平湖市第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

平湖市第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知集合M={1，4，7}，M ∪N=M ，则集合N 不可能是（ ） A ．∅ B ．{1，4}
C ．M
D ．{2，7}
2． 将函数x x f ωsin )(=（其中0>ω）的图象向右平移
4
π
个单位长度，所得的图象经过点 )0,43(
π
，则ω的最小值是（ ） A ．31 B ． C ．35
D ．
3． 是首项
，公差的等差数列，如果
，则序号等于（ ）
A ．667
B ．668
C ．669
D ．670
4． 函数f （x ）=（）x2﹣9的单调递减区间为（ ） A ．（﹣∞，0） B ．（0，+∞）
C ．（﹣9，+∞）
D ．（﹣∞，﹣9）
5． 某公园有P ，Q ，R 三只小船，P 船最多可乘3人，Q 船最多可乘2人，R 船只能乘1人，现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法为（ ） A ．36种 B ．18种 C ．27种 D ．24种
6． 已知在△ABC 中，a=
，b=
，B=60°，那么角C 等于（ ）
A ．135°
B ．90°
C ．45°
D ．75°
7． 某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为 1的半圆，则其侧视图的面积是（ ）
A ．
B ．
C ．1
D ．
8． 已知双曲线﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2=1相切，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9． 已知双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >），以双曲线C 的一个顶点为圆心，为半径的圆
被双曲线C 截得劣弧长为23
a π
，则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．65
B
C
D 10．某个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图中的圆弧是半径为2的半圆，则该几何体的表面积为 （ ）
A ．π1492+
B ．π1482+
C ．π2492+
D ．π2482+
【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的面积度量.重点考查空间想象能力及对基本面积公式的运用，难度中等.
11．函数()2cos()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕ-π<<）的部分图象如图所示，则 f （0）的值为（ ）
A.32
-
B.1-
C.
D.
【命题意图】本题考查诱导公式，三角函数的图象和性质，数形结合思想的灵活应用.
12．定义运算：,,a a b
a b b a b
≤⎧*=⎨
>⎩．例如121*=，则函数()sin cos f x x x =*的值域为（ ）
A ．⎡⎢⎣⎦
B ．[]1,1-
C ．,12⎤⎥⎣⎦
D ．1,2⎡-⎢⎣⎦ 二、填空题
13．在（1+x ）（x 2+）6的展开式中，x 3的系数是 ．
14．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是 ．
15．椭圆C ： +
=1（a ＞b ＞0）的右焦点为（2，0），且点（2，3）在椭圆上，则椭圆的短轴长为 ．
16．如图所示，在三棱锥C ﹣ABD 中，E 、F 分别是AC 和BD 的中点，若CD=2AB=4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角是 ．
17．已知随机变量ξ﹣N （2，σ2），若P （ξ＞4）=0.4，则P （ξ＞0）= ．
18．对于集合M ，定义函数
对于两个集合A ，B ，定义集合A △B={x|f A （x ）f B （x ）
=﹣1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，12}，则用列举法写出集合A △B 的结果为 ．
三、解答题
19．已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=，DC=2AB=2BC=2
，以直线AD 为旋转轴旋转一周得到
如图所示的几何体σ． （1）求几何体σ的表面积；
（2）点M 时几何体σ的表面上的动点，当四面体MABD 的体积为
，试判断M 点的轨迹是否为2个菱形．
20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AA1=4，AB=5，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥BC1；
（2）求证：AC1∥平面CDB1．
21．已知函数f（x）=log2（m+）（m∈R，且m＞0）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）在（4，+∞）上单调递增，求m的取值范围．
22．在数列{a n}中，a1=1，a n+1=1﹣，b n=，其中n∈N*．
（1）求证：数列{b n}为等差数列；
（2）设c n=b n+1•（），数列{c n}的前n项和为T n，求T n；
（3）证明：1+++…+≤2﹣1（n∈N*）
23．如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，BC⊥CF，，EF=2，BE=3，CF=4．（Ⅰ）求证：EF⊥平面DCE；
（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°．
24．已知曲线C的参数方程为（y为参数），过点A（2，1）作平行于θ=的直线l 与曲线C分别
交于B，C两点（极坐标系的极点、极轴分别与直角坐标系的原点、x轴的正半轴重合）．
（Ⅰ）写出曲线C的普通方程；
（Ⅱ）求B、C两点间的距离．
平湖市第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：∵M ∪N=M ，∴N ⊆M ， ∴集合N 不可能是{2，7}， 故选：D
【点评】本题主要考查集合的关系的判断，比较基础．
2． 【答案】D
考
点：由()ϕω+=x A y sin 的部分图象确定其解析式；函数()ϕω+=x A y sin 的图象变换． 3． 【答案】C
【解析】 由已知，由得，故选C
答案：C
4． 【答案】B
【解析】解：原函数是由t=x 2
与y=（）t
﹣9复合而成，
∵t=x 2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数； 又y=（
）t
﹣9其定义域上为减函数，
∴f （x ）=（）x2
﹣9在（﹣∞，0）上是增函数，在（0，+∞）为减函数， ∴函数ff （x ）=（）x2
﹣9的单调递减区间是（0，+∞）．
故选：B ．
【点评】本题考查复合函数的单调性，讨论内层函数和外层函数的单调性，根据“同増异减”再来判断是关键．
5．【答案】 C
【解析】
排列、组合及简单计数问题．
【专题】计算题；分类讨论．
【分析】根据题意，分4种情况讨论，①，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大1人，②，P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大1人，③，P 船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩，④，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q 船乘2个大人，分别求出每种情况下的乘船方法，进而由分类计数原理计算可得答案．
【解答】解：分4种情况讨论，
①，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大1人，有A33=6种情况，
②，P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大1人，有A33×A22=12种情况，
③，P船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩，有C32×2=6种情况，
④，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘2个大人，有C31=3种情况，
则共有6+12+6+3=27种乘船方法，
故选C．
【点评】本题考查排列、组合公式与分类计数原理的应用，关键是分析得出全部的可能情况与正确运用排列、组合公式．
6．【答案】D
【解析】解：由正弦定理知=，
∴sinA==×=，
∵a＜b，
∴A＜B，
∴A=45°，
∴C=180°﹣A﹣B=75°，
故选：D．
7．【答案】B
【解析】解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，
又∵正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，
∴半圆锥的底面半径为1，高为，
即半圆锥的侧视图是一个两直角边长分别为1和的直角三角形，
故侧视图的面积是，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
8．【答案】D
【解析】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，即x±y=0．
根据圆（x﹣2）2+y2=1的圆心（2，0）到切线的距离等于半径1，
可得，1=，∴=，
，可得e=．
故此双曲线的离心率为：．
故选D．
【点评】本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出的值，是解题的关键．
9．【答案】B
考点：双曲线的性质． 10．【答案】A
11．【答案】D 【解析】易知周期112(
)1212T π5π=-=π，∴22T ωπ==.由52212k ϕπ⨯+=π（k ∈Z ），得526
k ϕπ
=-+π
（k Z ∈），可得56ϕπ=-，所以5()2cos(2)6f x x π=-
，则5(0)2cos()6
f π
=-=，故选D. 12．【答案】D 【解析】
考
点：1、分段函数的解析式；2、三角函数的最值及新定义问题.
二、填空题
13．【答案】 20 ．
【解析】解：（1+x ）（x 2+）6
的展开式中，
x 3的系数是由（x 2+）6的展开式中x 3与1的积加上x 2与x 的积组成；
又（x 2+）6
的展开式中，
通项公式为 T r+1=•x 12﹣3r ，
令12﹣3r=3，解得r=3，满足题意；
令12﹣3r=2，解得r=
，不合题意，舍去；
所以展开式中x 3
的系数是=20．
故答案为：20．
14．【答案】 ．
【解析】解：在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥，
8个三棱锥的体积为：
=．
剩下的凸多面体的体积是1﹣=．
故答案为：．
【点评】本题考查几何体的体积的求法，转化思想的应用，考查空间想象能力计算能力．
15．【答案】 ．
【解析】解：椭圆C ： +
=1（a ＞b ＞0）的右焦点为（2，0），且点（2，3）在椭圆上，
可得c=2，2a=
=8，可得a=4，
b 2=a 2﹣
c 2=12，可得b=2， 椭圆的短轴长为：4．
故答案为：4
．
【点评】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆的定义的应用，考查计算能力．
16．【答案】 30° ．
【解析】解：取AD 的中点G ，连接EG ，GF 则EG
DC=2，GF
AB=1，
故∠GEF即为EF与CD所成的角．
又∵FE⊥AB∴FE⊥GF∴在Rt△EFG中EG=2，GF=1故∠GEF=30°．
故答案为：30°
【点评】此题的关键是作出AD的中点然后利用题中的条件在特殊三角形中求解，如果一味的想利用余弦定理求解就出力不讨好了．
17．【答案】0.6．
【解析】解：随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），
∴曲线关于x=2对称，
∴P（ξ＞0）=P（ξ＜4）=1﹣P（ξ＞4）=0.6，
故答案为：0.6．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．
18．【答案】{1，6，10，12}．
【解析】解：要使f A（x）f B（x）=﹣1，
必有x∈{x|x∈A且x∉B}∪{x|x∈B且x∉A}
={6，10}∪{1，12}={1，6，10，12，}，
所以A△B={1，6，10，12}．
故答案为{1，6，10，12}．
【点评】本题是新定义题，考查了交、并、补集的混合运算，解答的关键是对新定义的理解，是基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）根据题意，得；
该旋转体的下半部分是一个圆锥，
上半部分是一个圆台中间挖空一个圆锥而剩下的几何体，
其表面积为S=×4π×2×2=8π，
或S=×4π×2+×（4π×2﹣2π×）+×2π×=8π；
（2）由已知S
=××2×sin135°=1，
△ABD
因而要使四面体MABD的体积为，只要M点到平面ABCD的距离为1，
因为在空间中有两个平面到平面ABCD的距离为1，
它们与几何体σ的表面的交线构成2个曲边四边形，不是2个菱形．
【点评】本题考查了空间几何体的表面积与体积的计算问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是综合性题目．
20．【答案】
【解析】解：（1）∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，
∴CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴CC1⊥AC…
∵AC=3，BC=4，AB=5，
∴AB2=AC2+BC2，∴AC⊥CB …
又C1C∩CB=C，
∴AC⊥平面C1CB1B，又BC1⊂平面C1CB1B，
∴AC⊥BC1…
（2）设CB1∩BC1=E，∵C1CBB1为平行四边形，
∴E为C1B的中点…
又D为AB中点，∴AC1∥DE…
DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1…
【点评】本题考查直线与平面垂直，直线与直线垂直，直线与平面平行的证明，考查逻辑推理能力．21．【答案】
【解析】解：（1）由m+＞0，（x﹣1）（mx﹣1）＞0，
∵m＞0，
∴（x﹣1）（x﹣）＞0，
若＞1，即0＜m＜1时，x∈（﹣∞，1）∪（，+∞）；
若=1，即m=1时，x∈（﹣∞，1）∪（1，+∞）；
若＜1，即m＞1时，x∈（﹣∞，）∪（1，+∞）．
（2）若函数f（x）在（4，+∞）上单调递增，则函数g（x）=m+在（4，+∞）上单调递增且恒正．
所以，
解得：．
【点评】本题考查的知识点是函数的定义域及单调性，不等关系，是函数与不等式的简单综合应用，难度中档．
22．【答案】
【解析】（1）证明：b n+1﹣b n=﹣=﹣=1，又b1=1．∴数列{b n}为
等差数列，首项为1，公差为1．
（2）解：由（1）可得：b n=n．
c n=b n+1•（）=（n+1）．
∴数列{c n}的前n项和为T n=+3×++…+（n+1）．
=+3×+…+n+（n+1），
∴T n=+++…+﹣（n+1）=+﹣（n+1），
可得T n=﹣．
（3）证明：1+++…+≤2﹣1（n∈N*）即为：1+++…+≤﹣1．
∵=＜=2（k=2，3，…）．
∴1+++…+≤1+2[（
﹣1）+（）+…+（﹣）]=1+2=2﹣1．
∴1+
+
+…+
≤2
﹣1（n ∈N *
）．
23．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）在△BCE 中，BC ⊥CF ，BC=AD=，BE=3，∴EC=
，
∵在△FCE 中，CF 2=EF 2+CE 2
，∴EF ⊥CE 由已知条件知，DC ⊥平面EFCB ，
∴DC ⊥EF ，又DC 与EC 相交于C ，∴EF ⊥平面DCE 解：（Ⅱ）
方法一：过点B 作BH ⊥EF 交FE 的延长线于H ，连接AH ． 由平面ABCD ⊥平面BEFC ，平面ABCD ∩平面BEFC=BC ， AB ⊥BC ，得AB ⊥平面BEFC ，从而AH ⊥EF ． 所以∠AHB 为二面角A ﹣EF ﹣C 的平面角． 在Rt △CEF 中，因为EF=2，CF=4．EC=
∴∠CEF=90°，由CE ∥BH ，得∠BHE=90°，又在Rt △BHE 中，BE=3，
∴
由二面角A ﹣EF ﹣C 的平面角∠AHB=60°，在Rt △AHB 中，解得，
所以当
时，二面角A ﹣EF ﹣C 的大小为60°
方法二：如图，以点C 为坐标原点，以CB ，CF 和CD 分别作为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系C ﹣xyz ．
设AB=a （a ＞0），则C （0，0，0），A （，0，a ），B （
，0，0），E （
，3，0），F （0，4，0）．
从而
，
设平面AEF 的法向量为，由
得，
，取x=1，
则
，即
，
不妨设平面EFCB 的法向量为，
由条件，得
解得
．所以当
时，二面角A ﹣EF ﹣C 的大小为60°．
【点评】本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，其中（I）的关键是熟练掌握线线垂直、线面垂直与面面垂直的之间的相互转化，（II）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题，转化为向量的夹角问题．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由曲线C的参数方程为（y为参数），消去参数t得，y2=4x．
（Ⅱ）依题意，直线l的参数方程为（t为参数），
代入抛物线方程得可得，
∴，t1t2=14．
∴|BC|=|t1﹣t2|===8．
【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、参数的意义、弦长公式，考查了计算能力，属于基础题．。