2020版高考数学大一轮复习课时214.6函数y=Asinωx+φ的图象及简单应用夯基提能作业4

4.6 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及简单应用
A 组 基础题组
1.(2017浙江名校协作体)为了得到函数y=sin (2x +π
6)的图象,可以将函数y=sin (2x +π
3)的图象( )
A.向左平移π
6个单位长度 B.向右平移π6个单位长度
C.向左平移π
12个单位长度
D.向右平移π
12
个单位长度
答案 C 因为y=sin (2x +π3)=sin [2(x +π12)+π6],所以仅需将函数y=sin (2x +π
6)的图象向左平移
π
12
个单位长度,即可得到函数y=sin (2x +π
3)的图象,故选C. 2.(2017浙江嘉兴基础测试)若函数g(x)的图象可由函数f(x)=sin 2x+√3cos 2x 的图象向右平移π
6个单位长度得到,则g(x)的解析式是( ) A.g(x)=2sin 2x B.g(x)=2sin (2x +π
6)
C.g(x)=2sin (2x +π
2
) D.g(x)=2sin (2x +
2π3
)
答案 A ∵f(x)=2sin (2x +π
3),∴g(x)=2sin [2(x -π
6)+π
3]=2sin 2x. 3.(2018温州十校联合体期初)函数y=f(x)在区间[-π2
,π]上的简图如图所示,则函数y=f(x)的解析式可
以是( )
A.f(x)=sin (2x +π
3
)
B.f(x)=sin (2x -2π3
)
C.f(x)=sin (x +π3)
D.f(x)=sin (x -2π3
)
答案 B 由题中图象知A=1, 因为x 2=π
3-(-π
6)=π
2,
所以T=π,所以ω=2,
所以函数的解析式是f(x)=sin(2x+φ), 因为函数的图象过点(π
3,0),
所以0=sin (2×π3
+φ),
所以φ=kπ-2π3,k∈Z,
所以当k=0时,φ=-2π3
,
所以函数的一个解析式是f(x)=sin (2x -2π3
),故选B.
4.若函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象(部分)如图所示,则ω和φ的可能取值是( )
A.ω=1,φ=π
3 B.ω=1,φ=-π
3 C.ω=1
2,φ=π
6 D.ω=1
2,φ=-π
6
答案 C 由题图知函数f(x)的最小正周期T=2π
x
=4×[
2π3
-(-π
3
)]=4π,
解得ω=1
2
,所以f(x)=sin (x
2
+φ),
又由题图得12·
2π3
+φ=2kπ+π
2,k∈Z,
取k=0,则φ=π
6
.故选C.
5.(2017温州中学月考)已知函数f(x)=sin ωx -√3cos ωx(ω>0)的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于π
2
,若将函数y=f(x)的图象向左平移π
6
个单位得到函数y=g(x)的图象,则y=g(x)的一个减区间为
( ) A.(-π3
,0) B.(-
π4
,π4) C.(0,π3) D.(π4,π
3)
答案 D f(x)=2sin (xx -π
3),由题意得x 2=π2,得ω=2,∴f(x)=2sin (2x -π
3).从而g(x)=2sin 2(x +π
6)-π
3=2sin 2x,令π
2+2kπ≤2x≤3
2π+2kπ,k∈Z,得π
4+kπ≤x≤3
4π+kπ,k∈Z,故选D. 6.已知函数f(x)=sin(x-π),g(x)=cos(x+π),则下列结论中正确的是( )
A.函数y=f(x)·g(x)的最小正周期为2π
B.函数y=f(x)·g(x)的最大值为2
C.将函数y=f(x)的图象向左平移π
2个单位后得到y=g(x)的图象 D.将函数y=f(x)的图象向右平移π2个单位后得到y=g(x)的图象
答案 C ∵f(x)=sin(x -π)=-sin x,g(x)=cos(x+π)=-cos x,∴f(x)·g(x)=-sin x·(-cos x)=sin2x 2
.
最小正周期为π,最大值为1
2,故A,B 错误;
将f(x)的图象向左平移π
2个单位后得到y=-sin (x +π
2)=-cos x=g(x)的图象,故C 正确;
将f(x)的图象向右平移π
2个单位后得到y=-sin (x -π
2
)=cos x 的图象,故D 错误,故选C. 7.(2018宁波十校联考模拟)将函数y=sin (2x -π
3)的图象向左平移π
4个单位长度,所得函数图象的一条对称轴方程是( ) A.x=2
3π B.x=-1
12π C.x=1
3π D.x=5
12π
答案 A 将函数y=sin (2x -π
3)的图象向左平移π
4个单位长度,可得y=sin (2x +
π2
-π3)=sin (2x +π
6
)
的图象,令2x+π
6
=kπ+π
2
,k∈Z,求得x=
x π2
+π6
,k∈Z,可得所得函数图象的对称轴方程为x=
x π2
+π6
,k∈Z,令
k=1,可得所得函数图象的一条对称轴方程为x=
2π3
,故选A.
8.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(x >0,|x |<π
2
)的图象如图所示,则ω= ,φ= .
答案 2;π
6
解析 由题图知,最小正周期T=π,又ω>0,故ω=2π
x =2,当x=0时,2sin φ=1,即sin φ=1
2,因为|φ|<π
2,所以φ=π
6.
9.(2018宁波模拟)已知函数f(x)=asin 2x+(a+1)cos 2x,a∈R,则函数f(x)的最小正周期为 ,振幅的最小值为 . 答案 π;√22
解析 函数f(x)=asin 2x+(a+1)cos 2x,a∈R,
化简可得:f(x)=√x 2+(a +1)2
sin(2x+θ)
=√2(x +12)2
+12sin(2x+θ),其tan θ=1+x
x
.
函数f(x)的最小正周期T=
2π2
=π.
振幅为√2(x +12)2
+1
2,
当a=-1
2
时,可得振幅的最小值√22
.
10.(2018温州中学高三模拟)已知函数f(x)=sin x 3cos x 3+√3cos 2x
3. (1)求函数f(x)图象对称中心的坐标;
(2)如果△ABC 的三边a,b,c 满足b 2
=ac,且边b 所对的角为B,求f(B)的取值范围. 解析 (1)f(x)=1
2sin 2x 3
+√32(1+cos
2x 3
)
=1
2sin
2x 3+√32cos 2x 3+√32=sin (2x 3+π3)+√3
2, 由sin (
2x 3
+π3)=0,得
2x 3
+π3=kπ(k∈Z),得x=3x -12
π,k∈Z,
即对称中心坐标为(3x -12
,0),k∈Z.
(2)已知b 2
=ac,则cos B=x 2+x 2-x 22xx =x 2+x 2-ac 2xx ≥2xx -xx 2xx =12,所以12≤cos B<1,0<B≤π3,π3<2x 3+π3≤5π
9,
因为|π
3-π
2|>|
5π9
-π
2|,
所以sin π3<sin (2x 3
+π3)≤1,所以√3<sin (
2x 3
+π3)+√32≤1+√3
2,
即f(B)的范围是(√3,1+
√32
]. 11.(2017浙江湖州、衢州、丽水联考)函数f(x)=2sin(ωx+φ)(x >0,0<x <π
2)的部分图象如图所
示,M 为最高点,该图象与y 轴交于点F(0,√2),与x 轴交于点B,C,且△MBC 的面积为π.
(1)求函数f(x)的解析式; (2)若f (x -π
4
)=
2√55
,求cos 2α的值.
解析 (1)因为S △MBC =1
2×2×BC=π, 所以T=2π=
2π
x
,所以ω=1,
由f(0)=2sin φ=√2,得sin φ=√2
2, 因为0<φ<π2,所以φ=π
4, 所以f(x)=2sin (x +π
4). (2)由f (x -π4)=2sin α=
2√55
,得sin α=√5
5,
所以cos 2α=1-2sin 2
α=3
5.
12.(2018宁波诺丁汉大学附中高三期中)已知函数f(x)=sin (xx +π
3)(x∈R,ω>0)的图象如图,P 是图
象的最高点,Q 是图象的最低点,且|PQ|=√13.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)将函数y=f(x)的图象向右平移1个单位后得到函数y=g(x)的图象,当x∈[0,2]时,求函数h(x)=f(x)·g(x)的最大值.
解析 (1)过P 作x 轴的垂线,过Q 作y 轴的垂线两垂线交于点M,则由已知得|PM|=2,又|PQ|=√13,由勾股定理得|QM|=3,所以T=6, 又T=2π
x ,所以ω=π
3,
所以函数y=f(x)的解析式为f(x)=sin (π
3x +π
3).
(2)将函数y=f(x)的图象向右平移1个单位后得到函数y=g(x)的图象,
所以g(x)=sin π
3x.
函数h(x)=f(x)·g(x)=sin (π3x +π3)sin π
3x =1
2sin 2π
3
x+√32
sin π3
xcos π
3
x
=1
4(1-cos 2π3
x )+√34sin
2π3
x
=1
2
sin (2π3
x -π
6)+1
4
. 当x∈[0,2]时,2π3
x-π6∈[-
π6
,
7π6
],
所以当
2π3
x-π6
=π
2
,即x=1时,h(x)max =34
.
B 组 提升题组
1.函数y=sin (2x +π
3)的图象经下列怎样的平移后所得的图象关于点(-π
12,0)中心对称( ) A.向左平移π
12个单位长度 B.向右平移π
12个单位长度 C.向左平移π
6个单位长度 D.向右平移π
6个单位长度
答案 B 假设将函数y=sin (2x +π
3)的图象向左平移ρ个单位长度得到y=sin (2x +2x +π
3)的图象关于点(-π
12,0)中心对称, 所以将x=-π
12代入得到sin (-π6
+2ρ+π3)=sin (π
6+2ρ)=0,
所以π
6+2ρ=kπ,k∈Z, 所以ρ=-π12+
x π
2
,k∈Z,
当k=0时,ρ=-π
12.
2.(2018杭州高三期末检测)设A,B 是函数f(x)=sin |ωx|与y=-1的图象的相邻两个交点,若|AB|min =2π,则正实数ω=( )
A.1
2 B.1 C.3
2 D.2
答案 B 函数f(x)=sin |ωx|={sin xx ,x ≥0,-sin xx ,x <0,
ω为正数,所以f(x)的最小值是-1,如图所示:
设A,B 是函数f(x)=sin |ωx|与y=-1的图象的相邻两个交点,且|AB|min =T=2π
x =2π,解得ω=1.故选B. 3.(2018杭州高级中学高三月考)将函数y=2sin (xx -π
4)(ω>0)的图象分别向左、向右各平移π
4个单位后,所得的两个图象的对称轴重合,则ω的最小值为( ) A.1
2 B.1 C.2 D.4
答案 C 把函数y=2sin (xx -π4)(ω>0)的图象向左平移π
4个单位长度后,所得图象对应的函数解析式
为
y 1=2sin [x (x +π
4)-π
4]=2sin (xx +
x -14
π),
向右平移π
4个单位长度后,所得图象对应的函数解析式为y 2=2sin [x (x -π
4)-π
4]=2sin (xx -x +14
π).
因为所得的两个图象对称轴重合, 所以ωx+
x -14
π=ωx -
x +14
π①,或ωx+
x -14
π=ωx -
x +14
π+kπ,k∈Z②.
解①得ω=0,不合题意;解②得ω=2k,k∈Z. 所以ω的最小值为2.故选C.
4.(2018杭州七校联考)已知函数y=4sin (2x +π
6
),x∈[0,
7π6
]的图象与直线y=m 有三个交点,其交点的横
坐标分别为x 1,x 2,x 3(x 1<x 2<x 3),那么x 1+2x 2+x 3的值是( ) A.
3π4
B.
4π3
C.
5π3
D.
3π2
答案 C 由函数y=4sin (2x +π
6)(x ∈[0,7π6
])的图象可得,当x=π6和x=
2π3
时,函数分别取得最大值
和最小值,
由正弦函数图象的对称性可得x 1+x 2=2×π6=π3,x 2+x 3=2×2π3
=
4π3
.
故x 1+2x 2+x 3=π3
+
4π3
=
5π
3
,故选C.
5.已知函数f(x)=msin ωxcos ωx+nsin 2
ωx(ω>0)的图象关于点(π
12,1)对称. (1)若m=4,求f(x)的最小值;
(2)若函数f(x)的最小正周期是一个三角形的最大内角的值,又f(x)≤f (π
4)对任意实数x 成立,求函数f(x)的解析式,并写出函数f(x)的单调递增区间. 解析 (1)f(x)=msin ωxcos ωx+nsin 2
ωx =x 2
sin(2ωx)+
x [1-cos(2xx )]2
=
x sin(2xx )-x cos(2xx )2
+x
2
=
√x 2+x 2
2
sin(2ωx+θ)+x
2.
其中cos θ=
,sin θ=-.
∵f(x)的图象关于点(π
12
,1)对称,
∴x
2=1,即n=2,∵m=4,∴f(x)=√5sin(2ωx+θ)+1, ∴f(x)min =1-√5.
(2)由f(x)≤f (π
4)对任意实数x 成立, 得π4-π12=x
4+k·x
2,k∈Z,
其中T 为函数f(x)的最小正周期,且π
3≤T<π, 得k=0,T=
2π3
.
∴2ω=2π
x =3.
∴f(x)=x
2sin 3x-cos 3x+1, 由f (π
12)=x 2sin π4-cos π
4
+1=1,得m=2.
f(x)=sin 3x-cos 3x+1=√2sin (3x -π
4)+1. 由-π
2+2kπ≤3x -π
4≤π
2+2kπ,k∈Z, 得-π12+2
3kπ≤x≤π4+2
3kπ,k∈Z. ∴f(x)的单调递增区间为[-π12
+23
kπ,
π4
+2
3
kπ],k∈Z.。