【全程复习方略】(鲁闽皖专用)高考数学 5.2 等差数列及其前n项和课件 文 新人教A版
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n(a1 + a n ) 2
.
(2)已知等差数列{an}的首项a1与公差d，则其前n项和公式 Sn= na1 + n(n - 1) d .
2
【即时应用】(1)在等差数列{an}中，a1=5,an=95,n=10,则Sn =_______. (2)在等差数列{an}中，a1=100,d=-2,n=50,则Sn=_______. (3)在等差数列{an}中，d=2,n=15,an=-10,则Sn=________.
【即时应用】(1)在等差数列{an}中，a5=10,a12=31,则数列的 通项公式为________. (2)等差数列10，7，4，…的第20项为________.
【解析】(1)∵a5=a1+4d,a12=a1+11d,
ì ì a1 + 4d = 10 ï ï a1 = - 2 镲 \ 眄 , 解得 , 镲 ïd= 3 ï a1 + 11d = 31 î î
2
件. (2)若等差数列{an}的前三项依次为a,2a+1,4a+2,则它的第五 项为_______.
a+ b , 可知2A=a+b,可推出A-a=b-A,所以a,A, 2 a+ b b成等差数列；反之，若a,A,b成等差数列，则A= . 故A= 2 a+ b 是a，A，b成等差数列的充要条件. 2
【解析】(1)若A=
(2)由题意知2a+1是a与4a+2的等差中项，即 2a + 1 = a + 4a + 2 ,
2
解得a=0,故数列{an}的前三项依次为0，1，2，则a5=0+4×1=4. 答案：(1)充要 (2)4
4.等差数列的前n项和公式 (1)已知等差数列{an}的首项a1和第n项an,则其前n项和公式 S n=
【即时应用】判断下列数列是否为等差数列.(请在括号中填写 “是”或“否”) (1)数列 2，3，4，5， ¼ (2)数列a，2a，3a，4a，… (3)数列{an}满足an=an-1+1(n≥2,n∈N*) (4)数列{an}满足an+1=an+1(n≥2,n∈N*) ( ( ( ( ) ) ) )
n(a1 + a n ) 15? ( 38 - 10) \ Sn = = = - 360. 2 2
答案：(1)500
(2)2 550
(3)-360
等差数列的基本运算 【方法点睛】1.等差数列运算问题的通法 等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由 通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.
∴an=a1+(n-1)d=-2+(n-1)×3=3n-5.
(2)由a1=10,d=7-10=-3,n=20,得 a20=10+(20-1)×(-3)=-47. 答案：(1)an=3n-5 (2)-47
3.等差中项 若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A=
a+ b . 2
【即时应用】(1)A= a + b 是a，A，b成等差数列的_______条
【解析】(1) Sn = n(a1 + a n ) = 10? (5 95) = 500. (2) Sn = na1 + n(n - 1) d = 50? 100
2 2
2 50? 49 ? ( 2) = 50? (1002
49)=2 550. (3)由an=a1+(n-1)d得, -10=a1+(15-1)×2,解得a1=-38,
公式结合使用.
【例1】(1)(2011·广东高考)等差数列{an}前9项的和等于前4 项的和.若a1=1,ak+a4=0,则k=________. (2)(2011·湖北高考)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根
9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积
共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_____升.
(3)(2011·福建高考)已知等差数列{an}中，a1=1,a3=-3.
①求数列{an}的通项公式； ②若数列{an}的前k项和Sk=-35，求k的值.
【解题指南】(1)根据S9=S4求公差d，利用ak+a4=0求k. (2)转化为关于a1,d的方程组，先求a1,d,再求a5，或直接转 化为关于a5,d的方程组求解.
(3)求出公差d后直接写出an，求出Sn，根据Sk=-35求k的值.
【规范解答】(1)∵S4=S9,
\ 4? 1 4创 3 9 8 1 1 d = 9? 1 d 解得 d = - , 则 a k = 1 + (k - 1) ? ( ) 2 2 6 6 1 7 1 1 7 1 1 = - k + , a 4 = 1 + 3? ( ) = , 由ak+a4=0，得- k + + = 0, 6 6 2 6 6 6 2
第二节 等差数列及其前n项和
三年19考 1.理解等差数列的概念；
高考指数:★★★★
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；
3.能在具体的问题情境中识别.了解等差数列与一次函数的关系.
1.等差数列的通项公式与前n项和公式是考查重点； 2.运用归纳法、累加法、倒序相加法、方程思想、函数的性质
2.等差数列前n项和公式的应用方法 等差数列前n项和公式有两个，如果已知项数n、首项a1和第n 项an，则利用 Sn =
n(a1 + a n ) , 该公式经常和等差数列的性质结 2
合应用.如果已知项数n、首项a1和公差d，则利用Sn=na1+
n(n - 1)d . 在求解等差数列的基本运算问题时，有时会和通项 2
【解析】根据等差数列的定义知，(2)(3)是等差数列， (1)不是等差数列，(4)中数列{an}从第2项起满足等差数列的 定义，第1项不一定满足，故不是等差数列. 答案：(1)否 (2)是 (3)是 (4)否
2.等差数列的通项公式 若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an= a1+(n-1)d __________.
解决等差数列问题是重点，也是难点；
3.题型以选择题和填空题为主，与其他知识点结合则以解答题
为主.
1.等差数列的定义 第2项起 ，每一项与它的前一项的差等 (1)条件：一个数列从_________
于同一个常数.
(2)公差：是指常数，一般用字母d表示. an+1-an=d *). (3)定义表达式：_________(n∈N
.
(2)已知等差数列{an}的首项a1与公差d，则其前n项和公式 Sn= na1 + n(n - 1) d .
2
【即时应用】(1)在等差数列{an}中，a1=5,an=95,n=10,则Sn =_______. (2)在等差数列{an}中，a1=100,d=-2,n=50,则Sn=_______. (3)在等差数列{an}中，d=2,n=15,an=-10,则Sn=________.
【即时应用】(1)在等差数列{an}中，a5=10,a12=31,则数列的 通项公式为________. (2)等差数列10，7，4，…的第20项为________.
【解析】(1)∵a5=a1+4d,a12=a1+11d,
ì ì a1 + 4d = 10 ï ï a1 = - 2 镲 \ 眄 , 解得 , 镲 ïd= 3 ï a1 + 11d = 31 î î
2
件. (2)若等差数列{an}的前三项依次为a,2a+1,4a+2,则它的第五 项为_______.
a+ b , 可知2A=a+b,可推出A-a=b-A,所以a,A, 2 a+ b b成等差数列；反之，若a,A,b成等差数列，则A= . 故A= 2 a+ b 是a，A，b成等差数列的充要条件. 2
【解析】(1)若A=
(2)由题意知2a+1是a与4a+2的等差中项，即 2a + 1 = a + 4a + 2 ,
2
解得a=0,故数列{an}的前三项依次为0，1，2，则a5=0+4×1=4. 答案：(1)充要 (2)4
4.等差数列的前n项和公式 (1)已知等差数列{an}的首项a1和第n项an,则其前n项和公式 S n=
【即时应用】判断下列数列是否为等差数列.(请在括号中填写 “是”或“否”) (1)数列 2，3，4，5， ¼ (2)数列a，2a，3a，4a，… (3)数列{an}满足an=an-1+1(n≥2,n∈N*) (4)数列{an}满足an+1=an+1(n≥2,n∈N*) ( ( ( ( ) ) ) )
n(a1 + a n ) 15? ( 38 - 10) \ Sn = = = - 360. 2 2
答案：(1)500
(2)2 550
(3)-360
等差数列的基本运算 【方法点睛】1.等差数列运算问题的通法 等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由 通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.
∴an=a1+(n-1)d=-2+(n-1)×3=3n-5.
(2)由a1=10,d=7-10=-3,n=20,得 a20=10+(20-1)×(-3)=-47. 答案：(1)an=3n-5 (2)-47
3.等差中项 若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A=
a+ b . 2
【即时应用】(1)A= a + b 是a，A，b成等差数列的_______条
【解析】(1) Sn = n(a1 + a n ) = 10? (5 95) = 500. (2) Sn = na1 + n(n - 1) d = 50? 100
2 2
2 50? 49 ? ( 2) = 50? (1002
49)=2 550. (3)由an=a1+(n-1)d得, -10=a1+(15-1)×2,解得a1=-38,
公式结合使用.
【例1】(1)(2011·广东高考)等差数列{an}前9项的和等于前4 项的和.若a1=1,ak+a4=0,则k=________. (2)(2011·湖北高考)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根
9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积
共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_____升.
(3)(2011·福建高考)已知等差数列{an}中，a1=1,a3=-3.
①求数列{an}的通项公式； ②若数列{an}的前k项和Sk=-35，求k的值.
【解题指南】(1)根据S9=S4求公差d，利用ak+a4=0求k. (2)转化为关于a1,d的方程组，先求a1,d,再求a5，或直接转 化为关于a5,d的方程组求解.
(3)求出公差d后直接写出an，求出Sn，根据Sk=-35求k的值.
【规范解答】(1)∵S4=S9,
\ 4? 1 4创 3 9 8 1 1 d = 9? 1 d 解得 d = - , 则 a k = 1 + (k - 1) ? ( ) 2 2 6 6 1 7 1 1 7 1 1 = - k + , a 4 = 1 + 3? ( ) = , 由ak+a4=0，得- k + + = 0, 6 6 2 6 6 6 2
第二节 等差数列及其前n项和
三年19考 1.理解等差数列的概念；
高考指数:★★★★
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；
3.能在具体的问题情境中识别.了解等差数列与一次函数的关系.
1.等差数列的通项公式与前n项和公式是考查重点； 2.运用归纳法、累加法、倒序相加法、方程思想、函数的性质
2.等差数列前n项和公式的应用方法 等差数列前n项和公式有两个，如果已知项数n、首项a1和第n 项an，则利用 Sn =
n(a1 + a n ) , 该公式经常和等差数列的性质结 2
合应用.如果已知项数n、首项a1和公差d，则利用Sn=na1+
n(n - 1)d . 在求解等差数列的基本运算问题时，有时会和通项 2
【解析】根据等差数列的定义知，(2)(3)是等差数列， (1)不是等差数列，(4)中数列{an}从第2项起满足等差数列的 定义，第1项不一定满足，故不是等差数列. 答案：(1)否 (2)是 (3)是 (4)否
2.等差数列的通项公式 若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an= a1+(n-1)d __________.
解决等差数列问题是重点，也是难点；
3.题型以选择题和填空题为主，与其他知识点结合则以解答题
为主.
1.等差数列的定义 第2项起 ，每一项与它的前一项的差等 (1)条件：一个数列从_________
于同一个常数.
(2)公差：是指常数，一般用字母d表示. an+1-an=d *). (3)定义表达式：_________(n∈N