高中数学第二册(上)6.2 算术平均数与几何平均数(2)
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一.课题:算术平均数几何平均数〔2〕
二.教学目标:会运用均值不等式求某些函数的最值,求最大值时注意一正二定三相等.
三.教学重、难点:均值不等式的灵活运用.
四.教学过程:
〔一〕复习:均值定理.
〔二〕新课讲解:
例1.y x ,都是正数,求证:
①如果积xy 是定值p ,那么当y x =时,和y x +有最小值p 2;
②如果和y x +是定值s ,那么当y x =时,积xy 有最大值
241s . 证明:∵+∈R y x ,, ∴xy y x ≥+2
, ①当xy p = (定值)时,p y x ≥+2
∴y x +p 2≥, ∵上式当y x =时取“=〞, ∴当y x =时有=+min )(y x p 2;
②当s y x =+ (定值)时,2s xy ≤∴24
1s xy ≤, ∵上式当y x =时取“=〞 ∴当y x =时有2max 4
1)(s xy =. 说明:①最值的含义〔“≥〞取最小值,“≤〞取最大值〕;
②用极值定理求最值的必须具备的三个条件:一“正〞、二“定〞、三“相等〞.
例2.〔1〕求 lg log 10x x +)1(>x 的最值,并求取最值时的x 的值.
解:∵1>x ∴0lg >x 010log >x 于是210lg lg 210log lg =≥+x x x x ,
当且仅当lg log 10x x =,即10x =时,等号成立,
∴lg log 10x x +)1(>x 的最小值是2,此时10x =.
〔2〕假设上题改成10<<x ,结果将如何?
解:∵10<<x 0lg <x 010log <x
于是2)10log ()lg (≥-+-x x ,
从而210log lg -≤+x x ,
∴lg log 10x x +(01)x <<的最大值是2-,此时110
x =
. 例3.假设1->x ,那么x 为何值时1
1++
x x 有最小值,最小值为多少? 解:∵1->x , ∴01>+x , ∴01
1>+x , ∴1
1++x x =112111)1(21111=-=-+⋅+≥-+++x x x x , 当且仅当111+=+x x 即0=x 时1)11(min =++x x .
例4.0a b >>,求216()
a b a b +-的最小值.
解:由0a b >>知,0a b ->,
∴2
2
2()()24
b a b a b a b +--=≤=,
∴216()
a b a b +-226416a a ≥+≥=, 上式中两个“≥〞号中的等号当且仅当2264,a b a b a
==-都成立,
即当a b ==时,216()a b a b +-取得最小值16.
五.课堂练习:
〔1〕假设1,0,0a b a b +=>>,求ab 的最值.
〔2〕以下函数中,最小值是2的是 〔 〕
()A 1y x x =+
()B sin csc y x x =+,(0,)2
x π∈ ()C 2
y =()D 2y = 〔3〕101,01,9x y xy <<<<=,求1133log log x y ⋅的最大值,并求相应的,x y 值.
六.小结:利用均值不等式求函数的最值时要注意一“正〞、二“定〞、三“相等〞.
七.作业:
补充:1.0x >,求423x x --
的最大值,并求相应的x 值. 2.02
π
θ<<,求tan cot θθ+的最小值,并求相应的θ值.
3.02x <<,求函数()f x x 值.
4.,,3a b R a b ∈+=,求22a b +的最小值,并求相应的,a b 值. 5.0,0,31,x y x y >>+=求
11x y
+的最小值,并求相应的,x y 值. 6.1x >,求函数21161x y x x x =+++的最小值,并求相应的x 值.。