高三数学上学期第一次统测试题 理扫描 试题

本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

2021-2021学年高三第一次统测
理科数学 答案及评分HY
一、选择题〔单项选择题，每一小题5分，一共12×5=60分〕
1〔B 〕 2〔C 〕 3〔D 〕 4〔D 〕 5〔C 〕 6〔A 〕
7〔A 〕 8〔B 〕 9〔B 〕 10〔D 〕 11〔C 〕 12〔A 〕
二、填空题〔每一小题5分，一共4×5=30分〕
13、6 14、17-
15 16、1[,)2e
+∞
三、解答题〔第17题10分，第18至22题各12分，一共70分〕
注：以下给出的评分HY 是步骤分。

假设考生不能完好解答，请按步骤给分。

17、此题10分〔6+4〕
〔1〕1cos211()22cos2222
x f x x x x -=+=-+ 〔2分〕 π1sin(2)62
x =-+
〔2分〕 故()f x 的最小正周期为22T ππ== 〔2分〕 〔2〕令222262k x k π
π
π
ππ-≤-≤+
解得 63k x k π
π
ππ-≤≤+ 〔2分〕
故()f x 的单调递增区间为[,]63k k ππ
ππ-+，k Z ∈
令0,1k =，可得所求增区间为：[0,]3π和5[,]6
ππ。

〔2分〕
18、此题12分〔6+6〕
〔1〕由πsin cos()6B B =-，可得1sin cos sin 22
B B B =⋅+⋅， 〔2分〕
化简得sin B B =，从而tan B = 〔2分〕 那么3B π
=． 〔2分〕
〔2〕由余弦定理得，2179232
a a =+-⋅⋅⨯，求得1a =或者2a = 〔2分〕 根据锐角三角形，279cos 02a C ab
+-=>，∴2a =， 〔2分〕
11sin 2322S ac B =
=⨯⨯=. 〔2分〕
19、此题12分〔6+6〕 【解析】〔1〕由题设得，515(12)3112
a S -==-， 〔3分〕 求得11a =，从而{}n a 的通项公式为12n n a -=，*n N ∈. 〔3分〕
〔2〕由12n n a -=，可知112n n n b b -+-=，*n N ∈，那么有
0212b b -=，1322b b -=，…，212n n n b b ---=，112n n n b b -+-= 〔2分〕
从而0111122221n n n b b -+-=++⋅⋅⋅+=-， 〔2分〕
那么121n n b +=+，*n N ∈，因此121n n b -=+，2n ≥
因1112
12b -+==，所以121n n b -=+，*n N ∈. 〔2分〕
20、此题12分〔6+6〕
【解析】〔1〕当1n =时，111a S ==， 〔2分〕
当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=- 〔2分〕
因2111⨯-=，故21n a n =-，*n N ∈. 〔2分〕
〔2〕2n n n b a =⋅(21)2n n =-⋅，那么有
231123252(23)2(21)2n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯
23412123252(23)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯
两式相减得，
231122(222)(21)2n n n T n +-=⨯+++⋅⋅⋅+--⨯ 〔2分〕 114(12)22(21)212
n n n -+-=+⋅--⋅- 〔2分〕 那么111(21)28(12)2(23)26n n n n T n n +-+=-+--=-+ 〔2分〕
21、此题12分〔5+7〕
【解析】〔1〕当1a =时，2()(57)x f x x x e =-+，2()(32)x f x x x e '=-+， 〔2分〕 令()0f x '>时，解得1x <或者2x >，令()0f x '<时，解得12x <<，
那么()f x 的增区间为(,1)-∞和(2,)+∞，减区间为(1,2). 〔3分〕 〔2〕2()[(21)2](1)(2)x x f x ax a x e ax x e '=-++=-- 〔2分〕 当0a =时，()(2)x f x x e '=--，此时()f x 在2x =处获得极大值。

〔1分〕 当0a ≠时，()f x '有两根：11x a
=，22x = 假设0a >，()f x 在2x =处获得极大值的条件是12a <，解得12a <， 那么102
a <<。

假设0a <，()f x 在2x =处获得极大值的条件是12a >，解得12
a <，那么0a <。

综合上述， ()f x 在2x =处获得极大值时，a 的取值范围是1(,)2-∞. 〔4分〕
22、此题12分〔5+7〕
【解析】〔1〕函数()f x 的定义域为(1,)-+∞，
()222211a x x a f x x x x
++'=+=++，(10)x +> 〔2分〕 令2()22g x x x a =++，1x >-，那么12x x 、是方程()0g x =两根，且121x x -<<.
因()g x 的对称轴为12x =-，那么a 满足条件： 480(1)0a g a ∆=->⎧⎨-=>⎩
， 解得102
a <<
. 〔3分〕 〔2〕由〔1〕知，1()02g -<，(0)0g a =>，2102x ∴-<< 〔2分〕 由+22222()20g x x x a =+=，可得222(22)a x x =-+
()()()222
2222222ln 1(22)ln 1f x x a x x x x x ∴=++=-++ 〔2分〕
构造函数()()22(22)ln 1h x x x x x =-++，102
x -<< ()()()22(21)ln 122(21)ln 1h x x x x x x x '=-++-=-++
因102
x -
<<，那么210x +>，ln(1)0x +<，那么()0h x '>， 那么当1(,0)2
x ∈-时，()h x 递增， 〔2分〕 因此()112ln 2()24h x h ->-=，故()2212ln 2()4f x h x -=>. 〔1分〕
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。