2021-2022学年广西柳州市民族高中高一下学期3月月考数学试题(解析版)

2021-2022学年广西柳州市民族高中高一下学期3月月考数学试题
一、单选题
1．已知复数z 满足32i
1i
z +=-，则z 的虚部为（ ） A ．1
2
B ．52
C ．1i 2
D ．52
i
【答案】B
【分析】先利用复数除法化简复数z ，进而求得复数z 的虚部 【详解】()()()()
32i 1i 32i 15i 15
i 1i 1i 1i 222z ++++=
===+--+ 则z 的虚部为5
2
故选：B
2．已知向量(0,1)a =，(2,1)b =-，则2a b +（ ）
A ．
B
C ．2
D ．4
【答案】B
【分析】利用平面向量的模公式求解. 【详解】因为(0,1)a =，(2,1)b =-， 所以()22,1a b +=， 所以|2|5a b +=， 故选：B
3．已知向量(2,1),(5,2)a m b ==，若//a b ，则m 的值为（ ）
A ．15-
B ．15
C ．52-
D ．54
【答案】D
【分析】根据平行向量的坐标表示计算即可. 【详解】//a b 且(2,1)(5,2)a m b ==，，
22150m ∴⨯-⨯=
解得54
m =
， 故选：D.
4．向量a ，b 满足3a =，1=b ，213a b -=，则向量a ，b 的夹角是（ ）
A ．π6
B ．π3
C ．
2π3
D ．
5π6
【答案】D
【分析】根据平面向量数量积的运算律求出a b ⋅，再根据夹角公式cos a b a b
θ⋅=⋅求出cos θ，从而得
解；
【详解】解：因为3a =，1=b ，213a b -=，所以()
2
213a b
-=，即224413a a b b -⋅+=，即
2
2
4413a a b b -⋅+=，所以32a b ⋅=-，设a 与b 的夹角为θ，则332cos 213
a b a b θ-⋅==
=-⨯⋅，因为[]0,πθ∈，所以5π
6
θ=
； 故选：D
5．在ABC 中，1cos b c
A c
++=，则三角形的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．正三角形 D ．等腰三角形
【答案】A
【分析】利用余弦定理化简题给条件即可得到222c b a =+，进而得到ABC 的形状为直角三角形. 【详解】ABC 中，1cos b c
A c
++=
， 则22212b c a b c
bc c
+-++=，整理得222c b a =+，则=90C ∠，
则ABC 的形状为直角三角形， 故选：A.
6．如图，A 处为长江南岸某渡口码头，北岸B 码头与A 码头相距3km ，江水向正东()AD 流.已知一渡船从A 码头按AC 方向以10km/h 的速度航行，且30BAC ∠=︒，若航行0.2h 到达北岸的B 码头，则江水速度是（ ）
A ．102km /h
B ．52km /h
C ．5km /h
D ．1km /h
【答案】C
【分析】由力学可知AB 的位移是由AC 和水流AE 合成的，故满足平行四边形法则，解这个平行四边形即可. 【详解】如图，
以,AD AC 方向为邻边，AB 为对角线作平行四边形AEBF ，渡船经过0.2h 小时航行0.2102km ⨯=，即2km AF =，由题意，3km AB =，30BAF ∠=︒，由余弦定理得
222223
2cos30(3)22321km 2
BF AB AF AB AF =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯
=︒.所以1km BF =，渡船在按AC 方向航行时，江水向AD 方向流，形成合位移使渡船沿AB 到达北岸B 码头，此时水流动距离为
1km AE BF ==，则水流速度为1
5km 0.2=，
故选：C.
7．如图所示，在ABC 中，2AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，AD 为BC 边上的高，2
5
AM AD =；若AM AB BC λμ=+，则λμ+的值为（ ）
A ．43
B ．
815
C ．23
D ．
415
【答案】B
【分析】根据题意求得1BD =，化简得到22
515
AM AB BC =+，结合AM AB BC λμ=+，求得,λμ的值，即可求解.
【详解】在ABC 中，2AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，AD 为BC 边上的高， 可得cos601BD AB ==，
由222122
()()5553515
AM AD AB BD AB BC AB BC =
=+=+=+ 又因为AM AB BC λμ=+，所以22,515λμ==，所以8
15
λμ+=.
故选：B.
8．ABC 中4AB =，2AC =，D 为AB 的中点，2BE EC =，则CD AE ⋅=（ ） A ．0 B ．2 C ．-2 D ．-4
【答案】A
【分析】取,AB AC 为基底，表示出,CD AE 即可求解.
【详解】在ABC 中，D 为AB 的中点，2BE EC =，取,AB AC 为基底， 所以()
2212
3333
AE AB BE AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+,
1
2
CD AD AC AB AC =-=
-. 所以CD AE ⋅=112233AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221
263AB AC =-.
因为4AB =，2AC =，所以221212
16406363
AB AC -=⨯-⨯=.
即0CD AE ⋅=.
故选：A
二、多选题
9．下面的命题正确的有（ ） A ．方向相反的两个非零向量一定共线 B ．单位向量都相等
C ．若a ，b 满足||||a b >且a 与b 同向，则a b >
D ．“若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，且AB DC =”⇔“四边形ABCD 是平行四边形” 【答案】AD
【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.
【详解】对于A ，由相反向量的概念可知A 正确；
对于B ，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B 错误； 对于C ，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C 错误； 对于D ，若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，且AB DC =， 可得//AB DC ，且AB DC =，故四边形ABCD 是平行四边形； 若四边形ABCD 是平行四边形，可知//AB DC ，且AB DC =， 此时A 、B 、C 、D 是不共线的四点，且AB DC =，故D 正确. 故选：AD.
10．下列说法中错误的是（ ）
A ．已知()1,3a =-，()1,3b =-，则a 与b 可以作为平面内所有向量的一组基底
B ．若a 与b 共线，则a b a b ⋅=
C ．若两非零向量a ，b 满足a b a b +=-，则a b ⊥
D ．平面直角坐标系中，()1,1A ，()4,2B ，()5,0C ，则ABC 为锐角三角形 【答案】ABD
【分析】利用基底定义判断选项A ；利用向量数量积定义判断选项B ；利用向量垂直充要条件判断选项C ；利用向量夹角定义判断选项D.
【详解】选项A ：已知()1,3a =-，()1,3b =-，则//a b ，则a 与b 不可以 作为平面内所有向量的一组基底.判断错误；
选项B ：若a 与b 共线，则a b a b ⋅=或a b a b ⋅=-.判断错误； 选项C ：若两非零向量a ，b 满足a b a b +=-，则2
2
a b a b +=- 即()(
)
2
2
a b
a b +=-，整理得0a b ⋅=，则a b ⊥.判断正确；
选项D ：平面直角坐标系中，()1,1A ，()4,2B ，()5,0C ， 则(3,1)BA =--，(1,2)BC =-，
则(3,cos ,
BA BC BA BC BA BC
⋅-=
=
=⋅又[],0,πBA BC ∈，则
π
,π2
BA BC <<，则ππ2ABC <∠<
则ABC 为钝角三角形. 判断错误.
故选：ABD
11．已知,,a b c 分别是ABC 三个内角,,A B C 的对边，下列四个命题中正确的是（ ） A ．若ABC 是锐角三角形，则sin cos A B > B ．若cos cos a A b B =，则ABC 是等腰三角形 C ．若cos cos b C c B b +=，则ABC 是等腰三角形 D ．若ABC 是等边三角形，则cos cos cos a b c
A B C
== 【答案】ACD
【分析】利用诱导公式及正弦函数的性质可判断A ，由正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式可判断B ，由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式可判断C ，利用正弦定理化边为角结合同角三角函数基本关系可判断D.
【详解】对于A ，因为ABC 是锐角三角形，所以2A B π+>，所以sin sin 2A B π⎛⎫
>- ⎪⎝⎭
，即sin cos A B >，故A 正确；
对于B ，由cos cos a A b B =及正弦定理，可得sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22A B π+=，所以A B =或2
A B π
+=
，所以ABC 是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；
对于C ，由cos cos b C c B b +=及正弦定理化边为角，可知sin cos sin cos sin B C C B B +=，即
sin sin A B =，因为,A B 为ABC 的内角，所以A B =，所以ABC 是等腰三角形，故C 正确；
对于D ，由ABC 是等边三角形，所以A B C ==，所以tan tan tan A B C ==，由正弦定理
cos cos cos a b c
A B C ==，故D 正确. 故选：ACD.
12．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()()::4:5:6b c c a a b +++=，则下列结论正确的是（ ）
A ．sin :sin :sin 7:5:3A
B
C = B ．0CA CB ⋅<
C ．若6c =，则ABC 的面积是15
D ．若8+=b c ，则ABC 【答案】AD
【分析】设4b c t +=，5c a t +=，6a b t +=，0t >，求出72a t =，5
2b t =，32
c t =，根据正弦定理
可判断A 正确；根据平面向量数量积和余弦定理可判断B 不正确；根据余弦定理和三角形面积公式可判断C 不正确；根据余弦定理和正弦定理可判断D 正确. 【详解】设4b c t +=，5c a t +=，6a b t +=，0t >，
则72a t =，5
2b t =，32
c t =，
对于A ，753
sin :sin :sin ::::222
A B C a b c t t t ==7:5:3=，故A 正确；
对于B ，CA CB ⋅cos b a C =⋅⋅2222a b c ab ab
+-=⋅
222
214925965()24448t t t t =+-=0>，故B 不正确； 对于C ，若6c =，则4t =，14a =，10b =，
所以22219610036cos 221410a b c C ab +-+-==
⨯⨯13
14=
，所以sin C ===， 所以ABC
的面积是11sin 141022ab C =⨯⨯=C 不正确；
对于D ，若8+=b c ，则53
822
t t +=，则2t =，则7a =，5b =，3c =，
所以2224925913
cos 227514
a b c C ab +-+-===⨯⨯
，sin C ===， 所以ABC
外接圆半径为2sin c
C =
.故D 正确. 故选：AD
三、填空题
13．已知复数122(1)i, 45i(,)z x y z x y R =+-=-+∈，若12z z =，则x y +=___________. 【答案】4
【分析】根据复数相等的概念求解即可.
【详解】解：因为122(1)i, 45i(,)z x y z x y R =+-=-+∈
所以2415x y =-⎧⎨-=⎩
，解得2
6x y =-⎧⎨=⎩ 所以4x y += 故答案为：4
14．已知()1,a m =，()3,4b =-，若()
a a
b ⊥-，则m =______． 【答案】2
【分析】求出a b -的坐标，由()a a b ⊥-推出()0⋅-=a a b ，列出方程即可求得m . 【详解】已知()1,a m =，()3,4b =-， 所以()4,4a b m -=-，
由()
a a
b ⊥-可得()440m m +-=，解得2m =． 故答案为：2.
15．已知()1,2a =，()1,1b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为______． 【答案】()5,00,3⎛⎫
-⋃+∞ ⎪⎝⎭
【分析】先利用题意算出()1,2a b λλλ+=++，再利用平面向量夹角为锐角的充要条件，列出不等式求解作答
【详解】解：因为()1,2a =，()1,1b =，所以()1,2a b λλλ+=++， 因为a 与a b λ+的夹角为锐角，所以()
0a a b λ+⋅>，且a 与a b λ+不共线， 所以()1220λλ+++>且()212λλ+≠+，
解得53λ>-且0λ≠，所以λ的取值范围为()5,00,3⎛⎫
-⋃+∞ ⎪⎝⎭，
故答案为：()5,00,3⎛⎫
-⋃+∞ ⎪⎝⎭
16．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4a =，223b c bc +=，120A =︒，则△ABC 的面积为_______．
【分析】由余弦定理的边角关系可得316
cos1202bc bc
-︒=，即可求bc ，再利用三角形面积公式求面积即可.
【详解】由余弦定理得：222
cos 2b c a A bc
+-=，则316cos1202bc bc -︒=，解得：4bc =，
∴112sin 4sin
223ABC S bc A π
==⨯⨯=
四、解答题
17．已知4a =，3b =，()()
23261a b a b -⋅+=． (1)求a b +； (2)求a 与b 的夹角；
【答案】
(2)2π3
【分析】（1）利用向量数量积的运算律可求得a b ⋅，根据2
2
2a b a a b b +=+⋅+可求得结果；
（2）利用向量夹角公式可求得cos ,a b <>，进而确定夹角. 【详解】（1）
()()2
2
23244337461a b a b a
a b b a b -⋅+=-⋅-=-⋅=，6a b ∴⋅=-，
(
)
2
2
2
213a b a b
a a
b b ∴+=
+=+⋅+=.
（2）由（1）知：6a b ⋅=-，61
cos ,432a b a b a b
⋅∴<>==-=-⨯⋅， [],0,πa b <>∈，2π,3
a b ∴<>=
. 18．已知向量()a 1,2=，()b 3,4=-，()c 5,k =．
()1若()()a b a c 10+⋅-=-，求实数k 的值；
()
2若向量m 满足m //a ，且m =m ．
【答案】（1）5k =；（2）()m 3,6=或()3,6--.
【分析】（1）利用坐标运算可得()()246210k -⨯-+⨯-=-，解这个方程可得5k =； （2）因向量共线故可设m a λ=，利用已知的模长可得λ的值从而得到所求的向量． 【详解】（1）由题设有()2,6a b +=-，()4,2a c k -=--， 因为(
)a b
+()10a c -=-，故()()246210k -⨯-+⨯-=-，所以5k =．
（2）因为m a ，故(),2m a λλλ==，所以22445λλ+=，解得3λ=±， 所以()3,6m =或()3,6m =--．
【点睛】如果()()1122,0,,a x y b x y =≠=，那么： （1）若//a b ，则存在实数λ使得b a λ= 且1221x y x y =； （2）若a b ⊥，则12120x x y y +=；
19．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是a ，b ，c ，且222a c b bc -=- (1)求角A ；
(2)若2a =，且ABC
ABC 的周长．
【答案】(1)π
3
(2)6
【分析】（1）根据余弦定理即可求得角A ；
（2）由三角形面积求出4bc =，利用余弦定理结合完全平方公式求得4b c +=，即得答案. 【详解】（1）由题意在ABC 中，222a c b bc -=-， 即2
2
2
b c a bc +-=，故 2221
cos 22
b c a A bc +-=
= ， 由于(0,π)A ∈ ，所以 π
3
A =.
（2）由题意ABC 的面积是3 ，π3A = ,即13
sin 324
ABC S bc A bc ===△,4bc ∴= ，
由 2a =,2222cos a b c bc A =+-,得2224()3b c bc b c bc =+-=+-, 则4b c += ，
故ABC 的周长为 6a b c ++=.
20．在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为
32
a
的军事基地C 和D ，测得蓝方两支精锐部队分别在A 处和B 处，且30ADB ∠=︒，30BDC ∠=︒，60DCA ∠=︒，45ACB ∠=︒，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离.
6 【分析】在BCD ∆中利用正弦定理求出BC ，在ABC ∆中利用余弦定理求出AB ． 【详解】604515BCD DCA ACB ∠=∠-∠=︒-︒=︒，
180135DBC BDC BCD ∴∠=︒-∠-∠=︒，
在BCD ∆中，由正弦定理得sin sin CD BC DBC BDC
=∠∠32122a
BC
，
解得BC 60ADC ADB BDC ∠=∠+∠=︒，60DCA ∠=︒，
ACD ∴∆是等边三角形，AC CD ∴==
在ABC ∆中，由余弦定理得2
22232cos 8
a AB BC AC AB AC ACB =+-⋅⋅∠=，
AB ∴
∴
【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题．
21．在ABC 中，6CA =，8AB =，π2
BAC ∠=
，D 为边BC 中点． (1)求AD CB ⋅的值；
(2)若点P 满足()CP CA λλ=∈R ，求PB PC ⋅的最小值；
【答案】(1)14
(2)最小值为9-
【分析】（1）以A 为坐标原点，边AC AB 、所在的直线为x y 、轴的正方向建立平面直角坐标系求出AD 、CB 的坐标，再由向量数量积的坐标运算可得答案； （2）根据点P 在AC 上，设(),0P x ，求出PB 、PC 的坐标，则()(),86,0⋅=-⋅-PB PC x x ，利用二次函数配方求最值可得答案.
【详解】（1）如图，以A 为坐标原点，边AC AB 、所在的直线为x y 、轴的正方向建立平面直角坐标系，
所以()0,0A ，()0,8B ，()6,0C ，
D 为边BC 中点，所以()3,4D ，()3,4=AD ，()6,8=-CB ，
则183214⋅=-+=AD CB ；
（2）若点P 满足()CP CA λλ=∈R ，则点P 在AC 上，
由（1），设(),0P x ，则(),8=-PB x ，()6,0=-PC x ，
则()()()2,86,039⋅=-⋅-=--PB PC x x x ，
所以当3x =时PB PC ⋅的最小值为9-.
22．在ABC 中，3,6,324A AB AC π=
==,点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长. 【答案】10
【详解】试题分析：根据题意，设出ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，由余弦定理求出a 的长度，再由正弦定理求出角B 的大小，在ABD ∆中.利用正弦定理即可求出AD 的长度. 试题解析：如图，
设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，由余弦定理得
2222232cos (32)62326cos 1836(36)904a b c bc BAC π=+-∠=+-⨯⨯=+--=， 所以310a =又由正弦定理得sin 10sin 310b BAC B a ∠===由题设知04B π<<，所以21310cos 1sin 110B B =-=-
=. 在ABD ∆中，由正弦定理得sin 6sin 310sin(2)2sin cos cos AB B B AD B B B B π⋅====-【解析】1.正弦定理、余弦定理的应用.。