人教版数学高一课时作业平面向量基本定理 (2)

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§2.2 向量的分解与向量的坐标运算
2.2.1 平面向量基本定理
一、选择题
1.设e 1,e 2是平面内所有向量的一组基底,则下列四组向量中,不能作为基底的是( ) A.e 1+e 2和e 1-e 2 B.3e 1-4e 2和6e 1-8e 2 C.e 1+2e 2和2e 1+e 2 D.e 1和e 1+e 2
2.如图所示,用向量e 1,e 2表示向量a -b 为( )
A.-4e 1-2e 2
B.-2e 1-4e 2
C.e 1-3e 2
D.3e 1-e 2
3.设向量e 1和e 2是某一平面内所有向量的一组基底,若3x e 1+(10-y )e 2=(4y -7)e 1+2x e 2,则实数y 的值为( )
A.3
B.4
C.-14
D.-3
4
4.若OP →1=a ,OP →2=b ,P 1P →=λPP →2(λ≠-1),则OP →
等于( ) A.a +λb B.λa +(1-λ)b C.λa +b
D.11+λa +λ1+λ
b 5.若点D 在三角形ABC 的边BC 上,且CD →=4DB →=rAB →+sAC →
,则3r +s 的值为( ) A.165 B.125 C.85 D.45
6.在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O ,点E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →=a ,BD →=b ,则AF →
等于( ) A.14a +12
b B.12a +14
b
C.23a +13b
D.12a +23
b 7.已知A ,B ,C 是平面上不共线的三点,O 是△ABC 的重心,动点P 满足O P →=13(12OA →+12
OB

+2OC →
),则点P 一定为( ) A.AB 边中线的中点
B.AB 边中线的三等分点(非重心)
C.△ABC 的重心
D.AB 边的中点 二、填空题
8.已知e 1,e 2不共线,a =e 1+2e 2,b =2e 1+λe 2,要使a ,b 能作为平面内的一组基底,则实数λ的取值范围为______________.
9.如图,在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是边CD 和BC 的中点,若AC →=λAE →+μAF →
,其中λ,μ∈R ,则λ+μ=________.
三、解答题
10.判断下列命题的正误,并说明理由:
(1)若a e 1+b e 2=c e 1+d e 2(a 、b 、c 、d ∈R ),则a =c ,b =d ;
(2)若e 1和e 2是表示平面内所有向量的一组基底,那么该平面内的任一向量可以用e 1+e 2、e 1-e 2表示出来.
11.如图,平面内有三个向量OA →,OB →,OC →.其中OA →与OB →的夹角为120°,OA →与OC →
的夹角为30°,且|OA →|=|OB →|=1,|OC →|=23,若OC →=λOA →+μOB →
(λ,μ∈R ),求λ+μ的值.
12.在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,M ,N 分别是DA ,BC 的中点,且DC AB =k .设AD →=e 1,AB →
=e 2,
以e 1,e 2为基底表示向量DC →,BC →,MN →
.
13.如图,平行四边形ABCD 中,AB →=a ,AD →
=b ,H ,M 是AD ,DC 的中点,BF =13BC ,以
a ,
b 为基底表示向量AM →与HF →
.
四、探究与拓展
14.A ,B ,C 是圆O 上不同的三点,线段CO 与线段AB 交于点D ,若OC →=λOA →+μOB →
(λ∈R ,μ∈R ),则λ+μ的取值范围是________.
15.如图,在△ABC 中,AD 为三角形BC 边上的中线且AE =2EC ,BE 交AD 于点G ,求AG
GD 及
BG
GE 的值.
答案精析
1.B 2.C 3.B 4.D 5.C 6.C 7.B 8.(-∞,4)∪(4,+∞) 9.4
3
10.解 (1)错,当e 1与e 2共线时,结论不一定成立.
(2)正确,假设e 1+e 2与e 1-e 2共线,则存在实数λ,使e 1+e 2=λ(e 1-e 2),即(1-λ)e 1=-(1+λ)e 2.
因为1-λ与1+λ不同时为0,
所以e 1与e 2共线,这与e 1,e 2不共线矛盾.所以e 1+e 2与e 1-e 2不共线,即它们可以作为基底,该平面内的任一向量可以用e 1+e 2、e 1-e 2表示出来.
11.解 如图,以OA ,OB 所在射线为邻边,OC 为对角线作平行四边形ODCE ,则OC →=OD →
+OE →.
在Rt △OCD 中,∵|OC →
|=23, ∠COD =30°,∠OCD =90°, ∴|OD →|=4,|CD →|=2,故OD →=4OA →, OE →=2OB →
,即λ=4,μ=2,∴λ+μ=6. 12.解 如图所示,
∵AB →
=e 2,且DC AB =k ,
∴DC →=kAB →
=k e 2.
又∵AB →+BC →+CD →+DA →
=0,
∴BC →=-AB →-CD →-DA →=-AB →+DC →+AD →
=e 1+(k -1)e 2.
又∵MN →+NB →+BA →+AM →
=0, 且NB →
=-12BC →,AM →=12
AD →,
∴MN →=-AM →-BA →-NB →
=-12AD →+AB →+12BC →=k +12e 2.
13.解 ∵平行四边形ABCD 中,
AB →=a ,AD →
=b ,H ,M 是AD ,DC 的中点,BF =13BC ,
∴AM →=AD →+DM →=AD →+12DC →
=AD →+12AB →
=b +12a ,
HF →=AF →-AH →=AB →+BF →-12AD →
=a +13b -12b =a -16b .
14.(1,+∞) 15.解 设
AG GD =λ,BG
GE
=μ. ∵BD →=DC →,即AD →-AB →=AC →-AD →
, ∴AD →=12(AB →+AC →).
又∵AG →=λGD →=λ(AD →-AG →), ∴AG →
=λ1+λAD →

λ
2(1+λ)AB →
+λ2(1+λ)AC →.
又∵BG →=μGE →,
即AG →-AB →=μ(AE →-AG →), ∴(1+μ)AG →=AB →+μAE →
, AG →
=11+μAB →+μ1+μAE →.
又AE →=23
AC →,
∴AG →
=11+μAB →+2μ3(1+μ)AC →.
∵AB →,AC →
不共线,
∴⎩⎪⎨⎪⎧
λ
2(1+λ)=1
1+μ

λ2(1+λ)=2μ
3(1+μ)

解得⎩⎪⎨⎪⎧
λ=4,
μ=32.

AG GD =4,BG GE =32
.。

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