高中数学第二册(上)6.2 算术平均数与几何平均数(2)

一．课题：算术平均数几何平均数〔2〕
二．教学目标：会运用均值不等式求某些函数的最值，求最大值时注意一正二定三相等.
三．教学重、难点：均值不等式的灵活运用.
四．教学过程：
〔一〕复习：均值定理.
〔二〕新课讲解：
例1．y x ,都是正数，求证：
①如果积xy 是定值p ，那么当y x =时，和y x +有最小值p 2；
②如果和y x +是定值s ，那么当y x =时，积xy 有最大值
241s ． 证明：∵+∈R y x ,， ∴xy y x ≥+2
， ①当xy p = (定值)时，p y x ≥+2
∴y x +p 2≥， ∵上式当y x =时取“=〞， ∴当y x =时有=+min )(y x p 2；
②当s y x =+ (定值)时，2s xy ≤∴24
1s xy ≤， ∵上式当y x =时取“=〞 ∴当y x =时有2max 4
1)(s xy =． 说明：①最值的含义〔“≥〞取最小值，“≤〞取最大值〕；
②用极值定理求最值的必须具备的三个条件：一“正〞、二“定〞、三“相等〞.
例2．〔1〕求 lg log 10x x +)1(>x 的最值，并求取最值时的x 的值.
解：∵1>x ∴0lg >x 010log >x 于是210lg lg 210log lg =≥+x x x x ，
当且仅当lg log 10x x =，即10x =时，等号成立，
∴lg log 10x x +)1(>x 的最小值是2，此时10x =．
〔2〕假设上题改成10<<x ，结果将如何？
解：∵10<<x 0lg <x 010log <x
于是2)10log ()lg (≥-+-x x ，
从而210log lg -≤+x x ，
∴lg log 10x x +(01)x <<的最大值是2-，此时110
x =
． 例3．假设1->x ，那么x 为何值时1
1++
x x 有最小值，最小值为多少？ 解：∵1->x ， ∴01>+x ， ∴01
1>+x ， ∴1
1++x x =112111)1(21111=-=-+⋅+≥-+++x x x x ， 当且仅当111+=+x x 即0=x 时1)11(min =++x x ．
例4．0a b >>，求216()
a b a b +-的最小值．
解：由0a b >>知，0a b ->，
∴2
2
2()()24
b a b a b a b +--=≤=，
∴216()
a b a b +-226416a a ≥+≥=， 上式中两个“≥〞号中的等号当且仅当2264,a b a b a
==-都成立，
即当a b ==时，216()a b a b +-取得最小值16．
五．课堂练习：
〔1〕假设1,0,0a b a b +=>>，求ab 的最值.
〔2〕以下函数中，最小值是2的是 〔 〕
()A 1y x x =+
()B sin csc y x x =+，(0,)2
x π∈ ()C 2
y =()D 2y = 〔3〕101,01,9x y xy <<<<=，求1133log log x y ⋅的最大值，并求相应的,x y 值.
六．小结：利用均值不等式求函数的最值时要注意一“正〞、二“定〞、三“相等〞.
七．作业：
补充：1．0x >，求423x x --
的最大值，并求相应的x 值. 2．02
π
θ<<，求tan cot θθ+的最小值，并求相应的θ值.
3．02x <<，求函数()f x x 值.
4．,,3a b R a b ∈+=，求22a b +的最小值，并求相应的,a b 值. 5．0,0,31,x y x y >>+=求
11x y
+的最小值，并求相应的,x y 值. 6．1x >，求函数21161x y x x x =+++的最小值，并求相应的x 值.。