《试卷3份集锦》南京市2020高一数学下学期期末达标检测试题

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知偶函数()y f x =在区间[0,)+∞上单调递增，且图象经过点(1,0)-和(3,5)，则当[3,1]x ∈--时，函数()y f x =的值域是( ) A ．[0,5]
B ．[1,5]-
C ．[1,3]
D ．[3,5]
2．从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为（ ） A ．
7
20
B ．
716
C ．
1320
D ．
916
3．已知()1,1A ，()2,2B -，O 是坐标原点，则OA AB +=（ ）
A ．()1,3-
B ．()3,1-
C ．()1,1
D ．()2,2-
4．某工厂对一批新产品的长度(单位：mm )进行检测，如下图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数与平均数分别为( )
A ．20，22.5
B ．22.5，25
C ．22.5，22.75
D ．22.75，22.75
5．已知向量(1,2)a =，(4,2)b =-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．
6
π B ．
3
π C ．
512
π D ．
2
π 6．已知函数()1
51
x
f x e x =
--（其中e 为自然对数的底数），则()y f x =的大致图象为（ ） A ． B ． C ． D ．
7．如图所示的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边
长为半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
8．在ABC ∆中，5,10,25AB AC AB AC ==⋅=，点P 是ABC ∆内（包括边界）的一动点，且
3
()5
AP AB AC R λλ=
+∈，则||AP 的最大值是（ ） A 33
B 37
C 39
D 419．已知函数1
,0(),0x x m f x e x -⎧=⎪=⎨⎪≠⎩
，若方程2
3()(23)()20mf x m f x -++=有5个解，则m 的取值范围是
（） A ．(1,)+∞
B ．(0,1)(1,)⋃+∞
C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．331,
,22⎛⎫⎛⎫
+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
10．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（ ） A ．
1
5
B ．
25
C ．
35
D ．
45
11．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3)(sin sin )()sin b A B c b C -=-，
3a =S 为ABC ∆的面积，则3cos S B C 的最大值为（ ）
A ．1
B ．2
C 3
D ．312．在下列区间中，函数()34x f x x =+的零点所在的区间为（ ）
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4)
二、填空题：本题共4小题
13．已知线段AB 上有9个确定的点（包括端点A 与B ）.现对这些点进行往返标数（从A B A B →→→…进行标数，遇到同方向点不够数时就“调头”往回数）.如图：在点A 上标1，称为点1，然后从点1开始数到第二个数，标上2，称为点2，再从点2开始数到第三个数，标上3，称为点3（标上数n 的点称为点
n ），……，这样一直继续下去，直到1，2，3，…，2019都被标记到点上，则点2019上的所有标记的
数中，最小的是_______.
14．已知扇形AOB 的面积为
43
π
，圆心角AOB 为120，则该扇形半径为__________． 15．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2x
f x x =+，则()1f -=________. 16．已知平面向量a ，b ，c 满足：6a b -=，且()()5a c b c --=-，则()c a b +的最小值为____. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()()()2
4sin sin cos sin cos sin 142x f x x x x x x π⎛⎫
=+++--
⎪⎝⎭
. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若函数()()()12122g x f x af x af x a π⎡
⎤
⎛⎫=
+---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
在,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值为2，求实数a 的值. 18．某企业2015年的纯利润为500万元,因为企业的设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降.若不进行技术改造,预测从2015年开始,此后每年比上一年纯利润减少20万元.如果进行技术改造,2016年初该企业需一次性投入资金600万元,在未扣除技术改造资金的情况下,预计2016年的利润为750万元,此后每年的利润比前一年利润的一半还多250万元.
(1)设从2016年起的第n 年(以2016年为第一年),该企业不进行技术改造的年纯利润为n a 万元;进行技术改造后,在未扣除技术改造资金的情况下的年利润为n b 万元,求n a 和n b ;
(2)设从2016年起的第n 年(以2016年为第一年),该企业不进行技术改造的累计纯利润为n A 万元,进行技术改造后的累计纯利润为n B 万元,求n A 和n B ;
(3)依上述预测,从2016年起该企业至少经过多少年,进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润?
19．（6分）如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，8BC =，45BAC ∠=︒，1
cos 2
ABC ∠=-
.
（1）在ABC ∆中，求AC 的长；
（2）若BCD ∆的面积等于203BD 的长.
20．（6分）如图几何体中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，
//EC PD ，且22PD AD EC ===.
（1）求证：//BE 平面PDA ； （2）求PA 与平面PBD 所成角的大小.
21．（6分）已知函数()()2
22f x x n x n =+--的图象与x 轴正半轴的交点为0(),n A a ，1,2,3,n =⋯．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令1
3(1)2n n a
a
n n b λ-=+-⋅⋅（n 为正整数），问是否存在非零整数λ，使得对任意正整数n ，都有
1n n b b +>？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．
22．（8分）东莞市公交公司为了方便广大市民出行，科学规划公交车辆的投放，计划在某个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车的间隔时间x 与乘客等候人数y 之间的关系，选取一天中的六个不同的时段进行抽样调查，经过统计得到如下数据： 间隔时间（x 分钟） 8 10 12 14 16 18 等候人数（y 人）
16
19
23
26
29
33
调查小组先从这6组数据中选取其中的4组数据求得线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验，检验
方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数ˆy
，再求ˆy 与实际等候人数y 的差，若两组差值的绝对值均不超过1，则称所求的回归方程是“理想回归方程”. 参考公式：用最小二乘法求线性回归方程˙
ˆˆˆy bx a =+的系数公式：
()()()
1
1
2
2
2
1
1
ˆˆˆ,n n
i
i
i i
i i n
n
i
i i i
x x y y x y n x y
b
a
y bx x x x
nx ====---••==
=---∑∑∑∑， （1）若选取的是前4组数据，求y 关于x 的线性回归方程ˆy bx
a =+； （2）判断（1）中的方程是否是“理想回归方程”：
（3）为了使等候的乘客不超过38人，试用（1）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少分钟？
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 【解析】 【分析】
由题意结合函数的单调性和函数的奇偶性确定函数的值域即可. 【详解】
偶函数()y f x =在区间[)0,+∞上单调递增，则函数在[](]
3,1,0--⊆-∞上单调递减， 且()()()335,10f f f -==-=， 故函数的值域为[]0,5. 本题选择A 选项. 【点睛】
本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性，函数值域的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2．B 【解析】 【分析】
直接利用古典概型的概率公式求解. 【详解】
从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数有10，12，13，14，20，21，23，24，30，31，32，34，40，41，42，43，共16个，
其中大于30的有31，32，34，40，41，42，43，共7个， 故所求概率为716
P =． 故选B 【点睛】
本题主要考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 3．D 【解析】 【分析】
根据向量线性运算可得OA AB OB +=，由坐标可得结果.
()2,2OA AB OB +==-
故选：D 【点睛】
本题考查平面向量的线性运算，属于基础题. 4．C 【解析】 【分析】
根据平均数的定义即可求出．根据频率分布直方图中，中位数的左右两边频率相等，列出等式，求出中位数即可． 【详解】
：根据频率分布直方图，得平均数为1（12.1×0.02+17.1×0.04+22.1×0.08+27.1×0.03+32.1×0.03）＝22.71， ∵0.02×1+0.04×1＝0.3＜0.1， 0.3+0.08×1＝0.7＞0.1； ∴中位数应在20～21内， 设中位数为x ，则
0.3+（x ﹣20）×0.08＝0.1， 解得x ＝22.1；
∴这批产品的中位数是22.1． 故选C ． 【点睛】
本题考查了利用频率分布直方图求数据的中位数平均数的应用问题，是基础题目． 5．D 【解析】 【分析】
利用夹角公式计算出两个向量夹角的余弦值，进而求得两个向量的夹角. 【详解】
设两个向量的夹角为θ，则cos 0
θ==，故π
2
θ=.
故选：D. 【点睛】
本小题主要考查两个向量夹角的计算，考查向量数量积和模的坐标表示，属于基础题. 6．D
令()e 51x
g x x =--，()e 5x
g x '=-，所以函数()g x 在(),ln5∞-上单调递减，在()ln5,∞+上单调递
增，又令()ln545ln50g =-<，所以()g x 有两个零点，因为()00g =，
()()252e 110,5e 260g g =-=-，所以()120,2,5x x =∈，且当0x <时，()0g x >，
()0f x >，当12x x x <<时，()0g x <，()0f x <，当2x x >时，()0g x >，()0f x >，选项C 满足
条件.故选C.
点睛：本题考查函数的解析式和图象的关系、利用导数研究函数的单调性；已知函数的解析式识别函数图象是高考常见题型，往往从定义域、奇偶性（对称性）、单调性、最值及特殊点的符号进行验证，逐一验证进行排除. 7．D 【解析】 【分析】
求出以为圆心，以边长为半径，圆心角为的扇形的面积，根据图形的性质，可知它的3倍减去2
倍的等边三角形的面积就是莱洛三角形的面积，运用几何概型公式，求出概率.
【详解】 设等边三角形
的边长为，设以为圆心，以边长为半径，圆心角为
的扇形的面积为
，则
，
，
莱洛三角形面积为，则,
在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率为,
,故本题选D.
【点睛】
本题考查了几何概型.解决本题的关键是正确求出莱洛三角形的面积.考查了运算能力. 8．B 【解析】 【分析】 根据3
()5
AP AB AC R λλ=+∈分析得出点P 的轨迹为线段1P D ，结合图形即可得到||AP 的最大值. 【详解】
如图：取3
5AD
AB ，13
5
CP CB ，1//PD AC ， 点P 是ABC ∆内（包括边界）的一动点， 且3
()5
AP AB AC R λλ=
+∈，根据平行四边形法则，点P 的轨迹为线段1P D ，
则||AP 的最大值是1||
AP ， 在ABC ∆中，5,10,510cos 25AB AC AB AC BAC ==⋅=⨯⨯∠=，1
cos 2
BAC ∠=
， 3
sin 53BAC BC ∠=
=123PB ，
1||251237AP =+故选：B 【点睛】
此题考查利用向量方法解决平面几何中的线段长度最值问题，数形结合处理可以避免纯粹的计算，降低难度. 9．D 【解析】 【分析】
利用因式分解法，求出方程的解，结合函数()f x 的性质，根据题意可以求出m 的取值范围. 【详解】
23()(23)()20[3()2][()1]0mf x m f x f x mf x -++=⇒--=，
2()3f x =
，或1()f x m =，由题意可知：1(0)f m =，由题可知：当0x ≠时，2()3f x =有2个解且1
()f x m =有2个解且213
32
m m ≠⇒≠ ，
当0x ≠时，(1())x
x f x e e -==，因为11()))((()x x f x e e f x -===-，所以函数()f x 是偶函数，当0
x >时，函数()f x 是减函数，故有0()1<<f x ，函数()f x 是偶函数，所以图象关于纵轴对称，即当0x ≠时有，0()1<<f x ，所以011
1m
m <
<⇒>，综上所述；
m 的取值范围是331,,22⎛⎫⎛⎫
+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故本题选D.
【点睛】
本题考查了已知方程解的情况求参数取值问题，正确分析函数的性质，是解题的关键. 10．B 【解析】 【详解】
试题分析：由题意1
1232
62
5
C C P C ==
． 故选B ． 11．C 【解析】 【分析】
先由正弦定理，将)(sin sin )()sin b A B c b C -=-化为(a b)()(c b)a b
c +-=-，
结合余弦定理，求出3
A π
=
，再结合正弦定理与三角形面积公式，可得1
cos sin cos 2
S
B C bc A B C =
+，
化简整理，即可得出结果. 【详解】 因为a =
)(sin sin )()sin b A B c b C -=-可化为
(a b)()(c b)a b c +-=-，即222a b c bc =+-，
可得2221
cos 22b c a A bc +-=
=，所以3
A π
=. 又由正弦定理得2sin b B =
，2sin c C =， 所以
1
cos
sin cos 2
S B C bc A B C +=sin cos cos ))B C
B C B C =+=-，
当且仅当B C
=时，cos S B C 故选C 【点睛】
本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型. 12．B 【解析】 【分析】
由函数的解析式，再根据函数零点的存在定理可得函数的零点所在的区间．
【详解】 函数()34x f x x =-+的零点所在的区间即函数y x =与34x y =-的交点所在区间.
由函数y x =与34x y =-在定义域[0,)+∞上 只有一个交点，如图.
函数()34x f x x =
-+在定义域[0,)+∞上只有一个零点.
又1(1)34120f =-+=>，2(2)234250f =-+=-<
所以()()120f f ⋅<. 所以()34x f x x =-+的零点在(1,2)上
故选：B
【点睛】
本题主要考查求函数的零点所在区间，函数零点的存在定理，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题 13．3 【解析】 【分析】
将线段上的点考虑为一圆周，所以共有16个位置，利用规则，可知标记2019的是
12320192039190++++=，2039190除以16的余数为6，即线段的第6个点标为2019，则
(1)
6161232
k k n k ++=+++
+=
，令0n =，即可得3k =． 【详解】
依照题意知，标有2的是1+2，标有3的是1+2+3，……，标有2019的是1+2+3+……+2019，将将线段上的点考虑为一圆周，所以共有16个位置，利用规则，可知标记2019的是12320192039190+++
+=，
2039190除以16的余数为6，即线段的第6个点标为2019，(1)
6161232
k k n k ++=++++=
，令0n =，(1)12k k +=，解得
3k =，故点2019上的所有标记的数中，最小的是3.
【点睛】
本题主要考查利用合情推理，分析解决问题的能力．意在考查学生的逻辑推理能力，
14．2
【解析】
【分析】
将圆心角化为弧度制，再利用扇形面积得到答案.
【详解】
圆心角AOB 为12023π= 扇形AOB 的面积为
2241124232233
S r r r πππα⇒==⨯=⇒= 故答案为2
【点睛】
本题考查了扇形的面积公式，属于简单题.
15．3-
【解析】
【分析】
根据奇偶性，先计算(1)f ，再计算()1f -
【详解】
因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-.
因为当0x >时，()2x f x x =+ 所以()()()11213f f -=-=-+=-.
故答案为3-
【点睛】
本题考查了奇函数的性质，属于常考题型.
16．-1
【解析】
【分析】
,OA a OB b ==，OC c =，1()2
OM a b =+， 由()()5a c b c -⋅-=-经过向量运算得2
2()()524
a b a b c +--=-4=，知C 点在以M 为圆心，1为半径
的圆上，这样()c a b ⋅+()()OM MC a b +⋅+=21()()2
a b r a b =++⋅+，只要()r a b ⋅+最小，就可化简()c a b ⋅+．
【详解】
如图，,OA a OB b ==，则6AB a b =-=，设M 是AB 中点，则1()2
OM a b =
+， ∵()()5a c b c -⋅-=-， ∴2
()5c a b c a b -+⋅+⋅=-，即222()()()55244a b a b a b c a b ++--=-⋅-=-4=， 22
a b c +-=，记OC c =，则C 点在以M 为圆心，1为半径的圆上，记MC r =， ()c a b ⋅+21(
)()()()22a b r a b a b r a b +=+⋅+=++⋅+，注意到2r =，因此当r 与2a b +反向时，()r a b ⋅+最小，
∴22211()2(2)222
c a b a b a b a b ⋅+≥+-+=+--2≥-． ∴()c a b ⋅+最小值为-1．
故答案为-1．
【点睛】
本题考查平面向量的数量积，解题关键是由已知()()5a c b c -⋅-=-得出C 点轨迹(让表示,,a b c 的有向线段的起点都是原点)是圆，然后分析出只有OM MC ⋅最小时，()c a b ⋅+才可能最小．从而得到解题方法．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17． (1) 2T π=；(2)2a =-或6a =
【分析】
（1）根据二倍角公式进行整理化简可得()2sin f x x =，从而可得最小正周期；（2）将()g x 通过换元的
方式变为21112y t at a =-+-
-，1t ≤≤；讨论对称轴的具体位置，分别求解最大值，从而建立方程求得a 的值.
【详解】
（1）()2221cos sin cos sin 12f x x x x x π⎡
⎤⎛⎫=-++-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
()222sin sin 12sin 12sin x x x x =++--=
∴最小正周期2T π=
（2）()1sin2sin cos 12
g x a x a x x a =+--- 令sin cos x x t -=，则()22sin 21sin cos 1x x x t =--=-
2
2221111122242a a y t at a t at a t a ⎛⎫∴=-+--=-+-=--+- ⎪⎝⎭
sin cos 4t x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
由42x π
π-≤≤得244
x πππ-≤-≤ 1t ≤≤
①当2
a <a <-时
当t =max 122y a ⎫=--⎪⎭
由122
2a ⎫--=⎪⎭，解得()
817a ==->-（舍去)
②当12
a ≤≤，即2a -≤时 当2a t =时，2max 142
a y a =- 由21242
a a -=得2280a a --=，解得2a =-或4a =（舍去） ③当
12
a >，即2a >时 当1t =时，max 12a y =-，由122a -=，解得6a = 综上，2a =-或6a =
本题考查正弦型函数最小正周期的求解、利用二次函数性质求解与三角函数有关的值域问题，解题关键是通过换元的方式将所求函数转化为二次函数的形式，再利用对称轴的位置进行讨论；易错点是忽略了换元后自变量的取值范围.
18． (1) 50020n a n =-,150012n n b ⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
(2) 249010n A n n =-,5005001002n n B n =--(3) 至少经过4年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润.
【解析】
【分析】
(1)利用等差数列、等比数列的通项公式求n a 和n b
(2) n A 是数列{}n a 的前n 项和，n B 是数列{}n b 的前n 项和减去600，利用等差数列和等比数列的前n 项和公式求出即可
(3)作差，利用函数的单调性，即可得出结论
【详解】
(1)由题意得 {}n a 是等差数列，1480,20a d ==-
所以50020n a n =- 由题意得111750,2502n n b b b +==
+ 所以()115005002
n n b b +-=- 所以{}1500n b +-是首项为250，公比为
12的等比数列 所以115002502n n b -⎛⎫-= ⎪⎝⎭
所以111500250500122n n n b -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
(2) n A 是数列{}n a 的前n 项和 所以()2(1)50020490102
n n n A n n n +=+⨯-=- n B 是数列{}n b 的前n 项和减去600，所以
2111500(111)600222
n n B =++++++- 111500225006005001001n n n n ⎡⎤⎛⎫⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥=+-=--
(3) ()2500500100490102n n n
B A n n n -=---- 250010101002n
n n =+-- 易得此函数当*n N ∈时单调递增
且1,2,3n =时0n n B A -<
4,5,6n =时0n n B A ->
所以至少经过4年，进行技术改造的累计纯利润
将超过不进行技术改造的累计纯利润.
【点睛】
本题考查的是数列的综合知识，包含通项公式的求法、前n 项和的求法及数列的单调性.
19．（1）46；（2）221
【解析】
【分析】
（1）首先利用同角三角函数的基本关系求出sin ABC ∠，再利用正弦定理求解即可．
（2）求出梯形的高，再利用三角形的面积求解即可．
【详解】
解：（1）在梯形ABCD 中，//AB CD ，8BC =，45BAC ∠=︒，1cos 2ABC ∠=-
． 可得23sin 1cos ABC ABC ∠=-∠=， 由正弦定理可得：3
8sin 246sin 2
BC ABC AC BAC
⨯∠===∠． （2）过C 作CE AB ⊥，交AB 的延长线于E
则n 24642
si 3CE AC CAB =⋅==∠⨯
即梯形的高为3
因为BCD ∆的面积等于203，
1432032
CD ∴⨯⨯=， 10CD ∴=，
11sin 810sin 20322
BCD S BC CD BCD BCD ∆=⋅⋅∠=⨯⨯⨯∠= 3sin BCD ∴∠= 60BCD ∴∠=︒，
222cos BD BC CD BC CD BCD ∴=+-⋅⋅⋅∠
22181028102212
=+-⨯⨯⨯= 【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，属于中档题．
20．（1）见解析（2）
6
π 【解析】
【分析】
（1）由//BC AD ，//EC PD ，结合面面平行判定定理可证得平面//BEC 平面PDA ，根据面面平行的性质证得结论；（2）连接AC 交BD 于点O ，连接PO ，利用线面垂直的判定定理可证得AO ⊥平面PBD ，从而可知所求角为APO ∠，在Rt APO ∆中利用正弦求得结果.
【详解】
（1）四边形ABCD 为正方形 //BC AD ∴ 又AD ⊂平面PDA //BC ∴平面PDA
又//EC PD ，PD ⊂平面PDA //EC ∴平面PDA
,EC BC ⊂平面BEC ，EC BC C = ∴平面//BEC 平面PDA
BE ⊂平面BEC //BE ∴平面PDA
（2）连接AC 交BD 于点O ，连接PO
PD ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD AO PD ∴⊥
,BD PD ⊂平面PBD ，BD PD D = AO ∴⊥平面PBD
APO ∴∠即为PA 与平面PBD 所成角
2PD AD ==且PD AD ⊥ PA ∴=
又1122
AO AC =
==1sin 2AO APO PA ∴∠== 6APO π∴∠= 即PA 与平面PBD 所成角为：
6
π 【点睛】
本题考查线面平行的证明、直线与平面所成角的求解，涉及到面面平行的判定与性质、线面垂直的判定与性质的应用；求解直线与平面所成角的关键是能够通过垂直关系将所求角放入直角三角形中来进行求解. 21．（1）n a n =；（2）存在，1-.
【解析】
【分析】
（1）把点A 带入()()222f x x n x n =+--即可 （2）根据（1）的{}n a 计算出n b 、1n b +，再解不等式即可
【详解】
（1）设()0f x =，()2220x n x n +--=得12x =-，2x n =．
所以n a n = ；
（2）()
1312n n n n b λ-=+-⋅⋅，若存在0λ≠，满足1n n b b +>恒成立 即：()()111312312n n n n n n λλ-+++-⋅⋅>+-⋅⋅，
()11312n n λ--⎛⎫>-⋅ ⎪⎝⎭恒成立
当n 为奇数时，1312n λλ-⎛⎫>⇒< ⎪⎝⎭
当n 为偶数时，13322n λλ-⎛⎫>-⇒>- ⎪⎝⎭
所以312
λ-<<， 故：1λ=- .
【点睛】
本题属于较难的题。

22．（1）ˆ 1.7 2.3y
x =+（2）是“理想回归方程”（3）估计间隔时间最多可以设置为21分钟 【解析】
【分析】
（1）根据所给公式计算可得回归方程；
（2）由理想回归方程的定义验证；
（3）直接解不等式1.7 2.338x +≤即可．
【详解】
（1）8101214114x +++==，16192326214
y +++== ()()41
(3)(5)(1)(2)123534i
i i x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯=∑ ()4222221(3)(1)1320i
i x x =-=-+-++=∑
()()()
4
142134ˆ 1.720
i i
i i i x x y y b x x ==--∴===-∑∑ ˆˆ21 1.711 2.3a
y bx ∴=-=-⨯= ˆ 1.7 2.3y
x ∴=+ （2）ˆ 1.7 2.3y
x =+∵ 当16x =时，ˆ 1.716 2.329.5y
=⨯+= 当18x =时，ˆ 1.718 2.332.9y
=⨯+= 29.5290.51||=<-，32.9330.11||=<-
所以判断（1）中的方程ˆ 1.7 2.3y
x =+是“理想回归方程” （3）由1.7 2.338x +≤，得21x ≤
∴估计间隔时间最多可以设置为21分钟
【点睛】
本题考查回归直线方程，解题时直接根据所给公式计算，考查了学生的运算求解能力．
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．6
B ．4
C ．223
D ．203 2．若函数()sin 0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛
⎫
=+>>< ⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示，且在y 轴上的截距为2，,M N 分别是这段图象的最高点和最低点，则ON 在OM 方向上的投影为（ ）
A ．2929
B ．2929-
C ．55-
D ．55
3．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，{}n b 是等比数列，110=>a b ，440a b =>，则下列说法正确的是（ ）
A ．2323a a b b +>+
B ．2323a a b b +<+
C ．2323a a b b +=+
D ．23a a +与23b b +的大小不确定
4．已知ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边分别是a b c 、、，若120,3,8,A b c =︒==则ABC ∆的面积等于( )
A ．6
B ．3
C ．12
D ．1235．如图，在ABC ∆中，PA ⊥面ABC ，AB AC =，D 是BC 的中点，则图中直角三角形的个数是（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
6．当前，我省正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张问题．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为（ ） A ．30
B ．40
C ．20
D ．36
7．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛
⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象过点(0,3)B ，且在,
183
ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调，
同时()f x 的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当1242,(,)33
x x ππ∈--，且12x x ≠时，
()()12f x f x =，则()12f x x +=
A ．3-
B ．1-
C ．1
D 38．已知等比数列{}n a 中，12a =，且有2
4674a a a =，则3a =( )
A ．1
B ．2
C ．
14
D ．
12
9．已知数列}{
n a 满足111n n a a a +==，则10a =（ ） A ．10
B ．20
C ．100
D ．200
10．设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，它的前n 项和为n S ，且1S 、2S 、4S 成等比数列，则3
1
a a 等于（ ） A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
11．若抛物线228x y =上一点00(,)x y 到焦点的距离是该点到x 轴距离的3倍，则0y =（ ） A ．
72
B ．
73
C ．
74
D ．7
12．已知角α的终边过点P(2sin 60°,-2cos 60°),则sin α的值为( ) A 3B ．
12
C ．3
D ．-
12
二、填空题：本题共4小题
13．在等比数列{}n a 中，12010a =，公比1
3
q =
，若()*
12n n
b a a a n N =∈，则n
b
达到最大时n 的
值为____________．
14．已知点(1,2)A -，(2,1)B --，若向量(0,3)AC =，则向量BC =______.
15．若存在实数b 使得关于x 的不等式2
sin (4)sin 132a x a b x a b ++++2sin 4x -恒成立，则实数a 的取值范围是____.
16．某幼儿园对儿童记忆能力的量化评价值x 和识图能力的量化评价值y 进行统计分析，得到如下数据：
x
4 6 8 10 y
3
5
6
8
由表中数据，求得回归直线方程ˆˆˆy
bx a =+中的ˆ0.8b =，则ˆa = ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到下表数据： 单价x （元） 6 7 8 9 10
销量y （件）
55
48
44
38
25
且
5
1
1610i i
i x y
==∑，5
21
330i i x ==∑，
（1）已知y 与x 具有线性相关关系，求出y 关于x 回归直线方程； （2）解释回归直线方程中b 的含义并预测当单价为12元时其销量为多少？ 18．求过点(2,4)且与圆22(1)(2)1x y -+-=相切的直线方程.
19．（6分）已知向量a b ，满足2,()a a a b =⊥-，且向量a 与b 的夹角为60︒. （1）求||b 的值； （2）求(2)()a b a b +⋅-.
20．（6分）已知函数()2sin 214f x x π⎛
⎫
=-
- ⎪⎝
⎭
.求： （1）函数()f x 的最大值、最小值及最小正周期； （2）函数()f x 的单调递增区间.
21．（6分）已知函数(
)
2
()33x
f x a a a =-+是指数函数． (1)求()f x 的表达式；
(2)判断()()()F x f x f x =--的奇偶性，并加以证明 (3)解不等式：log (1)log (2)a a x x ->+．
22．（8分）在ABC ∆中，角A 的平分线交BC 于点D ，ADC ∆是ABD ∆. （I ）求
AC
AB
的值； （II ）若30A =︒，1AB =，求AD 的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 【解析】
该立方体是正方体，切掉一个三棱柱， 所以体积为826-=，故选A 。

点睛：本题考查三视图还原，并求体积。

此类题关键就是三视图的还原，还原过程中，本题采取切割法处理，有图可知，该立方体应该是正方体进行切割产生的，所以我们在画图的过程在，对正方体进行切割比较即可。

2．D 【解析】 【分析】
根据图象求出函数的解析式，然后求出点,M N 的坐标，进而可得所求结果． 【详解】
根据函数()sin (0,0,)2
y A x A π
ωϕωϕ=+>><在一个周期内的图象，可得
1231244T πω
=⋅=-=，∴
4
π
ω=
．
再根据五点法作图可得
14
2
π
π
ϕ⋅+=
，∴4
π
ϕ=
，
∴函数的解析式为sin 4
4y A x π
π⎛⎫=+
⎪⎝⎭．
∵该函数在y
，
∴
sin
4
y A A π
==
=∴2A =， 故函数的解析式为2sin 4
4y x π
π⎛⎫=+
⎪⎝⎭．
∴(1,2),(5,2)M N -， ∴541OM ON ⋅=-=， 又||5OM =
，
∴向量ON 在OM 方向上的投影为
||OM ON OM ⋅==．
故选D ． 【点睛】
解答本题的关键有两个：一是正确求出函数的解析式，进而得到两点的坐标，此处要灵活运用“五点法”求出ϕ的值；二是注意一个向量在另一个向量方向上的投影的概念，属于基础题． 3．A 【解析】 【分析】
设等比数列{}n b 的公比为q ，结合题中条件得出0q >且1q ≠，将1b 、2b 、3b 、4b 用1b 与q 表示，利用因式分解思想以及基本不等式可得出23b b +与14b b +的不等关系，并结合等差数列下标和性质可得出
23a a +与23b b +的大小关系.
【详解】
设等比数列{}n b 的公比为q ，由于等差数列{}n a 是公差不为零，则14a a ≠，从而1q ≠，
且3
4
1
0b q b =
>，得0q >，()2231111b b b q b q b q q +=+=+，
()
()()()()
33214111111111b b b b q b q b q q q b q q +=+=+=+-+>+()11b q q =+，即
1423b b b b +>+，
另一方面，由等差数列的性质可得141423b b a a a a +=+=+，因此，2323a a b b +>+， 故选：A. 【点睛】
本题考查等差数列和等比数列性质的应用，解题的关键在于将等比中的项利用首项和公比表示，并进行因式分解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 4．B 【解析】 【分析】
根据三角的面积公式1
sin 2
S bc A =求解. 【详解】
1113sin 38sin12038632222
S bc A ︒=
=⨯⨯=⨯⨯⨯=，故选B . 【点睛】
本题考查三角形的面积计算.三角形有两个面积公式：1sin 2S bc A =和1
2
a S a h =⋅，选择合适的进行计算. 5．C 【解析】
试题分析：因为PA ⊥面ABC ，所以，则三角形
为直
角三角形，因为
，所以
，所以三角形是直角三角形，易证，所以
面，即
，则三角形
为直角三角形，即共有
7个直角三角形；故选C ． 考点：空间中垂直关系的转化． 6．A 【解析】 【分析】
先求出每个个体被抽到的概率,再由乙社区的低收入家庭数量乘以每个个体被抽到的概率,即可求解 【详解】
每个个体被抽到的概率为
901
3602701809
=++,
乙社区由270户低收入家庭,故应从乙中抽取低收入家庭的户数为1
270309
⨯=, 故选:A 【点睛】
本题考查分层抽样的应用,属于基础题 7．A 【解析】
由题设可知该函数的周期是22T π
πωπ
=⇒=
=，则()()2sin 2f x x ϕ=+过点(0,3B -且2
π
ϕ<
可
得3sin 3
π
ϕϕ=⇒=-，故()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由sin 213x π⎛⎫-=± ⎪⎝⎭可得
()523
2
212k x k x k Z π
π
πππ-
=
+⇒=
+∈，所以由()()12f x f x =可得125
6
x x k ππ+=+，注意到
124
2,,33x x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，故1276x x π+=-，所以(
)1272sin 26
3f x x ππ⎡⎤
⎛⎫+=⨯-
-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，应选答案A
点睛：已知函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式
(1)max min max
min
,22
y y y y A B -+=
=. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω
= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ. 8．A 【解析】
222467574,4a a a a a ==，572a a =，所以2
2311
, 1.2
q a a q =
==选A 9．C 【解析】 【分析】
由题可得数列是以1为首相，1为公差的等差数列，
求出数列的通项公式，进而求出10
100a =
【详解】
因为11a ==
，所以数列
是以1为首项，1为公差的等差数列
()111n n =+-⨯=
10=，则10100a =
【点睛】
本题考查由递推公式证明数列是等差数列以及等差数列的通项公式，属于一般题． 10．A 【解析】 【分析】
设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，根据22
14S S S =得出1a 与d 的等量关系，即可计算出3
1
a a 的值.
【详解】
设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，由于1S 、2S 、4S 成等比数列，则有2
214S S S =，
所以，()()2
111246a d a a d +=+，化简得12d a =，因此，311
111
255a a d a a a a +=
==. 故选：A. 【点睛】
本题考查等差数列前n 项和中基本量的计算，解题的关键就是结合题意得出首项与公差的等量关系，考查
计算能力，属于基础题. 11．A 【解析】
由题意，焦点坐标()0,7，所以0037y y =+，解得07
2
y =，故选A 。

12．D 【解析】 【分析】
利用特殊角的三角函数值得出P 点的坐标，然后利用正弦的定义，求得sin α的值. 【详解】
依题意可知)
1P -，所以
1
sin 2y r
α=
==-
，故选D.
【点睛】
本小题主要考查三角函数的定义，考查特殊角的三角函数值，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题 13．7 【解析】 【分析】
利用671670201013243a ⎛⎫=⨯=> ⎪⎝⎭，7
81670
201013729
a ⎛⎫=⨯=< ⎪⎝⎭得n 的值
【详解】
因为671670201013243a ⎛⎫=⨯=> ⎪⎝⎭，7
81670
201013729
a ⎛⎫=⨯=< ⎪⎝⎭，所以n 为7.
故答案为：7 【点睛】
本题考查等比数列的项的性质及单调性，找到与1的分界是关键，是基础题 14．(3,2) 【解析】 【分析】
通过向量的加减运算即可得到答案. 【详解】
()()()2,11,23,1AB =----=-，()()()0,33,13,2BC AC AB ∴=-=--=.
【点睛】
本题主要考查向量的基本运算，难度很小.
15．[]1,1- 【解析】 【分析】
先求得2sin x +的取值范围，将题目所给不等式转化为含2sin x +的绝对值不等式，对a 分成
0,0,0a a a =><三种情况，结合绝对值不等式的解法和不等式恒成立的思想，求得a 的取值范围.
【详解】
由于[]2sin 1,3x +∈，故2
sin (4)sin 132a x a b x a b ++++2sin 4x -≤可化简得
()92sin 22sin a
a x
b x
++
+≤+恒成立.
当0a =时，显然成立. 当0a >时，可得()[]92sin 6,102sin a a x a a x ++
∈+， ()922sin 22sin a
b a x b x
--≤++≤-+，可得
26b a --≤且210b a -≥，可得26210a b a --≤≤-，即26210a a --≤-，解得01a <≤.
当0a <时，可得()[]92sin 10,62sin a
a x a a x
++
∈+，可得210b a --≤且26b a -≥，可得
21026a b a --≤≤-，即21026a a --≤-，解得10a -≤<.综上所述，a 的取值范围是[]1,1-.
【点睛】
本小题主要考查三角函数的值域，考查含有绝对值不等式恒成立问题，考查存在性问题的求解策略，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 16．-0.1 【解析】 【分析】
分别求出x 和y 的均值，代入线性回归方程即可． 【详解】
由表中数据易得7x =， 5.5y =，由(,)x y 在直线方程ˆˆ0.8y
x a =+上，可得ˆ0.1a =- 【点睛】
此题考查线性回归方程形式，表示(,)x y 在回归直线上代入即可，属于简单题目． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17． (1) 798y x =-+； (2) 销量为14件. 【解析】 【分析】
（1）利用最小二乘法的公式求得ˆb
与ˆa 的值，即可求出线性回归方程；
（2）7b =-的含义是单价每增加1元，该产品的销量将减少7件；在（1）中求得的回归方程中，取12x =求得y 值，即可得到单价为12元时的销量． 【详解】
（1）由题意得：()1
67891085
x =
++++=， ()1
5548443825425
y =
++++=， 2
16105842ˆ733058b -⨯⨯==--⨯∴，()ˆ427898a =--⨯=， y ∴关于x 回归直线方程为798y x =-+；
（2）7b =-的含义是单价每增加1元，该产品的销量将减少7件； 当12x =时，7129814y =-⨯+=， 即当单价为12元时预测其销量为14件. 【点睛】
本题主要考查线性回归方程的求法—最小二乘法，以及利用线性回归方程进行预测估计。

18．直线方程为34100x y -+=或2x = 【解析】 【分析】
当直线的斜率不存在时，直线方程为2x =，满足题意，当直线的斜率存在时，设出直线的方程，由圆心到直线的距离等于半径，可解出k 的值，从而求出方程。

【详解】
当直线的斜率不存在时，直线方程为2x =，经检验，满足题意.
当直线的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=-，即420kx y k -+-=，
1=，
可解得34
k =
. 即直线为34100x y -+=.
综上，所求直线方程为34100x y -+=或2x =. 【点睛】
本题考查了圆的切线的求法，考查了直线的方程，考查了点到直线的距离公式，属于基础题。

19．（1）||4b =（2）12- 【解析】 【分析】。