第四章 回归分析new

第四章 回归分析
4.4 某建材实验室再作陶粒混凝土强度试验中，考察每立方米混凝土的水泥用量x （kg ）对28天后的混凝土抗压强度y(3/kg cm )的影响，测得如下数据
（1）求y 对x 的线性回归方程，并问：每立方米混凝土中增加1公斤水泥时，可提高的抗压强度是多少？ （2）检验线性回归方程效果的显著性（0.05α=）； （3）求回归系数1β的区间估计（10.95α-=）； （4）求022.5()x kg =时，0y 的预测值及预测区间。

解：
1.计算结果 （1）
一元线性回归模型：只有一个解释变量
01Y X ββε=++
Y 为被解释变量，X 为解释变量，0β与1β为待估参数， ε为随机干扰项。

用普通最小二乘法（Ordinary least squares, OLS ）估计0β和1β
记
上述参数估计量可以写成： ()22221
)(∑∑∑∑-
=-=i i i i
X n X X X x
22010111(,)()n n i i i i i Q Q Y X ββεββ=====--∑∑最小
1
0101,ˆˆ(,)min (,)Q Q ββ
ββββ=即，∑∑∑∑∑-=--=i i i i i i i i Y X n
Y X Y Y X X y x 1))((
()()()
()()12
2
221150*56.9260*89.715026056.989.712
0.304
115026015026012
i i
i x y x β∧
++-++++==
=++-++∑
∑ ()0111
(56.989.7)0.304**15026010.2831212
Y X ββ∧
∧
=-=
++-++= 所以求得的回归方程为：y=10.283+0.304x ，即 x 每增加一个
单位，y 相应提高0.304 （2）
回归方程的显著性检验： 总体平方和,简记为S 总或Lyy
回归平方和,记为S 回或U
残差平方和,记为S 残或Qe
SST=SSE(Qe)+SSR(U)
对总体参数1β提出假设
H0： β1=0， H1：β1≠0
因为
所以，拒绝原假设。

T 检验：
22
=2.393/(12-2)=0.239
i
e σ
∧=
=∑
0.9750.975(2)(10) 2.2281t n t -==
因为|t|>2.2281,所以拒绝原假设，即1β对方程有显著影响。

线性关系的显著性检验：
2ˆ22-=∑n e
i σ
22()1323.820
i i SST y Y Y ==-=∑∑22ˆˆ()1321.427i i
SSR y Y Y ==-=∑∑22ˆ() 2.393i i i
SSE e Y Y ==-=∑∑0.95(1,10) 1.49
F F >=
代入数据得：r=0.999
拒绝原假设，即X 与Y 有显著的线性相关关系
对总体参数0β提出假设
H0： β0=0， H1：β0≠0
因为|t|>2.2281,所以拒绝原假设，即0β对方程有显著影响 (3)
回归系数的区间估计，构造统计量
11(2)e t n ββσ∧
∧
--
(1-α)的置信度下, 1β的置信区间是
得出：β1的95%的置信区间为[-0.295，-0.313]。

（4）
求预测值
代入数据计算得： 当x=22.5时，
y=17.123
0ˆˆˆ12.092t S ββ===0
1
ˆˆˆ估计值：Y X ββ=+00010
ˆ()()E Y E Y X ββ==
+()()XY n
i i L r X X Y Y ρ=--=
∑＝10.05
0.999(2)(10)0.6581
r r n r α-=>-=
=221011ˆˆ((2)/(2)/e e t n t n ααβσβσ∧∧----+-
求预测区间
构造统计量
其中：
从而在1-α的置信度下， Y0的置信区间为
代入数据计算得：
95%置信度的预测区间为 [15.43 18.815 ]
(2)SPSS 软件运行结果： 根据数据的散点图为：
相关检验：
模型摘要
02
02ˆ000ˆ0ˆˆY Y Y Y S t Y Y S t Y --⨯+<<⨯-αα))(11(ˆ2
2
02
ˆ0
∑-++=-i
Y
Y x X X n S σ)
2(~ˆ0
ˆ0
0--=-n t S Y Y t Y
Y )))(11(,0(~ˆ2
2
02
00∑-++-i
x X X n N Y Y σ)
,(~2
0100σββX N Y +)))(1(,(~ˆ22020100∑-++i
x X X n X N Y σββ
b 因变量: y
由上表可以看出相关系数R 接近于1，y 和x 的线性关系显著。

方差分析表
b 因变量: y
由方差分析表可见，F 值很大，伴随概率p 很小，说明回归方程通过F 检验，及回归方程非常显著 =2.393/（12-2）=0.239
2
ˆ22
-=
∑n e i
σ
a 因变量: y
（1）y对x的线性回归方程，由上图可得回归方程：
y=10.28+0.304x。

p很小，通过T检验。

说明x对y有显著影响。

X增加一个单位y相应提高0.304。

（2）回归方程效果的显著性，以上的R检验、F检验和t检验，已证明。

（3）β1的95%的置信区间为[-0.295，-0.313]。

（4）计算后的数值表：
x y 预测值预测值
误差
预测值
均数的
标准误
差
预测下
限
预测上
限
150 56.9 55.881 1.019 0.266 55.289 56.473
160 58.3 58.921 -0.621 0.232 58.404 59.438
170 61.6 61.96 -0.36 0.201 61.512 62.409
180 64.6 65 -0.4 0.174 64.612 65.389
190 68.1 68.04 0.06 0.154 67.697 68.383
200 71.3 71.08 0.22 0.143 70.762 71.398
210 74.1 74.12 -0.02 0.143 73.802 74.438
220 77.4 77.16 0.24 0.154 76.817 77.503
230 80.2 80.2 0 0.174 79.811 80.588
240 82.6 83.24 -0.64 0.201 82.791 83.688
250 86.4 86.279 0.121 0.232 85.762 86.796
260 89.7 89.319 0.381 0.266 88.727 89.911
22.5 .17.123 .0.76 15.43 18.815
从上表查得，当x=22.5时，y=17.123
95%置信度的预测区间为[15.43 18.815 ]
4.5假设x是一可控变量，y是一随机变量，服从正态分布，
(1) 并求2()D y σ=的无偏估计；
(2) 求回归系数201,0.95ββσ和的置信区间；
(3) 检验x 和y 之间的线性回归方程是否显著（0.05α=）； (4) 求y 的0.95预测区间；
(5)
为了把观测值y 限制在区间（1.08，1.68），需要把x 的值限制在和范围之内？（0.05α=） 解：
1.计算过程及结果
（1）一元线性回归模型：只有一个解释变量
01Y X ββε=++
Y 为被解释变量，X 为解释变量，0β与1β为待估参数， ε为随机干扰项。

用普通最小二乘法（Ordinary least squares, OLS ）估计0β和1β
记
上述参数估计量可以写成：
带入数字得：
()22221
)(∑∑∑∑-
=-=i i i i X n X X X x 22010111(,)()n n i i i i i Q Q Y X ββεββ=====--∑∑最小
1
0101,ˆˆ(,)min (,)Q Q ββ
ββββ=即，∑∑∑∑∑-=--=i
i i i i i i i Y
X n Y X Y Y X X y x 1))((
()()()()()
12
2
221
0.25*2.57 1.00*1.000.25 1.00 2.57 1.0017 2.070
10.25 1.000.25 1.0017i i
i x y x β∧
++-
++++==
=-++-++∑
∑ ()0111
(2.57 1.00)( 2.070)**0.25 1.00 3.0331217
Y X ββ∧
∧
=-=
++--++= 所以求得的回归方程为：y=3.033-2.070x
可以证明，2σ的最小二乘估计量为
它是关于2σ的无偏估计量，也称为剩余方差（残差的方差）。

代入数据得：
22
0.030
0.0022
172
i
e n σ
∧=
=
=--∑ （2）
由
(2)t n ∧
-
11(2)/e t n ββσ∧
∧
--
于是得到:(1-α)的置信度下的置信区间是
再由22(2)e Q n χσ
- ，还可得2σ的置信水平为1α-的置信区间
22122,(2)(2)e e Q Q n n αα
χχ-⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥--⎢⎥⎣⎦
这里,
220.9750.250.97517,(15)27.488,(15) 6.262,(15) 2.1315n t χχ====
代入数据得到，
2ˆ22
-=
∑n e i
σ
22ˆ()0.030e i i i
Q e Y Y ==-=∑
∑2
2
0011ˆˆ((2)(2)e e t n t n αα
βσβσ∧∧
--
--+-
1011ˆˆ((2)/(2)/e e t n t n ααβσβσ∧∧
----+-
β0的95%的置信区间为[2.951，3.116]； β1的95%的置信区间为[-2.183，-1.957]； 2σ的95%的置信区间为
[Qe/X 21-α/2(n-2),Qe/X 2α/2(n-2)]=[0.03/27.488,0.03/6.262]=[0.0011,0.0048]
（3）
回归方程的显著性检验： 总体平方和,简记为S 总或Lyy
回归平方和,记为S 回或U
残差平方和,记为S 残或Qe
SST=SSE(Qe)+SSR(U)
对总体参数1β提出假设
H0： β1=0， H1：β1≠0
因为
所以，拒绝原假设。

T 检验：
22
0.002
i
e σ
∧=
=∑
0.9750.975(2)(15) 2.1315t n t -==
因为|t|>2.1315,所以拒绝原假设，即1
β对方程有显著影响。

线性关系的显著性检验：
2ˆ22-=∑n
e
i σ
22() 3.069
i i SST y Y Y ==-=∑∑22ˆˆ() 3.039i i
SSR y Y Y ==-=∑∑22ˆ()0.030i i i
SSE e Y Y ==-=∑∑0.95(1,15) 1.43
F F >=()()
XY n
i i L r X X Y Y ρ=
--=
∑＝
代入数据得：r=0.995
拒绝原假设，即X 与Y 有显著的线性相关关系
对总体参数0β提出假设
H0： β0=0， H1：β0≠0
因为|t|>2.1315,所以拒绝原假设，即0β对方程有显著影响
（4）
12
()(y (),()e x t n x x αδσαδδ∧
-∧∧
=-⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦
从而得到的置信水平为1-的预测区间为y y
其中
12
()(0.0445 2.13150.1125e x t n α
δσ-=-=⨯=
（5）因
0ˆˆˆ78.354t S ββ===10.05
0.995(2)(15)0.4821
r r n r α-=>-==
011
2
011
2
1
()1
()
e e x y u
x y u
α
α
σββσββ∧
∧
-
∧
∧
-
''=+-''''=
+-
代入数据得
(
)()
(
)
()
0121
012111
1.68 1.96 3.0330.6115
2.070
11 1.08 1.96 3.0330.9013
2.070
e e x y u x y u α
ασββσββ--'''=--=+-=-'''=+-=+-=-
2.SPSS 软件运行结果 根据数据得到散点图：
由上图可知，x 与y 基本成线性关系。

建立线性模型，进行相关检验：
模型摘要
a 自变量： x
由上表可以看出相关系数R 接近于1，y 和x 的线性关系显著。

由上图可得回归方程：y=3.033+(-2.070)x 。

p 很小，通过T 检验。

说明x 对y 有显著影响。

方差分析表
b 因变量: y
由方差分析表可见，F 值很大，伴随概率sig.p 很小，说明回归方程通过F 检验，及回归方程非常显著
22
0.030
0.0022
172
i
e n σ
∧=
=
=--∑ （2）
线性回归分析的系数
a.因变量：y
由上表可以看出β0的95%的置信区间为[2.951，3.116]；β1的95%的置信区间为[-2.183，-1.957]；σ2的置信区间为[Qe/X 21-α/2(n-2),
Qe/X 2α/2(n-2)]=[0.030/27.488,0.030/6.262]=[0.0011,0.0048]
（3）回归方程的显著性已在（1）中证明。

（4）
由上表可以得到标准差为0.21056，
可以得到L xx =n σx 2=17*(0.21056)2=0.7103，
17
2
1
0.702917
i
i x
x ==
=∑
12()(0.0445 2.13150.1125e x t n αδσ-=-=⨯=
y 的置信度为
95%预测区间为[ (),()y x y x δδ∧∧
-+]
4.7某种商品的需求量y,消费者的平均收入1x 以及商品的价
格
x 1x 2x 解：
线性回归分析的系数
a.因变量：商品的需求y
由上图可知 012
111.692,0.014,7.188βββ===-，得到回归方程： 0121212
111.6920.0147.188y x x x x βββ=++=+-。

则由后退法，删除第一个变量，得到线性回归分析的系数表
如下：
线性回归分析的系数
a.因变量：商品的需求y
得到回归方程： 0222
140.00010.000y x x ββ=+=-。