初中数学专题1.3 利用判别式解题

1.3 利用判别式解题
关于x 的一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，我们用配方法可得a
ac b a b x a 44)2(22-=+ ，故22244)2(a ac b a b x -=+，因为0)2(2≥+a
b x ，所以当b 2－4a
c ≥0时，原方程才有实数根．我们将b 2－4ac 称为一元二次方程根的判别式，用符号“△”表示．具体来说，当b 2－4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根；当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根．
一元二次方程的根的判别式可以有两方面的作用：一是根据“△”的值来判断方程的实数根的情况；二是根据方程中实数根的情况，得出“△”的值，从而可以求出方程中的字母系数的值、系数之间的关系、字母的取值范围，进一步可以证明等式或不等式、求代数式的最值、求方程的整数解等等，它是实数根与系数之间的重要纽带．
例1 已知在关于x 的方程x 2＋p 1x ＋q 1＝0与x 2＋p 2x ＋q 2＝0中，p 1p 2＝ 2(q 1＋q 2)，求证：这两个方程至少有一个方程有实数根． 【证明】 设这两个方程的判别式分别为△1和△2，则△1＋△2＝22212144q p q p -+-，
又p 1p 2＝2(q 1 ＋q 2)，故△1＋△2＝0)(2221222121≥-=+-p p p p p p ，所以△1≥0与△2≥0中至少有一个成立，因此，这两个方程至少有一个方程有实数根．
【注】 此题除了用到根的判别式外，还应用了平均数原理，即若P ＋Q ≥R ，则P ≥2R 与Q ≥2R 中至少有一个成立．
例2 设a ＜b ＜c ＜d ，证明：对任意的实数t ≠－1，关于x 的方程(x －a ）(x －c )＋t (x －b ) (x －d )＝0都有两个不相等的实数根，
【证明】原方程可整理得
(1＋t )x 2－[ (a ＋c )＋(b ＋d ) t ]x ＋(ac ＋bdt )＝0
因为 t ≠－1
△1＝ [(a ＋c )＋(b ＋d )t ]2－4(1＋t ) (ac ＋bdt )
＝ (b －d )2t 2＋2[(a ＋c ) (b ＋d )－2(ac ＋bd )]t ＋(a －c )2 ②
由于b ＜d ，故(b －d )2＞0，从而②式可看作关于t 的二次函数，图象开口同上，要证明△1＞0，只需要证明此二次函数与x 轴无交点，即关于t 的二次函数②的判别式△2 ＜0即可．
又△2＝4[(a ＋c )(b ＋d )－2(ac ＋bd )]2－4(b －d )2(a －c )2
＝16(a －d )(b －c )(a －b )(d －c )
结合a ＜b ＜c ＜d ，故△2＜0，所以原方程有两个不相等的实数根．
【注】本题为了证明关于x 的方程有两个不相等的实数根，先将其转化为证明根的判别式△1＞0，又可将△1＞0转化为证明关于t 的二次函数与x 轴无交点，即△2＜0．连续两次化归给解题以明确的方向 上面的例题是有关根据△的值来判断方程的实数根的情况，其实，还有大量已知方程根的情况，运用△的取值求方程中字母系数的值或取值范围，及字母系数之间的关系等类型的问题，下面分几种情况加以介绍：
一、已知方程有实数根求系数的取值范围
例3 已知方程x 2 ＋4ax －4a ＋3＝0，2x 2－(4a ＋1)x ＋2a 2－1＝0中至少有一方程有实数根，求a 的取值范围．
【解】 由题意得 △1＝(4a )2 ＋4(4a －3)≥o ，
解得 21≥a 或2
3-≤a ；
△2＝(4a ＋1)2－8(2a 2－1)≥0, 解得89-≥a ，所以，a 的取值范围是89-≥a 或2
3-≤a 【注】本题也可以从反面考虑，即考虑两个方程均无实根的情形，请读者比较一下两种方法，
二、已知整系数方程有有理根或整数根求系数或未知数的值
对于整系数方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0（a ≠0），若方程有有理根（或整数根），则其判别式一定是一个完全平方数，否则即为无理根，
例4当x 为何有理数时，代数式9x 2＋23x －2的值恰好是两个连续正偶数的乘积？
【解】设两个连续偶数为k ，k ＋2（k 为正偶数），则
9x 2＋23x －2＝k (k ＋2)，即9x 2＋23x －(k 2＋2k ＋2)＝0 ①
因为x 是有理数，且此方程有有理根，所以它的判别式是完全平方数，令
△＝232＋36(k 2＋2k ＋2)＝565＋36(k ＋1)2＝p 2(p ≥0)
从而p 2－36(k ＋1)2＝565，即
[p ＋6(k ＋1)][p －6(k ＋1)]＝565＝113×5＝565×1
故⎩
⎨⎧=+-=++5)1(6113)1(6k p k p 或⎩⎨⎧=+-=++1
)1(6565)1(6k p k p 解得⎩⎨⎧==859k p 或⎩
⎨⎧==46283k p 代入方程①解得x 1＝2，x 2＝941-
，x 3＝－17，x 4＝9
130 综上所述，当x 1＝2，x 2＝941-，x 3＝－17，x 4＝9130时，原代数式恰好为两个连续偶数8和10，或46和48的乘积
三、运用判别式求代数式的最值
例5求12156322
++++x x x x 取最小值时的x 值． 【解】令12
156322++++=x x x x y ，则 (y －6)x 2＋ 2(y － 6)x ＋2y －10＝0 ①
由题意得y ≠6，且()02
112112122>++=++x x x ，由于x 可取任何实数，所以方程①有实数根，△＝ 4(y －6)2－4(y －6)(2y －10)＝－4(y 2－10y －24)＝－4(y －5)2＋4≥0，解得4≤y ≤6，故4≤y ＜6．将y ＝4代入得x ＝－1，故当x ＝－1时，分式有最小值4．
【注】 利用方程有解的必要条件，往往能够缩小范围，但要验证正确性．
四、运用判别式解特殊的二元二次方程
例6 求方程5x 2 ＋6xy ＋2y 2－14x － 8y ＋10＝0的实数解．
【解】将方程看作关于x 的一元二次方程，整理得
5x 2＋ (6y －14x ＋2y 2－8y ＋ 10＝0.
由题意得△＝(6y －14)2－20(2y 2－8y ＋10)＝－4(y ＋1)2≥0，所以y ＝－1．代入原方程得x ＝2，所以，
原方程的实数解是⎩
⎨⎧-==12y x ． 【注】在求解特殊的二元二次方程时，常用主元法，具体内容将在本章1.5节加以介绍．当然，本题也可以将y 作为主元，读者不妨一试．
五、构造一元二次方程有实根来证明等式或不等式
例7若a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 都是实数，求证：
()()
()22211222212222
1n n n n b a b a b a b b b a a a +⋅⋅⋅++≥+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++ 【分析】直接展开后比较，处理起来很困难，若两边同乘以4．可以化为类似于4ac ≥b 2的形式，从而构造一元二次方程，利用根的判别式来证明．
【证明】 (1)若022221=+⋅⋅⋅++n a a a ，则021==⋅⋅⋅==n a a a ，原不等式成立；
(2)若022221≠+⋅⋅⋅++n a a a ，构造二次函数
()()()
2222122112222212n n n n b b b x b a b a b a x a a a y +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅++= ()()()02
222211≥-+⋅⋅⋅+-+-=n n b x a b x a b x a 又022221≥+⋅⋅⋅++n a a a ，即二次函数开口向上，
二次函数图象与x 轴无交点或只有一个交点，故△≤0．即 ()()()
044222212222122211≤+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅++=∆n n n n b b b a a a b a b a b a 昕以，
()()
()222112222122221n n n n b a b a b a b b b a a a +⋅⋅⋅++≥+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++ 【注】所得的结论是著名的柯西( Cauchy )不等式，本题也可用向量方法证明．
例8 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，其中a ，b 为实数，若存在实数m ，使
得；|f (m )|≤41，且|f (m ＋1)|≤4
1，试求：△＝a 2－4b 的最小值， 【解】对任意实数x 0，有
1＝|(m ＋1－x 0)－(m －x 0)|≤|m ＋1－x 0|＋|m －x 0|
所以由抽屉原理可知|m ＋1－x 0|与|m －x 0|}中必有一个不小于
21． 如果△＝a 2－4b ＜0，那么f (m )422∆-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a m ，f (m ＋1)4212∆-⎪⎭⎫ ⎝
⎛++=a m 中必有一个大于41，这与题设矛盾，所以△≥0．
又当a ＝－1，b ＝
41，|f (0)|＝|f (1)|＝4
1，且△＝0，所以△＝b 2－4ac 的最小值为0．
习题1.3
1.试问：当m 是何整数时，9m 2 ＋5m ＋26能够分解成两个连续正整数的乘积？
2.若a 、b 、c 、d 、e 均为实数，且满足a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝8，a 2 ＋b 2 ＋c 2＋d 2 ＋e 2＝16，求e 的最大值．
3.设a 、b 、c 为互不相等的实数，且满足关系式：
⎩
⎨⎧--=++=+54141622222a a bc a a c b ，求a 的取值范围， 4.设正实数a 、b ，二次三项式y 2－ay ＋b 的判别式△满足0＜△＜2a .求证：不等式()0124≤+∆-+-b x x a x 的解集是总长度为2的两个区间的并集．
5.求所有整数a ，使得方程x 2＋axy ＋y 2＝1有无穷多组整数解(x ,y ).
练习1.3
1.设9m 2＋5m ＋26＝k (k －1)(k ≥2为正整数)，那么9m 2＋5m －(k 2－k －26)＝0有整数解，则△1＝25＋36(k 2－k －26)＝36k 2－36k －911必为完全平方数。

设36k 2－36k －911＝p 2(p 为正整数)有整数解，则△2＝362＋4×36(p 2＋911)＝122(p 2＋920)也是完全平方数
设p 2＋920＝q 2(q 为正整数)，故(q ＋p )(q －p )＝920，由于q ＋p ＞q －p ，且q ＋p 与q －p 同奇偶，因此q ＋p 与q －p 均为偶数，所以⎩⎨⎧=-=+2460p q p q ，⎩⎨⎧=-=+4230p q p q ，⎩⎨⎧=-=+1092p q p q ，⎩⎨⎧=-=+2046p q p q ，解得⎩⎨⎧==231229q p ，⎩
⎨⎧==117113q p ，⎩⎨⎧==5141q p ，⎩⎨⎧==3313q p ，此时m ＝－1，2，6，－13 2.构造二次函数y ＝4x 2＋2(a ＋b ＋c ＋d )x ＋(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)＝(x ＋a )2＋(x ＋b )2＋(x ＋c )2＋(x ＋d )2≥0,即函数与x 轴无交点或只有一个交点，从而△＝4(a ＋b ＋c ＋d )2－16(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)≤0，代入得4(8－e )2－16(16－e 2)≤0，即4e (5e －16)≤0，5
160≤≤e ，故e 的最小值为516 3.由于⎩
⎨⎧--=++=+54141622222a a bc a a c b ,从而(b ＋c )2＝b 2＋2bc ＋c 2＝4(a ＋1)2，则)1(2+±=+a c b ，故b 、c 是方程054)1(22
2=--++±a a x a x …①的两个不相等实数根，△＝4(a ＋1)2－4(a 2－4a －5)＞0，解得a ＞－1，此时b 2＋c 2＝2(a ＋1)(a ＋7)＞0,以上得出a 的取值范围。

仅是b ≠c 时的情形，下考虑把a ＝b (或a ＝c )的情况排除。

当a ＝b 时，由于b 是方程①的根，054)1(222=--++±a a a a a ，即4a 2－2a －5＝0或－6a －5＝0，从而4211±=a 或65-=a ；当a ＝c 时，同理可得4211±=a 或6
5-=a ，所以a 的取值范围是a ＞－1，且4211±≠
a ,65-≠a 4.设y 2－ay ＋
b ＝0有两个不同的实根y 1＜y 2，由于y 1y 2＝b ＞0，故y 1与y 2同号，又y 1＋y 2＝a ＞0，所以y 1，y 2均为正数，又由于∆＝y 2－y 1，从而x 4－(a ＋1)x 2－∆x ＋b ＝(x 2＋x －y 1)(x 2－x －y 2)，现设方程f 1(x )＝x 2＋x －y 1＝0的两根为u 1＜0＜u 2；f 2(x )＝x 2－x －y 2＝0的两根为v 1＜0＜v 2，则
221224112411v y y u =++<++-=，而=+---+-=-2
41124111211y y u v 2
4141112y y +-+-，由a 2－4b ＜2a 得4b ＞a 2－2a ，从而=+-+212)4141(y y []4)1221(2)164121(216)(41)(212212121≤--+<++-+=+++-++a a b a a y y y y y y 从而2414112<+-+y y ，v 1－u 1＞0，所以f 1(x )f 2(x )＝(x －u 1)(x －v 1)(x －u 2)(x －v 2)≤0的解集是两区间的并集[][]2211,,v u v u ⋃，从而总长＝v 1－u 1＋v 2－u 2＝v 1＋v 2－(u 1＋u 2)＝1－(－1)＝2
5.5.当α＝0时，x 2＋y 2＝1只有四组整数解；当α＝±1时，由x 2±yx ＋y 2＝1可得4(x 2±xy ＋y 2)＝4，即(2x ±y )2＋3y 2＝4，从而y ＝0或±1，所以仅有有限组解。

当|α|＞1时，用递归方式构造出方程的解：由于当(x ，y )是对α＜－1时满足方程的解，那么(x ，－y )也是对α＞1时满足方程的解，所以只需构造α＜－1,时方程的无穷多个整数解。

注意到当α＜－1时，(x 1，y 1)＝(0，1)是方程的解，所以设(x n ，y n )是满足0≤x n ＜y n 时方程的整数解，考虑数对(x n ＋1，y n ＋1)＝(y n ，－αy n －x n )，则0≤x n ＋1＝y n ＜y n ＋(y n －x n )≤－αy n
－x n ＝y n ＋1，且+=+-++++2211121n n n n n y y y x x α
()()1
2222222222=++=+++--=--+--n n n n n n n n n n n n n n n n n x y x y x y x y y x y y x y y x y αααααααα从而(x n ＋1，y n ＋1)也是方程的解，从而原方程有无穷多组整数解。