“退一步”目阔题开

“退一步”目阔题开
作者：邵英春
来源：《读写算》2013年第33期
华罗庚说“先足够的退到我们所容易看清楚问题的地方，认透了、钻深了、然后再上去”。

这种以退为进的解题策略，对很多题目行之有效，确实能“退一步题目开阔凭我跃”。

运用这一策略的常见情形有“从一般到特殊、从复杂退到简单、从多退到少、从整体退到局部等”。

下面结合例题介绍一下这种策略。

一、从一般到特殊
解题有时很困惑、繁琐，这时可考虑从特殊点、特殊值、特殊图形出发进行探索。

例1：（如图1）两个边长为2a的相同正方形，其中一个正方形的顶点是另一个正方形的中心，则这两个正方形重叠的面积是？
分析：这是初二常见题，可以做辅助线求解。

但若能用以退求进的思想，将图形从一般退到特殊，考虑两个正方形位置关系中的特殊情形（如图2），此时他们的重叠部分为边长为a 的小正方形，这样就避免了辅助线的繁琐，很容易看出所求的面积为a2。

二、由多退到少
有些题目所求目标数据太大，不能或不易求解，可利用由多退到少的解题思路，先求同类的较小数据，然后观察规律，得出要求的数据。

例2：如图3，△OPA1、△A1P2A2、△A2P3A3……均为等腰直角三角形，顶点P1、P2、P3、P4……P2013在函数 y=4x（x>0）图象上的点，A1、A2、A3、A4……A2013在X轴的正半轴上，则P2013的横坐标是？
分析：此题要直接求P2013的横坐标，显然不可能。

可先计算P1、P2、P3、P4的横坐标，然后根据这些点横坐标的规律，归纳得出P2013的横坐标。

解：作P1M⊥x轴、P2N⊥x轴、P3P⊥x轴、P4Q⊥x轴……
∵△OPA1、△A1P2A2、△A2P3A3……均为等腰直角三角形
∴PM=OM、P2N=AN、P3P=A2P……
设P1（m，m）
∵P1是函数 y=4x（x>0）图象上的点
∴ 4m ∴m1=2、m2=-2（舍）∴P1（2，2）
∵ON= OA1 + A1N ∴设P2（4+n，n）
∵P2是函数 y=4x（x>0）图象上的点
∴ n=44+n∴n1=-2+22、m2=--2-22（舍）
∴P2（2+22，22-2）
设P3（42+a，a），同理可求P3（22+23，-22+23）；
同理可求P4（23+24，-23+24）
∴P2013的横坐标为22012+22013
三、从复杂到简单
有些题目已知条件很简单，但图形却很复杂，不易发现解题途径，可运用从复杂退到简单的策略，去掉干扰图形，题目就变得简洁，从而迅速的找出解题思路。

例3：如图4，△ABD与△ACE是等腰三角形，∠BAD=∠CAE=90°，求证BE=CD。

分析：这里的BD、CE只是已知条件中构成等腰直角三角形的，BC只是把点B、C连接起来，和要证的结论没有什么关系，自始至终是旁观者，若把BD、CE、BC擦掉（如图5），图形就有复杂变简单了，用SAS就可以证出BE=CD。

四、从整体到局部
有些综合类题目，整体考虑可能无从下手，，若将题目分类成局部思考，就可以化难为易，迅速求解。

例4：已知正方形OABC，边长为2，顶点A、C分别在x、y正半轴上，M为BC的中点，P（o，m）是线段OC上的一动点（C点除外），直线PM交AB延长线于点D，当△APD 成为等腰三角形时，求m的值。

分析：△APD成为等腰三角形时，即有AD=AP、PA=PD、DA=DP三种情况，结合题目已知情况对应的图形如下图6，借助直观图形，可迅速得出思路。

解：∵PC∥AB
∴△PCM∽△DBM
∴CPBD=PMDM=MCMB=1
∴PM=DM，CP=BD=2-m AD=4-m
∴ D（2，4-m）
当AD=AP时，如图①：在△AOP中，AP=4+m2
∴4+m2=4-m ∴m=32
当PA=PD时，如图②：做PN⊥AD，∴AN=12AD
∵AN=OP=m，∴m=12（4-m）∴m=34
当DA=DP时，如图③：作ON⊥y轴，在△DNP中，DP=（4-m-m）2+4
∴（4-m-m）2+4=4-m ∴m1=23，m2=2（舍）
综上所述，当△APD成为等腰三角形时，m=32、43或23
实践证明，以退求进这种思维方式不仅可以提高分析问题、解决问题的能力，也能促进认知结构的优化与发展，使我们的思维更加开阔、慎密、完备。