屈曲声学超材料的带隙调控方法研究

大连理工大学硕士学位论文
摘要
振动和噪声不仅制约现代工业设备的发展而且危害人的身心健康，同时低频噪声具有穿透力强、难衰减的特点，因此传统的隔声材料难以对其进行有效控制。

声学超材料因为具有弹性波带隙特性，在减振降噪领域有广泛的应用前景。

但声学超材料应用于低频减振往往存在结构质量过大或者带隙过窄的问题，而且其带隙范围难以调节。

本文用理论和有限元仿真的方法对声学超材料中波传播的主动和被动调控进行了分析，对低频带隙调控方法研究有一定的指导作用。

局域共振型声学超材料的带隙频率对应的波长远远大于其晶格尺寸，为小尺寸结构的低频带隙调控提供了可能。

局域共振带隙的主要决定因素是共振单元的固有频率，因此结构屈曲可以作为带隙调控的一种方式。

屈曲可以极大地改变振子的刚度，从而改变共振单元的固有频率，决定带隙的频率范围。

结合局域共振原理，设计了嵌入梁结构的一维声学超材料；分别对单胞的振动模态、能带结构和频率响应进行分析，讨论了超材料带隙的生成机理和弹性波衰减特性；因为单胞的带隙频率对结构参数变化比较敏感，讨论了梁的几何参数（宽度，弹性模量和曲率半径等）对带隙的影响规律。

进而提出一种一维声学超材料带隙的被动调控方式，通过施加梁内的预应变，发现梁的屈曲可以改变振子和基体之间的等效刚度比，从而实现了单胞带隙的大幅度调节。

结果证明施加预应变可以有效调节单胞带隙频率30%，相对于改变参数的调节方法，施加预应变调节的范围更广。

通过引入四周梁结构连接基体和振子，设计了二维主动调节声学超材料；分别讨论了单轴压缩和双轴压缩对二维超材料带隙的调控。

结果表明：施加单轴压缩会缩小单胞带隙直至关闭，可以应用于声学开关提供带隙的打开和关闭功能；还发现施加单轴压缩会降低方向带隙的频率范围，有利于单方向弹性波的调控。

施加双轴压缩可以极大的改变振子刚度，在保证带宽的前提下降低带隙频率53%，实现了超材料带隙的大幅度主动调节。

最后验证了二维超材料在不同参数下（梁的数量和宽度）压缩效应的广泛适用性。

研究发现，施加压缩的带隙调控方法简单、灵活且效果明显，在低频弹性波的主动调控研究中有一定的实用价值。

关键词：声学超材料；带隙调控；局域共振；屈曲；减振降噪
屈曲声学超材料的带隙调控方法研究
-II -
Research on Band Gap Tuning Methods of Buckling Acoustic
Meta-materials
Abstract Vibration and noise not only restrict the development of modern industrial equipment,
but also endanger people's physical and mental health.At the same time,low-frequency noise has the characteristics of strong penetration and difficult attenuation,so it is difficult for traditional sound insulation materials to effectively control it.Because of its special band gap characteristics,acoustic meta-materials have a wide range of development prospects in the field of vibration reduction and noise reduction.However,there are some problems in the application of acoustic meta-materials to low-frequency vibration reduction,such as too large structure mass or too narrow band gap,and the band gap range is difficult to adjust.In this paper,the theory and finite element simulation method are used to calculate and analyze the active and passive control of wave propagation in acoustic meta-materials,which has a certain guiding role in the research of low-frequency band gap control method.
The wavelength corresponding to the band gap frequency of the local resonance type acoustic meta-materials is much larger than its lattice size,which provides the possibility for the realization of low frequency vibration control of small-scale structures.Because the main determinant of the local resonant band gap frequency is the natural frequency of the unit cell,structural buckling can be used as a way to adjust the band gap.Buckling can greatly change the stiffness of the vibrator,thus changing the natural frequency of the resonance element and determining the frequency range of the band gap.
Based on the principle of local resonance,the one-dimensional acoustical meta-material embedded in the beam structure is designed.The generation mechanism and attenuation characteristics of the meta-material band gap are discussed by analyzing the vibration modes,band structure and frequency response of the unit cell.The unit cell band gap is sensitive to the change of geometric parameters,and the influence of the geometric parameters (width,elastic modulus and curvature radius)of the beam on the band gap are discussed.Furthermore,the passive adjustment of band gap of one-dimensional acoustical meta-materials is studied.By applying the prestrain in the beam (i.e.the beam is installed after being bent),it is found that the buckling of the beam can change the equivalent stiffness ratio between the vibrator and the matrix,thus realizing wide range adjustment of the unit cell band gap.The results show that the application of prestrain can effectively adjust the unit cell band gap frequency
大连理工大学硕士学位论文
of30%.Compared with the adjustment method of changing parameters,the application of prestrain adjustment has a wider range.
By introducing the curved beam structure to connect the matrix and the vibrator,a two-dimensional active tuning acoustic meta-material is designed.And the effects of uniaxial compression and biaxial compression on the band gap of the two-dimensional metamaterial are discussed.The results show that the application of uniaxial compression can reduce the band gap until it is closed,which can be applied to acoustic switch to provide the function of opening and closing the band gap;at the same time,the application of uniaxial compression can reduce the frequency range of the directional band gap,which is conducive to the regulation of the unidirectional propagation of elastic waves.The application of biaxial compression can greatly change the stiffness of the vibrator,reduce the band gap frequency by53%under the premise of ensuring the bandwidth,and realize the large-scale active tuning of the meta-material band gap.Finally,the extensive applicability of the compression effect of two-dimensional meta-materials under different parameters(number and width of beams) is verified.It is found that the method of controlling the band gap with compression is simple, flexible and effective,which has a certain practical value in the active tuning of low-frequency elastic waves.
Key Words：Acoustic meta-materials;Band gap tuning;Locally resonance;Buckling; Vibration and noise reduction
屈曲声学超材料的带隙调控方法研究
目录
摘要 (I)
Abstract (II)
1绪论 (1)
1.1研究背景及意义 (1)
1.2声学超材料的研究现状 (2)
1.2.1声子晶体的起源 (2)
1.2.2声学超材料的发展 (3)
1.3声学超材料带隙调控的研究现状 (4)
1.4声学超材料的应用前景 (6)
1.5本文主要研究内容 (7)
2声学超材料的相关理论和计算方法 (9)
2.1弹性波相关理论 (9)
2.2带隙相关理论 (11)
2.2.1晶格理论 (11)
2.2.2Bloch原理 (13)
2.3能带结构求解方法 (14)
2.3.1传递矩阵法 (14)
2.3.2平面波展开法 (17)
2.3.3有限元法 (20)
2.4本章小结 (21)
3一维嵌入屈曲振子声学超材料 (22)
3.1模型构造与带隙特性 (22)
3.1.1理论模型 (22)
3.1.2模型构造 (23)
3.1.3带隙生成机理 (25)
3.1.4传输特性分析 (28)
3.1.5能带结构与频响函数对比 (30)
3.2梁参数对带隙的影响 (32)
3.2.1梁的宽度对带隙的影响 (32)
3.2.2梁的弹性模量对带隙的影响 (34)
-IV-
3.2.3梁的曲率半径对带隙的影响 (35)
3.3一维超材料带隙被动调控 (37)
3.4本章小结 (42)
4二维主动调节屈曲振子声学超材料 (43)
4.1模型构造与带隙特性 (43)
4.1.1模型构造 (43)
4.1.2带隙特性分析 (44)
4.2二维超材料带隙主动调控 (47)
4.2.1超材料的单轴压缩 (47)
4.2.2超材料的双轴压缩 (52)
4.3结构参数对带隙调控的影响 (57)
4.3.1梁的数量对带隙影响 (57)
4.3.2梁的宽度对带隙影响 (59)
4.4本章小结 (62)
结论 (63)
参考文献 (64)
攻读硕士学位期间发表学术论文情况 (68)
致谢 (69)
大连理工大学学位论文版权使用授权书 (70)
1绪论
1.1研究背景及意义
振动与噪声一直是影响现代工业设备性能和人们生活水平的一个重要因素。

对于大多数的机械设备和工程结构，振动是影响其性能的主要原因。

振动会造成传统机械设备结构的疲劳损坏，影响设备的工作性能和寿命；对于精密仪器与仪表，振动会导致其精度降低，甚至失效；在国防工业领域，因为受工业制造水平的限制，潜艇、战机、军舰等武器装备的振动噪声问题更加突出，会导致其隐蔽性能降低，制约先进武器装备的发展[1]。

除此之外，由振动产生的噪声一直影响着人们的生活水平，危害身心健康。

例如，由飞机、车辆等交通工具所产生的噪声会降低乘坐人员的舒适性；对于长期处于充满噪声的车间工作人员，会引发生理性的烦躁不安，降低睡眠质量，更严重的则会引起永久性的听力下降和耳聋。

事实上，噪声对人的危害不仅限于听觉器官，研究证明频率低于100Hz的低频振动和噪声对人体的危害是最大的，容易与人体器官（包括心脏、肺、胃和神经系统等）发生共振[2]，造成器官的永久损伤，危害人体生理机能。

因此，减振降噪对于工业设备的发展和提高人们生活质量等方面都有非常重要的意义。

在工程中针对振动和噪声的控制主要有两种方法，一种是开发静音和低振动的产品，在振动的源头控制；另一种是采取衰减、吸收或隔离的方法，在声波的传播过程进行控制[3]。

为了从振动源头进行控制，主要的方法是提高设备的加工和装配精度，但是随着加工技术和装配精度的提高，对产品的性能和结构优化变得越来越复杂，从源头控制也变得越来越困难。

同时，为了在传播过程中进行控制，人们设计出各种高阻尼材料、多孔吸声材料、降噪设备等，但是对于低于100Hz的低频声波，则需要很深的微穿孔板后腔或者非常厚的阻尼材料，很难满足实际工程需求[4]。

因此，无论是在源头还是在传播过程中进行控制，低频振动和噪声的有效衰减都是很有挑战性的。

随着科技的发展，传统减振降噪材料的缺点逐渐显现，人们开始将目光聚焦于人工周期复合材料。

弹性波和电磁波在数学中有相似的表示形式，所以基于光子晶体对电磁波的调控，人们开始研究具有弹性波调控特性的周期性结构，称之为声子晶体[5]。

随后，为了进一步缩小产品尺寸和降低设备重量，人们研究出具备亚波长尺寸的声学超材料[6]。

声学超材料和声子晶体有相同的带隙特性，但其特点是具有亚波长的尺寸和负的动态等效参数，在声学超材料中传播的弹性波会受到结构的调制呈现全新的物理特性和现象。

声子晶体应用于减振降噪的早期研究主要基于布拉格带隙机理[7,8]，因此工作范围集中在
屈曲声学超材料的带隙调控方法研究
中高频区，有较大的局限性。

随着局域共振[6]带隙机理的提出，声学超材料在低频范围的减振降噪获得了更加广泛的研究和应用。

通过对局域共振带隙机理的深入研究，发现声学超材料对振动的有效衰减的关键因素是振子和基体之间的等效刚度比[9]，所以屈曲的方法被引入到超材料的设计。

本文依据弹性波基础理论和声学超材料的局域共振原理，分别提出嵌入梁结构的一维被动调节声学超材料和二维主动调节声学超材料。

通过施加预应变或压缩使梁产生屈曲，改变振子的刚度从而有效的调节超材料的带隙频率范围，为低频声学超材料的带隙调控提供了一种新的实现方法。

1.2声学超材料的研究现状
1.2.1声子晶体的起源
1987年，Yablonovitch[10]通过光传播实验首次提出光子晶体，试验发现当光在周期分布的介电材料中传播时会出现特殊物理现象，因此指出介电材料中存在电磁波带隙。

20世纪90年代，基于光子晶体的概念和弹性波在周期性结构中的传播理论，具有人工周期结构的声子晶体概念被提出[11]。

1992年，Sigalas等[12]提出一种由球形散射体和软基体材料构成的三维点阵结构，并发现弹性波在三维周期结构中传播的特殊现象，首次验证了周期结构中存在弹性波带隙。

1993年，Kushwaha等[13,14]首次明确提出声子晶体的概念，该团队通过研究弹性波在镍和铝组成的二维周期结构中的传播，指出声子晶体的带隙特性可以应用于高精密无振动环境，促进了声子晶体在减振降噪领域的发展。

1995年，Martinez-Sala[15]等进行了首次声子晶体试验，通过对马德里公园雕塑“流动的旋律”进行的声学滤波特性试验，发现雕塑结构在特定的频率对声波有明显的衰减效果，并指出这种衰减效果是由声子晶体的布拉格散射造成的，首次用试验证明了布拉格带隙的存在。

1999年，Torres等[16]发现在带隙频率内，弹性波在有点/线缺陷的二维声子晶体中传播会产生局域化现象或沿着线缺陷处传播，首次发现声子晶体的缺陷态特性，指出声子晶体在其他领域的应用前景。

从声子晶体的起源和概念中可以看出，它是由人工设计的由多种材料组成的最小尺寸单元周期性排列的结构，一般称最小的尺寸单元叫做晶格或者单胞。

根据声子晶体单胞在空间中周期性排列的维数可以将声子晶体分为一维、二维和三维声子晶体。

其中一维声子晶体是单胞在空间中单个方向的周期性排列，只有单一方向的周期性；二维声子晶体一般是由柱状的散射体嵌入软基体材料中组成单胞，在平面中组成的二维周期性点
-2-
大连理工大学硕士学位论文
阵结构；三维声子晶体则是将散射体嵌入软基体中形成的包裹型单胞，在三维空间周期性排列的点阵结构[17]。

虽然声子晶体的分类不同，但是主要具备以下三个特征[18]：（1）具有周期性；
（2）具有弹性波带隙特性；
（3）当声子晶体中存在点、线或面缺陷时，弹性波会在点缺陷处产生局域化现象，或者沿线/面缺陷方向传播。

图1.1“流动的旋律”及其测试曲线
Fig.1.1Sculpture"flowing melody"and it’s test curve
1.2.2声学超材料的发展
随着声子晶体理论的发展和成熟，具有不同属性和功能的声子晶体被相继提出，其中一些具备不同于布拉格带隙的声子晶体被发现，为了区别不同带隙的生成机理，因此提出了声学超材料的概念。

本质上声学超材料和声子晶体没有界限区分，声学超材料可以看作是声子晶体的扩展细化，包含于声子晶体。

一般认为声学超材料的带隙机理为局域共振机理，相对的结构尺寸和波长比可以很小，达到亚波长尺度；而声子晶体是基于布拉格散射，结构尺寸与波长相当。

2000年，武汉大学Liu等[6]首次提出声子晶体的局域共振机理。

该团队将软材料包裹的铅球周期性的嵌入环氧树脂基体中组成声子晶体，数值分析和实验对比证明这种声子晶体的带隙频率对应的波长要远大于其晶格尺寸，让小尺寸声子晶体的低频减振降噪成为可能。

2004年，Li和Chan[19]首次明确提出了声学超材料的概念，他们在水中周期性分布软硅胶振子，并发现这种复合结构在特定频率范围内具有负的等效质量密度和负的等效体积模量（即“双负”声学参数特性）。

通过对布拉格带隙和局域共振带隙深入研究，Goffaux等[20,21]用机械模型模拟二维三组元声子晶体中局域共振带隙的生成机理，
屈曲声学超材料的带隙调控方法研究
-4-
通过数值对比发现布拉格带隙的衰减能力要明显高于局域共振带隙。

在此基础上，Hirsekorn 和Wang 等[22-24]将局域共振型声子晶体单胞简化为弹簧质量系统，并用简化系统的共振模式和固有频率对带隙的起止频率进行估算，实现将局域共振带隙的起止频率参数化。

进一步地，肖勇等[25,26]对布拉格和局域共振带隙的相互耦合作用进行了研究，发现在局域共振型周期杆中同时存在两种带隙，当局域共振单元的谐振频率调节至布拉格条件附近时，可以实现两种带隙的耦合效应，得到一种超宽的“布拉格-局域共振”
耦合带隙，这些研究对声学超材料的带隙调控和设计提供了新的启示。

图1.2局域共振型声子晶体样品
Fig.1.2Local resonant phononic crystal sample
1.3声学超材料带隙调控的研究现状
2008年，Bertoldi 等[27]用高弹性聚合物设计出一种基于布拉格带隙的声子晶体，如图1.3所示，通过对周期打孔的弹性声子晶体施加压缩，使结构产生变形和屈曲失稳，
实现了对带隙频率范围的调节。

2014年，Shan 和Kang 等[28]设计出一种可折叠软周期结构声子晶体，结构的折叠变形是基于类梁韧带的屈曲失稳。

在结构上施加载荷，会改变声子晶体的能带结构，形成特殊的“塌陷带”，可以有效地用于调节弹性波在声子晶体中的传播，增强系统动态响应的可调性。

同时还发现改变施加载荷的角度，引起的屈曲变形模式会形成多种模式的转换，不同的模式具有不同的带隙结构，通过数值和试验表明不同的变形模式和变形程度都可以用来调节带隙。

大连理工大学硕士学位论文
图1.3布拉格型声学超材料的屈曲
Fig.1.3Buckling of Bragg type acoustic metamaterials
在上述研究中，带隙的调控均为布拉格型，其带隙出现在相对较高的频率范围内。

2014年，哈佛大学的Pai Wang等[29]设计了一种可以主动调节带隙的局域共振型声学超材料，如图1.4所示。

该声学超材料是由硅橡胶基体和铜的振子组成，其中振子与基体并不是紧密相连，而是通过软梁与基体相连。

通过试验和仿真对比发现外部的压缩导致了软梁的屈曲，从而极大改变了梁的刚度，实现了低频局域共振带隙的调节。

2017年，Bishop等[30]提出一种超阻尼超材料（Hyperdamping Meta-materials），它是由金属壳，硅树脂和内部的振子构成的。

通过硅树脂梁在金属壳内部的屈曲失稳，使振子的正负刚度抵消，达到弹性稳定极限，从而极大的降低结构的固有频率，对应的阻尼比会无限制增长。

文中通过将超阻尼包裹体嵌入多空弹性材料沫中进行试验，证明了超阻尼超材料对声波的特殊吸收能力。

除此之外用介电高弹聚合物的外加电场诱导大变形的特性也可以用作带隙调控。

周伟建等[31]研究了压电弹簧的主动电控效应，施加电场可以引起超材料梁的预应变，可以同时调节局域共振带隙和布拉格带隙。

Gei等[32]将柔性电极片贴在由介电高弹性体构成的超材料板，证明周期性变化的电压可以有效的改变超材料带隙的频率范围。

Shmuel
等[33]通过理论分析证明了电压的周期性变化分别对介电弹性体组成的一维和二维声学
超材料能带结构的调节作用。

-6
-
图1.4
局域共振型声学超材料的屈曲Fig.1.4Buckling of local resonance acoustic metamaterials
1.4声学超材料的应用前景
基于声学超材料的带隙特性，通过周期性的结构排布可以生成弹性波禁带，抑制振动和声波的传输，使声学超材料在机械加工、精密仪器和无噪音实验室的减振降噪方面提供了广阔的应用前景。

同时，声学超材料因具备对弹性波的超常吸收能力，“双负”（负质量密度、负弹性模量）特性、负折射能力等特殊的物理效应，除了减振降噪领域之外，在其他的方面也得到了广泛的应用[34]。

如图1.5所示，Khelif 等[35]首次提出声学超材料的“声波导”特性。

如果在二维声学超材料中引入线缺陷破坏结构的周期性，当频率在带隙范围时弹性波在超材料单胞中的传播被抑制，会沿着缺陷处定向传播，实现声波的传播方向控制。

湖南大学Liu 等[36]设计一种螺旋迷宫型声学超材料，可以实现障碍物的声学隐身。

当没有周期排列的超材料时，声波遇到障碍物会发生反射导致波形混乱；障碍物被超材料包围的结构中声波则可以在波导中传播，并且波形几乎不会发生变化。

Liang 等[37]利用声学超材料的带隙特性实现了声学二极管的设计，当处于带隙频率范围的声波从超材料（Superlattice ）一侧入射时不能通过，但是从非线性材料（NLM ）一侧入射，声波频率变化为通带频率则可以顺利通过，实现了声波的单向传输功能。

Li 和Cai 等[38]利用声表面波增投的频率选择特性，发展了高精度的超声控制技术“声筛”，实现对微小颗粒的筛选、捕获和移动等功能。

声学超材料以其超越自然界材料的特殊物理性质，演变成为跨越力学、声学、物理、材料科学等众多学科交叉的科研技术，在理论研究和实际应用都有广泛的发展前景。

（a）声波导（b）声隐身
（c）声二极管（d）声筛
图1.5声学超材料的部分应用
Fig.1.5Some applications of acoustic metamaterials
1.5本文主要研究内容
本文依据屈曲对声学超材料带隙的调节，分别提出了被动调节的一维声学超材料和主动调节的二维声学超材料，实现了局域共振声学超材料的低频带隙调节。

本文的研究内容分为以下几个部分：
第一章阐述了振动和噪声对现代工业设备的影响和对人身体健康的危害，强调了减振降噪在工程领域和生活中的重要性；然后介绍了声学超材料的起源和发展现状，运用屈曲结构的声学超材料对带隙的调控；最后介绍了声学超材料在理论研究和实际应用的发展前景。

第二章介绍了声学超材料的相关理论基础，给出了带隙求解中运用的弹性波传播理论和能带理论。

推导出传递矩阵法、平面波展开法和有限元法求解带隙的过程，并举出相关算例。

第三章提出一种嵌入梁结构的一维声学超材料，研究了其带隙生成机理，分别从能带结构和传输特性两个方面计算其带隙特性，并将结果做对比。

然后分别分析了单胞中梁的宽度、弹性模量和曲率半径对其带隙变化的影响规律。

最后提出施加梁内预应变的被动带隙调节方式，发现应变引起梁的屈曲可以在一定程度上降低带隙的频率范围，同时也有关闭带隙的能力。

第四章提出一种四周环绕梁的二维屈曲振子声学超材料。

分别从单轴压缩和双轴压缩分析了其对带隙的调节。

然后分析了不同梁数量和宽度的单胞结构在单轴压缩和双轴压缩下带隙的变化规律，证实在不同结构参数下压缩效应的广泛适用性。

-8-
2声学超材料的相关理论和计算方法
2.1弹性波相关理论当弹性介质受到外部激励时，并不是介质内所有的点一起发生应力、应变和位移，而是最先受到力的部分先产生应变和位移，然后通过弹性介质中的各个质点之间相互作用依次传播。

振动通过质点之间的相互作用由近及远的传播，就是弹性波的传播过程[39]。

声学超材料中的弹性波传播满足弹性动力学对材料的假设，因此同样离不开固体力学理论的支撑，所以弹性波理论也是声学超材料研究的基础理论之一。

从弹性波的传播过程中可以发现，波动不是弹性介质的整体运动，而是一种局部运动。

弹性介质中的每一个质点都是在其平衡位置附近振动，从而实现弹性波传播的能量传递。

弹性波在介质中传播离不开介质的两个属性，一个是介质可变性，另一个是惯性。

当激励施加于弹性介质上引起局部振动，此时需要克服介质的致密性对变形的约束以及惯性对运动的约束。

惯性在激励还未到达质点时保持质点静止不动，而激励被感知之后又维持了质点的运动保证了其传播。

实际上在波传播的过程中也要考虑阻尼的影响，依据阻尼的不同形成方式，能量通过摩擦热等方式被消耗衰减，所以停止外部激励之后，波的传播会逐渐平息。

当波传入介质，振动状态相同的质点构成的面叫做波阵面。

考虑一维x 方向的弹性介质，当受到均匀作用力)(t p ，会产生)(t x 方向的纵波，其波阵面可以看作是一条直线。

质点受到扰动后受到的应力为：
(-c x t p -=τ（2.1）可以得到质点速度：
)(1c x t p c u -=ρ （2.2）
则应力和速度关系：
u c ρτ-=（2.3）
式中，ρ是介质的密度，c 是波在介质中的传播速度。

应力和质点速度之比c ρ是材料的常数，称为机械阻抗或波阻抗，是度量应力产生运动的一种方式。

如果)(t p 随着时间正弦变化并且频率为f ，那么在沿着x 正方向传播的波场中，t 时刻点x 处的位移可以表示为：
)cos(),(kx wt A t x u -=（2.4）。