人教版数学高一课时作业平面向量基本定理 (2)

§2.2 向量的分解与向量的坐标运算
2.2.1 平面向量基本定理
一、选择题
1.设e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( ) A.e 1＋e 2和e 1－e 2 B.3e 1－4e 2和6e 1－8e 2 C.e 1＋2e 2和2e 1＋e 2 D.e 1和e 1＋e 2
2.如图所示，用向量e 1，e 2表示向量a －b 为( )
A.－4e 1－2e 2
B.－2e 1－4e 2
C.e 1－3e 2
D.3e 1－e 2
3.设向量e 1和e 2是某一平面内所有向量的一组基底，若3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2，则实数y 的值为( )
A.3
B.4
C.－14
D.－3
4
4.若OP →1＝a ，OP →2＝b ，P 1P →＝λPP →2(λ≠－1)，则OP →
等于( ) A.a ＋λb B.λa ＋(1－λ)b C.λa ＋b
D.11＋λa ＋λ1＋λ
b 5.若点D 在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →
，则3r ＋s 的值为( ) A.165 B.125 C.85 D.45
6.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，点E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →
等于( ) A.14a ＋12
b B.12a ＋14
b
C.23a ＋13b
D.12a ＋23
b 7.已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足O P →＝13(12OA →＋12
OB
→
＋2OC →
)，则点P 一定为( ) A.AB 边中线的中点
B.AB 边中线的三等分点(非重心)
C.△ABC 的重心
D.AB 边的中点 二、填空题
8.已知e 1，e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，要使a ，b 能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为______________.
9.如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →
，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.
三、解答题
10.判断下列命题的正误，并说明理由：
(1)若a e 1＋b e 2＝c e 1＋d e 2(a 、b 、c 、d ∈R )，则a ＝c ，b ＝d ；
(2)若e 1和e 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e 1＋e 2、e 1－e 2表示出来.
11.如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →.其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →
的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →
(λ，μ∈R )，求λ＋μ的值.
12.在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DC AB ＝k .设AD →＝e 1，AB →
＝e 2，
以e 1，e 2为基底表示向量DC →，BC →，MN →
.
13.如图，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →
＝b ，H ，M 是AD ，DC 的中点，BF ＝13BC ，以
a ，
b 为基底表示向量AM →与HF →
.
四、探究与拓展
14.A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →
(λ∈R ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________.
15.如图，在△ABC 中，AD 为三角形BC 边上的中线且AE ＝2EC ，BE 交AD 于点G ，求AG
GD 及
BG
GE 的值.
答案精析
1．B 2.C 3.B 4.D 5.C 6.C 7.B 8.(－∞，4)∪(4，＋∞) 9.4
3
10．解 (1)错，当e 1与e 2共线时，结论不一定成立．
(2)正确，假设e 1＋e 2与e 1－e 2共线，则存在实数λ，使e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，即(1－λ)e 1＝－(1＋λ)e 2.
因为1－λ与1＋λ不同时为0，
所以e 1与e 2共线，这与e 1，e 2不共线矛盾．所以e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，即它们可以作为基底，该平面内的任一向量可以用e 1＋e 2、e 1－e 2表示出来．
11．解 如图，以OA ，OB 所在射线为邻边，OC 为对角线作平行四边形ODCE ，则OC →＝OD →
＋OE →.
在Rt △OCD 中，∵|OC →
|＝23， ∠COD ＝30°，∠OCD ＝90°， ∴|OD →|＝4，|CD →|＝2，故OD →＝4OA →， OE →＝2OB →
，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6. 12．解 如图所示，
∵AB →
＝e 2，且DC AB ＝k ，
∴DC →＝kAB →
＝k e 2.
又∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →
＝0，
∴BC →＝－AB →－CD →－DA →＝－AB →＋DC →＋AD →
＝e 1＋(k －1)e 2.
又∵MN →＋NB →＋BA →＋AM →
＝0， 且NB →
＝－12BC →，AM →＝12
AD →，
∴MN →＝－AM →－BA →－NB →
＝－12AD →＋AB →＋12BC →＝k ＋12e 2.
13．解 ∵平行四边形ABCD 中，
AB →＝a ，AD →
＝b ，H ，M 是AD ，DC 的中点，BF ＝13BC ，
∴AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12DC →
＝AD →＋12AB →
＝b ＋12a ，
HF →＝AF →－AH →＝AB →＋BF →－12AD →
＝a ＋13b －12b ＝a －16b .
14．(1，＋∞) 15．解 设
AG GD ＝λ，BG
GE
＝μ. ∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →
， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)．
又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)， ∴AG →
＝λ1＋λAD →
＝
λ
2(1＋λ)AB →
＋λ2(1＋λ)AC →.
又∵BG →＝μGE →，
即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →)， ∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →
， AG →
＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →.
又AE →＝23
AC →，
∴AG →
＝11＋μAB →＋2μ3(1＋μ)AC →.
∵AB →，AC →
不共线，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
λ
2(1＋λ)＝1
1＋μ
，
λ2(1＋λ)＝2μ
3(1＋μ)
，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝4，
μ＝32.
∴
AG GD ＝4，BG GE ＝32
.。