BC ⊥，所以HM CD ⊥，从而CD ⊥平面SHM ， 所以CD SH ⊥，又CD ，BE 不平行， 所以SH ⊥平面BCDE .
（2）（方法一）由（1）知，过H 点作CD 的平行线GH 交BC 于点G ，以点H 为坐标原点，,,HG HM HS
所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -，则点()1,1,0B -，()1,2,0C ，
()1,1,0E -，()
0,0,2S ，
所以()0,3,0BC u u u v =，()2,2,0BE =-u u u v
，
()
1,1,2BS =-u u u v . 设平面SBE 的法向量为()111,,m x y z =v
，
由00m BE m BS ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，得1111120
x y x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，令11y =，得()1,1,0m =v
.
同理，设平面SBC 的法向量为()222,,n x y z =v
，
由00n BC n BS ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，得2222020
y x y z =⎧⎪
⎨-++=⎪⎩，
令21z =，得(
)
2,0,1n =
v
.
所以二面角C SB E --的余弦值为23cos ,23
m n m n m n ⋅〈〉===⨯v v
v v
v v
. （方法二）取BS 的中点N ，BC 上的点P ，使2BP PC =，连接,,HN PN PH ，易知HN BS ⊥，
HP BE ⊥.
由（1）得SH HP ⊥，所以HP ⊥平面BSE ，所以HP SB ⊥， 又HN BS ⊥，所以BS ⊥平面PHN ， 所以二面角C SB E --的平面角为PNH ∠. 又计算得1NH =，2PH =，3PN =
所以3
cos 33
PNH ∠==. 【点睛】
本题考查线面垂直的判定，考查空间向量求二面角，考查空间想象及计算能力，是中档题。