甘肃省兰州一中2013-2014学年高二数学上学期期末考试试题 理 新人教B版

甘肃省兰州一中2013-2014学年高二数学上学期期末考试试题 理
新人教B 版
说明：本试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两局部.总分为100分，考试时间100分钟.答案写在答题卷〔卡〕上，交卷时只交答题卷〔卡〕 第I 卷〔选择题〕
一、选择题(每一小题3分，共30分，将答案写在答题卡上．．．．．．．．．
) 1．假设点M 到定点()F -101，、()F 201，的距离之和为2，如此点M 的轨迹为
A.椭圆
B.直线21F F
C.线段21F F
D.直线21F F 的垂直平分线
2．假设a ≠b ，且ab ≠0，如此曲线bx -y +a =0和ab by ax =+2
2的形状大致是如下图中的
3．如下命题中正确的答案是
A.假设b a // ，c b //，如此a 与c 所在直线平行
B.向量a 、b 、c 共面即它们所在直线共面
C.空间任意两个向量共面
D.假设b a //，如此存在唯一的实数λ，使b a λ=
4．椭圆1C :1532222=+n y m x 与双曲线2C :13222
22=-n
y m x 有公共的焦点，那么双曲线2C 的渐近线为 A.y x 215±= B. x y 2
15±= C. y x 43±= D. x y 43±= 5．直线y =kx +2与双曲线222=-y x 有且只有一个交点，那么k 的值是
A. 1±=k
B. 3±=k
C. 1±=k 或3±=k
D. 2±=k
6．斜率为1，过抛物线24
1x y =的焦点的直线截抛物线所得的弦长为 A. 8 B. 6 C. 4 D.10
7．在正四面体ABCD 中，点E 、F 分别为BC 、AD 的中点，如此AE 与CF 所成角的余弦值为 A.32- B. 32 C. 3
1- D. 31 8．O 是坐标原点，点()A 20，，AOC ∆的顶点C 在曲线)1(42-=x y 上，
那么AOC ∆的重心G 的轨迹方程是
A. )1(432-=x y
B. )1(432
-=x y )0(≠y C. )1(432-=x y D. )1(43
2
-=x y )0(≠y 9．设1F 、2F 是椭圆C :12222=+b
y a x (a >b >0) 的左右焦点，P 为直线a x 23=上 一点，21F PF ∆是底角为︒30的等腰三角形，如此椭圆C 的离心率为 A. 54 B. 43 C. 32 D. 2
1 10．过抛物线px y 22=(p >0)焦点F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，且BF AF 3=，
那么直线l 的斜率为 A. 2± B. 1± C. 3
3± D. 3± 第II 卷〔非选择题〕
二、填空题〔第13小题6分，其余每一小题4分，共18分，将答案写在答题卡上．．．．．．．．．
〕
11．双曲线19
162
2=-x y 上一点P 到一个焦点的距离是10，那么点P 到另一个焦点的距离是____________________.
12．以如下结论中：
≤ (2) b a b a a 2
)(=⋅
(3) 如果0<⋅b a ,那么a 与b 的夹角为钝角
(4) 假设a 是直线l 的方向向量，如此)(R a ∈λλ也是直线l 的方向向量 (5) c b b a ⋅=⋅是0=b 的必要不充分条件
正确结论的序号是______________________.
13．求如下函数的导数 =')2(x _________________，=')ln (x x _________________，
=)'(tan x _________________.
14．点(,)P a 0，假设抛物线x y 42
=上任一点Q 都满足a PQ ≥，如此a 的取值范围是
_____________________.
三、解答题〔此题共5小题，共52分〕
15．〔8分〕函数32()(22)f x x a x bx c =-+++，设曲线)(x f y =在与x 轴交点处的切线
为1y x =-，函数()f x 的导数()y f x '=的图像关于直线2x =对称，求函数()f x 的解析式．
16．〔10分〕如图，直三棱柱111ABC A B C -中，11
2AC BC AA ==，
D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1，
〔1〕证明：BC DC ⊥1；
〔2〕求二面角11C BD A --的大小.
17．(10分) 如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，︒=∠45ADC ，
AD =AC =2，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO =2，M 为PD 的中点,
(1) 证明： AD ⊥平面PAC ;
(2) 求直线AM 与平面ABCD 所成角的正弦值.
18．(12分) 过椭圆M ：122
22=+b
y a x (a ＞b ＞0)右焦点的直线03=-+y x 交M 于A 、B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为
2
1. (1)求M 的方程；
(2)C 、D 为M 上两点，假设四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．
19．〔12分〕设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈，以F 为圆心,FA
为半径的圆交l 于B 、D 两点.
〔1〕假设090=∠BFD ，ABD ∆的面积为24,求p 的值与圆F 的方程； 〔2〕假设A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，
求坐标原点到,m n 距离的比值.
参考答案
第I 卷〔选择题〕
三、解答题〔此题共5小题，共52分〕
16．〔10分〕如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112
AC BC AA ==， D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1，
〔1〕证明：BC DC ⊥1；
〔2〕求二面角11C BD A --的大小.
解：〔1〕在Rt DAC ∆中，AD AC =
得：45ADC ︒
∠=
同理：1114590A DC CDC ︒︒∠=⇒∠=
得：111,DC DC DC BD DC ⊥⊥⇒⊥面1BCD DC BC ⇒⊥ 〔2〕11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC A BC AC ⇒⊥
取11A B 的中点O ，连接1C O
1111111AC B C C O A B =⇒⊥，11C O AA ⊥1C O ⇒⊥面1A BD
1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角
设AC a =，如此122
a C O =，1112230C D a C O C DO ︒==⇒∠= 即二面角11C BD A --的大小为30︒
18．(12分) 过椭圆M ：122
22=+b
y a x (a ＞b ＞0)右焦点的直线03=-+y x 交M
于A 、B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为
2
1. (1)求M 的方程； (2)C 、D 为M 上两点，假设四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．
19．〔12分〕设抛物线2
:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈，以F 为圆心,FA
为半径的圆交l 于B 、D 两点.
〔1〕假设090=∠BFD ，ABD ∆的面积为24,求p 的值与圆F 的方程；
〔2〕假设A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，
求坐标原点到,m n 距离的比值.
解：〔1〕由对称性知：BFD ∆是等腰直角∆，斜边2BD p =
点A 到准线l
的距离d FA FB ===
122
ABD S BD d p ∆=⇔⨯⨯=⇔= 圆F 的方程为22
(1)8x y +-=
1(2)=2262
ADB AD AF AB p ABD m y x ππ∠==∠==+由题意，，即，则的方程为
22
22x x x py y y x p p p '=⇔=⇒==⇒=⇒
切点,)36
p P
直线:()06336p n y x x p -
=-⇔-= 坐标原点到,m n
距离的比值为
:326
=.。