2020湖南株洲中考数学试卷

2020年湖南省株洲市中考数学试卷
一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）（2020•株洲）a 的相反数为﹣3，则a 等于（ ）
A ．﹣3
B ．3
C ．±3
D ．13
2．（4分）（2020•株洲）下列运算正确的是（ ）
A ．a •a 3＝a 4
B ．2a ﹣a ＝2
C ．（a 2）5＝a 7
D ．（﹣3b ）2＝6b 2
3．（4分）（2020•株洲）一个不透明的盒子中装有4个形状、大小质地完全相同的小球，这些小球上分别标有数字﹣1、0、2和3．从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．14131234
4．（4分）（2020•株洲）一实验室检测A 、B 、C 、D 四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．（4分）（2020•株洲）数据12、15、18、17、10、19的中位数为（ ）
A ．14
B ．15
C ．16
D ．17
6．（4分）（2020•株洲）下列哪个数是不等式2（x ﹣1）+3＜0的一个解？（ ）
A ．﹣3
B ．
C ．
D ．2
-12137．（4分）（2020•株洲）在平面直角坐标系中，点A （a ，2）在第二象限内，则a 的取值可以是（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．4或﹣4
-32438．（4分）（2020•株洲）下列不等式错误的是（ ）
A ．﹣2＜﹣1
B ．π
C ．
D ．0.3＜1752＞1013＞9．（4分）（2020•株洲）如图所示，点A 、B 、C 对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA 绕点C 按顺时针方向旋转，当点A 首次落在矩形BCD
E 的边BE 上时，记为点A 1，则此时线段CA 扫过的图形的面积为（ ）
A ．4π
B ．6
C ．4
D ．π383
10．（4分）（2020•株洲）二次函数y ＝ax 2+bx +c ，若ab ＜0，a ﹣b 2＞0，点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在该二次函数的图象上，其中x 1＜x 2，x 1+x 2＝0，则（ ）
A ．y 1＝﹣y 2
B ．y 1＞y 2
C ．y 1＜y 2
D ．y 1、y 2的大小无法确定
二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）（2020•株洲）关于x 的方程3x ﹣8＝x 的解为x ＝ ．
12．（4分）（2020•株洲）因式分解：2a 2﹣12a ＝ ．
13．（4分）（2020•株洲）计算的结果是 ．
23×(8+2)14．（4分）（2020•株洲）王老师对本班40个学生所穿校服尺码的数据统计如下：尺码
S M L XL XXL XXL 频率0.050.10.20.3250.30.025
则该班学生所穿校服尺码为“L ”的人数有 个．
15．（4分）（2020•株洲）一个蜘蛛网如图所示，若多边形ABCDEFGHI 为正九边形，其中心点为点O ，点M 、N 分别在射线OA 、OC 上，则∠MON ＝ 度．
16．（4分）（2020•株洲）如图所示，点D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 的中点，连接BE ，过点C 作CF ∥BE ，交DE 的延长线于点F ，若EF ＝3，则DE 的长为 ．
17．（4分）（2020•株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 为矩形，点
A 、C 分别在x 轴、y 轴上，点
B 在函数y 1（x ＞0，k 为常数且k ＞2）的图象上，边=
k x AB 与函数y 2（x ＞0）的图象交于点D ，则阴影部分ODBC 的面积为 ．（结=2x 果用含k 的式子表示）
18．（4分）（2020•株洲）据《汉书律历志》记载：“量者，龠（yu è）、合、升、斗、斛
（h ú）也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜（hu án ）其外，旁有庣（ti āo ）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的周长为 尺．（结果用最简根式表示）
三、解答题（本大题共8小题，共78分）
19．（2020•株洲）计算：（）﹣1+|﹣1|tan60°．
14-3
20．（2020•株洲）先化简，再求值：（）•1，其中x ，y ＝2．
x
y ‒y x y x +y ‒=221．（2020•株洲）某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线l 1∥l 2，点A 、B 分别在l 1、l 2上，斜坡AB 的长为18米，过点B 作BC ⊥l 1于点C ，且线段AC 的长为2米．
6
（1）求该斜坡的坡高BC ；（结果用最简根式表示）
（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角α为60°，过点M 作MN ⊥l 1于点N ，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？
22．（2020•株洲）近几年，国内快递业务快速发展，由于其便捷、高效，人们越来越多地通过快递公司代办点来代寄包裹．某快递公司某地区一代办点对60天中每天代寄的包裹数与天数的数据（每天代寄包裹数、天数均为整数）统计如下：
（1）求该数据中每天代寄包裹数在50.5～200.5范围内的天数；
（2）若该代办点对顾客代寄包裹的收费标准为：重量小于或等于1千克的包裹收费8元；重量超1千克的包裹，在收费8元的基础上，每超过1千克（不足1千克的按1千克计算）需再收取2元．
①某顾客到该代办点寄重量为1.6千克的包裹，求该顾客应付多少元费用？
②这60天中，该代办点为顾客代寄的包表中有一部分重量超过2千克，且不超过5千克．现从中随机抽取40件包裹的重量数据作为样本，统计如下：重量G （单位：千克）
2＜G ≤33＜G ≤44＜G ≤5件数（单位：件）151015
求这40件包裹收取费用的平均数．
23．（2020•株洲）如图所示，△BEF 的顶点E 在正方形ABCD 对角线AC 的延长线上，AE 与BF 交于点G ，连接AF 、CF ，满足△ABF ≌△CBE ．
（1）求证：∠EBF ＝90°．
（2）若正方形ABCD 的边长为1，CE ＝2，求tan ∠AFC 的值．
24．（2020•株洲）AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，连接AC 、BC ，直线MN 过点C ，满足∠BCM ＝∠BAC ＝α．
（1）如图①，求证：直线MN 是⊙O 的切线；
（2）如图②，点D 在线段BC 上，过点D 作DH ⊥MN 于点H ，直线DH 交⊙O 于点
E 、
F ，连接AF 并延长交直线MN 于点
G ，连接CE ，且CE ，若⊙O 的半径为1，=53
cos α，求AG •ED 的值．=34
25．（2020•株洲）如图所示，△OAB 的顶点A 在反比例函数y （k ＞0）的图象上，直=k x
线AB 交y 轴于点C ，且点C 的纵坐标为5，过点A 、B 分别作y 轴的垂线AE 、BF ，垂足分别为点E 、F ，且AE ＝1．
（1）若点E 为线段OC 的中点，求k 的值；
（2）若△OAB 为等腰直角三角形，∠AOB ＝90°，其面积小于3．
①求证：△OAE ≌△BOF ；
②把|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|称为M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）两点间的“ZJ 距离”，记为d （M ，N ），求d （A ，C ）+d （A ，B ）的值．
26．（2020•株洲）如图所示，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）的图象（记为抛物线Γ）与y 轴交于点C ，与x 轴分别交于点A 、B ，点A 、B 的横坐标分别记为x 1，x 2，且0＜x 1＜x 2．
（1）若a ＝c ，b ＝﹣3，且过点（1，﹣1），求该二次函数的表达式；
（2）若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的判别式△＝4．求证：当b 时，二＜-52次函数y 1＝ax 2+（b +1）x +c 的图象与x 轴没有交点．
（3）若AB 2，点P 的坐标为（，﹣1），过点P 作直线l 垂直于y 轴，
=c 2‒2c +6c -x 0且抛物线的Γ顶点在直线l 上，连接OP 、AP 、BP ，PA 的延长线与抛物线Γ交于点D ，若∠OPB ＝∠DAB ，求x 0的最小值．
2020年湖南省株洲市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）（2020•株洲）a 的相反数为﹣3，则a 等于（ ）
A ．﹣3
B ．3
C ．±3
D ．13
【解答】解：因为3的相反数是﹣3，所以a ＝3．
故选：B ．
2．（4分）（2020•株洲）下列运算正确的是（ ）
A ．a •a 3＝a 4
B ．2a ﹣a ＝2
C ．（a 2）5＝a 7
D ．（﹣3b ）2＝6b 2
【解答】解：选项A ，根据同底数幂的乘法法则可得a •a 3＝a 4，选项A 正确；选项B ，根据合并同类项法则可得2a ﹣a ＝a ，选项B 错误；
选项C ，根据幂的乘方的运算法则可得（a 2）5＝a 10，选项C 错误；
选项D ，根据积的乘方的运算法则可得（﹣3b ）2＝9b 2，选项D 错误．
故选：A ．
3．（4分）（2020•株洲）一个不透明的盒子中装有4个形状、大小质地完全相同的小球，这些小球上分别标有数字﹣1、0、2和3．从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．14131234
【解答】解：根据题意可得：在4个小球中，其中标有正数的有2个，分别是2，3，
故从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为：．24=12
故选：C ．
4．（4分）（2020•株洲）一实验室检测A 、B 、C 、D 四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：∵1.2|＝1.2，|﹣2.3|＝2.3，|+0.9|＝0.9，|﹣0.8|＝0.8，
又∵0.8＜0.9＜1.2＜2.3，
∴从轻重的角度看，最接近标准的是选项D 中的元件．
故选：D ．
5．（4分）（2020•株洲）数据12、15、18、17、10、19的中位数为（ ）
A ．14
B ．15
C ．16
D ．17
【解答】解：把这组数据从小到大排列为：10，12，15，17，18，19，则这组数据的中
位数是16．15+172
=故选：C ．
6．（4分）（2020•株洲）下列哪个数是不等式2（x ﹣1）+3＜0的一个解？（ ）
A ．﹣3
B ．
C ．
D ．2
-1213【解答】解：解不等式2（x ﹣1）+3＜0，得，x ＜-12
因为只有﹣3，所以只有﹣3是不等式2（x ﹣1）+3＜0的一个解，＜-12
故选：A ．
7．（4分）（2020•株洲）在平面直角坐标系中，点A （a ，2）在第二象限内，则a 的取值可以是（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．4或﹣4
-3243【解答】解：∵点A （a ，2）是第二象限内的点，
∴a ＜0，
四个选项中符合题意的数是，-32
故选：B ．
8．（4分）（2020•株洲）下列不等式错误的是（ ）
A ．﹣2＜﹣1
B ．π
C ．
D ．0.3＜1752＞1013＞【解答】解：A 、根据两个负数绝对值大的反而小可得﹣2＜﹣1，原不等式正确，故此选项不符合题意；
B 、由3＜π＜4，可得，原不等式正确，故此选项不符合题意；
4＜17＜5π＜17C 、由，6.25＜10，可得，原不等式错误，故此选项符合题意；(52)2=6.2552＜10D 、由0.3333…，可得，原不等式正确，故此选项不符合题意．13=13
＞0.3故选：C ．
9．（4分）（2020•株洲）如图所示，点A 、B 、C 对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA 绕点C 按顺时针方向旋转，当点A 首次落在矩形BCDE 的边BE 上时，记为点A 1，则此时线段CA 扫过的图形的面积为（ ）
A ．4π
B ．6
C ．4
D ．π38
3
【解答】解：由题意，知AC ＝4，BC ＝4﹣2＝2，∠A 1BC ＝90°．
由旋转的性质，得A 1C ＝AC ＝4．
在Rt △A 1BC 中，cos ∠ACA 1．=
BC A 1C =12
∴∠ACA 1＝60°．
∴扇形ACA 1的面积为．60×π×42360
=83π即线段CA 扫过的图形的面积为．83π故选：D ．
10．（4分）（2020•株洲）二次函数y ＝ax 2+bx +c ，若ab ＜0，a ﹣b 2＞0，点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在该二次函数的图象上，其中x 1＜x 2，x 1+x 2＝0，则（ ）
A ．y 1＝﹣y 2
B ．y 1＞y 2
C ．y 1＜y 2
D ．y 1、y 2的大小无法确定【解答】解：∵a ﹣b 2＞0，b 2≥0，
∴a ＞0．
又∵ab ＜0，
∴b ＜0，
∵x 1＜x 2，x 1+x 2＝0，
∴x 2＝﹣x 1，x 1＜0．
∵点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在该二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象上，
∴，．y 1=ax 12+bx 1+c y 2=ax 22+bx 2+c =ax 12‒bx 1+c
∴y 1﹣y 2＝2bx 1＞0．∴y 1＞y 2．故选：B ．
二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）（2020•株洲）关于x 的方程3x ﹣8＝x 的解为x ＝　4　．【解答】解：方程3x ﹣8＝x ，移项，得3x ﹣x ＝8，合并同类项，得2x ＝8．解得x ＝4．故答案为：4．
12．（4分）（2020•株洲）因式分解：2a 2﹣12a ＝　2a （a ﹣6）　．【解答】解：2a 2﹣12a ＝2a （a ﹣6）．故答案为：2a （a ﹣6）．13．（4分）（2020•株洲）计算的结果是　2　．
23
×(8+2)【解答】解：原式=23
×8+23
×2
=2×83+
2×23
=
43+2
3
＝2．
故答案是：2．
14．（4分）（2020•株洲）王老师对本班40个学生所穿校服尺码的数据统计如下：
尺码S M L XL XXL XXL 频率
0.05
0.1
0.2
0.325
0.3
0.025
则该班学生所穿校服尺码为“L ”的人数有　8　个．
【解答】解：由表可知尺码L 的频率为0.2，又因为班级总人数为40，所以该班学生所穿校服尺码为“L ”的人数有40×0.2＝8．故答案是：8．
15．（4分）（2020•株洲）一个蜘蛛网如图所示，若多边形ABCDEFGHI 为正九边形，其中心点为点O ，点M 、N 分别在射线OA 、OC 上，则∠MON ＝　80　度．
【解答】解：根据正多边形性质得，中心角为：∠AOB ＝360°÷9＝40°，∴∠MON ＝2∠AOB ＝80°．故答案为：80．
16．（4分）（2020•株洲）如图所示，点D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 的中点，连接BE ，过点C 作CF ∥BE ，交DE 的延长线于点F ，若EF ＝3，则DE 的长为 ．
3
2
【解答】解：∵D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 的中点，∴DE 为△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，，DE =1
2
BC ∵CF ∥BE ，
∴四边形BCFE 为平行四边形，∴BC ＝EF ＝3，∴．DE =
12BC =32
故答案为：．
3
2
17．（4分）（2020•株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 为矩形，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，点B 在函数y 1（x ＞0，k 为常数且k ＞2）的图象上，边=k
x
AB 与函数y 2（x ＞0）的图象交于点D ，则阴影部分ODBC 的面积为　k ﹣1　．（结=
2
x
果用含k 的式子表示）
【解答】解：∵D 是反比例函数图象上一点
y 2=2
x
(x ＞0)∴根据反比例函数k 的几何意义可知：△AOD 的面积为1．
12
×2=∵点B 在函数（x ＞0，k 为常数且k ＞2）的图象上，四边形OABC 为矩形，
y 1=k
x
∴根据反比例函数k 的几何意义可知：矩形ABCO 的面积为k ．∴阴影部分ODBC 的面积＝矩形ABCO 的面积﹣△AOD 的面积＝k ﹣1．故答案为：k ﹣1．
18．（4分）（2020•株洲）据《汉书律历志》记载：“量者，龠（yu è）、合、升、斗、斛（h ú）也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜（hu án ）其外，旁有庣（ti āo ）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的周长为　4　2尺．（结果用最简根式表示）
【解答】解：如图，
∵四边形CDEF 为正方形，∴∠D ＝90°，CD ＝DE ，∴CE 为直径，∠ECD ＝45°，由题意得AB ＝2.5，∴CE ＝2.5﹣0.25×2＝2，∴CD ＝CE ，
⋅cos ∠ECD =2×22
=2∴∠ECD ＝45°，
∴正方形CDEF 周长为尺．42故答案为：．
42三、解答题（本大题共8小题，共78分）19．（2020•株洲）计算：（）﹣1+|﹣1|tan60°．
14
-3【解答】解：原式＝4+1-3×3
＝4+1﹣3＝2．
20．（2020•株洲）先化简，再求值：（）•
1，其中x ，y ＝2．
x
y
‒y x
y
x +y
‒=2【解答】解：原式•
1=x 2‒y 2xy y
x +y ‒•1=
(x +y )(x ‒y )xy y
x +y
‒
1=
x ‒y
x
‒ =‒y x
，=-
y x
当x ，y ＝2，原式．
=
2=
-
221．（2020•株洲）某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线l 1∥l 2，点A 、B 分别在l 1、l 2上，斜坡AB 的长为18米，过点B 作BC ⊥l 1于点C ，且线段AC 的长为2米．
6
（1）求该斜坡的坡高BC ；（结果用最简根式表示）
（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角α为60°，过点M 作MN ⊥l 1于点N ，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？【解答】解：（1）在Rt △ABC 中，；
BC =AB 2‒AC 2=324‒24=103（2）∵∠α＝60°，∴∠AMN ＝30°，∴AM ＝2MN ，
∵在Rt △ABC 中，AN 2+MN 2＝AM 2，∴AN 2+300＝4AN 2∴AN ＝10，∴AM ＝20，
∴AM ﹣AB ＝20﹣18＝2．综上所述，长度增加了2米．
22．（2020•株洲）近几年，国内快递业务快速发展，由于其便捷、高效，人们越来越多地通过快递公司代办点来代寄包裹．某快递公司某地区一代办点对60天中每天代寄的包裹数与天数的数据（每天代寄包裹数、天数均为整数）统计如下：
（1）求该数据中每天代寄包裹数在50.5～200.5范围内的天数；
（2）若该代办点对顾客代寄包裹的收费标准为：重量小于或等于1千克的包裹收费8元；重量超1千克的包裹，在收费8元的基础上，每超过1千克（不足1千克的按1千克计算）需再收取2元．
①某顾客到该代办点寄重量为1.6千克的包裹，求该顾客应付多少元费用？
②这60天中，该代办点为顾客代寄的包表中有一部分重量超过2千克，且不超过5千
克．现从中随机抽取40件包裹的重量数据作为样本，统计如下：
重量G（单位：千克）2＜G≤33＜G≤44＜G≤5
件数（单位：件）151015
求这40件包裹收取费用的平均数．
【解答】解：（1）结合统计图可知：
每天代寄包裹数在50.5～200.5范围内的天数为18+12+12＝42天；
（2）①因为1.6＞1，故重量超过了1kg，
除了付基础费用8元，还需要付超过1k 部分0.6kg 的费用2元，则该顾客应付费用为8+2＝10元；
②（12×15+14×10+15×16）÷40＝14元．所以这40件包裹收取费用的平均数为14元．
23．（2020•株洲）如图所示，△BEF 的顶点E 在正方形ABCD 对角线AC 的延长线上，AE 与BF 交于点G ，连接AF 、CF ，满足△ABF ≌△CBE ．（1）求证：∠EBF ＝90°．
（2）若正方形ABCD 的边长为1，CE ＝2，求tan ∠AFC 的值．
【解答】（1）证明：∵△ABF ≌△CBE ，∴∠ABF ＝∠CBE ，∵∠ABF +∠CBF ＝90°，∴∠CBF +∠CBE ＝90°，∴∠EBF ＝90°；
（2）解：∵△ABF ≌△CBE ，∴∠AFB ＝∠CEB ，∵∠FGA ＝∠EGB ，∴∠FAC ＝∠EBF ＝90°，∵正方形边长为1，CE ＝2．∴，AF ＝CE ＝2．
AC =
2∴tan ∠AFC ．=AC
AF =22
24．（2020•株洲）AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，连接AC 、BC ，直线MN 过点C ，满足∠BCM ＝∠BAC ＝α．
（1）如图①，求证：直线MN 是⊙O 的切线；
（2）如图②，点D 在线段BC 上，过点D 作DH ⊥MN 于点H ，直线DH 交⊙O 于点E 、F ，连接AF 并延长交直线MN 于点G ，连接CE ，且CE ，若⊙O 的半径为1，=
5
3
cos α，求AG •ED 的值．
=3
4
【解答】（1）证明：连接OC ，如图①，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠A +∠B ＝90°，∵OC ＝OB ，∴∠B ＝∠OCB ，∵∠BCM ＝∠A ，
∴∠OCB +∠BCM ＝90°，即OC ⊥MN ，∴MN 是⊙O 的切线；
（2）解：如图②，∵AB 是⊙O 的直径，⊙O 的半径为1，∴AB ＝2，
∵cos ∠BAC ，即，=cosα=
AC AB =34AC 2=34
∴，
AC =32
∵∠AFE ＝∠ACE ，∠GFH ＝∠AFE ，∴∠GFH ＝∠ACE ，∵DH ⊥MN ，
∴∠GFH +∠AGC ＝90°，∵∠ACE +∠ECD ＝90°，
∴∠ECD ＝∠AGC ，又∵∠DEC ＝∠CAG ，∴△EDC ∽△ACG ，∴
，ED AC =EC
AG
∴．AG ⋅DE =AC ⋅CE =
32×53=52
25．（2020•株洲）如图所示，△OAB 的顶点A 在反比例函数y （k ＞0）的图象上，直
=k
x
线AB 交y 轴于点C ，且点C 的纵坐标为5，过点A 、B 分别作y 轴的垂线AE 、BF ，垂足分别为点E 、F ，且AE ＝1．
（1）若点E 为线段OC 的中点，求k 的值；
（2）若△OAB 为等腰直角三角形，∠AOB ＝90°，其面积小于3．①求证：△OAE ≌△BOF ；
②把|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|称为M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）两点间的“ZJ 距离”，记为d （M ，N ），求d （A ，C ）+d （A ，B ）的值．
【解答】解：（1）∵点E 为线段OC 的中点，OC ＝5，
∴，即：E 点坐标为，
OE =12OC =52(0，5
2
)又∵AE ⊥y 轴，AE ＝1，∴，
A(1，52
)∴．
k =1×52=5
2
（2）①在△OAB 为等腰直角三角形中，AO ＝OB ，∠AOB ＝90°，∴∠AOE +∠FOB ＝90°，又∵BF ⊥y 轴，
∴∠FBO +∠FOB ＝90°，∴∠AOE ＝∠FBO ，在△OAE 和△BOF 中，
，{
∠AEO =∠OFB =90°
∠AOE =∠FBO AO =BO
∴△OAE ≌△BOF （AAS ），②解：设点A 坐标为（1，m ），∵△OAE ≌△BOF ，
∴BF ＝OE ＝m ，OF ＝AE ＝1，∴B （m ，﹣1），
设直线AB 解析式为：l AB ：y ＝kx +5，将AB 两点代入得：
则．
{k +5=m km +5=‒1解得，．{k 1=‒3m 1=2{
k 2=‒2m 2
=3当m ＝2时，OE ＝2，，，符合；OA =5S △AOB =52＜3∴d （A ，C ）+d （A ，B ）＝AE +CE +（BF ﹣AE ）+（OE +OF ）＝1+CE +OE ﹣1+OE +1＝1+CE +2OE ＝1+CO +OE ＝1+5+2＝8，
当m ＝3时，OE ＝3，，S △AOB ＝5＞3，不符，舍去；
OA =10综上所述：d （A ，C ）+d （A ，B ）＝8．
26．（2020•株洲）如图所示，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）的图象（记为抛物线Γ）与y 轴交于点C ，与x 轴分别交于点A 、B ，点A 、B 的横坐标分别记为x 1，x 2，且0＜x 1＜x 2．
（1）若a ＝c ，b ＝﹣3，且过点（1，﹣1），求该二次函数的表达式；
（2）若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的判别式△＝4．求证：当b 时，二＜-
52次函数y 1＝ax 2+（b +1）x +c 的图象与x 轴没有交点．
（3）若AB 2，点P 的坐标为（，﹣1），过点P 作直线l 垂直于y 轴，
=c 2‒2c +6c -x 0且抛物线的Γ顶点在直线l 上，连接OP 、AP 、BP ，PA 的延长线与抛物线Γ交于点D ，若∠OPB ＝∠DAB ，求x 0的最小值．
【解答】解：（1）由题意得：y ＝ax 2﹣3x +a ，
∵函数过点（1，﹣1），
∴a ﹣3+a ＝﹣1，
∴a ＝c ＝1，
∴y ＝x 2﹣3x +1；
（2）由题意，一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的判别式△＝4．∴△＝b 2﹣4ac ＝4，
∴4ac ＝b 2﹣4，
在函数中，，y 1=ax 2+(b +1)x +c △1=(b +1)2‒4ac =(b +1)2‒(b 2‒4)=2b +5∵，b ＜-52
∴2b +5＜0，
即函数图象与x 轴没有交点；
（3）因为函数顶点在直线l 上，则有，4ac ‒b 2
4a
=‒1即b 2﹣4ac ＝4a ①，
∵，A B 2=c 2‒2c +6c
∴，(x 2‒x 1)2
=c 2‒2c +6c 即，(x 1+x 2)2
‒4x 1x 2=c 2‒2c +6c ∴，b 2‒4ac
a 2=c 2‒2c +6c
由①得：②，4a =c 2‒2c +6c
∵∠OAP ＝∠DAB ，
∴∠OAP ＝∠OPB ，
∵∠OAP ＝∠OBP +∠APB ，∠OPB ＝∠OPA +∠APB ，∴∠OBP ＝∠OPA ，
则△OAP ∽△OPB ．
∴，OA OP =OP OB
∴OA •OB ＝OP 2，
∴．
x 1x 2=(‒x 0)2+(‒1)2∴，∴．由②得：，c a =x 0+1x 0=c a ‒1x 0=c 2‒2c +64
‒1
1 4(c‒1)2+
1
4
(x0)min=
1
4
∴，∴当c＝1时，．x0=。