第九章力矩分配法

四、多层单跨剪力静定刚架
1、施加刚臂约束节点的转动，用于求固端弯矩。
P1 A
D P1
MAB
P1
A
P2 B
E P2
MBA
MBC
B P1+P2
B
C MCB C
1）AB、BC杆是剪力静定杆，由静力条件求出杆端剪力； 2）将杆端剪力作为杆端荷载，按该端滑动、另端固定求杆
件固端弯
2、逐次释放节点转角，反号分配不平衡弯矩并传递
(a )
F B
A
l/ 2
l/ 2
l
F C
a
(b )
Fa
F
8
MB
1 2
M
M
F
M =Fa
（2）结点有外力偶的结构。当结点上有外力偶时，
为正确计算该处不平衡力矩，宜取该结点为隔离体，画出集 中力偶和固端弯矩的实际方向，则由结点的力矩平衡方程求
出不平衡力矩，不平衡弯矩以逆时针旋转为正。
例：求图a所示连续梁结点B的不平衡力矩。
第九章力矩分配法
例：图示结构中各杆EI 相同，求分配系数μBA 。
CB
D
A 3m
4m 4m
S BD
3EI ， 4
S BA
4EI 5
， SBC 0
所以
BA
16 31
注意：本题需正确求解SBC 。
1. 几种情形下约束力矩的计算
（1）带悬臂的结构。求图a 所示连续梁结点B 的不
平衡力矩，可将悬臂端的F 等效平移到支座C上（图b）， 杆BC 的C 端弯矩为M，B 端的传递弯矩为M/2，得B 端的 约束力矩MB=Fl/8+M/2。
MAB A
右2图A处实际转角时，SAB=iAB A
水平杆在A端有转动
Q=0
刚度，AB杆受弯 （参与A节点不平衡
CAB=-1 B -MAB
力矩的分配）
由以上知： 1）此类结构中侧移杆皆为剪力静定杆的有侧移刚架可采用力矩 分配法（不这样称呼），此剪力静定杆在力矩分配和传递时剪 力为零，因此称为无剪力分配法。 2）求剪力静定杆的固端弯矩时，对节点角位移处施加刚臂，按 该端滑动、远端固定的杆在杆端剪力和杆上荷载共同作用下通 过查载常数表确定固端弯矩 （若某剪力静定杆上无直接作用荷载则可先由平衡条件求出杆 端剪力；将杆端剪力看作杆端荷载，按该端滑动、远端固定杆 件计算固端弯矩） 3）剪力静定杆件的转动刚度 S=i；传递系数 C= -1 。
i2=3
A
2m 2m
A
5KN
B
C
解：选取结点角位移为基本 未知量，加刚臂成基本体系， 竖杆为剪力静定杆件，可用 无剪力分配法。
（1）求固端弯矩MF
MF BC136543.75 M F BA q62l16422.67 MFABq3l2 5.33
（2）求杆端转动刚度S 、分配系数和传递系数C
SBA SBC 1
(b)
B
l
A
ql ql/2
C
D
ql (c) q l/ 2
(d) (e) ql/4 ql/4
(d) (e) ql/4 ql/4
由于图b、c中竖向反力ql不产生弯矩，故可不考虑。再
分别将图b、c取半结构，如图d、e所示，二者均极易求解
（图d用力法，只有一个未知量，而图e为静定结构）。
例：用力矩分配法计算图a所示刚架，作M图。EI =常数。
(a)
q
M
F
A l
B
C
l/2 l/2
(b )
ql2 12
MB 3Fl
16
ql2 12
MB M
3Fl 16
解：由图b可得结点B的不平衡力矩为
MB
ql2 M
3Fl
12 16
（3）支座沉降
例：求图a所示连续梁有支座沉降时，结点C 的约束力
矩。
(a) A
B EI2
C EI3
D
l2
l3
Δ=1
(b)
MC
解： MC 6El22 I2 3El32I3
BA33340.2
BC0.8
m BA 1 25 332.5k N m
(3)单元弯矩图 （4）原刚架弯矩图 m AB 2.5kN m
方法2.合成计算
10kN
②
③
④
⑨
⑥
3m
24 10kN
18
-15 3 12
-12 12 -15 -3 -18
12 12
18
M(kN·m)
符合倍数关系的多层 多跨刚架在水平结点 荷载作用下的特性：
A
D
A A
D
A
SBA= iAB B
C
Q=0
E
A
SBE=3iBE Q=0
B
MBC=iBC
B
CBA= -1 Q=0
A
MBA=iAB
A CBC= -1 Q=0
B A
E
同前述单层刚架，在结点-M力BC 矩作用下，剪力静定的杆件其剪
力均为零，也就是说在放松结点时，弯矩的分配与传递均在
零剪力条件下进行，这就是无剪力分配法名称的来源。
0
-0.15
0.003 0.004 0.143
0
-6.15 -21.646 27.79
0
-22.5 -0.85 -0.01 -23.36
由结点B 开始
归纳：无剪力分配法与前述力矩分配法异同
1、适用范围（或条件）不同： 除无侧移杆外皆为剪力静定杆。
2、加刚臂后剪力静定杆的模型不同： 剪力静定杆按该端定向、远端固端；无侧移杆不变。
3、固端弯矩求法不同（荷载不同：杆端剪力和杆上荷载） 可直接查载常数表求出（例题1），有时需先求杆端剪
力并将其作为杆端荷载查载常数表（例题2） 4、由于上述2中模型变化，导致杆端转动刚度、分配系
数、 传递系数相应改变。 5、相同之处：计算步骤、书写格式同力矩分配法
无剪力分配法的应用——符合倍数关系的多跨刚架
C
A
B 图（B）
图示刚架，若只取节点A的转角为基本未知量，也就是只在节点
A施加刚臂控制节点转动、不加水平链杆控制节点水平位移，则
竖杆AB成为上端定向支承、下端固端支承的单跨梁；梁BC仍可
看作左端固定、右端铰支的单跨梁（因A、C两点同时等量左右
移动时不引起内力，无侧移杆）。此时图D仍是各基本单跨梁的
A ②B P1
①
③
P2
D
E
②
①
③
④C
② F
④ ②
(1)同层各结点转角相等：
ABC
(2)由(1)，各横梁两端转 P1
角相等，反弯点在各
3
①
跨中点，跨中截面无
挠度。
P2 3
②
2P1
3
①
②
2P2
3
④
②
②
④
(3)由(2)，对原刚架的 计算可用半刚架或合 成半刚架代替。
①
①
②
②
提示: 单结点结构的力矩分配法计算结果是精确的。
9.4 无剪力分配法
一、两个概念
1、有侧移杆与无侧移杆
杆件两端没有垂直于杆轴的相对线位移，称无侧移杆
杆件两端在垂直杆轴的方向上有相对线位移，称有侧移杆
2、剪力静定杆 杆件内的各截面剪力可以
A
C
A
由静力平衡条件唯一确定 的杆称为剪力静定杆
图（A）
B
二、无剪力分配法
4）AC杆的计算与以前一样。
三、应用条件
结构中有线位移的杆件其剪力是静定的。 即：刚架中除了无侧移杆外，其余有侧移杆件全是剪力静定杆。
PD
P PD
P
PC
P PC
2P
PB
P PB
3P
A
A
剪力分配法
柱剪力图
（按侧移刚度分配）
例题1、用无剪力分配法求图示刚架的弯矩图。
1kN/m 4m
5kN
B
B
C
i1=4
i=3.5
8.5kN B
D
B -6.6
i=54
-22.5
i=5 C
12.5kN B
C -22. 5
AB AE
0.0211 0.9789
-6.6 -0.6
0
0
0.15 7.05
0
-7.05 7.05
BA BC
BD
0.0206 0.0293 0.9501
-6.6 -22.5 0
0
0.6 0.85 27.65
在一定条件下多跨刚架可以分解成几个单跨对称刚架，多跨刚
架的变形（内力）状态可以分解成几个单跨对称刚架的变形
（内力）状态。先讨论刚架在什么条件下才可能合并成一个多
h
跨刚架。
P1 A
B1 nP1 B2
C
一、倍数定理
独立倍数刚架
i2
ni2
i1 D
i1 E1
E2 ni1
ni1 F
刚架Ⅰ和刚架Ⅱ线刚度成1:n 刚架Ⅰ和刚架Ⅱ 荷载成1:n
B
B
i2 1
i2
3i1
C
0.2 0.8
-2.67 -3.75
1.28 5.14
-1.39 1.39
i2 A CBA1 1.39
SBA i2 3 SBC 3i1 12
1.39 5.70
BA
3 3 12
0.2
M图(kN·m)
BC
12 3 12
0.8
6.61
-5.33 -1.28 -6.61
例题2、用无剪力分配法求图示刚架的弯矩图
8kN A i=27
17kN
i=3.5
i=3.5
B i=27
i=5
i=5
C
3.6m
3.3m
4kN A i=54
i=3.5 8.5kN B
i=54
i=5 C
-6.6
4kN
A
B -6.6 -22.5 12.5kN
A
B -22. 5
-6.6
4kN
A
4kN A
E
i=54
1、刚架特点：竖杆为剪力静定杆，节点A水平移动时，竖杆除 受本身的弹性约束外无其他杆件或支座的约束。 位移法解题：一般A处加刚臂，C点加支杆，基本结构如右下图 力矩分配法：通常只适用于计算仅以节点角位移为基本未知量
的结构。是位移法解决基本未知量中无节点线位 移的结构其内力的一种近似方法
如果某结构为有节点线位移的结构，但 独立的节点线位移可以不作为位移法基 本未知量，而只以角位移为基本未知量， 因而也可以用力矩分配法计算。
合成条件为：各单跨对称刚架的线刚度及结点水平荷载应符合倍数关系。
二、计算步骤
2
例: 10kN 2
②
③
2 6
4
④
4
⑨
⑥
3m
3
9
6
(1)分解
M(kN·m)
10 kN
②
3
③
③
2 10kN
④
3
⑥
⑥
(2)基本单元计算
2
2
4
4
5 kN 2 ④
3
③
④ 5 kN 3
③
10 3
kN
4
⑧
⑥
⑧ 10 kN 3
⑥
3
3
6
6
i2
ni2
i1
D
i1 E1 E2 ni1
ni1 F
刚架串联且荷载叠加后，两个刚架的内力和位移（变形）与原分开时相
同（刚度成比例时荷载也按比例分配）。
多跨刚架
A P=（1+n）P1
i2
B
C
ni2
i1 D
E（n+1）i1
ni1 F
在刚架串联中两个中间柱子的变形相同，故可合二为一，其线刚度为两个相邻
柱线刚度之和，内力等于两个柱之和。
例：写出图a 所示结构的解题方法（用计算简图表示， 并作简要说明）。
ql
(b) ql/2
BC
l
AD
q
(a)
I l
BC
EF
AD
l GH
l ll l
ql (c) q l/ 2
解：易知，CIE为静定的附属部分，取CIE为隔离体， 即可求出E、C的支座反力。再将支座反力分别反作用 于两个基本部分（如图b、c）。
6EI2 l22
3EI3 l23
二、力矩分配法与位移法的比较
(1) 思路一致。力矩分配法和位移法的思路是一致的， 即都是先固定结点，只考虑除变形外的其他因素，然后再 令结构发生变形，使结构达到最后的变形状态。
(2)实现最后的内力和变形状态的方法不同。位移法的 最后变形状态是一次性完成的，内力是由广义荷载和变形 各自作用的结果相叠加来实现的；力矩分配法则是经循环 运算、逐步修正，将各结点反复轮流地固定、放松，才使 各结点的不平衡力矩逐渐趋近于零，杆端力矩也就逐步修 正到精确值。
组合体，可用位移法（留为作业），因此也可直接用力矩分配
法。
A
C
C
A
A
A
图（C）
B
图（D）
B
A
A
C
A
A
B
A
B
B
右1图因节点A,C 同时 水平移动，AC 杆作 刚体平 移不引起内力
加刚臂阻止转动 放松节点使产生真实转角
C
SAC= 3iAC
SAB= iAB
A
(节点A处产生 不平衡力矩)
(A处不平衡力矩 反号后待分配)
Hale Waihona Puke (a) C10kN
(b)
D
12kN/m 4m
B E 4m
A 4m
10kN
(c)
40kN.m
40
12kN/m
40 58.5
22 36.5 37.5
11
M图(kN.m)
解：先直接画出CD部分的弯矩图，再将图a化成图b， 用力矩分配法极易求出M 图（图c）。
三、思考题
力矩分配法是以位移法为基础的渐近法， 这种计 算 方法是否只能获得近似解？
位移
A B1
B2
C
AB 1B 2C
内力成1: n 的关系
结论表明：两个刚架的线刚度与荷载均成比例时，
内力也成比例而变形相等。
独立倍数刚架 P1 A
B1 i2
i1 D
i1 E1
nP1 B2
C
ni2
E2 ni1
ni1 F
内力成比例而变形（位移）相等
刚架的串联
A
B1
B2
C
P=（1+n）P1
例：已知各杆EI=常数，作图a 所示结构的M图。
(a) E
1 0 k N /m AB F
(b)
6
C 5kN 3m
D
3m
6m
3m 3m
30
6
15
24
12 M 图 (kN .m )
解: ABCD为静定部分，先求出该部分M 图，再把MAB 反作用于基本部分EABF，用位移法或力矩分配法求解， 答案见图b。