高二数学导数在研究函数中的应用2

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呢！”随后，耿大业又换了新茶泡上，大家轻松愉快地随意聊着。拉呱一会儿后，耿直忽然看着耿大业，迟迟疑疑地嗫嚅着：“大哥，那， 那个„„”耿大业伸出大手拍一拍耿直的肩膀，亲切地问：“小兄弟，你想说什么啊？”耿直这才轻轻地问：“那个大坝，可重新修建 了？”耿英也轻轻地说：“真想再去看看啊，可又很害怕去那里。”耿大业长长叹息一声，摇着头说：“咳，那次溃坝造成的损失实在太 大了，下游三个县一百多里范围内的低洼村落全部被洪水冲走或冲毁了，死伤几十万人啊！之后，官府再也没有组织人们重建大坝，而且 也再没有人抄近路从山那边过来。后来才听说，大坝旁边那条人工凿建的山路已经被那次的洪水给冲断了。唉，想来啊，那一带应该已经 变成一片无人问津的荒山荒野了。”耿正轻轻地说：“是的，我们当时就看到山路已经断了。”耿英看着哥哥，难过地迟疑着说：“今儿 个下午倒是有时间的，我们还去看一眼吗？”耿正还未答话，耿大业就开始摇头了。他说：“唉，不要去了！依我看啊，即使有路走也不 要去了。我说人这一生啊，免不了会留下一些伤痛的。有一些伤痛啊，日久天长的既然已经结痂了，也就没有必要再去揭开看了。因为你 即使是揭开看了，除了再次流血之外，还能有什么结果呢？！”耿大嫂也说：“你们大哥说的对，不要多想了，你们是很孝顺的儿女！再 说，那里确实是没有路可以去了呢！”耿正说：“就听大哥大嫂的吧，我们不再去那个让人断肠的地方去了，回老家去帮助咱爹了却他的 心愿才是最重要的事情！”大家又聊了一些别的话。耿大业夫妇叙说了这些年来夫妻俩人的创业故事，耿正兄妹三人听着非常欣慰。耿正 由衷地说：“大哥大嫂仁慈宽厚，吃苦耐劳，哪里有不成功的呢！”耿英说：“我们真要好好地向大哥大嫂学习啊！”耿直也说：“我到 现在还记得娘说过的一句话，那就是‘好心必有好报！’，大哥大嫂是天底下最好的人，好报还在后头呢！”耿大业听了哈哈大笑起来。 他伸出大手用力拍着耿直的肩膀爽朗地大声说：“小兄弟啊，你长了这么一张好嘴！”说完，耿大业站起身来给耿正兄妹三人续上茶水， 对他们说：“你们继续和嫂子聊着，我去吩咐伙计照顾好那匹劳苦功高的大白骡！”晚饭后，耿英说起来：“我们路过武昌镇时，还准备 去那里看望白娘娘和小青姐姐一家人呢。爹爹当年带我们在汉口镇上开粮油零售店时遭遇罕见的洪灾，落难过江后，曾经在白幺爹家住了 半年多，彼此间相处得很好！”于是，大家又拉了一会儿有关白幺爹、白娘娘和小青姐姐的话。看看夜有些深了，耿大嫂对丈夫说：“咱 们歇息了吧，弟弟妹妹们明天还要赶路呢！”耿正兄妹三人这一晚睡得非常香甜。在睡梦中，他们已经回到了阔别近九年半的故
如果x0是f’(x)=0的一个根，并且在x0的 左侧附近f’(x)>0，在x0右侧附近f’(x)<0， 那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值 如果 x0 是 f’(x)=0 的一个根，并且在 x0 的左侧附近 f’(x)<0 ，在 x0 右侧附近 f’(x)>0 ， 那么是f(x0)函数f(x)的一个极小值.
思考、 已知函数y=x2-2(m-1)x+2在区间[2， 6]内单调递增，求m的取值范围。
(1) 若曲线 y=x3 在点Ｐ处的切线的斜率等于 ３，则点Ｐ的坐标为( ) (A)(2,8) (B) (-2,-8) (C) (-1,-1)或(1,1) (D) (-1/2,-1/8) (2) 若曲线 y=x5/5 上一点Ｍ处的切线与直线 y=3-x垂直，则此切线方程为( ) (A)5x+5y-4=0 (B) 5x-5y-4=0 (C) 5x-5y+4=0 (D)以上皆非 (3)曲线y=x3/3-x2+5在点Ａ处的切线的倾角 为3π/4，则Ａ的坐标为 .
设函数y=f(x)在某个区间内有导数， 如果在这个区间内y`>0，那么y=f(x)为这 个区间内的增函数；如果在这个区间内 y`<0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数.
y`>0
y`<0
增函数 减函数
判断函数单调性的常用方法： （1）定义法 （2）导数法
用导数法确定函数的单调性时的步骤是：
(1) 求函数的定义域
8、如果质点A按规律S=2t3运动，则在t=3秒 时的瞬时速度为( ) (A) 6 (B) 18 (C) 54 (D) 81 9、 已知y=f(x)=2x3-3x2+a的极大值为6， 那么a等于( ) (A) 6 (B) 0 (C) 5 (D) 1
10、函数y=x3-3x的极大值为( ) (A) 0 (B) 2 (C) +3 (D) 1
导数的定义
导数的几何意义
导数
求导公式与法则
多项式函数的导数
函数单调性 导数的应用 函数的极值 函数的最值
基本练习 1、曲线y=x4-2x3+3x在点P(-1，0)处的切线的 斜率为( ) (A) –5 (B) –6 (C) –7 (D) –8
2、函数y=x100+2x50+4x25的导数为( ) (A)y’=100(x99+x49+x24) (B) y’=100x99 (C) y’=100x99+50x49+25x24 (D) y’=100x99+2x49
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的极值与最值 法二、 解、 f ’(x)=2x-4 令f ’(x)=0，即2x-4=0， 得x=2 x 1 （ 1， 2） 2 （ 2， 5） 5
y
'
3
0 2
+
11
y
故函数f(x) 在区间[1，5]内的极小值为3， 最大值为11，最小值为2
思考、已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间[1,5] 内的最小值为2，求m的值
函数极值的定义——
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其 附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所 有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是 函数的一个极大值，如果f(x0)的值比x0 附近所有各点的函数值都小，我们就 说f(x0)是函数的一个极小值。 极大值与极小值统称为极值.Leabharlann 导数的应用二、求函数的极值
用导数法求解函数极值的步骤： (1) 求导函数f `(x)； (2) 求解方程f `(x)=0； (3) 检查f `(x)在方程f `(x)=0的根的左右 的符号，并根据符号确定极大值与极小 值. 口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。
例1 、求函数y=x3/3-4x+4极值 表格法
.
练:(1)y=x2-7x+6
(3)y=x3-27x
(2)y=-2x2+5x
(4)y=3x2-x3
注、极值点是导数值为0的点
导数的应用之三、求函数最值. 在某些问题中，往往关心的是函数在 整个定义域区间上，哪个值最大或最小的 问题，这就是我们通常所说的最值问题.
求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤： (1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)
例1、 若两曲线y=3x2+ax与y=x2-ax+1在 点x=1处的切线互相平行，求a的值. 分析 原题意等价于函数y=3x2+ax与 y=x2-ax+1在x=1的导数相等， 即：6+a=2-a
例2 、 已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1， 1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求 实数a、b、c的值. 分析 由条件知： y=ax2+bx+c在点Q(2，-1) 处的导数为1，于是 4a+b=1 又点 P(1 ， 1) 、 Q(2 ， -1) 在曲线 y=ax2+bx+c 上，从而 a+b+c=1且4a+2b+c=-1
（2）求出函数的导函数
（3）求解不等式f `(x)>0，求得其解集，
再根据解集写出单调递增区间
求解不等式f``(x)<0，求得其解集，
再根据解集写出单调递减区间 注、单调区间不 以“并集”出现。
练习1、讨论f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的单 调区间
练习2、 确定y=2x3-6x2+7的单调区间
)，
则a的取值范围为( ) (A) a>0 (B) –1<a<1 (C) a>1 (D) 0<a<1
6、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是( ) (A)单调递增函数 (B) 单调递减函数 (C) 部份单调增，部分单调减 (D) 单调性不能确定
7、 如果质点 M的运动规律为 S=2t2-1，则在 一小段时间[2，2+Δt]中相应的平均速度等于 ( ) (A) 8+2Δt (B) 4+2Δt (C) 7+2Δt (D) –8+2Δt
3、已知过曲线y=x3/3上点P的切线方程为 12x-3y=16，则点P的坐标为 .
4、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为( ) (A) (-1,1) (B) (1,2) (C) (-∞,-1) (D) (-∞,-1) ，(1, +∞)
5、若函数y=a(x3-x)的递减区间为(
3 3 , 3 3
(2) 将 y=f(x) 的各极值与 f(a) 、 f(b) 比较，其 中最大的一个为最大值，最小的一个最小值 表格法
注：
求函数最值的一般方法： 一是利用函数性质 二是利用不等式 三是利用导数
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的最大值和最小值 法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用 二次函数单调性处理
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修1-1
3.3.2《导数在研究函数 中的应用-极值》
审校：王伟
教学目标
• (1)知识目标：能探索并应用函数的极值与导数的关 系求函数极值，能由导数信息判断函数极值的情况。 • (2)能力目标：培养学生的观察能力、归纳能力，增 强数形结合的思维意识。 • (3)情感目标：通过在教学过程中让学生多动手、多 观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的 良好习惯。 • 教学重点：探索并应用函数极值与导数的关系求函 数极值。 • 教学难点：利用导数信息判断函数极值的情况。 • 教学方法：发现式、启发式
例3 已知P为抛物线y=x2上任意一点，则当点 P到直线x+y+2=0的距离最小时，求点P到抛 物线准线的距离 分析 点P到直线的距离最小时，抛物线在点 P处的切线斜率为-1，即函数在点P处的导数 为-1，令P(a,b),于是有：2a= -1.
例4 设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定 实数a的取值范围，并求出这三个单调区间.