三角形中线等分面积的应用

第5讲
例说三角形中线等分面积的应用
如图1，线段AD 是△ABC 的中线，过点A 作AE⊥BC，垂足为E ，那么S △ABD ＝
12BD·AE，S △ADC ＝1
2
DC·AE，因为BD ＝DC ，所以S △ABD ＝S △ADC 。

因此，三角形的中线把△ABC 分成两个面积相等的三角形.利用这一性质，可以解决许多有关面积的问题。

一、求图形的面积
例1、如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积.
分析：因为E 、F 分别是BC 和CD 的中点，那么连接CG 后，可知GF 、GE 分别是△DGC 、△BGC 的中线，而由S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ=
4
ab ，可得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，所以△DGF、△CFG、△CEG、△BEG 的面积相等，问题得解。

解：连接CG ，由E 、F 分别是BC 和CD 的中点，所以S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ=4
ab
，从而得S △ＢＥＧ
=S △ＤＦＧ，可得△DGF、△CFG、△CEG、△BEG 的面积相等且等于
31×4ab =12
ab ，因此S 四边形ＡＢＧＤ=ab －4×
12ab =3
2ab。

例2、在如图3至图5中，△ABC 的面积为a ．
〔1〕如图2, 延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD =BC ，连结DA ．假设△ACD 的面积为
S 1，那么S 1=________〔用含a 的代数式表示〕；
〔2〕如图3，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD =BC ，AE =CA ，连
结DE ．假设△DEC 的面积为S 2，那么S 2=__________〔用含a 的代数式表示〕，并写出理由；
〔3〕在图4的根底上延长AB 到点F ，使BF =AB ，连结FD ，FE ，得到△DEF 〔如图6〕．假设阴影局部的面积为S 3，那么S 3=__________〔用含a 的代数式表示〕．
发现：像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF 〔如
图1
图2
A
B
E
图4
D
A
B
C F 图5 图3
A
B
图6〕，此时，我们称△ABC 向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的_______倍．
应用：去年在面积为10m 2的△ABC 空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC 向外进展两次扩展，第一次由△ABC 扩展成△DEF ，第二次由△DEF 扩展成△MGH 〔如图5〕．求这两次扩展的区域〔即阴影局部〕面积共为多少m 2？
分析：从第1个图可以发现AC 就是△ABD 的中线，第2个图通过连接DA ，可得到△ECD 的中线DA ，后面扩展的局部都可以通过这样的方法得到三角形的中线，从而求出扩展局部的面积，发现规律。

解：〔1〕由CD=BC ，可知AC 就是△ABD 的中线，中线AC 将△ABD 的分成两个三角形△ABC、△ACD，这两个三角形等底等高，所以它们的面积相等；所以S 1=a ；
〔2〕假设连接DA ，那么DA 就是△ECD 的中线，中线AD 将△ECD 分成△CDA、△EDA，它们的面积相等；所以S 2=2a ；
〔3〕根据以上分析，可知△BFD、△CED、△EAF 面积都
为2a ；所以S 2=6a ；
发现：由题意可知扩展一次后的△DEF 的面积是S △DEF =
S 3+S △ABC =6a +a =7a ；即扩展一次后的△DEF的面积是原来△ABC
面积的7倍。

应用：由以上分析可知 扩展一次后S 总1=7a ， 扩展二次后S 总2=S 总1=72a ， 扩展三次后S 总3=S 总2=73a ， 拓展区域的面积：〔72－1〕×10=480〔m 2〕
说明：此题是从一个简单的图形入手，逐步向复杂的图形演变，引导我们逐步进展探索，探索出有关复杂图形的相关结
论，这是我们研究数学问题的一种思想方法：从特殊到一般的思想。

所以我们在平时的学习中，要注意领会数学思想和方法，使自己的思维不断升华。

二、巧分三角形
例3、如图7，△ABC，请你用两种不同的方法把它分成面积之比为1:2:3的三个三角形.
分析：可以把三角形先两等份，再把其中一个再两等份，所以联想到作三角形的中线。

解：方法1：取BC 的中点E ，然后在BE 上取点D ，使BD 1
3
=BE ，那么AD 、AE 把△ABC 分成面积之比为1:2:3的三个三角形〔如图8〕.
方法2：在BC 边上截取DC 3
1
=
BC ，连结AD ，然后取AB 的中点P ，连结BP 、CP ，图6
D E A
B C
F H
M G
图7
图8
图9
5432
1
那么△PAC、△PAB、△PBC 的面积之比为1:2: 3〔如图9〕.
想一想：方法2中，这三个三角形的面积之比为什么是1:2:3？ 二、巧算式子的值
例2在数学活动中，小明为了求
2341111122222
n ++++⋅⋅⋅+的值〔结果用n 表示〕，设计了如图10所示的几何图形.请你利用这个几何图形求
23411111
22222
n ++++⋅⋅⋅+的值. 分析：由数据的特征：后面的数为前面一个数的
2
1
，联想到将三角形的面积不断的平分，所以可以构造如图10的图形进展求解。

解：如图10，设大三角形的面积为1，然后不断的按顺序作出各个三角形的中线，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，图中三角形除了最后一个小三角形，其余局部的面积为
234111111
222222n n ++++⋅⋅⋅++， 因此2341111111222222
n n ++++⋅⋅⋅+=-.
说明：此题运用“数形结合思想〞，借助三角形的面积来求数的运算，简捷、巧妙.
三角形内角和定理及外角性质的应用
三角形三个内角的和等于180°，这是三角形内角和定理．
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，这是三角形外角性质．
三角形内角和定理及外角性质应用广泛，下面以例说明． 一、求三角形的内角
例2(08XX)在△ABC 中，∠B =40°，∠C =80°，那么∠A 的度数为( ) A ．30° B ．40° C ．50° D ．60°
解：由三角形内角和定理，得∠A =180°-∠B -∠C =180°-40°-80°=60°，答案选D ． 例3(08东营)如图1，∠1=100°，∠2=140°，那么∠3=＿＿． 解：∠4=180°-∠1=180°-100°=80°， ∠5=180°-∠2=180°-140°=40°，
由三角形内角和定理，得
∠3=180°-∠4-∠5=180°-80°-40°=60°，答案选D ．图1
说明：在求出∠4=80°后，也可根据三角形外角性质，得∠2=∠4+∠3，所以∠3=∠2-∠4=140°-80°=60°．
二、判断三角形的形状
例1 (08XX)一个三角形三个内角的度数之比为2:3:7，这个三角形一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形 解：设三个内角分别为2k ，3k ，5k ，由三角形内角和定理，得
2k +3k +5k =180°．解得k =15°，所以2k =30°，3k =45°，7k =105°，所以这个三角形是钝角三角形，答案选C ．
图10
C
B
A
2
1O
D A l 1l 2
B C 21312C
B l 2l 1A D E (a ∥b )
b a 12
212
1C B D A 12三、求角平分线的夹角
例4 (08XX)△ABC 中，∠A =60°，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点O ，那么∠BOC 的度数为＿＿．
解：如图2，由BO 平分∠ABC ，得∠1=
1
2
∠ABC ； 由CO 平分∠ACB ，得∠2=1
2
∠ACB ．
所以∠1+∠2=12(∠ABC +∠ACB )=1
2
(180°-∠A )图2
=1
2
(180°-60°)=60°． 四、求三角形的外角
例5 (08XX)如图5，直线l 1∥l 2，AB ⊥l 1，垂足为D ，BC 与直线l 2相交于点C ，假设∠1=30°，那么∠2=＿＿＿．
解：如图6，延长AB 交l 2于点E ．
因为l 1∥l 2，由两直线平行，内错角相等，得∠BEC =∠3． 由AB ⊥l 1，得∠3=90°．所以∠BEC =90°．
由三角形外角性质，得∠2=∠BEC +∠1=90°+30°=120°．
图5 图6
说明：此题也可延长CB 交l 1于点F ，构造△FBD 进展求解，完成请同学们完成．
五、比拟角的大小
例5 (08凉山)以下四个图形中∠2大于∠1的是()
A B C D
解：A 选项中，利用两直线平行，内错角相等及对顶角相等，可得∠1=∠2；B 选项，根据三角形的外角性质，可得∠2大于∠1．C 选项中的∠2与∠1的大小关系无法确定；D 选项中，由对顶角相等，可得∠1=∠2．答案选B ．
全等三角形水平测试〔1〕
薛建辉
一、试试你的身手
1．如下图，沿直线AC 对折，△ABC 与△ADC 重合，那么△ABC ≌__________，AB 的对应边是________，AC 的对应边是____________，∠BCA 的对应角是__________．
A
A D
2．如下图，△ACB ≌△DEF ，其中A 与D ，C 与E 是对应顶点，那么CB 的对应边是________，∠ABC 的对应角是__________．
3．△ABC 和A B C '''∆中，假设AB A B ''=，BC B C ''=，那么需要补充条件________可得到ABC A B C '''∆≅∆
4．如下图，AB ，CD 相交于O ，且AO ＝OB ，观察图形，图中已具备的另一相等的条件是________，联想到SAS ，只需补充条件________，那么有△AOC ≌△________． 5．如下图，有一块三角形镜子，小明不小心破裂成Ⅰ、Ⅱ两块，现需配成同样大小的一块．为了方便起见，需带上________块，其理由是__________．
6．如下图，假设只有AD ⊥BD 于点D 这个条件，要证△ABD ≌△ACD ，那么需补充的条件是________或__________或__________．
7．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，将△ABC 绕着点A 顺时针旋转40°后得到△ADE ，那么∠BAE 的度数为__________．
二、相信你的选择
1．以下说法：①全等三角形的形状一样；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长．面积分别相等，其中正确的说法为〔 〕 Ａ．①②③④ Ｂ．①③④ Ｃ．①②④ Ｄ．②③④ 2．以下结论错误的选项是〔 〕 Ａ．全等三角形对应角所对的边是对应边 Ｂ．全等三角形两条对应边所夹的角是对应角 Ｃ．全等三角形是一个特殊三角形
Ｄ．如果两个三角形都与另一个三角形全等，那么这两个三角形也全等 3．下面各条件中，能使△ABC ≌△DEF 的条件的是〔 〕
A
C O D
B A
C ?
? A B C D A B
C D
E
Ａ．AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，BC ＝EF Ｂ．AB ＝BC ，∠B ＝∠E ，DE ＝EF ０．AB ＝EF ，∠A ＝∠D ，AC ＝DF Ｄ．BC ＝EF ，∠C ＝∠F ，AC ＝DF
4．在△ABC 和△DEF 中，AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，假设证△ABC ≌△DEF ，还要补充一个条件，错误的补充方法是〔 〕
Ａ．∠B ＝∠E Ｂ．∠C ＝∠F Ｃ．BC ＝EF Ｄ．AC ＝DF 5．以下说法正确的选项是〔 〕
Ａ．两边一角对应相等的两个三角形全等 Ｂ．两角一边对应相等的两个三角形等 Ｃ．两个等边三角形一定全等 Ｄ．两个等腰直角三角形一定全等
6．如下图，BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，垂足分别是E ．F ，假设BE ＝CF ，那么图中全等三角形有〔 〕
Ａ．1对 Ｂ．2对 Ｃ．3对 Ｄ．4对
7．如图，AB ＝DB ，BC ＝BE ，欲证△ABC ≌△DBC ，那么需补充的条件是〔 〕 Ａ．∠A ＝∠D Ｂ．∠E ＝∠C Ｃ．∠A ＝∠C Ｄ．∠1＝∠2 三、挑战你的技能
1．如图，假设∠DAB ＝∠CBA ，请你再添加一对相等的条件，使△ABD ≌△CAB ，并说明
三角形全等的理由．
2．〔1〕完成下面的证明：
如图，AB ＝AC ，E ，F 分别是AC ，AB 的中点，那么△ABE ≌△ACF ． 证明：E F ，分别是AC ，AB 的中点，
12AE AC ∴=
，1
2AF AB =〔 〕 AB AC =，AE AF ∴= 在ABE △和ACF △中
______________()______________()______________()=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，，
， ABE ACF ∴≅△△．
〔2〕根据〔1〕的证明，假设连结BC ．请证明：△EBC ≌△FCB ．
A B C D E 1 2
A B C F E A B C D A
B C
E
F
A
3．如图，：BE ＝DF ，AE ＝CF ，AE ∥CF ，求证：AD ∥BC ．
4．如图，：CE ⊥AD 于E ，BF ⊥AD 于F ，〔1〕你能说明△BDF 和△CDE 全等吗？〔2〕假设能，请你说明理由，假设不能，在不用增加辅助线的情况下，请添加其中一个适当的条件，这个条件是__________，来说明这两个三角形全等，并写出证明过程．
四、拓广探索
飞翔建筑公司在扩建二汽修建厂房时，在一空旷地上发现有一个较大的圆形土丘，经分析判断很可能是一座王储陵墓，由于条件限制，无法直接度量A ，B 两点间的距离，请你用学过的数学知识，按以下要求设计测量方案． 〔1〕画出测量方案
〔2〕写出测量步骤〔测量数据用字母表示〕
〔3〕计算AB 的距离〔写出求解或推理过程，结果用字母表示〕
A B C
D E F
A B
C D
E
F A B
参考答案：
一、1．△ADC ，AD ，AC ，∠DCA 2．EF ，∠DFE 3．B B AC A C '''∠=∠=或 4．∠AOC =∠BOD ，OC =OD ，△BOD 5．Ⅰ，有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 6．∠BAD =∠CAD ，AB =AC ，BD =CD 7．100°
二、1．D 2．C 3．D 4．C 5．B 6．C 7．D
三、1．需要再添加的条件为：∠DBA =∠BAC 〔A S A 〕或∠DAC =∠CBD 〔A S A 〕或AD =BC 〔S A S 〕 2．
〔1〕中点定义，()()(SAS)()AE AF A A AB AC =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
已证公共角，
已知 〔2〕
证明：ABE ACF ≅△△，BE CF ∴=；又
E ，
F 分别为AC ，AB 的中点，
12EC AC ∴=
，1
2
BF AB =，AB AC =，EC BF ∴=，在EBC △和FCB △中，
BE CF BC CB EC FB =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，
，
EBC FCB ∴≅△△． 3．证明：
AE CF ∥，AEB DFC ∴=∠∠，180180AEB DFC ∴-=-∠∠，
AED BFC ∴=∠∠，BE DF =，BE EF DF EF ∴-=-，BF DE ∴=．
在ADE △和CBF △中，AE CF AED BFC DE BF =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，，∠∠ADE CBF ∴≅△△，ADE CBF ∴=∠∠，
AD BC ∴∥．
4. 〔1〕不能，〔2〕添加的条件为：BD =DC 或DF =DE 或BF =CE ．选：BD =DC ． 证明：
CE AD ⊥，BF AD ⊥，90CED BFD ∴==∠∠，
在CED △和BFD △中， ()
()CDE BFD CDE BDF CE BD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
已证对顶角相等∠∠，CED BFD ∴≅△△．
四、〔1〕如下图
〔2〕在地上找到可以直接到达点A ，B 的一点O ，在AO 的延长线上取一点以，并测得OC =OA ，在BO 的延长线上取一点在，并测得OD =OB ，这时测得CD 的长为A ，那么AB 的长就是A ．
〔3〕理由：由测法可得．OC =OA ，OD =OB ，∠COD =∠AOB ，所以△COD ≌△AOB ，所以CD =AB =A ． A
B。