【湖南】2014《高中复习方略》课时训练：2.8函数与方程(人教A版·数学文)

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课时提升作业(十一)
一、选择题
1.(2013·长沙模拟)函数f(x)=e x+x-2的零点所在的一个区间是( )
(A)(-2,-1) (B)(-1,0)
(C)(0,1) (D)(1,2)
2.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次经计算f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈,第二次应计算,以上横线应填的内容为( )
(A)(0,0.5) f(0.25) (B)(0,1) f(0.25)
(C)(0.5,1) f(0.75) (D)(0,0.5) f(0.125)
3.已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx的零点分别为x1,x2,则x1,x2的大小关系
是( )
(A)x1<x2(B)x1>x2
(C)x1=x2(D)不能确定
4.(2013·合肥模拟)已知符号函数sgn(x)=
1x0
0x0
1x0
⎧
⎪
=
⎨
⎪-
⎩
，＞，
，，
，＜，
则函数f(x)=sgn(lnx)-lnx
的零点个数为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
5.设x1,x2是方程ln|x-2|=m(m为实常数)的两根,则x1+x2的值为( )
(A)4 (B)2 (C)-4 (D)与m 有关
6.(2013·永州模拟)函数f(x)=3sin 2
πx-log 12
x 的零点个数为( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
7.若函数y=(12
)|1-x|+m 的图象与x 轴有公共点,则m 的取值范围是( ) (A)m ≤-1 (B)m ≥1 (C)-1≤m<0 (D)0<m ≤1
8.(能力挑战题)对实数a 和b,定义运算“⊗”:a ⊗b=a a b b a b.
≤⎧⎨⎩，，
，＞设函数f(x)=(x 2-1)
⊗(x-x 2),x ∈R.若函数y=f(x)-c 恰有两个不同的零点,则实数c 的取值范围 是( )
(A)(-∞,-1)∪(-3
4,0) (B){-1,-34
}
(C)(-1,-34) (D)(-∞,-1)∪[-34
,0) 二、填空题
9.若函数f(x)=a x -x-a(a>0且a ≠1)有两个零点,则实数a 的取值范围是 .
10.若函数f(x)=(m-1)x 2+2(m+1)x-1有且仅有一个零点,则实数m 的取值集合是 .
11.(能力挑战题)若函数y=f(x)(x ∈R)满足f(x+2)=f(x),且x ∈[-1,1]时,f(x)=1-x 2,函数g(x)=lg|x|,则函数y=f(x)与y=g(x)的图象在区间[-5,5]内的交点个数为 .
三、解答题
12.设函数f(x)=ax2+bx+b-1(a≠0).
(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的零点.
(2)若对任意b∈R,函数f(x)恒有两个不同零点,求实数a的取值范围.
13.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.
(1)若a>b>c且f(1)=0,试证明f(x)必有两个零点.
(2)若对x1,x2∈R,且x1<x2,f(x1)≠f(x2),方程f(x)=1
[f(x1)+f(x2)]有两个不等
2
实根,证明必有一实根属于(x1,x2).
14.已知二次函数f(x)=x2+(2a-1)x+1-2a.
(1)判断命题“对于任意的a∈R(R为实数集),方程f(x)=1必有实数根”的真假,并写出判断过程.
(2)若y=f(x)在区间(-1,0)及(0,1
)内各有一个零点,求实数a的范围.
2
答案解析
1.【解析】选C.∵f′(x)=e x+1＞0,∴函数f(x)=e x+x-2在R上单调递增，又f(0)=-1＜0,f(1)=e-1＞0,从而f(0)·f(1)＜0，∴函数f(x)的零点在区间
(0，1)上.
2.【解析】选A.根据二分法求零点的步骤知,选A.
3.【解析】选A.在同一坐标系中作函数y=-x,y=2x,y=lnx的图象如图所示,由图象知x1<x2.
4.【思路点拨】解答本题的关键是理解sgn(lnx)=lnx,根据符号函数sgn(x)的函数值知lnx=1或0或-1.
【解析】选C.令f(x)=0,则sgn(lnx)-lnx=0,即 sgn(lnx)=lnx,∴lnx=1或lnx=0或lnx=-1, ∴x=e 或x=1或x=1
e
.
5.【解析】选A.函数y=ln|x-2|的图象关于直线x=2对称,从而x 1+x 2=4.
6.【解析】选D.由图象知，y=3sin
2π
x 与y=log 12
x 有5个交点，故选
D.
7.【解析】选C.由已知得函数y=(1
2)|1-x|+m 有零点,即方程(12
)|1-x|+m=0有解,此时m=-(12
)|1-x|.
∵|1-x|≥0,∴0<(12
)|1-x|≤1,∴m ∈[-1,0). 8.【解析】选A.由x 2-1≤x-x 2得-12
≤x ≤1,
∴f(x)=2
21x 1x 12
1x x ,x x 12
⎧--≤≤⎪⎪⎨⎪--⎪⎩，，＜或＞，
函数f(x)的图象如图所示,
由图象知,当c<-1或-3
<c<0时,
4
函数y=f(x)-c恰有两个不同的零点.
9.【解析】函数f(x)的零点的个数就是函数y=a x与函数y=x+a交点的个数,两函数的图象如图所示,可知a>1时两函数图象有两个交点,0<a<1时两函数图象有唯一交点,故a>1.
答案:(1,+∞)
,符合要求.当m≠1时,依题意得Δ10.【解析】当m=1时,f(x)=4x-1=0,得x=1
4
=4(m+1)2+4(m-1)=0.即m2+3m=0,解得m=-3或m=0,
∴m的取值集合是{-3,0,1}.
答案:{-3,0,1}
【误区警示】本题求解过程中易忽视m=1而失误.根据原式将f(x)误认为是二次函数.
11.【思路点拨】根据周期性画函数f(x)的图象,根据对称性画函数g(x)的图象,注意定义域.
【解析】函数y=f(x)以2为周期,y=g(x)是偶函数,画出图象可知两函数在区间[-5,5]内有8个交点.
答案:8
12.【解析】(1)当a=1,b=-2时,f(x)=x 2-2x-3, 令f(x)=0,得x=3或x=-1. ∴函数f(x)的零点为3或-1.
(2)依题意,f(x)=ax 2+bx+b-1=0有两个不同实根, ∴b 2-4a(b-1)>0恒成立,
即对于任意b ∈R,b 2-4ab+4a>0恒成立, 所以有(-4a)2-4×(4a)<0⇒a 2-a<0, 解之得0<a<1,
因此实数a 的取值范围是(0,1). 13.【证明】(1)∵f(1)=0,∴a+b+c=0. 又∵a>b>c,∴a>0,c<0,即ac<0.
又∵Δ=b 2-4ac ≥-4ac>0,∴方程ax 2+bx+c=0有两个不等实根, ∴函数f(x)必有两个零点.
(2)令g(x)=f(x)-12
[f(x 1)+f(x 2)],则g(x 1)=f(x 1)-12
[f(x 1)+f(x 2)]
=
12f x f x 2
-（）（）
, g(x 2)=f(x 2)-1
2
[f(x 1)+f(x 2)]
=21f x f x 2
-（）（）.
∴g(x 1)g(x 2)=1221f x f x f x f x 22
--⋅（）（）（）（）［］［］
=-1
4
[f(x1)-f(x2)]2.
∵f(x1)≠f(x2),∴g(x1)g(x2)<0.
∴g(x)=0在(x1,x2)内必有一实根.
即f(x)=1
2
[f(x1)+f(x2)]必有一实根属于(x1,x2).
14.【解析】(1)“对于任意的a∈R(R为实数集),方程f(x)=1必有实数根”是真命题.
依题意:f(x)=1有实根,即x2+(2a-1)x-2a=0有实根,
∵Δ=(2a-1)2+8a=(2a+1)2≥0对于任意的a∈R(R为实数集)恒成立,即
x2+(2a-1)x-2a=0必有实数根,从而f(x)=1必有实数根.
(2)依题意:要使y=f(x)在区间(-1,0)及(0,1
2)内各有一个零点,只需
f10
f00
1
f0
2
⎧
⎪->
⎪
<
⎨
⎪
⎪>
⎩
（），
（），
（），
即
34a0
12a0
3
a0
4
⎧
⎪->
⎪
-<
⎨
⎪
⎪->
⎩
，
，
，
解得1
2
<a<3
4
.
【变式备选】已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,求m的取值范围,并求出该零点.
【解析】∵f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,
即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根.
设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0,
当Δ=0时,即m2-4=0,∴m=2或m=-2.
又m=-2时,t=1,m=2时,t=-1(不合题意,舍去),∴2x=1,x=0符合题意.
当Δ>0时,即m>2或m<-2时,
t2+mt+1=0有两正或两负根,
即f(x)有两个零点或没有零点,
∴这种情况不符合题意.
综上可知:m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为0.
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