基于锁相环的Duffing振子弱信号时域检测方法研究

基于锁相环的Duffing振子弱信号时域检测方法研究
张刚;王颖;王源
【摘要】Duffing系统对特定信号敏感及对噪声免疫的特性,使其在微弱信号检测中有巨大潜在应用.待测信号首先通过锁相环电路得到信号的频率,再被输入混沌检测系统.在Duffing振子检测系统中,策动力变化时系统输出信号时序图呈现同步且规律性变化.据此可判断系统混沌状态,并得到精确的阈值,从而实现待测信号的检测.理论分析及仿真结果表明,较之传统做法,此方法可检测未知频率的信号,更易于实现且节省大量仿真时间,因此在实际应用中具有重大意义.
【期刊名称】《科学技术与工程》
【年(卷),期】2014(014)006
【总页数】7页(P13-19)
【关键词】混沌系统;微弱信号;锁相环;混沌阈值
【作者】张刚;王颖;王源
【作者单位】重庆邮电大学信号与信息处理重庆市重点实验室,重庆400065;重庆邮电大学信号与信息处理重庆市重点实验室,重庆400065;重庆邮电大学信号与信息处理重庆市重点实验室,重庆400065
【正文语种】中文
【中图分类】TM935.23
传统微弱信号检测方法在检测信噪比极低的信号时效果很差，而Duffing振子混
沌系统由于具备对初值极端敏感、对噪声具有较好免疫力等优点，在检测微弱信号时能够表现出良好检测效果［1］。

作为一种新的微弱信号检测方法，混沌振子方法不是消除噪声，而是从噪声背景中提取信号，针对其独特性可将其应用到实际的工程中，包括纳伏级微弱信号检测、转子早期故障诊断、齿轮早期疲劳裂纹检测、汽车飞轮壳检测、数字水印、超声检漏、电网局部放电的窄带干扰等方面［2，3］。

精确快速地确定相变阈值是用Duffing振子检测信号的先决条件，也直接关系到
微弱信号检测的门限和质量。

传统上可以用梅尔尼科夫(Melnikov)函数进行理论
计算，得到粗略的理论估计值［4］。

本文采用实验方式，对采集数据处理得到精确混沌阈值。

传统Duffing振子混沌系统要求待测信号和系统策动力信号频率相同，而现实中，待测信号频率往往是未知的，文中对现有混沌检测系统加以改进，利用锁相环和Duffing振子构成联合微弱信号检测系统。

通过锁相环电路检测信
号频率，Duffing振子检测信号幅值，从而实现未知频率微弱周期信号频率和幅值的检测。

1 Duffing混沌振子模型研究
1.1 Duffing混沌振子检测系统建立
对正弦信号敏感的混沌系统是信号检测的首要条件。

Duffing方程是非线性系统中研究得比较充分的数学模型，从微弱信号检测下限、混沌系统检测信噪比、系统混沌判据证明等几个方面综合考虑，将混有噪声的正弦信号混沌检测模型确定为［5，6］
式(1)中x为系统输出，ε为小参数，k1为阻尼项系数，α和β是非线性恢复力系数，r1和w为内置周期策动力的幅值和频率，t为时间参数。

令式(1)中α =β=1，k=εk1，r=εk1得:
为提高系统检测模型普适性，实现对任意频率微弱正弦信号的检测，对式(2)变形，令t=wτ，得:
式(3)中(3)中加入待测微弱信号并写成状态方程形式为
式(4)中i(τ)=a cos［(w+ Δw)τ+ θ］+z s为外部引入的湮没在噪声中的微弱正弦信号，a为待测正弦信号的幅度，Δw为待测信号与Duffing系统内置周期驱动信号的频率差，θ为待测信号的初相位，z s为待测信号中混有的噪声。

1.2 混沌阈值确定
1.2.1 理论计算方式确定混沌阈值
噪声背景下微弱正弦信号的检测仿真，极为关键的一点是确定系统的混沌阈值r c
和相变阈值r d［7］。

调整内置策动力幅值r大小，当r=0时，相点(x，x·)最终
停在两焦点之一;当0＜r＜r c时相点在两焦点附近做周期运动，系统处于倍周期分岔状态;r=r c时为从倍周期分岔到混沌态的过渡态;当r c＜r＜r d时系统进入混沌
状态;r=r d时为从混沌状态向周期状态转变的临界混沌态［8］。

传统上用梅尔尼科夫函数进行理论计算得到混沌阈值 r c的粗略估计值。

Melnikov函数形式如下［9］:
式(5)中 f［q0(t)］和 g［q0(t)，t+t0］是二维平面非自治系统的系数矩阵，q0(t)是未扰动时的同宿轨道，t是时间参数，t0是与小参数ε无关的时间变量。

由式(2)得
所以，有
式(7)积分运算，并令M(t0)=0，且d M(t0)/d t0≠0，并满足条件
即阈值
此时阈值为
综合以上推导，得到混沌区域如下:
I区:不等式混沌解为式(11);Ⅱ区:不等式混沌解为式(14)［4，10］。

实验中参数值带入式(14)计算可得到混沌阈值r c，当r＞r c时，系统进入混沌状态。

1.2.2 实验方式确定阈值
理论分析可知，当Melnikov函数小于零时，系统相轨迹将不能保持在大周期状态，并最终会进入到混沌状态。

且Melnikov函数从小于零的方向趋近于零，当越接近零时，系统进入到混沌状态所需要时间就越长;当无限接近零时，进入到混沌状态
所需要时间将趋近无穷大，这时对应的系统状态就是周期态。

实际上，系统进入混沌状态时间长短表征系统“距离”相变状态远近程度，需要时间越长表明系统距离周期状态越近，需要时间越短则系统距离周期状态越远［11］。

系统输出值随时间变化波形曲线在开始时为标准周期性信号，经过一段时间后曲线开始变得没有任何规律，这表示系统已经进入到混沌状态。

在未加待测信号之前，测量不同策动力幅度值下系统进入混沌状态的时间，对采集到的一组数据曲线拟合得到相应参数值，进而得到系统从混沌状态跳变到周期状态的精确阈值。

1.3 Duffing振子检测信号幅值方法
通过观察系统相变来测量待测信号幅值的传统方法缺乏量化判断依据，花费大量机器内存，且系统检测实时性不强，试验中为了更准确判断还会盲目增加仿真时间。

因此本实验中采用时序图方法判断系统状态是否改变，进而检测出待测信号幅值。

大量仿真实验表明:当系统策动力幅值满足关系式r c＜r＜r d时，随着策动力增大系统转变为混沌状态的时间点逐渐推迟，这是一个渐变过程;而当策动力增大到临界值r d时，只要策动力幅值有增加系统就会立刻由混沌态转变为周期状态，这是一个突变过程。

可见在系统由混沌状态转变为周期状态过程中要经历渐变过程和突变过程［11，12］。

试验中检测阈值r d采用渐变过程方法，检测幅值采用突变过程方法，基本思想是:实验中设置策动力r cos wt幅值大小为 r=r d［13］，此时系统进入混沌状态的时间点就是临界点。

在Duffing振子信号检测系统中加入噪声，实验表明系统会在临界点之前某个时间点进入混沌状态，这说明噪声不能改变系统在临界点处的混沌状态;若在信号检测系统中加入与策动力同频率的微弱正弦信号，调节内置策动力幅值为r x时系统恰好进入周期状态，则待测信号的幅值大小为a=|r d－r x|。

图1为上述几种情况系统输出x随时间t的变化曲线。

图1 Duffing振子检测信号幅值的输出信号
2 基于锁相环和Duffing振子的联合测量方法
2.1 利用锁相环检测频率的方法
锁相环由三部分组成，它包含压控振荡器(VCO)，鉴相器(PD)和环路滤波器(LPF)三个基本部件。

如图2所示，三者组成一个闭合环路，输入信号为u i(t)，鉴相器输出的信号为u c(t)，经过环路滤波器后的VCO的控制信号为u d(t)，输出信号为u o(t)反馈至输入端［14，15］。

图2 锁相环组成方框图
以压控振荡器的载波相位作为参考相位，则输出信号u o(t)与参考信号u i(t)为
式(15)和(16)中，U o和U i分别为输出信号和参考信号幅度，w0 t为VCO的载波相位，θ1(t)和θ2(t)分别为输出信号和参考信号与VCO载波信号的相位差。

经过滤波器滤除2w0分量，可得
式(18)中K为环路增益，单位是(rad/s)/V，当锁相环路总的增益为1时，K也是VCO的控制灵敏度，θe(t)为误差相位。

当误差相位很小时有
由此得到锁相环线性化解析模型，此时锁相环电路为一阶锁相环环路。

一阶锁相环路工作状态下实现待测信号频率检测的依据是:VCO中心频率与待测信号频率大小关系不同时，鉴相器输出控制信号波形有明显区别。

令待测信号频
f=10 rad/s，若待测信号频率 f与VCO中心频率f c不相等，f＞f c时鉴相器输出控制信号的周期平均值极性不断变化;f＜f c时鉴相器输出控制信号是以X轴为对称轴的正弦函数，输出信号有双边带调幅波特征。

当待测信号频率f与VCO中心频率f c相等均为10 rad/s时，鉴相器输出控制信号是以X轴为对称轴的正弦函数，且无调制信号特征，如图3所示。

图3 锁相环检测频率的输出信号
待测信号中往往含有一定量噪声，这对鉴相器输出的控制信号波形特征判断产生影响。

为了过滤掉噪声，实验中待测信号在经过鉴相器后被送入带通滤波器，实验结果如图4所示。

仿真表明:此方法在更准确判断信号特征的同时也提高了系统检测性能。

图4 含有噪声的信号
2.2 改进的混沌系统信号检测模型
参考Duffing振子传统检测模型，创建改进的基于锁相环和Duffing振子的微弱信号联合检测模型，如图5所示。

图5检测模型实现微弱信号检测的主要步骤如下:
(1)梅尔尼科夫函数进行理论计算得到混沌阈值r c的粗略估计值。

(2)未加入待测信号之前，设置不同策动力幅值并采集一组实验数据，以得到系统精确相变阈值r d。

(3)将混有高斯白噪声的待测信号经过锁相环检测信号频率。

(4)设置系统内置策动力频率与待测信号频率相同，策动力幅度值与r d相同，使得信号检测系统处于临界混沌状态。

(5)检测系统中加入待测信号，调节系统策动力幅值，使得系统再次处于临界混沌状态并计算待测信号幅值。

3 仿真与结果分析
实验中待测信号i(t)=a cos［(w+Δw)t+θ］+z s，仿真环境下z s为高斯白噪声。

检测系统相关参数如下:系统初始状态(x，x·0)=(0，0)，待测信号幅值a=10－10 V，待测信号频率w=1 rad/s，待测信号与系统内置策动力频率差Δw=0，待测信号初始相位θ=0，阻尼比k=0.5，环路增益为 K=1(rad/s)/V，采用Runge-Kutta 方法求解模型，仿真步长为0.01，仿真时间500 s。

根据图5改进的联合系统检测模型进行仿真。

把k=0.5，w=1 rad/s带入式(11)得到混沌阈值r c=0.270 6。

图6所示为策动力幅度值在r＞r c范围取不同值时系统输出分量x随时间t的变化曲线，需要测量的时间点就是图中箭头所指的竖直线位置所对应时间。

实验中采集一组不同r时系统进入混沌状态的时间点数据，如表1所示。

表1 不同r值时系统进入混沌态的时间点编号1 2 3 4 5 r 0.727 0 0.727 1 0.727 2 0.727 3 0.727 4时间/s 54 57 60 63 64编号0.727 45 0.727 47 0.727 472
0.727 474时间/s 70 76 89 96编号6 7 8 9 r 0.727 475 0.727 476 0.727 477 0.727 478时间/s 97.9 98 101 +∞10 11 12 13 r
图5 改进的混沌系统信号检测模型
图6 不同r时系统x分量时间演化曲线
总结实验数据可得到如下图7所示曲线:
图7 拟合曲线
大量仿真结果表明，图7拟合曲线存在一条平行于时间轴的渐近线r=0.727 477 304 52，说明当策动力幅值大小为0.727 477 304 52时系统进入混沌状态的时间为无限长，即系统处于周期状态。

于是得到系统从混沌状态跳变到周期状态的精确阈值为r d=0.727 477 304 51。

目前尚无解析算法求解此阈值，所以对于所求阈值r d的正确性无法用解析方法来验证［8］。

这里采用系统输出x分量随时间t历程曲线进行验证，如图8所示。

图8(a)表明系统处于临界混沌状态;图8(b)说明r=0.727 477 304 52系统处于周期态。

随机选取任意大于阈值的r，系统的时间历程曲线都与图8(b)相同，充分验证了系统从混沌态跃变到周期态的阈值为r d=0.727 477 304 51。

图8 系统x分量时间演化曲线
从而验证了本文方法确定系统阈值的可行性和高度精确性。

多次试验验证，此系统可检测最低信号幅值是10－11，则可以检测的最低门限 S m计算如下
待测信号中混入高斯白噪声z s会对鉴相器输出信号波形判断产生一定影响，因为当噪声功率大于一定值时将无法识别输出信号的波形特征。

实验测得可允许最大噪声功率Pzs=6.5×10－18 W。

将如图9(a)所示混有高斯白噪声的待测信号通过锁相环电路，白噪声方差为
6.5×10－18。

逐步调节VCO中心频率，记录鉴相器输出信号时序图，当波形特
征如图9(b)所示时，表示待测信号频率大于VCO中心频率，进而逐步降低VCO
中心频率;当波形特征如图9(c)所示时，表示待测信号频率小于VCO中心频率，进而逐步增大VCO中心频率;当出现如图9(d)所示时序图时，待测信号频率等于VCO中心频率。

试验测得待测信号频率 w'=1 rad/s。

设置系统内置策动力频率与锁相环检测到的待测信号频率相同，策动力幅值r=r
d=0.727 477 304 51，此时系统处于临界混沌状态。

将混高斯白噪声的待测信号加入混沌检测系统，系统进入周期状态，逐步减小内置策动力幅值，跟踪系统状态，当r=r x=0.727 477 304 617时系统恰好从周期状态突变为混沌状态。

则待测信
号幅值为a=r d－r x=1.14×10－10 V。

检测出的微弱信号与真实信号相比较，绝对误差为4%，误差较小，这说明检测方法是成功的。

因此可以检测的微弱信号信噪比门限为
图9 锁相环检测f=1 rad/s输出信号波形
4 结论
本文检测未知频率微弱信号是利用混沌信号在不同策动力时系统输出信号时序图存在不同特征，因此可以方便地观测出系统的运动状态且不需要盲目增加仿真时间，增强了系统检测的实时性。

经过对实验数据的分析处理得到系统从混沌状态突变为周期状态的精确阈值，避免了繁琐的手动搜索过程，而且提高了系统测量精度。

锁相环电路实现待测信号的频率检测，从而打破了传统微弱信号检测模型只能检测频率已知信号的局限。

仿真结果表明系统能够精确地检测到强噪声背景下未知频率的微弱信号，有极大的实用价值，检测精度高，效果良好，最低门限可达到－
193.01 dBm，信噪比门限可达－31.14 dB。

并且作为一种时域信号处理方法，不需要对噪声的分布做先验假设，并且很容易在硬件上实现。

但系统可检测的最低信噪比能力不高，锁相环检测信号频率有一定的主观性，因此下一步工作还需要对改
进的联合微弱信号检测系统进行更深入研究。

参考文献
【相关文献】
1 Kandangath A，Krishnamoorthy S，Lai Y C，et al.Inducing chaos in electronic circuits by resonant perturbations.Circuits and Systems I:Regular Papers，IEEE Transactions on，2007;54(5):1109—1119
2 Liu J，Li L.The overlayed characteristics of chen and duffing chaos and its circuit realization．Control Engineering and Communication Technology(ICCECT)，2012 International Conference on.IEEE，2012:291—294
3 Li Y，Shi Y，MA H，et al.Chaotic detection method for weak Square wave signal submerged in colored noise.Acta Electronica Sinica，2004;32(1):87—90
4 李月，杨宝俊，混沌振子检测引论.北京:电子工业出版社，2004
5 Yang J，Qiu Z K，Li X，et al.Uncertain chaotic behaviours of chaotic-based frequency-and phase-modulated signals.IET Signal Processing，2011;5(8):748—756
6 Zhang Gang，He Lifang，Zhang Tianqi.A secure communication system based on DCSK.International Journal of Communications in Computer and Information
Science(CCIS)，2012;288(1):140—147
7 Ma X M，Zhang B T.Weak signal detecting of gas concentration based on Duffing chaotic oscillator．Computer Application and System Modeling(ICCASM)，2010 International Conference on.IEEE，2010，1:V1-183—V1-186
8 李月，杨宝俊.混沌振子系统(L-Y)与检测.北京:科学出版社，2007
9 雷跃荣，一个新的超混沌电路及其电路实现.重庆邮电大学学报，2007;19(2):242—244
10 Cheng F，Yan Z.A new method to determine the bifurcation threshold value of the Duffing chaos detection system．2012 7th International Conference on Computer Science ＆ Education(ICCSE)，IEEE，2012:1143—1146
11 陈新国，王洁芸．混沌振子在不同初值下检测弱信号的性能分析.仪器仪表学报，
2012;3(12):17—20
12 Kandangath A，Krishnamoorthy S，Lai Y C，et al.Inducing chaos in electronic circuits by resonant perturbations.IEEE Transactions on Circuits and Systems I:Regular Papers，2007;54(5):1109—1119
13 Cherneva G，Dimkina E.Chaotic masking approach based on the Duffing
oscillator．Elektro，2012.IEEE，2012:42—45
14 Lu M，Park H，Bloch E，et al.Highly integrated optical heterodyne phase-locked loop with phase/frequency detection.Opt Express，2012;20(9):9736—9741
15 Zhang Gang，He Lifang，Zhang Tianqi.A image transmission system based on logistic map.International Journal of Advanced Materials Research，2012;468(4):727—732。