一次函数知识点

一次函数
一、本章知识网络图
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⎨⎧程组
一次函数与二元一次方
等式一次函数与一元一次不程一次函数与一元一次方组）、不等式用函数的观点看方程（实际应用用待定系数法求解析式应用性质图象
定义一次函数性质图象定义正比例函数一次函数自变量取值范围图象表示方法定义函数
二、解题规律 方法技巧
一次函数解析式的常见题型 （一）定义型 例1. 已知函数
是一次函数，求其解析式。

解：由一次函数定义知
，故一次函数的解析式为
注意：利用定义求一次函数解析式时，要保证。

如本例中应保证
（二）点斜型 例2. 已知一次函数的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。

解：一次函数
的图像过点（2，－1）
，即
故这个一次函数的解析式为 变式问法：已知一次函数
，当
时，y ＝－1，求这个函数的解析式。

一 次 函 数
（三）两点型
已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。

解：设一次函数解析式为由题意得解析式为
（四）图像型
例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。

（0，2）有
解：设一次函数解析式为由图可知一次函数的图像过点（1，0）、
故这个一次函数的解析式为
（五）斜截型
例5. 已知直线与直线平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。

解析：两条直线：；：。

当，时，
直线与直线平行，。

又直线在y轴上的截距为2，故直线的解析式为
（六）平移型
例6. 把直线向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。

解析：设函数解析式为，直线向下平移2个单位得到的直线与直线
平行直线在y轴上的截距为，故图像解析式为
（七）实际应用型
例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为___________。

解：由题意得，即故所求函数的解析式为
（）
（八）面积型
例8. 已知直线与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为__________。

解：易求得直线与x轴交点为（，0），所以，所以，即
故直线解析式为或
（九）对称型
若直线与直线关于（1）x轴对称，则直线l的解析式为（2）y轴对称，则直线l 的解析式为（3）直线y＝x对称，则直线l的解析式为
（4）直线对称，则直线l的解析式为
（5）原点对称，则直线l的解析式为
例9. 若直线l与直线关于y轴对称，则直线l的解析式为____________。

解：由（2）得直线l的解析式为
（十）开放型
例10. 已知函数的图像过点A（1，4），B（2，2）两点，请写出满足上述条件的两个不同的函数解析式，并简要说明解答过程。

解：（1）若经过A、B两点的函数图像是直线，由两点式易得
（2）由于A、B两点的横、纵坐标的积都等于4，所以经过A、B两点的函数图像还可以是双曲线，解析式为
一次函数的实际应用解题技巧
（一）使用直译法求解一次函数应用题
所谓直译法就是将题中的关键语句“译”成代数式，然后找出函数关系、列出一次函数解析式，从而解决问题的方法。

例题1．东风商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元。

该商场为促销制定了甲、乙两种优惠办法。

甲：买1支毛笔就赠送1本书法练习本；
乙：按购买金额打9折付款。

某校书法兴趣小组打算购买这种毛笔10支，这种书法练习本x(x>=10)本。

（1）分别写出按甲、乙两种优惠办法实际付款金额y甲（元）、y乙（元）与x之间的函数关系式。

（2）比较购买不同数量的书法练习本时，按哪种优惠办法付款最省钱。

（3）如果商场允许既可以选择一种优惠办法购买，也可以用两种优惠办法购买，请你就购买这种毛笔10支和这种书法练习本60本设计一种最省钱的购买方案。

分析：只需根据题意，按要求将文字语言翻译成符号语言，再列出一次函数关系式即可。

解：（1）y甲=10×25+5（x-10）=5x+200（x>=10）
y乙=10×25×0.9+5×0.9×x=4.5x+225（x>=10）
（2）由（1）有：y甲-y乙=0.5x-25
若y甲-y乙=0
解得x=50
若y甲-y乙>0
解得x>50
若y甲-y乙<0
解得x<50
当购买50本书法练习本时，按两种优惠办法购买实际付款一样多，即可任选一种优惠办法付款；
当购买本数不小于10且小于50时，选择甲种优惠办法付款省钱；当购买本数大于50时，选择乙
种优惠办法付款省钱。

（3）设按甲种优惠办法购买a(0<=a<=10)支毛笔，则获赠a本书法练习本。

则需要按乙种优惠办法购买10-a支毛笔和(60-a)支书法练习本。

总费用为y=25a+25×0.9×（10-a）+5×0.9×（60-a）
=495-2a。

故当a最大（为10）时，y最小。

所以先按甲种优惠办法购买10支毛笔得到10本书法
练习本，再按乙种优惠办法购买50本书法练习本，这样的购买方案最省钱。

说明：本题属于“计算、比较、择优”型，它运用了一次函数、方程、不等式等知识，解决了最优方案的设计问题。

（二）使用列表法求解一次函数应用题
列表法就是将题目中的各个量列成一个表格，从而理顺它们之间的数量关系，以便于从中找到函数关系的解题方法。

例题2．某工厂现有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件。

已知：生产一件A种产品需用甲种原料9kg、乙种原料3kg，可获利润700元；生产一件B种产品需用甲种原料4kg、乙种原料10kg，可获利润1200元。

（1）若安排A、B两种产品的生产，共有哪几种方案？请你设计出来。

（2）设生产A、B两种产品获得的总利润是y元，其中一种产品的生产件数是x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中的哪种生产方案可以获得最大总利润。

最大的总利润是多少？
分析：本题中共出现了9个数据，其中涉及甲、乙两种原料的质量，生产A、B两种产品的总件数及两种产品所获得的利润等。

为了清楚地整理题目所涉及的各种信息，我们可采用列表法。

解：（1）设安排生产A种产品x件，则生产B种产品是（50-x）件
根据题意得：
解不等式组，得30<=X<=32
因为x是整数，所以x只可取30、31、32，相应的(50-x)的值是20、19、18。

所以，生产的方
案有三种：生产A种产品30件，B种产品20件；生产A种产品31件，B种产品19件；生产A
种产品32件，B种产品18件。

（2）设生产A种产品的件数是x，则生产B种产品的件数是50-x。

由题意得：y=700x+1200*(50-x)=-500x+60000（其中x只能取30、31、32）
因为-500<0所以y随x的增大而减小,当x=30时，y的值最大
因此，按（1）中第一种生产方案安排生产，获得的总利润最大
最大的总利润是：-500×30+60000=45000（元）
说明：本题是先利用不等式的知识，得到几种生产方案，再利用一次函数性质得出最佳生产方案。

（三）使用图示法求解一次函数应用题
所谓图示法就是用图形来表示题中的数量关系，从而观察出函数关系的解题方法。

此法对于某些一次函数问题非常有效，解题过程直观明了。

例题3.某市的C县和D县上个月发生水灾，急需救灾物资10t和8t。

该市的A县和B县伸出援助之手，分别募集到救灾物资12t和6t，全部赠给C县和D县。

已知A、B两县运资到C、D两县的每吨物资的运费如下表所示：
（1）设B县运到C县的救灾物资为xt，求总运费w（元）关于x（t）的函数关系式，并指出x的取值范围；
（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案。

分析:本题的信息量大，数据也较多，为梳理各个量之间的关系，我们可以采用如下的图示整理信息。

解：（1）w=30x+80(6-x)+40(10-x)+50[12-(10-x)]=-40x+980
自变量x的取值范围是：0<=x<=6
（2）由（1）可知，总运费w随x的增大而减小，所以当x=6时，总运费最低。

最低总运费为-40×6+980=740（元）。

此时的运送方案是：把B县的6t全部运到C县，再从A县运4t到C县，A县余下的8t全部运到D县。

说明：本题运用函数思想得出了总运费w与x的一次函数关系。