高中数学第三章 3.2第1课时用空间向量解决立体几何中的平行问题学案含解析新人教A版选修2_1

3．2 立体几何中的向量方法
第1课时用空间向量解决立体几何中的平行问题
内容标准学科素养
1.理解直线的方向向量与平面的法向量．
2.掌握用待定系数法求平面法向量的方法．
3.掌握利用向量证明空间中的平行关系的基本方法.
利用直观想象
发展逻辑推理
提升数学运算
授课提示：对应学生用书第65页
[基础认识]
知识点一直线的方向向量与平面的法向量
预习教材P102，思考并完成以下问题
为了用空间向量解决立体几何问题，首先必须把点、直线、平面的位置用向量表示出来，那么如何用向量表示空间中的点、直线、平面的位置呢？
(1)取一定点O作为基点，那么空间中任
意一点P的位置就可以用向量OP
→
来表示．
(2)空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定．点A是直线l上一点，向量a表示直线l的方向(方向向量)．在直线l上取AB
→
＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得AP
→
＝tAB
→
.
这样，点A和向量a
不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示
出l上的任意一点．
(3)空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定．
设这两条直线相交于点O ，
它们的方向向量分别为a和b，P为平面α上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对(x，y)，使得OP
→
＝x a＋y b.
这样，点O与向量a，b不仅可以确定平面α的位置，还可以具体表示出α内的任意一点．
另外也可以用平面的法向量表示空间中平面的位置．
知识梳理直线的方向向量与平面的法向量
(1)用向量表示直线的位置
条件 直线l 上一点A
表示直线l 方向的向量a (即直线的方向向量)
形式 在直线l 上取AB →＝a ，那么对于直线l 上任意一点P ，一定存在实数t ，使得AP →＝tAB →
作用
定位置 点A 和向量a 可以确定直线l 的位置 定点
可以具体表示出l 上的任意一点
(2)用向量表示平面的位置
①通过平面α上的一个定点O 和两个向量a 和b 来确定： 条件 平面α内两条相交直线的方向向量a ，b 和交点O
形式
对于平面α上任意一点P ，存在有序实数对(x ，y )使得OP →
＝x a ＋y b
②通过平面α上的一个定点A 和法向量来确定：
平面的法向量 直线l ⊥α，直线l 的方向向量，叫做平面α的法向量
确定平面位置
过点A ，以向量a 为法向量的平面是完全确定的
(3)直线的方向向量和平面的法向量 直线的方向向量
能平移到直线上的非零向量a ，叫做直线l 的一个方向向量
平面的法向量
直线l ⊥α，取直线l 的方向向量n ，叫做平面α的法向量
在空间直角坐标系下，求平面的法向量的一般步骤： (1)设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )；
(2)找出(求出)平面内的两个相交的向量a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)；
(3)根据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
n·
a ＝0，n·
b ＝0；
(4)解方程组，取其中的一个n 的坐标，即得平面的一个法向量． 知识点二 用空间向量处理平行关系
知识梳理 设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为μ，v ，则
线线平行 l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b (k ∈R ) 线面平行 l ∥α⇔a ⊥μ⇔a ·μ＝0 面面平行
α∥β⇔μ∥v ⇔μ＝k v (k ∈R ) 1．若两条直线的方向向量分别是a ＝(2,4，－5)，b ＝(－6，x ，y )，且两条直线平行，则x
＝________，y ＝________.
答案：－12 15
2．已知直线l 的方向向量为a ＝(－1,2,0)，平面α的法向量为n ＝(2,1，－1)，则( ) A ．l ⊥α B ．l ∥α C ．l ⊂α D ．l ∥α或l ⊂α
答案：D
3．已知A (1,2,3)，B (0,1,2)，C (－1,3,2)，则平面ABC 的一个法向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫－23
，－1
3，1 B.⎝⎛⎭⎫－23，1
3，1 C.⎝⎛⎭⎫23，－1
3，－1 D.⎝⎛⎭⎫23，－1
3，1 答案：A
授课提示：对应学生用书第66页
探究一 利用方向向量和法向量判定线线、 线面、面面的位置关系
[教材P 104练习2]设u ，v 分别是平面α，β的法向量，根据下列条件判断平面α，β的位置关系：
(1)u ＝(－2,2,5)，v ＝(6，－4,4)； (2)u ＝(1,2，－2)，v ＝(－2，－4,4)； (3)u ＝(2，－3,5)，v ＝(－3,1，－4)． 解析：(1)∵u·v ＝0，∴u ⊥v ，∴α⊥β. (2)∵u ∥v ，∴α∥β 或α与β重合．
(3)∵u 与v 不垂直，也不平行，∴α与β相交． [例1] 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：
(1)直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)； (2)直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)； (3)平面α与β的法向量分别是u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝⎛⎭⎫3，2，－12； (4)平面α与β的法向量分别是u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)；
(5)直线l 的方向向量、平面α的法向量分别是a ＝(0，－8,12)，u ＝(0,2，－3)． [解析] (1)∵a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)， ∴a ＝－1
3
b ，∴a ∥b ，即l 1∥l 2.
(2)∵a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)，∴a·b ≠0且a ≠k b (k ∈R )，∴a ，b 既不共线也不垂直，即l 1与l 2相交或异面．
(3)∵u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝⎛⎭⎫3，2，－1
2， ∴u·v ＝3－2－1＝0，∴u ⊥v ，即α⊥β. (4)∵u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)，
∴u ·v ≠0且u ≠k v (k ∈R ) ，∴u 与v 既不共线也不垂直，即α和β相交但不垂直． (5)∵a ＝(0，－8,12)，u ＝(0,2，－3)， ∴u ＝－1
4
a ，∴u ∥a ，即l ⊥α.
方法技巧 (1)两直线的方向向量共线时，两直线平行；否则两直线相交或异面． (2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．
(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行或重合(垂直)；否则两平面相交但不垂直． 跟踪探究 1.设平面α的法向量为(1,3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k )，若α∥β，则k ＝________.
解析：∵α∥β，∴(1,3，－2)＝λ(－2，－6，k )，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－2λ＝1，λk ＝－2，
∴λ＝－12
，k ＝4.
答案：4
探究二 求平面的法向量
[例2] 已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (2,1,0)，B (0,2,3)，C (1,1,3)，试求出平面ABC 的一个法向量．
[解析] 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∵A (2,1,0)，B (0,2,3)，C (1,1,3)， ∴AB →＝(－2,1,3)，BC →
＝(1，－1,0)． 则有⎩⎪⎨⎪⎧
n ·AB →＝0，n ·
BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
－2x ＋y ＋3z ＝0，
x －y ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3z ，x ＝y .
令z ＝1，则x ＝y ＝3.
故平面ABC 的一个法向量为n ＝(3,3,1)． 方法技巧 求平面法向量的方法与步骤
(1)求平面ABC 的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如AC →，AB →； (2)设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )； (3)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧
n ·
AC →＝0，n ·
AB →＝0，并求解；
(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量．
跟踪探究 2.如图所示，在四棱锥S -ABCD 中，底面是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝1
2，建立适
当的空间直角坐标系，求平面SCD 与平面SBA 的一个法向量．
解析：如图，以A 为原点，以AD →，AB →，AS →
分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A (0,0,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)， 则DC →＝⎝⎛⎭⎫12，1，0，DS →
＝⎝⎛⎭
⎫－12，0，1. 易知向量AD →
＝⎝⎛⎭⎫12，0，0是平面SAB 的一个法向量． 设n ＝(x ，y ，z )为平面SDC 的法向量，
则⎩⎨⎧
n ·DC →＝12
x ＋y ＝0，
n ·DS →
＝－12
x ＋z ＝0，
即⎩⎨⎧
y ＝－12
x ，
z ＝1
2x .
取x ＝2，则y ＝－1，z ＝1，
∴平面SDC 的一个法向量为(2，－1,1)．
探究三 利用空间向量证明线面平行
[教材P 118复习参考题A 组13题节选]如图，点E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．
(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH .
证明：(1)∵E ，F 分别为AB ，BC 的中点， ∴EF →＝12
AC →.
同理HG →＝12AC →，∴EF →＝HC →.
又∵E ，F ，H ，G 不共线， ∴E ，F ，G ，H 四点共面． (2)∵E ，H 分别为AB ，AD 的中点， ∴HE →＝12DB →，∴HE →∥DB →，
∴DB ∥HE .
又∵HE ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， ∴BD ∥平面EFGH .
[例3] (1)在四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 是正方形，侧棱PD 垂直于底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点．证明：P A ∥平面EDB .
[证明] 如图所示，建立空间直角坐标系，D 是坐标原点，设PD
＝DC ＝a .
法一：连接AC ，交BD 于点G ，连接EG ，
依题意得D (0,0,0)，A (a,0,0)，P (0,0，a )，E ⎝⎛⎭⎫0，a 2，a 2. 因为四边形ABCD 是正方形， 所以G 是此正方形的中心，
故点G 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，0，所以EG →
＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，－a 2. 又P A →
＝(a,0，－a )，
所以P A →＝2EG →
，这表明P A ∥EG . 而EG ⊂平面EDB ，且P A ⊄平面EDB ， 所以P A ∥平面EDB .
法二：设平面BDE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 又DE →
＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，a 2， EB →
＝⎝⎛⎭⎫a ，a 2，－a 2， 则有⎩⎪⎨⎪⎧
n ·DE →＝0，n ·
EB →＝0，
即⎩⎨
⎧
a
2(y ＋z )＝0，
a ⎝⎛⎭
⎫x ＋y 2－z 2＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
y ＋z ＝0，2x ＋y －z ＝0.
令z ＝1，则⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝－1.所以n ＝(1，－1,1)，
又P A →
＝(a,0，－a )，
所以n ·P A →
＝(1，－1,1)·(a,0，－a )＝a －a ＝0.
所以n ⊥P A →
.又P A ⊄平面EDB ，所以P A ∥平面EDB . 法三：假设存在实数λ，μ使得P A →＝λDE →＋μEB →
， 即(a,0，－a )＝λ⎝⎛⎭⎫0，a 2，
a 2＋μ⎝⎛⎭⎫a ，a 2
，－a 2， 则有⎩⎨⎧
a ＝μa ，
0＝λ·a 2＋μ·a 2＝a
2(λ＋μ)，－a ＝λ·a 2－μ·a
2，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝－1，
μ＝1.
所以P A →＝－DE →＋EB →
，又P A ⊄平面EDB ， 所以P A ∥平面EDB .
(2)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求证：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1.
[证明] 以D 为原点，分别以向量DA →，DC →，DD 1→
的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系．
设棱长为1，则A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，B 1(1,1,1)，C (0,1,0)，D (0,0,0)， ∴A 1D →
＝(－1,0，－1)，
A 1
B →＝(0,1，－1)，D 1B 1→＝(1,1,0)，D 1
C →
＝(0,1，－1)． 设平面A 1BD 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧
n 1·
A 1D →＝0，n 1·
A 1
B →＝0
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
－x 1－z 1＝0，y 1－z 1＝0，
令z 1＝1， 得x 1＝－1，y 1＝1.
∴平面A 1BD 的一个法向量为n 1＝(－1,1,1)． 设平面CD 1B 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧
n 2·D 1B 1→＝0，n 2·
D 1C →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2＝0，y 2－z 2＝0，
令y 2＝1，
得x 2＝－1，z 2＝1， ∴n 2＝(－1,1,1)． ∴n 1＝n 2，即n 1∥n 2. ∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1.
方法技巧 利用空间向量证明线面平行一般有三种方法：
方法一：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示．
方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．
方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明方向向量与平面的法向量垂直．
跟踪探究 3.如图，已知在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且AD ＝2，AB ＝1，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点．判断并说明P A 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD .
解析：∵P A ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝90°，AB ＝1，AD ＝2， 如图，建立空间直角坐标系Axyz ，
则A (0,0,0)，B (1,0,0)，F (1,1,0)，D (0,2,0)． 不妨令P (0,0，t )，
∴PF →＝(1,1，－t )，DF →
＝(1，－1,0)． 设平面PFD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧
n ·PF →＝0，n ·
DF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y －tz ＝0，x －y ＝0，
令z ＝1，解得x ＝y ＝t 2，
∴n ＝⎝⎛⎭⎫t 2，t 2，1.
设点G 的坐标为(0,0，m )，
又E ⎝⎛⎭⎫12，0，0，则EG →
＝⎝⎛⎭⎫－12，0，m . 要使EG ∥平面PFD ，只需EG →·n ＝0， 即⎝⎛⎭⎫－12×t 2＋0×t
2＋m ×1＝0， 即m －t
4
＝0，
解得m ＝14t ，从而满足AG ＝1
4
AP 的点G 即为所求．
授课提示：对应学生用书第67页
[课后小结]
(1)利用向量解决立体几何问题的“三部曲”：
①建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
②进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)； ③根据运算结果的几何意义来解释相关问题．
(2)证明线面平行问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系；也可以转化为线线平行，利用向量共线来证明．
[素养培优]
忽视直线与平面平行的条件致误
若直线l 的方向向量为a ＝(3，－1,4)，平面α的法向量为n ＝⎝⎛⎭
⎫－12，32，34，则直线l 与平面α的位置关系是________．
易错分析 直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线可能与平面平行，也可能在平面内．考查直观想象和逻辑推理的学科素养．
自我纠正 因为a·n ＝(3，－1,4)·⎝⎛⎭
⎫－12，32，34＝0， 所以a ⊥n .所以l ∥α或l ⊂α.故填l ∥α或l ⊂α.
答案：l ∥α或l ⊂α。