泉州市2022届高三监测(二)数学试题

泉州市2022届高中毕业班质量监测（二）
2022.01
高三数学
本试卷共22题，满分150分，共6页．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．已知集合{1M x x =≤-或}1≥x ，{}31=-<<N x x ，则=
M N A ．{}31-<≤-x x B ．{}31-<<-x x C ．R
D ．{}
31x x -≤≤2．若1i =++z a a (∈R a ，i 是虚数单位）是纯虚数，则|i (1)|z ⋅+ =
A ．1
B
C
D ．2
3．已知2
332
log 233
a b c ===，，则
A ．b c a <<
B ．a b c <<
C ．a c b <<
D ．b a c
<<4．已知π3
cos()45
α-=-，则sin 2α=
A ．
2425
B ．
725
C ．725
-
D ．2425
-
5．抛物线具有如下光学性质：从焦点发出的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于
抛物线的对称轴．生活中的探照灯就是利用这个原理设计的．已知F 是抛物线:C 24y x =的焦点，从F 发出的光线经C 上的点M
反射后经过点(4，，则FM =A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
保密★使用前
6．若正实数x y ，满足
1
2y x
+=，则4x y +的最小值是
A ．4
B ．
9
2
C ．5
D ．9
7．四边形ABCD 为梯形，且2=AB DC uuu r uuu r ，||||2DC DA = =uuu r uuu r ，π
3
∠=DAB ，点P 是四边形ABCD 内
及其边界上的点．若()()4AP DP PB BA -⋅+=-uuu r uuu r uur uur
，则点P 的轨迹的长度是
A ．
B ．
C ．4π
D ．16π
8．已知函数()x f x ax =-e ，(1 )x ∀∈+∞，
，()ln f x a x a x <+-e ，则实数a 的取值范围是A ．(1)-∞ ，B ．(1]-∞ ，C ．()-∞e ，D ．(]
-∞e ，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．设等差数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，且15a =-，39S =-，则
A ．2
d =B ．246S S S ，，为等差数列C ．数列{}
2n a 是等比数列D ．3S 是n S 的最小值
10．函数2||
()x f x x a
=
+的大致图象可能．．是
A ．
B ．
C ．
D ．
11．将函数()cos 2=f x x 的图象向左平移
4
π
个单位，得到函数()g x 的图象，则A ．函数()()⋅f x g x 是奇函数
B ．函数()()⋅f x g x 的图象关于直线π
8
=-x 对称C ．函数()()-f x g x 的最小正周期为
π2
D ．函数()()f x g x -在(0π)，上的单调递减区间是π5π 88⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，12．在矩形ABCD 中（如图1）
，22AD AB ==，(01)BE BC λλ=<≤
．将BAE △沿AE 折起得到以1B 为顶点的锥体（如图2），若记侧棱1B D 的中点为P ，则以下判断正确的是
图1
图2
A ．若1
2
λ=
，则CP 的长度为定值B ．若1λ=，则三棱锥1B ACD -的外接球表面积为5πC ．若记1B A 与平面ACD 所成的角为α，则sin α的最大值为255
D ．若二面角1B A
E C --为直二面角，且1B D AE ⊥，则13λ=
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．双曲线2
213
x y -=的两条渐近线夹角为
．
14．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E F G H ，，，分别为
棱AB BC CD DA ，，，的中点，将该正方体挖去两个四分之一圆锥，得到如图所示的几何体，则该几何体的体积为________．
15．2021年7月25日召开的第44届世界遗产大会上，“泉州：宋元中国的世界海洋商贸中心”
获准列入世界文化遗产名录，至此泉州20年的申遗终于圆梦．申遗的遗产点包括九日山祈风石刻、开元寺、洛阳桥等22处代表性古遗迹，这些古遗迹可分为文化纪念地史迹等五类.这五类古遗迹充分展现了10-14世纪泉州完备的海洋贸易制度体系、发达的经济水平及多元包容的文化态度．某校中学生准备到各类古遗迹打卡，已知该同学打卡第一类、第二类的概率都是
23，打卡第三类、第四类和第五类的概率都是1
2
，且是否打卡这五类古遗迹相互独立.用随机变量X 表示该同学打卡的类别数，则()4P X ==
．
16．已知数列{}n a 的通项公式是21n a n =-，记m b 为{}n a 在区间[ 2)m m ，*()N m ∈内项的个数，
则6b =，不等式12022m m b b +->成立的m 的最小值为
.（第一空2分，
第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（10分）
已知函数()sin f x x a x =-的图象在点(0(0))f ，处的切线方程为y x =-．（1）求a ；
（2）求()f x 在[]02 π，
的单调区间．18．（12分）
记n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，且11n n a S +-=.（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）记2log n n n b a a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .
如图，斜三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，16AB AA ==，160A AC ∠=︒，
F G D E ，，，分别为111AB CC AA BB ，，，的中点．（1）证明：FG //平面1C DE ；
（2）若平面11AA C C ⊥平面ABC ，求平面1C DE 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．
20．（12分）
在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a b c ，，，且2cos 2a B c b =-．（1）求A ；
（2）若ABC △内一点P 满足：PB PC ⊥，120APC ∠=︒，且33AC AB ==，求tan ACP ∠．
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为2，且点(1)A 0，
在E 上．
（1）求E 的方程；
（2）点B 为E 的下顶点，点P 在E 内且满足0PA PB ⋅=
，直线AP 交E 于点Q ，求QP QA ⋅ 的
取值范围．
22．（12分）
已知函数()ln ()1x f x x a x =+-+e ，()f x '是()f x 的导函数.（1）若(1)0f '=，求()f x 的最大值；（2）讨论()f x 的零点个数．。