多元函数极值典型例题

多元函数极值典型例题
例1 求由方程 222224100x y z x y z ++−+−−=确定的函数 (,)z f x y =的极值．
解 将方程两边分别对 ,x y 求偏导，得
2224022240x x y y x zz z y zz z ′′+−−=⎧⎨′
′+−−=⎩. 令0,0x y z z ′′==, 得 1,1x y ==−. 即驻点为(1,1)P −.
又22
3
(2)(1)1
(2)2xx
P
P
z y A z z z
−++′′==
=
−−，0xy
P
B z ′′==
22
3
(2)(1)1(2)2yy
P
P
z y C z z z
−++′′==
=
−− 因22
1
0, 2(2)
AC B z z −=
>≠−，故(,)P z f x y =取极值. 将1,1x y ==−代入 222224100x y z x y z ++−+−−=得122,6z z =−=.
2z =−时， 11
024
A z =
=>−，故(1,1)2z f =−=−为极小值； 6z =时，11
024
A z =
=−<−，故 (1,1)6z f =−=为极大值. 例2 求函数221216z x y x y =+−+在有界闭域2225x y +≤的最大值和最小值.
解 函数221216z x y x y =+−+在有界闭域 2225x y +≤上连续，故必在该区域上取得最大值和最小值．先求函数在区域 2225x y +<内的驻点.
令
2120, 2160z z x y x y
∂∂=−==+=∂∂，6, 8x y ==−. 但 (6,8)不在区域 2225x y +≤内，故函数的最大值和最小值必在边界
2225x y +=上取得.
再求 221216z x y x y =+−+在边界 2225x y +=上的条件极值.
设 2222(,,)1216(25)F x y x y x y x y λλ=+−+−+−.
令 2221220(1)21620
(2)250
(3)
x y F x x F y y F x y λλλ′=−−=⎧⎪′=+−=⎨⎪
′=+−=⎩ 由(1)、(2)得 68
,11x y λλ
−=
=
−−，代入(3)式，有 22
68()()2511λλ
−+=−−. 得121,3λλ=−=.可得驻点12(3,4),(3,4)P P −− 而(3,4)75,(3,4)125z z −=−−=. 故z 的最大值为125，z 的最小值为－75.
例3 求内接于半径a 的球且有最大体积的长方体.
解 设球面方程为2222x y z a ++=,(,,)x y z 是它的内接长方体在第一卦限内的一个顶点. 则此长方体的长、宽、高分别为2,2,2x y z . 体积为
2228V x y z xyz =⋅⋅=
本题是求V 在约束条件2222x y z a ++=下的极值. 作拉格朗日函数
2222(,,)8()F x y z xyz x y z a λ=+++−
令2222
820(1)820(2)820(3)0
(4)
x
y
z F yz x F xz y F xy z x y z a λλλ⎧′=+=⎪⎪′=+=⎨′⎪=+=⎪++−=⎩
由(1)、(2)、(3)得 4
x y z λ
===−
，代入(4)
得3
x y z a ===
.
即有唯一驻点,,333a a a ⎛⎞
⎜⎟⎜⎟⎝
⎠，而由实际问题这种长方体的体积存在最大值，所以当长方体的长、宽、高都为
3
a 时，其体积最大. 例4 在椭圆2244x y +=上求一点，使其到直线2360x y +−=的距离最短.
解 设(,)P x y 为椭圆上的任意一点，即有2244x y +=. P 到直线
2360x y +−=的距离为d ，
则d =
=
作拉格朗日函数2221
(,,)(236)(44)13
F x y x y x y λλ=
+−++−. 令224
(236)20136(236)8013440
x y F x y x F x y y F x y λλλ⎧′=+−+=⎪⎪⎪′=+−+=⎨⎪
⎪′=+−=⎪⎩
解得1212
8855
,3355x x y y ⎧⎧==−⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==−⎪⎪⎩⎩ 故12
8383(,),(,5555
P P −−为两个驻点.
由于1
2
13
P d =
=
，又由实际问题可知最短距离存在，因此点1
83(,55P 即为所求点
. 13
d =即为最短距离.
例5 求函数 (,,)ln ln 3ln f x y z x y z =++在球面
22225x y z r ++=(0,0,0)x y z >>>的最大值，并证明对任何正数,,a b c 成立不等式 5
3275a b c abc ++⎛⎞
≤⎜⎟⎝⎠
解 作拉格朗日函数2222(,,)ln ln 3ln (5)F x y z x y z x y z r λ=++−++−
令 2222
1201203
205x y z F x x
F y y F z z F x y z r λλλλ⎧′=−=⎪⎪⎪′=−=⎪⎨⎪′=−=⎪⎪
⎪′=++−⎩，即222
2222120(1)120(2)320(3)50(4)
x y z x y z r λλλ⎧−=⎪−=⎪⎨
−=⎪⎪++−=⎩
(1)+(2)+(3)，得 2222()5x y z λ++=，得2
1
2r λ=
. 将求得的λ的值分别代入(1)、(2)、(3)式，得驻点
(,)r r .
因在第一卦限内球面的三条边界上，函数(,,)f x y z 均趋向于－∞，故最大值必在曲面内部取得，而驻点又唯一，则在驻点
(,)r r 处，(,,)f x y z 取得最大
值，其值为5(,)ln ln 3ln )F r r r r =++=，则对任何
0,0,0x y z >>>
，有5ln ln 3ln )x y z ++≤，
又22221()5r x y z =++
，代入得5/2
2223
5x y z xyz ⎞++≤⎟⎠
，得
5
222226
275x y z x y z ⎛⎞++≤⎜⎟⎝⎠
令222,,x a y b z c ===，得5
3275a b c abc ++⎛⎞≤⎜⎟
⎝⎠。