衡中2018届十调文数

2017—2018高三十模考
（文科）数学
一、选择题
1.已知全集U Z =，{0123}A =，，，，2
{|2}B x x x ==，则(C )U A
B （ ）
A ．{1,3}
B ．{0,2}
C ．{0,1,3}
D ．{2} 2.若复数212i
z i
-=
+，则z =（ ） A ．4 B ．1 C ．0 D ．2-
3.为了让大家更好地了解我市的天气变化情况，我市气象局公布了近年来我市每月的日平均最高气温与日平均最低气温，现绘成雷达图如图所示，下列叙述不正确的是（ ）
A ．各月的平均最高气温都不高于25度
B ．七月的平均温差比一月的平均温度小
C ．平均最高气温低于20度的月份有5个
D ．六月、七月、八月、九月的平均温差都不高于10度 4.已知函数3log (),0
()(2),0
x x f x f x x -<⎧=⎨
--≥⎩，则(2017)f =（ ）
A ．1
B ．0
C ．1-
D ．3log 2
5.设双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是1A ，2A ，过F 做
12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若12A B A C ⊥，则双曲线的渐近线的斜率为（ ）
A ．1
2
±
B ．±
C ．1±
D ．6.已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） A ．
172 B ．19
2
C ．10
D ．12 7.函数sin ()ln(2)
x
f x x =
+的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A B C D 9.给出30个数：1，2，4，7，11，16，…，要计算这30个数的和.如图给出了该问题的程序框图，那么框图中判断框①处和执行框②处可以分别填入（ ）
A ．30?i ≤和1p p i =+-
B ．31?i ≤和1p p i =++
C ．31?i ≤和p p i =+
D ．30?i ≤和p p i =+ 10.已知函数()()f x x R ∈满足()2()f x f x -=-，若函数1
x y x
+=
与()y f x =的图象的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)m m x y ，则
1
()m
i
i
i x y =+∑等于（ ）
A ．0
B ．m
C ．2m
D ．4m
11.正四面体A BCD -的所有棱长均为12，球O 是其外接球，M ，N 分别是ABC ∆与
ACD ∆的重心，则球O 截直线MN 所得的弦长为（ ）
A ．4 B
．
．
．
2
12.已知抛物线C ：2
2(0)y px p =>经过点(1,2)-，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，
B 两点，7
(,0)2
Q -，若BQ BF ⊥，则BF AF -=（ ）
A ．1-
B ．3
2- C ．2- D ．4-
二、填空题：
13.已知实数x ，y 满足条件11040y x y x y ≥⎧⎪
--≥⎨⎪+-≤⎩
，则2z x y =+的最大值是 ．
14.某公司招聘员工，有甲、乙、丙三人应聘并进行面试，结果只有一人被录用，当三人被问到谁被录用时，甲说：丙没有被录用；乙说：我被录用；丙说：甲说的是真真.事实证明，三人中只有一人说的是假话，那么被录用的人是 ．
15.已知平面向量a 与b 的夹角为
3
π
，()
1,3a =，223a b -=，则b = ． 16.正整数数列{}n a 满足11
,231,n n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶
是奇
，已知72a =，{}n a 的前7项和的最大值
为S ，把1a 的所有可能取值按从小到大排成一个新数列{}n b ，{}n b 所有项和为T ，则
S T -= ． 三、解答题
17.在ABC ∆中，
D 是边BC 上的点，AB AD ==1
cos 7
BAD ∠=
. （1）求sin B ；
（2）若4AC =，求ADC ∆的面积.
18.如图，在底面为梯形的四棱锥S ABCD -中，已知//AD BC ，60ASC
∠=，
AD DC ==，
2SA SC SD ===.
（1）求证：AC SD ⊥； （2）求三棱锥B SAD -的体积.
19.一只药用昆虫的产卵数y 与一定范围内的温度x 有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表： y /
经计算得：611266i i x x ===∑，6
11336i i y y ===∑，()()6
1
557i i
i x x
y y =--=∑，
()
6
2
1
84i
i x x =-=∑，()
6
2
1
3930i i y y
=-=∑，线性回归模型的残差平方和
()
6
2
1
236.64i
i
i y y =-=∑，8.06053167e ≈，其中i x ，i y 分别为观测数据中的温差和产卵数，
1,2,3,4,5,6i =.
（1）若用线性回归方程，求y 关于x 的回归方程y bx a =+（精确到0.1）； （2）若用非线性回归模型求得y 关于x 回归方程为0.23030.06x y e =，且相关指数
20.9522R =.
（i ）试与（1）中的回归模型相比，用2R 说明哪种模型的拟合效果更好.
（ii ）用拟合效果好的模型预测温度为35C 时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）. 附：一组数据11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)n n x y ，其回归直线y bx a =+的斜率和截距的最
小二乘估计为()()()
1
2
1
n i
i
i n
i
i x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-；相关指数()()
2
12
2
1
1n i
i
i n
i
i y y R
y y =
=-=-
-∑∑
20.已知椭圆22221(0)x y
a b a b +=>>经过点，离心率为1
2，左、右焦点分别为
1(,0)F c -，2(,0)F c .
（1）求椭圆的方程； （2）若直线l ：1
2
y x m =-
+与椭圆交于A ，B 两点，与以12F F 为直径的圆交于C ，D 两点，且满足
AB CD
=
l 的方程. 21.已知函数ln ()1
x
f x x =
-. （1）确定函数()f x 在定义域上的单调性；
（2）若()x
f x ke ≤在(1,)+∞上恒成立，求实数k 的取值范围. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程] 已知直线l 的参数方程为cos 2sin x t y t ϕ
ϕ=⎧⎨
=-+⎩
（t 为参数，0ϕπ≤<），以坐标原点O 为极点，
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为1ρ=，l 与C 交于不同的两点1P ，
2P .
（1）求ϕ的取值范围；
（2）以ϕ为参数，求线段12P P 中点M 的轨迹的参数方程. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()42f x x x =-+-. （1）求不等式()2f x >的解集；
（2）设()f x 的最小值为M ，若2x
a M +≥的解集包含[0,1]，求a 的取值范围.
高三数学十模（文科）答案
一、选择题
1-5: ABCBC 6-10: BABDB 11、12：CB
二、填空题
13. 7 14. 甲 15. 2 16. 64
三、解答题
17.解：（1）在ABD ∆中，
222BD AB AD =+2cos AB AD BAD -⋅⋅∠1
772127
=+-=，
得BD =
由1
cos 7
BAD ∠=
，得sin 7BAD ∠=，
在ABD ∆中，由正弦定理得
sin sin AD BD B BAD =∠，所以sin 77B ==
.
（2）因为sin B =
，B 是锐角，所以cos 7
B =， 设B
C x =，在ABC ∆中，2
2
2
2cos AB BC AB BC B AC +-⋅⋅=，
即2
72167
x x +-⋅=化简得：290x --=，
解得x =或x =，则CD BC BD =-==
由ADC ∠和ADB ∠互补，得sin sin ADC ADB ∠=∠sin B ==， 所以ADC ∆的面积
1
sin 2
S AD DC ADC =⋅⋅⋅∠12==. 18.解：（1）设O 为AC 的中点，连接OS ，OD ， ∵SA SC =，∴OS AC ⊥， ∵DA DC =，∴DO AC ⊥， 又,OS OD ⊂平面SOD ，且OS
OD O =，
AC ⊥平面SOD ，又SD ⊂平面SOD ，
∴AC SD ⊥
.
（2）连接BD ，在ASC ∆中，∵SA SC =，60ASC ∠=，O 为AC 的中点， ∴ASC ∆为正三角形，且2AC =
，OS =
∵在ASC ∆中，2
2
2
4DA DC AC +==，O 为AC 的中点， ∴90ADC ∠=，且1OD =，
∵在SOD ∆中，2
2
2
OS OD SD +=，∴SOD ∆为直角三角形，且90SOD ∠=， ∴SO OD ⊥又OS AC ⊥，且AC DO O =，∴SO ⊥平面ABCD .
∴B SAD S BAD V V --=1
3
BAD S SO ∆=
⋅⋅ 11
32
AD CD SO =⨯⋅⋅
⋅1132=⨯=
19.解：（1）由题意得，()()()
1
2
1
n i
i
i n
i
i x x y y b x x ==--=-∑∑557 6.684
=≈，
∴33 6.626138.6a =-⨯=-，
∴y 关于x 的线性回归方程为 6.6138.6y x =-.
（2）（i ）由所给数据求得的线性回归方程为 6.6138.6y x =-，相关指数为
()()
2
12
2
1
1n i
i
i n
i
i y y R
y y ==-=-
-∑∑236.64
13930
=-
10.06020.9398≈-=.
因为0.93980.9522<，
所以回归方程0.23030.06x y e =比线性回归方程 6.6138.6y x =-拟合效果更好.
（ii ）由（i ）得当温度35x C =时，0.2303350.06y e ⨯=8.0605
0.06e =⨯.
又∵8.0605
3167e
≈，∴0.063167190y ≈⨯≈（个）.
即当温度35x C =时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个.
20.解：（1
）由题设知222
1
2b c a b a c ⎧=⎪
⎪=⎨⎪⎪=-⎩
，解得21
a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩22143x y +=. （2）由题设，以12F F 为直径的圆的方程为2
2
1x y +=， ∴圆心(0,0)到直线l
的距离d =
由1d <
，得2
m <
，(*).
∴CD =
==.
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，
由22
1214
3y x m x y ⎧
=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2230x mx m -+-=， 由根与系数的关系得12x x m +=，2
123x x m =-，
∴
AB =
=
由4AB
CD =
1
=，解得3m =±，满足(*). ∴直线l
的方程为12y x =-
+
或12y x =-. 21.解：（1）函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)+∞，2
1
1ln '()(1)x x f x x --=-，
令1()1ln g x x x =-
-，则有21'()x g x x -=， 令21'()0x
g x x
-==，解得1x =，所以在(0,1)上，'()0g x >，()g x 单调递增，
在(1,)+∞上，'()0g x <，()g x 单调递减.
又(1)0g =，所以()0g x ≤在定义域上恒成立，即'()0f x <在定义域上恒成立， 所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减. （2）由()x
f x ke ≤在(1,)+∞上恒成立得：
ln 1
x x
ke x ≤-在(1,)+∞上恒成立. 整理得：ln (1)0x
x k x e --≤在(1,)+∞上恒成立.
令()ln (1)x
h x x k x e =--，易知，当0k ≤时，()0h x ≤在(1,)+∞上恒成立不可能，∴0k >， 又1
'()x h x kxe x
=
-，'(1)1h ke =-， 1当1k e ≥时，'(1)10h ke =-≤，
又1
'()x
h x k x e x
=-在(1,)+∞上单调递减，所以'()0
h x ≤在(1,)+∞上恒成立，则()h x 在(1,)+∞上单调递减，又(1)0h =，所以()0h x ≤在(1,)+∞上恒成立.
2当10k e <<时，'(1)10h ke =->，1
1'0k h k e k ⎛⎫
=-< ⎪⎝⎭
，又1'()x h x k x e x =-在(1,)
+∞上单调递减，所以存在0(1,)x ∈+∞，使得0'()0h x =， 所以在0(1,)x 上'()0h x >，在0(,)x +∞上'()0h x <， 所以()h x 在0(1,)x 上单调递增，在0(,)x +∞上单调递减， 又(1)0h =，所以()0h x >在0(1,)x 上恒成立， 所以()0h x ≤在(1,)+∞上恒成立不可能. 综上所述，1
k e
≥
. 22.解：（1）2(,)33ππ
（2）sin 21cos 2x y ϕ
ϕ=⎧⎨=--⎩
（ϕ为参数） 23.解：（1）(,2)(4,)-∞+∞ （2）1a ≥。