高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战38477

1.复数()i 2i -=（） A ．12i + B ．12i -
C ．12i -+
D ．12i --
答案：A 解析过程： 原式=2ii2=1+2i
2.若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪
+⎨⎪⎩
≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为（）
A ．0
B ．1
C
．
3
2
D ．2 答案：D 解析过程：
如图
所表示的区域为不等式组表示的平面区域，
易知点为目标函数取得最大值的最优解，即Zmax=0+21=2
3.执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）
A ．()22-，
B ．()40-，
C ．()44--，
D ．()
08-，
解析过程： 据框图可得：
4.设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的（）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案： B
解析过程：
显然由m β∥推不出αβ∥，但αβ∥能推出m β∥，故选B 5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）
A ．25+
B ．45+
C ．225+
D ．5
解析过程：直观图如图： 在ABC
∆过点A 作BC 的垂线交BC 于点D ，
连接PD ，12ABC S BC AD ∆=
⨯⨯1
2222
=⨯⨯=， 1
2
PAB PAC S S PA AC ∆∆==⨯⨯15512=⨯⨯=
， 又因为5AC =
，1PC =，所以6PB PC ==
5PD =，12PCB S BC PD ∆=⨯⨯1
2552
=⨯⨯=
所以，表面积5
225225S =+⨯
+=+，选C
6.设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（）
A ．若120a a +>，则230a a +>
B ．若130a a +<，则120a a +<
C ．若120a a <<，则213a a a >
D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 答案： C
解析过程：可使用特值法。

A.例如 B.例如：
C.若d>0,
D.()()2
2123=-d 0--≤a a a a
选C
7.如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是（）
A ．{}|10x x -<≤
B ．{}|11x x -≤≤
C ．{}|11x x -<≤
D ．{}
|12x x -<≤
答案： C
解析过程：
如图：若x=1时，()()2log 1=+f x x ， 所以()()2log 1f x x +≥的解集是（1,
，
需要注意()2log 1=+y x 的定义域不包括1，故选C
8.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（）
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
答案：
D
解析过程：
A.问的是纵坐标的最大值
B.消耗1升油甲走最远，反过来路程相同，甲最省油
C．此时甲走过了80千米，消耗8升汽油
D.80km/h丙“燃油效率”更高，更省油,故选D
二、填空题
9.在()5
+的展开式中，3x的系数为．（用数字作答）
2x
答案：
40
解析过程：
通项：,令k=3,得到3x的系数为
10.已知双曲线()2
2210x y a a
-=>的一条渐近线为30x y +=，则a =．
答案：
33
解析过程： 由30x y +=得到
,所以
又
11.在极坐标系中，点π23⎛
⎫ ⎪⎝
⎭‚到直线()
cos 3sin 6ρθθ+=的距离为．
答案： 1
解析过程：
π23⎛
⎫ ⎪⎝
⎭‚转化为（1，
），直线()
cos 3sin 6ρθθ+=
可化为：
y6=0,利用点到直线的距离公式求出：距离d=
12.在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin A
C
=． 答案： 1
解析过程：
,
sin2A=2sinAcosA=2××=， 又由正弦定理sinC=
故
sin 2sin A
C
=1 13.在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =．若MN xAB y AC =+，则x =；y =． 答案：
12x =
16
y =- 解析过程： 如图：
∵
∴12x =
16
y =- 14.设函数()(
)()2142 1.x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩‚‚‚≥
①若1a =，则()f x 的最小值为；
②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是． 答案： ①1 ②
1
122
a a ≤≥＜或 解析过程： (1)当x<1时，
；当
时，
,∴
,综上所述：
的最小值是1.
(2)①若函数在x<1时与x 轴有一个交点，
所以a>0,并且当x=1时，>0,
所以0<a<2,函数有一个交点，
所以
②若函数与x 轴没有交点， 则有两个交点，
当
当
时，
的两个交点为
都是满足题意的
综上所述，的取值范围是1
122
a a ≤≥＜或. 三、解答题
15.已知函数2()2cos 22
22
x x x f x ． (Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；
(Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．
答案：(Ⅰ)
(Ⅱ)
解析过程：
(Ⅰ)
2 ()2sin cos2sin
222 =-
x x x f x
=
=）
从而最小正周期是
(Ⅱ)由(Ⅰ)知）
∵[π0]
-，∴
∴）[1,]
故当=，即时，.
16.A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：
A组：10，11，12，13，14，15，16
B组：12，13，15，16，17，14，a
假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．
(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率；
如果25
a=，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
(Ⅲ) 当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）
答案：
(Ⅰ)
解析过程：
(Ⅰ)
当25
a=时，
假设乙的康复时间是12天，则符合题意的甲有：13天，14天，15天，16天共4人；
若乙的康复时间是13天，则符合题意的甲有：14天，15天，16天共3人；
若乙的康复时间是14天，则符合题意的甲有：15天，16天共2人；
若乙的康复时间是15天，则符合题意的甲有：16天共1人；
当乙的康复时间是其他值时，由于甲的最大康复时间是16天，均不合题意.
所以符合题意的甲、乙选择方式共4+3+2+1=10种，
故
根据数据平移和调整顺序不影响方差易得。

17.如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF △为等边三角形，平面平AEF ⊥面EFCB ，EF BC ∥，4BC =，
2EF a =，60EBC FCB ∠=∠=︒，O 为EF 的中点． (Ⅰ) 求证：AO BE ⊥；
(Ⅱ) 求二面角F AE B --的余弦值； (Ⅲ) 若BE ⊥平面AOC ，求a 的值．
答案：(Ⅱ)
解析过程： (Ⅰ)证明：
∴AEF △为等边三角形，O 为EF 的中点 ∴AO ⊥EF
又∵平面平AEF ⊥平面EFCB ，且平面平平⋂AEF 面EFCB =EF ∴AO ⊥平面EFCB ∴AO ⊥BE
(Ⅱ)解：取CB 的中点D ，连接OD 如图：分别以OE ，OD ，OA 所在直线为建立直角坐标系,
A
, E
由已知得：平面AEF 的法向量为
设平面AEB 的法向量为
(
)()302320⎧-=⎪
⎨
-+-=⎪⎩ax az a x a y 所以
所以所以二面角F AE B --的余弦值=
因为二面角F AE B --为平面角为钝角， 所以余弦值
(Ⅲ)由(Ⅰ)知：AO ⊥平面EFCB ∴AO ⊥BE 若BE ⊥平面AOC ，仅需BE ⊥OC 由(Ⅱ)得
=0，解得a=2或a=
18.已知函数()1ln
1x
f x x
+=-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当()01x ∈，
时，()323x f x x ⎛
⎫
>+ ⎪⎝
⎭
； （Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫
>+ ⎪⎝
⎭对()01x ∈，
恒成立，求k 的最大值． 答案：
；（Ⅲ）的最大值是2.
解析过程： （Ⅰ）()1ln
1x f x x
+=-，；
（Ⅱ）原命题等价于
设函数
∴
，当
时，
,函数在上单调递增，=0,
所以当()01x ∈，
时，()323x f x x ⎛⎫
>+ ⎪⎝
⎭ （Ⅲ）由()33x f x k x ⎛⎫
>+ ⎪⎝⎭得：1ln 1+-x x 33⎛⎫>+ ⎪⎝
⎭x k x ，()01x ∈，
>0, ()01x ∈，
)=
，()01x ∈，
， 所以，，函数单调递增，>
=0显然成立；
当>2时，令，设为方程的根，则=
<
=0，显然不成立，由此可知，的最大值是2.
19.已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的离心率为22，点()01P ，
和点()A m n ，()0m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；
（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．
答案：
（Ⅰ）,01⎛⎫
⎪⎝⎭
-n M m
（Ⅱ）存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠
解析过程：
（Ⅰ）∵椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>过()01P ，
∴
=1
又∵离心率==
22
∴
∴椭圆方程为2
212
+=x y
∵()01P ，
，()A m n ，， ∴直线PA 的方程为, 直线PA 与x 轴交于点M ．
令
,则
, ∴,01⎛⎫
⎪⎝⎭
-n M m
（Ⅱ）∵()01P ，
，()，-B m n ∴直线PB 的方程为
，直线PB 交x 轴于点N
令,则, ∴,01⎛⎫ ⎪⎝⎭
+n N m 设()00,Q y 则
= =
∵
== ∴
= ∴
=2 ∴
∴存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠
20.已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a ≤，且121823618n
n n n n a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，()12n =，，…．记集合
{}*|n M a n =∈N ．
（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；
（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数；
（Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．
答案：
（Ⅰ）{}12346,12,24,2243612,6,12,24====⨯-=∴=a a a a M
（Ⅲ）集合M 的元素个数的最大值是8
解析过程：
（Ⅰ）{}12346,12,24,2243612,6,12,24====⨯-=∴=a a a a M
（Ⅱ）用反证法证明
是3的倍数， 假设是3的倍数，用数学归纳法可证明是3的倍数:当n=1时，
是3的倍数，假设n=k 时，是3的倍数，对于n=k+1,或都不是3的倍数，则所有的是3的倍数，这与集合M 存在一个元素是3的倍数相矛盾.
因此是3的倍数，于是或是3的倍数，以此类推，所有的是3的倍数. （Ⅲ）集合M 的元素个数的最大值是8
首先集合M 的元素个数不超过36，由易得类似可得.
其次，M 的元素除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数肯定是偶数，由
的定义可知第三个数及其
后面的数肯定是4的倍数.
再次，M 中的数除以9的余数，由定义可知，与2除以9的余数一样，
① 若中有3的倍数，由（Ⅱ）可知：所有的是3的倍数，所以，
除以9的余数为：3,6,3,6，…或6,3,6,3,…,或0,0，…而除以9余3且是4的倍数只有12，除以9余6且是4的倍数只有24，除以9余0且是4的倍数只有36，则M 中的数从第三项起最多两项，加上前面两项最多四项.
② 若中没有3的倍数，则都不是3的倍数，对于除以9的余数只能是1,4,7,2,5,8中的一个，从起，
除以9的余数为, 1,2,4,8，7,5,1,2,4,8，…六项一循环（可能是从2,4,8,7或5开始），而除以9的余数是1，2,4,8,7,5且是4的倍数（
36）只有28,20,4,8,16,32，所以M 中项加上前两项最多8项， 易知，{}1,2,4,8,16,20,28,32=M 项数为8，集合M 的元素个数的最大值是8
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（5分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）
A.30
B.20
C.15
D.10
2.（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）
A.{﹣1，0，1，2}
B.{﹣2，﹣1，0，1}
C.{0，1}
D.{﹣1，0}
3.（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）
A.向左平行移动个单位长度
B.向右平行移动个单位长度
C.向左平行移动1个单位长度
D.向右平行移动1个单位长度
4.（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）
A.＞
B.＜
C.＞
D.＜
5.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）
A.0
B.1
C.2
D.3
6.（5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）
A.192种
B.216种
C.240种
D.288种
7.（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）
A.﹣2
B.﹣1
C.1
D.2
8.（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）
A.[，1]
B.[，1]
C.[，]
D.[，1]
9.（5分）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）.现有下列命题：
①f（﹣x）=﹣f（x）；
②f（）=2f（x）
③|f（x）|≥2|x|
其中的所有正确命题的序号是（）
A.①②③
B.②③
C.①③
D.①②
10.（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，
•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）
A.2
B.3
C.
D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11.（5分）复数=.
12.（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=.
13.（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于m.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）
14.（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）.则|PA|•|PB|的最大值是.
15.（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M].例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B.现有如下命题：
①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；
②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；
③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B.
④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B.
其中的真命题有.（写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）.
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值.
17.（12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.
（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.
18.（12分）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB 的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.
（1）证明：P是线段BC的中点；
（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值.
19.（12分）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）.
（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和Tn.
20.（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.
①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；
②当最小时，求点T的坐标.
21.（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数.
（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；
（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围.
高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(10)
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（5分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）
A.30
B.20
C.15
D.10
【分析】利用二项展开式的通项公式求出（1+x）6的第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2的系数.然后求解即可.
【解答】解：（1+x）6展开式中通项Tr+1=C6rxr，
令r=2可得，T3=C62x2=15x2，
∴（1+x）6展开式中x2项的系数为15，
在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为：15.
故选：C.
【点评】本题考查二项展开式的通项的简单直接应用.牢记公式是基础，计算准确是关键.
2.（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）
A.{﹣1，0，1，2}
B.{﹣2，﹣1，0，1}
C.{0，1}
D.{﹣1，0}
【分析】计算集合A中x的取值范围，再由交集的概念，计算可得.
【解答】解：A={x|﹣1≤x≤2}，B=Z，
∴A∩B={﹣1，0，1，2}.
故选：A.
【点评】本题属于容易题，集合知识是高中部分的基础知识，也是基础工具，高考中涉及到对集合的基本考查题，一般都比较容易，且会在选择题的前几题，考生只要够细心，一般都能拿到分.
3.（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）
A.向左平行移动个单位长度
B.向右平行移动个单位长度
C.向左平行移动1个单位长度
D.向右平行移动1个单位长度
【分析】根据 y=sin（2x+1）=sin2（x+），利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论.
【解答】解：∵y=sin（2x+1）=sin2（x+），∴把y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，
即可得到函数y=sin（2x+1）的图象，
故选：A.
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题.
4.（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）
A.＞
B.＜
C.＞
D.＜
【分析】利用特例法，判断选项即可.
【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，
则，，∴A、B不正确；
，=﹣，
∴C不正确，D正确.
解法二：
∵c＜d＜0，
∴﹣c＞﹣d＞0，
∵a＞b＞0，
∴﹣ac＞﹣bd，
∴，
∴.
故选：D.
【点评】本题考查不等式比较大小，特值法有效，导数计算正确.
5.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）
A.0
B.1
C.2
D.3
【分析】算法的功能是求可行域内，目标函数S=2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，得出最大值.
【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，
画出可行域如图：
当时，S=2x+y的值最大，且最大值为2.
故选：C.
【点评】本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.
6.（5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）
A.192种
B.216种
C.240种
D.288种
【分析】分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论.
【解答】解：最左端排甲，共有=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96种，
根据加法原理可得，共有120+96=216种.
故选：B.
【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题.
7.（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）
A.﹣2
B.﹣1
C.1
D.2
【分析】由已知求出向量的坐标，再根据与的夹角等于与的夹角，代入夹角公式，构造关于m的方程，解方程可得答案.
【解答】解：∵向量=（1，2），=（4，2），
∴=m+=（m+4，2m+2），
又∵与的夹角等于与的夹角，
∴=，
∴=，
∴=，
解得m=2，
故选：D.
【点评】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，难度中档.
8.（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）
A.[，1]
B.[，1]
C.[，]
D.[，1]
【分析】由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出.
【解答】解：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.
不妨取AB=2.
在Rt△AOA1中，==.
sin∠C1OA1=sin（π﹣2∠AOA1）=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1=，
=1.
∴sinα的取值范围是.
故选：B.
【点评】本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系、线面角的求法，考查了推理
能力，属于中档题.
9.（5分）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）.现有下列命题：
①f（﹣x）=﹣f（x）；
②f（）=2f（x）
③|f（x）|≥2|x|
其中的所有正确命题的序号是（）
A.①②③
B.②③
C.①③
D.①②
【分析】根据已知中函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假，最后综合判断结果，可得答案.
【解答】解：∵f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1），
∴f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣f（x），即①正确；
f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln（）﹣ln（）=ln （）=ln[（）2]=2ln（）=2[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=2f（x），故②正
确；
当x∈[0，1）时，|f（x）|≥2|x|⇔f（x）﹣2x≥0，令g（x）=f（x）﹣2x=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x（x∈[0，1））
∵g′（x）=+﹣2=≥0，∴g（x）在[0，1）单调递增，g（x）=f（x）﹣2x≥g （0）=0，
又f（x）≥2x，又f（x）与y=2x为奇函数，所以|f（x）|≥2|x|成立，故③正确；
故正确的命题有①②③，
故选：A.
【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了对数的运算性质，代入法求函数的解析式等知识点，难度中档.
10.（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，
•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）
A.2
B.3
C.
D.
【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题.
【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），
直线AB与x轴的交点为M（m，0），
由⇒y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1•y2=﹣m，
∵•=2，∴x1•x2+y1•y2=2，
结合及，得，
∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2=﹣2，故m=2.
不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又，
∴S△ABO+S△AFO═×2×（y1﹣y2）+×y1，
=.
当且仅当，即时，取“=”号，
∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B.
【点评】求解本题时，应考虑以下几个要点：
1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式.
2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高.
3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11.（5分）复数= ﹣2i .
【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数，可得结果.
【解答】解：复数===﹣2i，
故答案为：﹣2i.
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题.
12.（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）= 1 .
【分析】由函数的周期性f（x+2）=f（x），将求f（）的值转化成求f（）的值.
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，
∴=1.
故答案为：1.
【点评】本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于“送分题”.
13.（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于 60 m.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）
【分析】过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，分别在Rt△ACD、Rt△ABD中利用三角函数的定义，算出CD、BD的长，从而可得BC，即为河流在B、C两地的宽度.
【解答】解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，
则Rt△ACD中，∠C=30°，AD=46m，
AB=，根据正弦定理，，
得BC===60m.
故答案为：60m.
【点评】本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题.
14.（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）.则|PA|•|PB|的最大值是 5 .
【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值.
【解答】解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），
动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），
注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，
则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.
故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）
故答案为：5
【点评】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出.直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题.
15.（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M].例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B.现有如下命题：
①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；
②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；
③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B.
④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B.
其中的真命题有①③④.（写出所有真命题的序号）
【分析】根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论.
【解答】解：（1）对于命题①，若对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，则f（x）的值域必为R.反之，f（x）的值域为R，则对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，故①是真命题；
（2）对于命题②，若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M].
∴﹣M≤f（x）≤M.例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f （x）无最大值，无最小值，故②是假命题；
（3）对于命题③，若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M.故f （x）+g（x）∈（﹣∞，+∞）.
则f（x）+g（x）∉B，故③是真命题；
（4）对于命题④，∵﹣≤≤，
当a＞0或a＜0时，aln（x+2）∈（﹣∞，+∞），f（x）均无最大值，若要使f（x）有最大值，则a=0，此时f（x）=，f（x）∈B，故④是真命题.
故答案为①③④.
【点评】本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想.本题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）.
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值.
【分析】（1）令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间. （2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，可得sin（α+）=cos（α+）cos2α，化简可得（cosα﹣sinα）2=.再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα 的值.
【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（3x+），令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈Z，求得﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k∈Z. （2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，∴sin（α+）=cos（α+）cos2α，即sin（α+）=cos（α+）（cos2α﹣sin2α），
∴sinαcos+co sαsin=（cosαcos﹣sinαsin）（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）
即（sinα+cosα）=•（cosα﹣sinα）2（cosα+sinα），
又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，
当sinα+cosα=0时，tanα=﹣1，sinα=，cosα=﹣，此时cosα﹣sinα=﹣.
当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣.
综上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣.
【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题.
17.（12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.
（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而
减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.
【分析】（1）设每盘游戏获得的分数为X，求出对应的概率，即可求X的分布列；
（2）求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论.
（3）计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可.
【解答】解：（1）X可能取值有﹣200，10，20，100.
则P（X=﹣200）=，
P（X=10）==
P（X=20）==，
P（X=100）==，
故分布列为：
X ﹣200 10 20 100
P
由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p=+=，
则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣.
由（1）知，每盘游戏获得的分数为X的数学期望是E（X）=（﹣200）×+10×+20××100=﹣=.
这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少.
【点评】本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力.
18.（12分）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB 的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.
（1）证明：P是线段BC的中点；
（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值.
【分析】（1）用线面垂直的性质和反证法推出结论，
（2）先建空间直角坐标系，再求平面的法向量，即可求出二面角A﹣NP﹣M的余弦值. 【解答】解：（1）由三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A﹣BCD中：平面ABD⊥平面CBD，AB=AD=BD=CD=CB=2
设O为BD的中点，连接OA，OC
于是OA⊥BD，OC⊥BD 所以BD⊥平面OAC⇒BD⊥AC
因为M，N分别为线段AD，AB的中点，所以MN∥BD，MN⊥NP，故BD⊥NP
假设P不是线段BC的中点，则直线NP与直线AC是平面ABC内相交直线
从而BD⊥平面ABC，这与∠DBC=60°矛盾，所以P为线段BC的中点
（2）以O为坐标原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，），M（，O，），N（，0，），P（，，0）
于是，，
设平面ANP和平面NPM的法向量分别为和
由，则，设z1=1，则
由，则，设z2=1，则
cos===
所以二面角A﹣NP﹣M的余弦值
【点评】本题考查线线的位置关系，考查二面角知识的应用，解题的关键是掌握用向量的方法求二面角大小的步骤，属于中档题.
19.（12分）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）.
（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和Tn.
【分析】（1）由于点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上，可得，又等差数列{an}的公差为d，利用等差数列的通项公式可得=2d.由于点
（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，可得=b8，进而得到=4=2d，解得 d.再
利用等差数列的前n项和公式即可得出.
（2）利用导数的几何意义可得函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程，即可解得a2.进而得到an，bn.再利用“错位相减法”即可得出.
【解答】解：（1）∵点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上，
∴，
又等差数列{an}的公差为d，
∴==2d，
∵点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，
∴=b8，
∴=4=2d，解得d=2.
又a1=﹣2，∴Sn==﹣2n+=n2﹣3n.
（2）由f（x）=2x，∴f′（x）=2xln2，
∴函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为，
又，令y=0可得x=，
∴，解得a2=2.
∴d=a2﹣a1=2﹣1=1.
∴an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n，
∴bn=2n.
∴.
∴Tn=+…++，
∴2Tn=1+++…+，
两式相减得Tn=1++…+﹣=﹣
=
=.
【点评】本题综合考查了指数函数的运算性质、导数的几何意义、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“错位相减法”，属于难题.
21.（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数.
（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；
（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围.
【分析】（1）求出f（x）的导数得g（x），再求出g（x）的导数，对它进行讨论，从而。