函数图像恒过定点问题
(完整版)函数图像过定点问题
函数图像过定点的研究题1：求证：拋物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)过定点，并求出定点的坐标．归纳：第一步：对含有变系数的项集中；第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式；第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化，都“失效”了)；第四步：解此方程，得到x的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y 的值y0(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x0，y0)；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．题2：（2001年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数的图像总过的点是（）A. （1，3）B. （1，0）C. （－1，3）D. （－1，0）巩固练习：1．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点（）A．（1，3）B．（1，0）C．（﹣1，3）D．（﹣1，0）2．对于关于x的二次函数y=ax2﹣（2a﹣1）x﹣1（a≠0），下列说法正确的有（）①无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点；②无论a取何值，图象必过两定点，且两定点之间的距离为；③当a＞0时，函数在x＜1时，y随x的增大而减小；④当a＜0时，函数图象截x轴所得的线段长度必大于2．A．1个B．2个C．3个D．4个3.（2012•鼓楼区一模）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2﹣2mx+3（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：_________ ．4．某数学小组研究二次函救y=mx2﹣3mx+2（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点．请你写出这两个定点的坐标：_________ ．5．（2009•宜宾县一模）二次函数y=x2+bx+c满足b﹣c=2，则这个函数的图象一定经过某一个定点，这个定点是_________ ．6．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点_________ ．7．已知一个二次函数具有性质（1）图象不经过三、四象限；（2）点（2，1）在函数的图象上；（3）当x＞0时，函数值y随自变量x的增大而增大．试写出一个满足以上性质的二次函数解析式：_________ ．8.证明无论m为何值，函数y=mx-（4m-3)图像过定点，求出该定点坐标9.（南京2011年24题7分）已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）．⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．10．已知二次函数的顶点坐标为（﹣，﹣），与y轴的交点为（0，n﹣m），其顶点恰好在直线y=x+12（1﹣m）上（其中m、n为正数）．（1）求证：此二次函数的图象与x轴有2个交点；（2）在x轴上是否存在这样的定点：不论m、n如何变化，二次函数的图象总通过此定点？若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由．函数图像过定点的研究题1：求证拋物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)过定点，并求出定点的坐标．审题视角有些函数的图象具有过定点的性质，这是由函数式中的一些系数的取值特点所决定的，例如，直线y＝kx＋b(k≠0)，当b确定时，无论k取不等于0的任何值，它总过定点(0，b)；物线线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当c确定时，无论a、b取何值，它总过定点(o，c)．本题中可以把函数解析式整理变形，使含字母k的项组合于一组，赋值为零，可以求的自变量的值，而后代入函数解析式，再求得相对应的函数值，即得定点的坐标．解：整理抛物线的解析式，得y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1＝3x2－2x－1－kx2＋kx＋2k＝3x2－2x－1－k(x2 －x－2)(k≠3)，上式中令x2－x－2＝0，得x1＝－1，x2＝2.将它们分别代入y＝3x2－2x－1－k(x2－x－2)，解得y1＝4，y2＝7，把点(－1，4)、(2，7)分别代入y＝3x2－2x－1－k(x2－x－2)，无论k取何值，等式总成立，即点(－1，4)、(2，7)总在抛物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)上，即拋物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)过定点(－1，4)、(2，7)．归纳：第一步：对含有变系数的项集中；第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式；第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化，都“失效”了)；第四步：解此方程，得到x的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y 的值y0(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x0，y0)；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．题2：（2001年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数的图像总过的点是（）A. （1，3）B. （1，0）C. （－1，3）D. （－1，0）解法一、特殊值法依据：二次函数的图像随着m的取值不同，它的位置也随之变化，可见这是一个抛物线群。
高一数学函数试题答案及解析
高一数学函数试题答案及解析1.若自然数使得作竖式加法时均不产生进位现象，便称为“好数”．如因为12+13+14不产生进位现象，所以12是“好数”；但13+14+15产生进位现象，所以13不是“好数”，则不超过100的“好数”共有（）A．9个B．11个C．12个D．15个【答案】C.【解析】根据题意分别求出个位数和十位数需要满足的条件，即个位数需要满足要求：，所以，所以个位数可取0,1,2三个数；又因为十位数需要满足：，所以，所以十位可以取0,1,2,3四个数，故四个数的“好数”共有个，故应选C.【考点】数的十进制；新定义.2.设,的整数部分用表示，则的值是 .【答案】1546【解析】，，，，所以.【考点】信息给予题，要善于捕捉信息，灵活运用3.关于函数，有以下命题：①函数的图像关于轴对称；②当时是增函数，当时，是减函数；③函数的最小值为；④当或时，是增函数；⑤无最大值，也无最小值。
其中正确的命题是：__________.【答案】①③④【解析】函数的定义域为，且，∴该函数为偶函数，故①正确；当时，，在上单调递减，在单调递增，故函数在单调递减，在单调递增，故②错误；因为在单调递减，在单调递增，∴在时，函数取最小值，故③正确；∵在单调递减，故在内单调递增，故④正确；有最小值，故⑤错误．【考点】1.命题的真假判断；2.函数的性质．4.已知函数，满足．(1)求常数c的值；(2)解关于的不等式．【答案】(1) ;(2) .【解析】(1)代入解析式，列出关于c的方程，解出c,注意范围;(2)根据分段函数通过分类讨论列出不等式，解出的范围，解不等式时不要忘记分类条件.试题解析：(1)∵，即，解得． 5分(2)由(1)得，由，得当时，，解得； 9分当时，，解得． 12分∴不等式的解集为． 13分【考点】1.函数求值；2.利用指数函数性质解简单指数不等式；3.分类整合思想.5.若函数对于上的任意都有，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由函数对于上的任意都有，可知在上单调递增，因此有，解得.【考点】函数的单调性.6.函数.满足,则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，函数.满足,所以，解得，，故选B。
高三数学对数与对数函数试题答案及解析
高三数学对数与对数函数试题答案及解析1.函数（其中且）的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为 .【答案】2【解析】由y＝log（x＋3）－1经过的定点为（－2，－1）a于是－2m－n＋4＝0，得2m＋n＝4，且mn＞0，于是m＞0，n＞0所以＝2当且仅当m＝1，n＝2时等号成立，即的最小值为2.【考点】函数图象过定点，基本不等式(2x－1)的定义域为________________.2.函数f(x)＝log2【答案】(，＋∞)【解析】由2x－1＞0，得x＞.注意写成集合或者区间形式.考点:函数的定义域，对数函数的性质3.计算的结果是（）A．B．2C．D．3【答案】B【解析】，选B【考点】对数基本运算.4.若的最小值是A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，且，所以又，所以，，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立.故选D.【考点】1、对数的运算；2、基本不等式.5.若，则＝．【答案】【解析】∵，，∴.【考点】分段函数的函数值、三角函数值的计算、对数式的计算.6.设a＝lg e，b＝(lg e)2，c＝lg，则()A．a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．c>b>a【答案】B【解析】∵1<e<3，则1<<e<e2<10.∴0<lg e<1.则lg＝lg e<lg e，即c<a.又0<lg e<1，∴(lg e)2<lg e，即b<a.同时c－b＝lg e－(lg e)2＝lg e(1－2 lg e)＝lg e·lg>0.∴c>b.故应选B.7.函数y＝(x2－6x＋17)的值域是________．【答案】(－∞，－3]【解析】令t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，y＝为减函数，所以有≤＝－3.8.已知f(x)＝logax(a>0且a≠1)，如果对于任意的x∈都有|f(x)|≤1成立，试求a的取值范围．【解析】解：当a>1时，f(x)＝logax在上单调递增，要使x∈都有|f(x)|≤1成立，则有解得a≥3.∴此时a的取值范围是a≥3.当0<a<1时，f(x)＝logax在上单调递减，要使x∈都有|f(x)|≤1成立，则有，解得0<a≤.∴此时，a的取值范围是0<a≤.综上可知，a的取值范围是∪[3，＋∞)．9.（5分）（2011•重庆）设a=，b=，c=log3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【答案】B【解析】可先由对数的运算法则，将a和c化为同底的对数，利用对数函数的单调性比较大小；再比较b和c的大小，用对数的换底公式化为同底的对数找关系，结合排除法选出答案即可．解：由对数的运算法则，a=log32＞c；排除A和C．因为b=log23﹣1，c=log34﹣1=，因为（log23）2＞2，所以log23＞，所以b＞c，排除D故选B．点评：本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算法则和对数的换底公式，考查运算能力．10.函数的值域为 .【答案】【解析】由得 ,所以函数的定义域是：设点=所以，,所以答案填：【考点】1、对数函数的性质；2、数形结合的思想.11.函数的定义域是A．[1，2]B．C．D．【答案】C【解析】根据函数定义域的要求得：.【考点】（1）函数的定义域；（1）对数函数的性质.12.对任意实数a,b定义运算如下，则函数的值域为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，对任意实数a,b定义运算如下，所以，==，故，选B.【考点】分段函数，对数函数的性质，新定义.13.已知函数f(x)＝log2x－2log2(x＋c)，其中c>0，若对任意x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1，则c的取值范围是________．【答案】c≥【解析】由题意，在x∈(0，＋∞)上恒成立，所以c≥14. 若函数f(x)＝log 2|ax －1|(a ＞0)，当x≠时，有f(x)＝f(1－x)，则a ＝________． 【答案】2【解析】由f(x)＝f(1－x)，知函数f(x)的图象关于x ＝对称， 而f(x)＝log 2＋log 2|a|，从而＝，所以a ＝2.15. 已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝，l 1与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点A 、B ，l 2与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点C 、D.记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a 、b.当m 变化时，求的最小值． 【答案】8【解析】由题意得x A ＝m，x B ＝2m ，x C ＝，x D ＝，所以a ＝|x A －x C |＝，b ＝|x B －x D |＝，即＝＝·2m ＝2＋m.因为＋m ＝ (2m ＋1)＋－≥2－＝，当且仅当 (2m ＋1)＝，即m ＝时取等号．所以，的最小值为＝8.16. 设则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a ＜c ＜b B ．b ＜a ＜c C ．a ＜b ＜c D ．b ＜c ＜a【答案】B 【解析】因为所以显然，所以的值最大.故排除A,D 选项.又因为，所以.即.综上.故选B.本小题关键是进行对数的运算.【考点】1.对数的运算.2.数的大小比较的方法.17. 函数y=log a (x-1)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点 . 【答案】(2,2)【解析】∵log a 1=0,∴x-1=1,即x=2,此时y=2,因此函数恒过定点(2,2).18. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，都有不等式f (x )＋xf ′(x )＞0成立，若a ＝40.2f (40.2)，b ＝(log 43)f (log 43)，c ＝f，则a ，b ，c 的大小关系是________．【答案】c ＞a ＞b【解析】由f (x )＋xf ′(x )＞0得(xf (x ))′＞0，令g (x )＝xf (x )，则g (x )在(0，＋∞)递增，且为偶函数，且a ＝g (40.2)，b ＝g (log 43)，c ＝g ＝g (－2)＝g (2)，因为0＜log 43＜1＜40.2＜2，所以c ＞a＞b .19. 在ABC 中，若，则A=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由，整理得，又，选C.【考点】对数及其运算，余弦定理的应用.20.已知函数（1）若x=2为的极值点，求实数a的值；（2）若在上为增函数，求实数a的取值范围.【答案】(1);(2)【解析】(1)通过求导可得.又因为x=2是极值点.即可求得.（2）通过对对数的定义域可得符合题意的不等式.在上恒成立.所以转化为研究二次函数的最值问题.通过对称轴研究函数的单调性即可得到结论.本题的的关键是对含参的函数的最值的讨论.以二次的形式为背景紧扣对称轴这个知识点.试题解析：（1）因为.因为x=2为f(x)的极值点.所以即.解得.又当时.从而x=2为f(x)的极值点成立. （2）因为f(x)在区间上为增函数.所以.在区间上恒成立. ①当时. 在上恒成立.所以f(x)在上为增函数.故符合题意.②当时.由函数f(x)的定义域可知，必须有时恒成立.故只能.所以在区间上恒成立.令g(x)= .其对称轴为.因为.所以<1.从而g(x) 在上恒成立.只需要g(3) 即可.由g(3)= .解得：.因为.所以.综上所述. 的取值范围为.【考点】1.对数函数的知识点.2.最值问题.3.含参的讨论.21.已知函数的两个极值点分别为，且，，点表示的平面区域为，若函数的图象上存在区域内的点，则实数的取值范围为 .【答案】【解析】的两根x1,x2满足0<x1<1<x2,则x1+x2=-m,x1x2=，(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=+m+1<0,即∴-m<n<-3m-2,为平面区域D,∴m<-1,n>1,因为的图像上存在区域D内的点，所以，，因为，所以，所以解得.【考点】1.函数的导数；2.对数的性质.22.设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时，，若关于的方程在区间内恰有三个不同实根，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】∵对于任意的x∈R，都有f（2-x）=f（x+2），∴函数f（x）的图象关于直线x=2对称，又∵当x∈[-2，0]时，f（x）=-1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，若在区间（-2，6）内关于x的方程f（x）-loga （x+2）=0恰有3个不同的实数解，则函数y=f（x）与y=loga（x+2）在区间（-2，6）上有三个不同的交点，如下图所示：又f（-2）=f（2）=3，则有 loga （2+2）＜3，且loga（6+2）≥3，解得.【考点】1.指数函数与对数函数的图象与性质；2.函数的零点与方程根的关系23.对于以下结论：①.对于是奇函数，则；②.已知：事件是对立事件；：事件是互斥事件；则是的必要但不充分条件；③.若，，则在上的投影为；④.(为自然对数的底)；⑤.函数的图像可以由函数图像先左移2个单位，再向下平移1个单位而来.其中，正确结论的序号为__________________.【答案】③④⑤【解析】对①，不一定有意义，所以不正确；对②，是的充分但不必要条件；所以不正确；对③，易得在上的投影为；所以正确；对④，构造函数，则.由此可得在上单调递减，故成立；所以正确；对⑤，原函数可变为：，所以将函数图像先左移2个单位，再向下平移1个单位可得函数的图像.正确.【考点】1、函数的性质；2、随机事件及二项分布；3、向量的投影；4、充分必要条件.24.设，，，则( )A．c>b>a B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c【答案】D【解析】，，，又，，，，所以，所以.【考点】对数与对数运算25.函数f(x)＝lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】将题中所给的函数画出如下：，根据图像，易知有2个交点.【考点】1.函数的零点；2.函数的图像画法.26.不等式的解集为_____________.【答案】【解析】原不等式等价于，解得.【考点】对数函数的定义与性质27.已知函数f(x)=|lg(x-1)|若a≠b,f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是．【答案】【解析】由得，且，由对数函数的特征得，所以，故.【考点】对数函数性质、基本不等式.28.已知函数．(1) 当时，函数恒有意义，求实数a的取值范围；(2) 是否存在这样的实数a，使得函数在区间上为增函数，并且的最大值为1．如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)存在，.【解析】(1)首先根据对数函数的底数，得到为减函数，最小值是，再根据对数函数的真数大于0，得到恒成立，在范围内解不等式即可；(2)先看真数部分是减函数，由已知“在区间上为增函数”可得，为减函数，此时得到；根据“的最大值为1”，结合对数函数的真数大于0，可知，解出，再判断它是不是在的范围内，在这个范围内，那么得到的的值满足题目要求，不在这个范围内就说明满足题目要求的是不存在的.试题解析：(1)∵，设，则为减函数，时，t最小值为， 2分当，恒有意义，即时，恒成立．即；4分又，∴ 6分(2)令，则；∵，∴函数为减函数，又∵在区间上为增函数，∴为减函数，∴，8分所以时，最小值为，此时最大值为；9分又的最大值为1，所以， 10分∴，即，所以，故这样的实数a存在． 12分【考点】1.对数函数的定义及定义域；2.对数函数的单调性及其应用；3.对数函数的值域与最值；4.简单复合函数的单调性；5.解不等式29.若函数(其中为常数且)，满足，则的解集是 .【答案】【解析】函数定义域为，由，知函数为单调递减函数，所以.由知，满足：，解得.【考点】1.不等式求解；2.对数的单调性；3.函数的定义域.30.已知函数（为常数，为自然对数的底）（1）当时，求的单调区间；（2）若函数在上无零点，求的最小值；（3）若对任意的，在上存在两个不同的使得成立，求的取值范围．【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）的最小值为；（3）的取值范围是.【解析】（1）将代入函数的解析式，利用导数求出的单调递增区间和递减区间；（2）将函数在上无零点的问题转化为直线与曲线在区间上无交点，利用导数确定函数在区间上的图象，进而求出参数的取值范围，从而确定的最小值；（3）先研究函数在上的单调性，然后再将题干中的条件进行适当转化，利用两个函数的最值或端点值进行分析，列出相应的不等式，从而求出的取值范围.试题解析：（1）时，由得得故的减区间为增区间为 3分（2）因为在上恒成立不可能故要使在上无零点，只要对任意的，恒成立即时， 5分令则再令于是在上为减函数故在上恒成立在上为增函数在上恒成立又故要使恒成立，只要若函数在上无零点，的最小值为 8分（3）当时，，为增函数当时，，为减函数函数在上的值域为 9分当时，不合题意当时，故① 10分此时，当变化时，，的变化情况如下时，，任意定的，在区间上存在两个不同的使得成立，当且仅当满足下列条件即②即③ 11分令令得当时，函数为增函数当时，函数为减函数所以在任取时有即②式对恒成立 13分由③解得④由①④当时对任意，在上存在两个不同的使成立【考点】1.函数的单调区间；2.函数的零点；3.函数的存在性问题31.设函数,若对任意实数，函数的定义域为，则的取值范围为____________.【答案】【解析】函数的定义域为，则满足，即对任意实数恒成立，只要比的最大值大即可，而的最大值为，即．【考点】函数的定义域恒成立问题，学生的基本运算能力与逻辑推理能力．32.设，，则 ( )A．B．C．D．【答案】D．【解析】是上的增函数，又．【考点】对数值大小的比较．33.，，，则与的大小关系为（）A．B．C．D．不确定【答案】C【解析】因为，，即，所以，故选C.【考点】对数的运算34.函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】要使函数解析式有意义需满足：解得且，即选D.【考点】1.对数函数；2.一元二次不等式.35.若，则（）A．<<B．<<C．<<D．<<【答案】C【解析】因为所以，而，故，又，而，故，综上，，选C.【考点】对数函数.36.设，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】一般地，只要涉及3个及以上的数比较大小，应找一中间量来比较，比如0、1.由对数的性质知：，，。
直线或曲线恒过定点问题
直线或曲线恒过定点问题凰在人生的道路上灵活多变,另辟蹊径,岂不快哉!尾声:人们追求理想的道路就如同这三只蚂蚁,既要勇往直前,矢志不移;又要独辟蹊径,灵活变通.不管怎样,奋斗的人生总是美好的.请记住高尔基的名言吧:在停止努力之前,你永远不会是个失败者!简评这篇习作由材料整体人手,从三个不同的角度,生动地阐释了生活哲理.作者采用三幕剧的形式,新颖别致,条理清晰,令人耳目一年糠j新.每一幕(一个画面)之后再配以"画外音",简短的议论起到了画龙点睛的作用.文末以"尾声"作结,总述全文,高度概括,文章主旨显得更加深刻,集中.作者简介韩延明,高级教师,执教于陕西省商南高级中学,陕西省学科带头人,陕西省商洛市骨干教师,发表论文多篇.责任编辑刘静直线或曲线僵过定点问题口童其林例已知函数—log(一2)+1(a>0,a≠1)的图像恒过定点A,若点A在直线mx4- 1"+l一0上,其中>0,则旦+的最大IfL}L值为——.分析我们知道对数函数===log图像恒过点(1,O),由此可知—log(z一2)+1(以>0,.≠1)恒过定点(3,1),到此问题便不难求解.解析容易求得定点A的坐标是(3,1),代入直线方程得3+"+1—0,所以3.1—3(--3m—--n)——J—一一10—3(n+)≤一lO一6√旦一mmm7"/一\/,/ 一16,当且仅当m一.时等号成立.故+的最大值为一16.定点问题近年来频频出现在各地的高考试题中,定点问题理论依据是什么?究竞有哪些类型呢?举例说明如下.～,直线或曲线恒过定点的证明或应用例1求证:直线(2m4-1)z+(+1)一7m+4(m∈R)恒过某一定点P,并求该定点的坐标.解法一特殊引路法分析因直线(2+1)+(Ⅲ+1)一7m+4随取不同的值而变化,但是由题意分析可知应该是嗣绕某一定点在旋转,而这一定点l....高考_ll斌～题设…计版0凰我们只需两条相交直线即可求得,但是需要我们将点代入原直线方程来证明该点永远在直线上,这样就使得解法更为完备.证明直线(2m+1)x+(+1)一7m+4,取2+1一O===一÷.此时直线方程为=7X(一丢)+4一1①取m+1—0一一1,此时z一3②由①②得点P(3,1).将点P(3,1)代入直线方程得(2m+1)-z+(+1)y===(2m+1)×3+(+1)一7优+4,即方程对任意TnER恒成立.故直线(2m+1)x+(m+1)一7+4恒过定点P(3,1).解法二换元法分析众所周知,直线方程中的点斜式—k(x--xo)可以表明直线过点P(xo,yo),因此我们可以将直线(2m-~1)x+(+1)一7m+4的一般式通过换元法转化为直线方程的点斜式,从而证明该直线恒过定点,并且可直接求得该定点. 证明m--F-1=/=0~",===～2m+1z+.令一一km一高垒.由此可得—7m+T4一一3k~1.即原直线方程可化为—kx一3k+1一1一是(一3).由直线的点斜式方程可知该直线过点P(3,1).当m+1—0即m一一1时,原直线可化为一一7×(一1)+4一3,此时点P(3,1)仍然在直线上.综上,直线(2m+1)x+(仇+1)一7m4-4恒过定点P(3,1).解法三参数分离法分析对于直线方程(2m+1)z+(m+1)一7m+4来说,如果我们将其中的m看作参数,并将其分离得(2z+一7)+z+一4一O,此时我们令2z+一7===0,z+一4=0,则这两条直线的交点P(x.,Y.)一定满足直线方程(2+一7)+'z+一4—0,即P(0,y.)在直线(2+1)lz+(+1)一7m+4上,这样就将直线恒过定点转化为两条直线的交点了.证明(2m+1)z+(+1)一7m+4(2x+～7)+z+一4一O.令2z+一7—0,z+一4一O,解方程组f2+一7=0,lz+一4一o,得x=3,一1,因点P(3,1)满足2z+一7一O,z+一4一o.所以也满足(2z+一7)十Lz+一4—0.进一步得点P(3,1)满足(2m+1)z+(m+1)一7m4-4.故直线(2m+1)z+(m+1)一7m+4恒过定点P(3,1).解法四利用方程船一b有无穷多解的充要条件"关于z的方程ax—b有无穷多解的充要条件是:a—b:0".其实我们高中所学的含参数的多项式函数,含参数的分式函数,以及含参数的二次曲线图像过定点问题均可仿照该种方法求定点坐标.把方程化为(2x+一7)一一—+4.令2z+一7一O且一—+4—0,得x=3,Y一1,因此定点坐标为(3,1).例2函数Y一+2kx一3k+1图像过定点,则定点坐标为——.厨锻分析可将二次函数变形为以k为未知数的一次函数ak—b的形式,或利用方程理论求解.解将函数Y—kx.+2kx一3k+1化为fr+2z3—0(+2z3一Y一,令{v一.1一ofx一]fz一一3解此方程组得或,所以函数lVl【V=lY—+2kx一3k+1图像过定点(1,1)和(一3,1).例3函数Y—ax~2ax+2图像过定点,则定点坐标为——.分析这是含参数的指数函数图像过定点的问题,可利用指数函数Y一图像恒过点(0,1)这一性质来解决.解设函数Y—aXz-2图像过定点(1z.,Y.),则Y.~--axO一"o一,利用指数函数Y一图像恒过点(0,1)这一性质知:方程组z.一2axoq-2a--1=0(1)关于口恒成立,将<lll十r日h,,,(Y o—l(1)化为2z.口一【Y.一1f2z.一2一O再令z..一1=0(2),l一1llzn===l解(2)得.,所以函数—axZ2ax+2(yo—l图像过定点(1,1)如有含参数的对数函数图像过定点的问题,可利用对数函数Y—log.z图像恒过点(1, O)这一性质来解决.例4已知抛物线C:Y一去z与直线z:一走z一1没有公共点,设点P为直线上的案期动点,过P作抛物线C的两条切线,A,B为切点.(1)证明:直线AB恒过定点Q;(2)若点P与(1)中的定点Q的连线交抛物线c于M,N两点,证明:一.证明(1)设A(x1,Y1),则Y一去z.由一1z.得Y一z,所以Y『===z1.于是抛物线C在A点处的切线方程为—l—z1(z—z1),即—z1z—1.设P(z0,尼z0—1),贝Ⅱ有忌o～1一z.z ——Yl?设B(x2,2),同理有kxo一1一-z0Iz2--y2.所以AB的方程为kx.1一.z—Y,即lzo(z一是)(一1)一O,所以直线AB恒过定点Q(尼,1).(2)略.二,利用直线或曲线恒过定点解题有些问题并没有明确告诉你要求定点,但问题本身隐含着直线或曲线过定点,如果能够挖掘出这个隐蔽因素,问题便可迎刃而解或能够开辟解题的新天地.例5设点A和B为抛物线一4px(p>0)上原点以外的两个动点,已知OA_LOB, (=lM上AB,求点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.t).一?._⑧_高～"试黟设许凰锻分析本题有很多解法,其中利用直线恒过定点求解是最快的一种.设OA的方程为一z,代入Y=4px得A(,),则oB的方程为一一1z,代入Y.=4px得B(4pk.,--4pk).'AB的方程为y—(一4户),过定点N(4P,0).由0M上AB,得M在以ON为直径的圆上(0点除外)故动点M的轨迹方程为.27.+一4z—O(1z≠O),它表示以(2p,0)为圆心,以2p为半径的圆,去掉坐标原点.例6对任意实数志,直线—b.x+3k一2(k∈R)与椭圆+一1(以>oKn≠4)恒有公共点,则倪的取值范围是分析直线方程中含参数k,则该直线过定点,求出定点以后,再利用定点在椭圆内或在椭圆上即可解决.解将直线Y一/ca:q-3k一2(k∈R)整理得(z+3)k=Y+2,f+3—0令2—0f.z一一3解之得IY一一2故一如+3k一2(k∈R)过定点(--3,一2),欲使对任意实数k,直线Y—+3志一2(k∈R)与椭圆+一l(a>oft口≠4).专避媾Il_恒有公共点,必须定点在椭圆内或在椭圆上, 所以有+≤1(n>o且n≠4)解之得a≥2且口≠4.作者简介童其林,高级教师,福建省永定县城关中学教务处主任,发表文章多篇,主要从事教学管理研究与教育教学研究.责任编辑李婷婷上海世博会之吉祥物。
二次函数的最值问题与过定点类型问题
二次函数的最值与图像过定点问题对于二次函数:y=-x 2+4x-1/2(1)当x 取任意实数时,该函数有最 值,最 值是(2)当-1≤x≤1时,该函数的最大值是 ;最小值是(3)当3≤x≤4时,该函数的最大值是 ;最小值是(4)当0≤x≤3时,该函数的最大值是 ;最小值是求二次函数最值的一般方法： 1画出函数图像找对称轴； 2分清自变量范围找区间； 3数形结合找对应函数值例1、对于二次函数y=-x 2+2bx-0.5(1)若b<-1,当-1≤x≤1时,求该函数的最大或最小值(用含b 的式子表示)。
(2)若0﹤b ﹤1时,当-1≤x≤1,求该函数的最大或最小值。
1.如图,抛物线22y x x p =--与直线x y =交于点A(-1,m)、B(4,n),点M 是抛物线上的一个动点,连接OM(1)求m,n,p 。
(2)当M 为抛物线的顶点时,求M 坐标和⊿OMB 的面积；(3)当点M 在直线AB 的下方抛物线上,M 运动到何处时,⊿AMB 的面积最大。
2.抛物线y=ax 2和直线y=kx+b(k 为正常数)交于点A 和点B,其中点A 的坐标是(-2,1),过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点E,点D 是抛物线上B,E 之间的一个动点,设其横坐标为t,经过点D 作两坐标轴的平行线分别交直线AB 于点C,M,设CD=r,MD=m.(1)根据题意可求出a= ,点E 的坐标是 ；(2)当点D 可与B,E 重合时,若k=0.5,求t 的取值范围,并确定t 为何值时,r 的值最大；(3)当点D 不与B,E 重合时,若点D 运动过程中可以得到r 的最大值,求k 的取值范围,并判断当r 为最大值时m 的值是否最大,说明理由(下图供分析参考用).yxCME AO BD24．(12分) 如图1，平面之间坐标系中，等腰直角三角形的直角边BC 在x 轴正半轴上滑动，点C 的坐标为(t ，0)，直角边AC=4，经过O ，C 两点做抛物线y 1=ax(x ﹣t)(a 为常数，a ＞0)，该抛物线与斜边AB 交于点E ，直线OA ：y 2=kx(k 为常数，k ＞0)(1)填空：用含t 的代数式表示点A 的坐标及k 的值：A_________，k=_________；(2)随着三角板的滑动，当a=14时：①请你验证：抛物线y 1=ax(x ﹣t)的顶点在函数y=﹣14x 2的图象上；②当三角板滑至点E 为AB 的中点时，求t 的值；(3)直线OA 与抛物线的另一个交点为点D ，当t≤x≤t+4，|y 2﹣y 1|的值随x 的增大而减小，当x≥t+4时，|y 2﹣y 1|的值随x 的增大而增大，求a 与t 的关系式及t 的取值范围．抛物线过定点的问题集锦解法步骤第一步：对含有变系数的项集中第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x 和常数的因式之积的形式 第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x 的方程(这时系数如何变化，都“失效”了)第四步：解此方程，得到x 的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y 的值y0(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x0，y0)； 第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤1.某二次函数y ＝ax 2－(a ＋c)x ＋c 必过定点__________2.无论m 为任何实数，二次函数y ＝x 2＋(2－m)x ＋m 的图像总过的点是（ ）A. （1，3）B. （1，0）C. （－1，3）D. （－1，0）3.不论a 取何值，抛物线y ＝－12x 2＋5－a 2x ＋2a －2 经过x 轴上一定点Q ，则点Q 坐标为 4.抛物线y ＝ax 2＋ax －2过直线y ＝mx －2m ＋2上的定点A ，求抛物线的解析式。
2025年新高考数学模拟试题二带解析
2025年新高考数学模拟试题（卷二）第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合{}2{Z14},40A x x B x x x =∈-≤<=-≤∣∣，则A B = （）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3C ．{}0,1,2,3D ．()0,42．已知复数z =z 的共轭复数为（）A ．22i-B ．22i+C ．11i44-+D ．11i44--3．沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）．在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的．已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时1小时．当上方圆锥中沙子的高度漏至一半时，所需时间为（）A ．12小时B ．78小时C ．34小时D ．23小时4．若π13πtan sin123α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A B ．5-C ．9D ．55．二项式210(1)(1)x x x ++-展开式中4x 的系数为（）A ．120B ．135C ．140D ．1006．已知函数13x y m-=+（0m >且1m ≠）图像恒过的定点A 在直线()10,0x ya b a b+=>>上，若关于t 的不等式253a b t t +≥++恒成立，则实数t 的取值范围为（）A ．[]6,1-B ．[]1,6-C ．(][),16,-∞-⋃+∞D ．(][),61,-∞-⋃+∞7．已知F 是双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，A 是E 的右支上一点，若=AF a ，OA b =，则E 的离心率为（）A ．2B ．2C D 8．设函数()f x 在R 上的导函数为()f x '，()()0f x f x +-=，对任意,()0x ∈+∞，都有()()f x f x x '>，且()12f =，则不等式22[(1)]24f x x x -<-+的解集为（）A ．(,0)(2,)-∞+∞ B ．()0,2C ．()1,3D ．(,1)(3,)-∞+∞ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．函数()()2sin 2(0)f x x ωϕω=+>，以下正确的是（）A ．若()f x 的最小正周期为π，则2ω=B ．若()()124f x f x -=，且12minπ2x x -=，则1ω=C ．当0,N ϕω=∈时，()f x 在ππ,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调且在ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦不单调，则1ω=.D ．当π12ϕ=时，若对任意的x 有()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，则ω的最小值为5810．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N ，P 分别是线段11C D ，线段1C C ，线段1A B 上的动点，且110MC NC =≠.则下列说法正确的有（）A ．1⊥MN AB B ．直线MN 与AP 所成的最大角为90°C ．三棱锥1N D DP -的体积为定值D ．当四棱锥11P D DBB -体积最大时，该四棱锥的外接球表面积为9π11．已知圆22:(1)(1)4M x y +++=，直线:20+-=l x y ，P 为直线l 上的动点，过P 点作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，则下列说法正确的是（）A ．四边形MAPB 面积的最小值为4B ．线段AB 的最小值为C ．当直线AB 的方程为0x y +=时，APB ∠最小D ．若动直线1//l l ，1l 且交圆M 于C 、D 两点，且弦长CD ∈，则直线1l 横截距的取值范围为2,0)(4,2)⋃-第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子.已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明共购买了5个盲盒，则他恰能在第5次集齐3种玩偶的概率为__________.13．过点()1,P a 作曲线ln y x x =的切线，若切线有且只有两条，则实数a 的取值范围是___________.14．已知函数()f x 定义域为(0,)+∞，(1)e f =，对任意的12,(0,)x x ∈+∞，当21x x >时，有()()21121212e e x xf x f x x x x x ->-（e 是自然对数的底）.若(ln )2e ln f a a a >-，则实数a 的取值范围是______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和23n n n S a +=.(1)求2a ，3a ，及{}n a 的通项公式；(2)证明：12311112na a a a ++++< .16．（15分）某加盟连锁店总部对旗下600个加盟店中每个店的日销售额（单位：百元）进行了调查，如图是随机抽取的50个加盟店的日销售额的频率分布直方图．若将日销售额在(]16,18的加盟店评定为“四星级”加盟店，日销售额在(]18,20的加盟店评定为“五星级”加盟店．(1)根据上述调查结果，估计这50个加盟店日销售额的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，结果精确到0.1）；(2)若该加盟连锁店总部旗下所有加盟店的日销售额(),6.25X N μ ，其中μ近似为（1）中的样本平均数，根据X 的分布估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数（结果精确到整数）；(3)该加盟连锁店总部决定对样本中“四星级”及“五星级”加盟店进一步调研，现从这些加盟店中随机抽取3个，设Y 为抽取的“五星级"加盟店的个数，求Y 的概率分布列与数学期望.参考数据：若()2,X N μσ ，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈，()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈．17．（15分）如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为12,A BC 的面积为2(1)求点1C 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1AC 的中点，1AAAB =，平面1A BC ⊥平面11A B BA ，求二面角A BD C --的正切值．18．（17分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，过C 的右焦点F 且垂直于长轴的弦AB 的长为1，焦点F 与短轴两端点构成等边三角形．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()P的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点E 在x 轴上且对任意直线l ，直线OE 都平分MEN ∠（O 为坐标原点）．①求点E 的坐标；②求EMN 的面积的最大值．19．（17分）已知函数()e 1xf x x =-．(1)若直线e 1=--y kx 与曲线()y f x =相切，求k 的值；(2)若()0,x ∀∈+∞，()ln f x x ax >-，求a 的取值范围．2025年新高考数学模拟试题（卷二）(解析版)第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
(2)基本初等函数 Word版含答案
（2）基本初等函数1、下列函数中，与函数y=有相同定义域的是（ ）A.()f xB.1()f x x =C.()f x ()||f x x =D.()f x =2、在映射:f A B →中，{(,)|,}A B x y x y R ==∈，且:(,)(,)f x y x y x y →-+，则与A 中的元素(1,2)-对应的B 中的元素为（ ）A.(3,1)-B.(1,3)C.(1,3)--D.(3,1)3、下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是( )A. ()R y x x =∈B. ()R y x x =∈C. ()21R 0y x x x =∈≠且D.()3R y x x =∈4、函数()223f x x x =++的单调递减区间是（ ）A. (),1-∞B. ()1,+∞C. (),2-∞D. ()2,+∞5、实数,a b 满足2510a b ==，则下列关系正确的是（ ） A. 111a b+= B. 212a b += C. 122a b += D. 1212a b += 6、函数221()()3x x f x +=的值域是（ ） A ．(,3)-∞ B ．(0,)+∞ C ．(0,3] D ．[3,)+∞7、据统计,第x 年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量:y (只)近似满足:()3log 2y a x =+,观测发现第1年有越冬白鹤3 000只,估计第7年有越冬白鹤( )A.4 000 只B.5 000 只C.6 000 只D.7 000 只8、(多选)函数2log (5)a y a -=-中,实数a 的取值可能是( ) A.52B.3C.4D.5 9、函数212log (56)y x x =-+的单调增区间为（ ） A.52⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， B.(3)+∞， C.52⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， D.(2)-∞，10、35y x =在[]1,1-上是( )A.增函数且是奇函数B.增函数且是偶函数C.减函数且是奇函数D.减函数且是偶函数11、函数3()3(15)x f x x -=<≤的值域是____________.12、函数()213log 54y x x =--的单调递减区间为__________. 13、函数()221f x ax x =-+，若()y f x =在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有零点，则实数a 的取值范围为 .14、为了预防流感,某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒,已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量 ()y mg 与时间 ()t h 成正比;药物释放完毕后, y 与t 的函数关系式为116t a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭ (a 为常数),如图所示,根据图中提供的信息,回答相关问题。
对数函数恒过定点问题(解析版）
对数函数恒过定点问题解题策略：对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像恒过定点(1,0).利用整体代换法，在对数型函数log ()(01a y f x b a a =+>≠且）中令()1f x =，即可求得对数型函数的图像所过的定点。
（注：令对数型函数真数为1，切记log 10a =）典例精析：【例1】函数()log 1a y x =-的图象必过的点是（ ） A ．()1,0- B ．()1,0C ．()0,0D ．()2,0【解析】() log 1a y x =-，则当11x -=，即2x =时，0y =是与a 的值无关的定值，故函数()log 1a y x =-的图形必过的点是()20,. 故选：D.变式1：函数()()log 310,1a y x a a =->≠的图象过定点（ ） A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,1-【解析】对于函数()()log 310,1a y x a a =->≠，令311x -=，可得23x =，则log 10a y ==， 因此，函数()()log 310,1a y x a a =->≠的图象过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C.变式2：函数y ＝log a (x ＋2)＋3(a >0且a ≠1)的图象过定点________． 【解析】令x ＋2＝1，所以x ＝－1，y ＝3.所以过定点(－1,3)．变式3：函数()log 272=+-a y x （0a >，且1a ≠）的图象一定经过的点是（ ） A ．7,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()3,2--C ．()3,1--D ．()4,2--【解析】令271x +=，3x =-，则2y =-，即函数图象过定点()3,2--．故选：B ．变式4：已知函数()2()2log 12f x x =--+的图象过定点(),a b ，则a b +=________.【解析】由题可知，函数()2()2log 12f x x =--+的图象过定点(),a b ， ∴令11x -=，得2x =，此时2(2)2log 122f =-+=， ∴函数()2()2log 12f x x =--+的图象过定点()2,2，2,2a b ∴==，则4a b +=. 故答案为：4.变式5：若函数log (7)2a y x =-+恒过点(,)A m n ，则12()nm-=__________.【解析】因为函数log (7)2a y x =-+恒过点()8,2，即8,2m n ==， 所以1112221()424n m --⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故答案为：2.变式6：若函数()()3log 273xa f x =--（0a >，且1a ≠）的图象经过定点P ，则点P 的坐标为______.【解析】令271x -=，得3x =.又()33log 133a f =-=-，所以()f x 的图象经过定点()3,3P -. 故答案为：()3,3-变式7：函数()2log 35a y x =--恒过定点______．【解析】令231x -=，得2x =-或2，当2x =-或2时，log 155a y =-=-. 因此，函数()log 22a y x =++的图象过定点()2,5--，()2,5-． 故答案为：()2,5--，()2,5-．变式8：若2()1log (22)(0a f x x x a =+-->且1)a ≠的图象过定点M ，则M 点的坐标是（ ）A ．和)B ．2)和2)C ．(1,0)-和(3,0)D ．(1,1)-和(3,1)【解析】由题设，当2221x x --=时，()1log 11a f x =+=，此时3x =或1x =-， ∴定点M 为(1,1)-和(3,1).故选：D.变式9：已知函数()()3log 2(1,)01x a f x a x a a -=+-+>≠，则它的图象过定点（ ）A ．()1,1B ．()1,2C ．()3,2D ．()2,3【解析】由题意，函数()()3log 210(x a f x a x a -=+-+>且1)a ≠， 令3x =，可得()()333log 3211012a f a -=+-+=++=，所以函数()f x 的图象恒过定点(3,2). 故选：C.变式10：函数()()25log 20,13a x f x a a x +=+>≠+的图象经过定点（ ） A ．()1,0B ．()2,2-C ．()1,2-D ．()0,3【解析】由对数函数的图象与性质可得，()log 0,1a y x a a =>≠的图象必经过(1,0)， 故令2513x x +=+，解得2x =-，此时()25log 2log 1223aa x f x x +=+=+=+， 所以()f x 的图象必经过()2,2-. 故选：B变式11：【多选】已知函数()()1101x f x a a a -=+>≠,的图象恒过点A ，则下列函数图象也过点A 的是（ ）A ．2y =B ．21y x =-+C ．()2log 21y x =+D ．12x y -=【解析】由题意，函数()()1101x f x a a a -=+>≠,，令1x =，可得()0112f a =+=，即函数()f x 的图象恒过点(1,2)A ，A 中，函数2y =，令1x =时，可得2y =，此时函数过点(1,2)A ，满足题意；B 中，函数21y x =-+，令1x =时，可得2y =，此时函数过点(1,2)A ，满足题意；C 中，函数()2log 21y x =+，令1x =时，可得2y =，此时函数过点(1,2)C ，满足题意；D 中，函数12x y -=，令1x =时，可得1y =，此时函数不过点(1,2)，不满足题意. 故选：ABC.变式12：【多选】下列四个函数中过相同定点的函数有（ ） A ．2y ax a =+- B ．21a y x -=+C ．()310,1x y aa a -=+>≠D ．()()log 210,1a y x a a =-+>≠【解析】对于2y ax a =+-，当1x =时，2y =，则2y ax a =+-过定点()1,2； 对于21a y x -=+，当1x =时，2y =，则21a y x -=+过定点()1,2； 对于()310,1x y aa a -=+>≠，当3x =时，2y =，则()310,1x y a a a -=+>≠过定点()3,2；对于()()log 210,1a y x a a =-+>≠，当1x =时，1y =，则()()log 210,1a y x a a =-+>≠过定点()1,1,故A ，B 中的函数过相同的定点.故选：AB.【与指数函数的综合问题】【例2】函数13x y a +=-与()log ()a g x x m n =++（0a >且1a ≠）的图象经过同一个定点，则n m 的值是（ ） A ．4B ．-1C ．3D ．14【解析】因为函数13x y a +=-（0a >且1a ≠）经过定点()1,2--，函数()log ()a g x x m n=++（0a >且1a ≠）的图象经过定点()1,m n -，由题意知112m n -=-⎧⎨=-⎩，即22m n =⎧⎨=-⎩，故2124n m -==， 故选：D变式1：函数log (23)2a y x =-+(0a >且1)a ≠的图象恒过定点P ，P 在指数函数()f x 的图象上，则(1)f -的值为（ ）A B ．2C ．D ．【解析】由题意，令231x -=，可得2x =，故函数log (23)2a y x =-+(0a >且1)a ≠的图象恒过定点()2,2P ，则指数函数()x f x b =(0b >且1)b ≠的图象过点()2,2P ，即2(2)2f b ==，解得b =所以1(1)f --==故选：B.变式2：已知函数()()8log 30,19a y x a a =++>≠的图象恒过定点A ，若点A 也在函数()3x f x b =-的图象上，则b =_________．【解析】()88log 2399a -++=，82,9A ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，()2182399f b b -∴-=-=-=，解得：79b =-.故答案为：79-.【与幂函数的综合问题】【例3】若函数()(3)a f x m x =-是幂函数，则函数()log ()1a g x x m =++（其中0a >且1)a ≠的图象过定点( ) A ．(3,1)-B ．(2,1)C ．(3,0)-D ．(3,1)【解析】因为函数()(3)a f x m x =-是幂函数，所以31m -=，解得4m =，所以函数()log (4)1a g x x =++中，令41x +=，解得3x =-，所以(3)1g -=，所以()g x 的图象过定点(3,1)-．故选：A ．变式1：已知函数()(2)t f x t x =-是幂函数，则函数()log ()a g x x t t =++（0a >且1a ≠）恒过定点________．【解析】由()f x 是幂函数得21,3t t -=∴=，故()log (3)3a g x x =++，令31,2x x +=∴=-，所以log (23)33a y =-++=. 所以()g x 过定点(2,3)-． 故答案为：(2,3)-变式2：若幂函数()y f x =的图象经过函数1()log (3)(04a g x x a =++>且1)a ≠图象上的定点A ，则1()2f = ．【解析】由31x +=，解得：2x =-，此时1(2)4g -=，即1(2,)4A -，设()f x x α=，则1(2)4α-=，解得：2α=-，故2()f x x -=，故21()242f ==，故答案为：4．变式3：已知函数log (3)2a y x =-+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图象上，则lg (4)lg (25)f f +=（ ) A ．2-B ．2C ．1D ．1-【解析】函数()log 32a y a =-+中，令31x -=，解得4x =，此时log 122a y =+=；所以函数y 的图象恒过定点()4,2P ，又点P 在幂函数()my f x x ==的图象上，所以42m =，解得0.5m =；所以()0.5f x x =，所以()()()()lg 4lg 25lg 425lg101f f f f +=⋅==⎡⎤⎣⎦．故选：C ．【与基本不等式的综合问题】【例4】已知函数log (1)1(0,1)a y x a a =-+>≠的图像恒过定点P ，又点P 坐标满足2(0,0)mx ny m n +=>>，则11m n+的最小值为_______； 【解析】由题意，令11x -=，即2x =时，log 111a y =+= 故函数log (1)1(0,1)a y x a a =-+>≠的图像过定点(2,1) 故22m n +=，即12nm +=，又0,0m n >>则1111333()()22222n m n m m n m n n m +=++=++≥+=当且仅当2=m nn m，即22m n ==时等号成立即11m n+的最小值为32故答案为：32变式1：若函数()()ln 124k x f x -=-()k R ∈的图象恒经过的定点在直线10ax by --=（0a >，0b >）上，则1132a b+的最小值是（ ）A ．B ．C ．256D ．136【解析】由题意(2)3f =-，所以定点坐标为(2,3)-， 所以2310a b +-=，即231a b +=，因为0,0a b >>，1111131325(23)3232666b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =，即15a b ==时等号成立，故选：C ．变式2：已知函数()()()1log 20,1a f x x a a =+->≠的图象经过定点(),A m n ，若正数x ，y 满足1m nx y +=，则2x x y y++的最小值是（ ）A ．5B ．10C ．533D ．5+【解析】函数()1log (2)a f x x =+-令21x -=，可得3x =，代入函数可得1y =，∴定点A 的坐标(3,1)， 代入1m n x y +=可得311x y+=，那么3xx y =-，则31622223(22)()3521255xyxx y x y x y y x y x y ++=+-=++-=+++=+当且仅当31x y ==+ ∴2xx yy++的最小值5. 故选：D变式3：已知函数()log (1)1a f x x =-+，(0,1)a a >≠恒过定点A ，过定点A 的直线:1l mx ny +=与坐标轴的正半轴相交，则mn 的最大值为（ ）A ．12B ．14 C ．18D ．1【解析】令11x -=，即2x =，得(1)1f =，则()2,1A ， 则21m n +=且0m >，0n >，由1218m n mn +≥≥≤．当且仅当14m =，12n =时，等号成立， 故选：C变式4：【多选】已知函数()()log 12a f x x =-+（0a >且1a ≠）的图象过定点(),s t ，正数m 、n 满足m n s t +=+，则（ ） A ．4m n += B ．228m n +≥ C ．4mn ≥D ．111m n+≥ 【解析】在函数()f x 的解析式中，令11x -=可得2x =，且()2log 122a f =+=， 所以，函数()f x 的图象过定点()2,2，2s t ==，所以4m n +=，所以A 正确；由重要不等式222m n mn +≥，可得()()222216m n m n +≥+=，故228m n +≥，当且仅当2m n ==时取等号，所以B 正确；由基本不等式可得，242m n mn +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当，2m n ==时取等号，故C 错误；又()1111111221444m n m n m n m n n m ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当4m nn m m n ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即2m n ==时取等号，所以D 正确.故选：ABD.【与三角函数的综合问题】【例5】函数()log 32a y x =-+（0a >且1a ≠）的图象过定点P ，且角α的终边过点P ，则sin cos αα+的值为（ ）A ．75B ．65C D【解析】由题意得P (4，2)，||OP =，由三角函数定义知sinαα===所以sin cos αα+= 故选：D变式1：函数()log 2a y x =+(0a >，且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在角θ的终边上，则cos 2πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．BC ．12-D ．12【解析】对于函数()log 2a y x =++(0a >，且1)a ≠，令21x +=，求得1x =-，y =(A -，且点A 在角θ的终边上，可得sin θ，则cos sin 2πθθ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭．故选：A ．变式2：若函数()()()log 220,1a f x x a a =+->≠的图象经过定点P ，且点P 在角θ的终边上，则sin 4cos 5sin 2cos -=+θθθθ（ ）A ．16-B ．34-C ．37-D ．53-【解析】()1log 122a f -=-=-，()1,2P ∴--，tan 2θ∴=，sin 4cos tan 42415sin 2cos 5tan 21026θθθθθθ---∴===-+++.故选：A.变式3：函数()log 42a y x =++(0a >，且1a ≠)的图象恒过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则2sin 2θ=（ ） A ．1213-B ．1213C ．2413-D ．2413【解析】根据对数函数的性质得函数()log 42a y x =++(0a >，且1a ≠)的图象恒过()3,2A -，由三角函数的定义得：13r ==，sinθθ== 所以根据二倍角公式得：242sin 24sin cos 413θθθ⎛===- ⎝. 故选：C.【与反函数的综合问题】【例6】函数1()x f x a +=（0a >且1a ≠）的反函数1()y f x -=所过定点的坐标为（ ） A ．(0,1)-B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(0,1)【解析】1()x f x a +=过定点()1,1-，故反函数1()y f x -=所过定点的坐标为(1,1)-.故选：B.【与函数单调性的综合问题】【例7】已知函数()()log 13a f x x =++的图象恒过定点(),m n ，且函数()22g x mx bx n =-+在[)1,+∞上单调递减，则实数b 的取值范围是_______．【解析】在函数()()log 13a f x x =++的解析式中，令11x +=，可得0x =，()0log 133a f =+=. 所以，函数()()log 13a f x x =++的图象恒过定点()0,3，0m ∴=，3n =， 则()23g x bx =-+，由于函数()g x 在[)1,+∞上单调递减，可得20b -<，解得0b >. 因此，实数b 的取值范围是()0,∞+. 故答案为：()0,∞+.巩固训练：1、函数()()log 43a f x x =-的图象过定点（ ） A ．()1,0B ．()1,1C ．3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】令431x -=，求得1x =，()0f x =，可得()()log 43a f x x =-的图象所过定点()1,0， 故选：A ．2、函数y ＝log a (x ＋1)－2(a >0且a ≠1)的图象恒过点________．【解析】依题意，11x +=，即x ＝0时，y ＝log a (0＋1)－2＝0－2＝－2，故图象恒过定点 (0，－2)．故答案为：(0，－2)3、函数()log 272=+-a y x （0a >，且1a ≠）的图象一定经过的点是（ ） A ．7,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()3,2--C ．()3,1--D ．()4,2--【解析】令271x +=，3x =-，则2y =-，即函数图象过定点()3,2--．故选：B ．4、已知常数0a >且1a ≠，假设无论a 为何值，函数()log 34a y x =+-的图像恒经过一个定点，则这个点的坐标为______．【解析】因为log a y x =的图像必过(1,0)，即log 10a =，当31+=x ，即2x =-时，4y =-，从而()log 34a y x =+-图像必过定点(2,4)--. 故答案为：(2,4)--.5、已知0a >，1a ≠，则21()log 1a x f x x +=-的图象恒过点（ ） A ．(1,0) B ．(2,0)-C ．(1,0)-D ．(1,4)【解析】令2111x x +=-，解得：2x =-，故(2)log 10a f -==恒成立， 即21()log 1a x f x x +=-的图象恒过点(2,0)-.故选：B6、函数1log 11ay x =++(0a >且1a ≠)的图象经过的定点坐标为___________.【解析】取111x =+，得到0x =，代入计算得到1y =，得到定点(0,1). 故答案为：（0，1）7、函数()()2log 11xa f x x =+-+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，则点A 的坐标为_________.【解析】当2x =时，()()222log 2114015a f =+-+=++=，∴定点A 的坐标为()2,5.故答案为：()2,5.8、已知函数()(21)()m f x m x m R =-∈是幂函数，则函数()log ()2a g x x m =++(0a >，且1a ≠)的图象所过定点P 的坐标是（ ） A ．(0,2)B ．(1,2)C ．(2,2)D ．(1,2)-【解析】因为函数()(21)()m f x m x m R =-∈是幂函数， 所以211m -=，因此1m =，所以()log ()2log (1)2a a g x x m x =++=++， 由log (1)0a x +=可得0x =，(0)2g =，所以函数()log ()2a g x x m =++(0a >，且1a ≠)的图象所过定点P 的坐标是(0,2). 故选：A.9、已知0a >且1a ≠，函数log (23)a y x =-P ，若P 在幂函数()f x 图像上，则点P 坐标为________，(8)f =________.【解析】由题意，函数log (23)a y x =-P ，令231x -=，即2x =，可得log 1a y =P ，设幂函数()()f x x R αα=∈，将点P 代入幂函数，可得2α=12α=，即()12f x x =，所以12(8)8f ==故答案为：P ，10、函数()log (103)9a f x x =-+的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数()g x 的图象上，则()8g =______.【解析】对于函数()log (103)9a f x x =-+，令1031x -=，求得3x =，()9f x =， 可得它的的图象恒过定点(3,9)A点A 在幂函数()g x x α= 的图象上，39α∴=，2α∴=，2()g x x =，则()24868g ==故答案为：6411、函数()()log 310,1a y x a a =+->≠的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10【解析】函数()()log 310,1a y x a a =+->≠的图像恒过定点A ， 则()2,1A --，又点A 在直线10mx ny ++=上， 可得21m n +=，所以()121242448n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭， 当且仅当14m =，12n =时取等号， 故选：B12、已知函数log (1)2m y x =-+，（0m >且1m ≠）的图像恒过点M ，若直线()20,0x ya b a b+=>>经过点M ，则a b +的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解析】由已知得到对数函数过定点(1,0)，得到函数log (1)2m y x =-+，（0m >且1m ≠）的图象恒过点()2,2M ，又直线()20,0x ya b a b+=>>经过点M ，所以111a b+=，所以11()()2224b a b aa b a b a b a b ++=+++=； 当且仅当a b =时等号成立； 故选：C ．13、函数()log 44a y x =++（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则7cos 2πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．35 B ．35C ．45-D ．45【解析】令41x +=，所以3x =-，所以函数()log 44a y x =++的图象过定点()3,4-．因为点A 在角θ的终边上，所以4sin 5θ==，即有74cos sin 25πθθ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭． 故选：C ．14、已知函数()()log 330,1a y x a a =-+>≠的图象恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则sin 2α的值等于（ ）A ．2425-B ．35C ．2425 D ．35【解析】因为函数()()log 330,1a y x a a =-+>≠的图象恒过(4,3)， 所以点P 的坐标为(4,3)，因为角α的终边经过点P ， 所以34sin ,cos 55αα====， 所以3424sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=，故选：C15、函数y ＝log a (x －3)＋2(a ＞0且a ≠1)的图象过定点P ，且角α的终边过点P ，则cos2α＝( ) A ．45B ．35C ．15D ．35【解析】∵函数y ＝log a (x －3)＋2的图象过定点P (4,2)，且角α的终边过点P ，故cosα=，故223cos22cos1215αα=-=⨯-=⎝⎭.故选：B16、已知曲线()230,1yx a a a-=+>≠过定点M，且角α的终边经过点M，则tan24πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A．7-B．7C．17-D．17【解析】易知曲线()230,1yx a a a-=+>≠过定点()4,2M，则1tan2α=，所以2122tan42tan211tan314aαα⨯===--，所以41tan2tan34an27441tan2tan14t3aaπαππ++⎛⎫+===-⎪⎝⎭--.故选：A17、已知函数()log14ay x=-+（0a>且1a≠）的图象恒过点A，且点A在角α的终边上，则22sin2cos2sinααα=-（）A．74-B．2-C．47D．47-【解析】根据对数函数的性质，易知点()2,4A，故tan2α=，所以22222sin22sin cos2tan4cos2sin cos2sin12tan7ααααααααα===----．故选：D．18、函数log(23)4ay x=-+过定点(,)m n，则函数logny x=的反函数是________．【解析】因为log10a=，所以231x-=，得2x=，此时4y=，所以定点的坐标为(2)4，，所以n=4，所以4log logny x x==，所以4logy x=的反函数为4xy=，故答案为：4xy=19、已知函数f（x）＝[log a（x+2）]+3的图象恒过定点（m，n），且函数g（x）＝mx2﹣2bx+n在[1，+∞）上单调递减，则实数b的取值范围是________.【解析】因为函数f （x ）＝[log a （x +2）]+3的图象恒过定点(1,3)-， 所以m =-1,n =3，所以g （x ）＝-x 2﹣2bx +3， 因为g （x ）＝-x 2﹣2bx +3在[1，+∞）上单调递减， 所以对称轴1x b =-≤，解得1b ≥-，故答案为：[)1,-+∞。
二次函数图像过定点的研究
函数图像过定点的研究二、方法剖析与提炼例1.求证：拋物线y ＝(3－2定点，并求出定点的坐标．y ＝(3－k)x 2＋(k －2)x ＝3x 2－2x －1－kx 2＋kx ＋2k＝3x 2－2x －1－k( )(k≠3)，上式中令 ＝0，得x 1＝ ，x 2＝ . 将它们分别代入y ＝3x 2－2x －1－k(x 2－x －2)，解得y 1＝ ，y 2＝ ，把点(－1，4)、(2，7)分别代入y ＝3x 2－2x －1－k(x 2－x －2)，无论k 取何值，等式总成立，即点 、 总在抛物线y ＝(3－k)x 2＋(k －2)x ＋2k －1(k≠3)上，即拋物线y ＝(3－k)x 2＋(k －2)x ＋2k －1(k≠3)过定点(－1，4)、(2，7)．【解析】因为不论k 取何值，函数均过某定点，所以思考的方向是将k 前面的系数化为零，从而得到本题的解法。
另外，本题也可以任意取两个K 的值，然后列方程组，求解即可。
例2．（北京市西城区）无论m 为任何实数，二次函数的图像总过的点是（ ）A. （1，3）B. （1，0）C. （－1，3）D. （－1，0）m 妨设m=0和m=2。
则函数解析式变为：联立方程组解得把中，无论m 为何值，等式总成立。
所以，抛物线群中所有的抛物线恒经过定点（1，3）。
故应选A 。
①令⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-+=-3102012y x y x x x 解得， 所以，无论m 为何值时， 恒满足①式，故该二次函数的图像恒过定点（1，3）。
故应选A 。
【解析】图像总过定点说明函数的取值与m 的取值无关，所以把m 看成元，其余看成常数进行重新化简整合，含m 项的系数为0得出关于x 、y 的方程（组）并求解。
另一种思考就是m 取不同的值得到不同的函数解析式求出公共点即可。
例3.已知二次函数的顶点坐标为（﹣，﹣），与y 轴的交点为（0，n ﹣m ），其顶点恰好在直线y=x+（1﹣m ）上（其中m 、n 为正数）．（1）求证：此二次函数的图象与x 轴有2个交点； （2）在x 轴上是否存在这样的定点：不论m 、n 如何变化，二次函数的图象总通过此定点？若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：把（﹣，﹣）代入 得﹣+（1﹣m ）=﹣， 整理得m 2﹣mn+m ﹣n=0， ∵（m ﹣n ）（m+1）=0，∴m=n 或m=﹣1（舍去），∴二次函数的顶点坐标为 ，与y 轴的交点为 ，∵m 为 数，∴二次函数的顶点在第 象限，而抛物线过原点， ∴抛物线开口向上，∴此二次函数的图象与x 轴有2个交点；令y=0，解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标，△=b 2﹣4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数。
完整版函数图像过定点问题
函数图像过定点的研究题1：2＋(k－2)x＋2k(3求证：拋物线y＝－k)x－1(k≠3)过定点，并求出定点的坐标．归纳：第一步：对含有变系数的项集中；第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式；第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化，都“失效”了)；第四步：解此方程，得到x的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y的值y(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x，y)；000第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．题2：（2001年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数的图像总）过的点是（）0，1 31 C. 01B. ），（ A. 13 （，）（－，）（－D.巩固练习：2）﹣m）x+m的图象总是过定点为何实数，二次函数1．无论my=x（﹣（2 ）（﹣D． 1，0，10） C．（﹣1，3） 3 A．（1，） B．（2）1（a≠0），下列说法正确的有（ 2．对于关于x的二次函数y=ax）﹣（2a﹣1x﹣取何值，图象必过两定②无论取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点；a①无论a的增大而减小；④当1时，y随x点，且两定点之间的距离为；③当a＞0时，函数在x＜ x轴所得的线段长度必大于2．a＜0时，函数图象截 4个．．3 个 D A ．1个 B． 2个C2（m≠0）的图象发现，随﹣2mx+33.（2012?鼓楼区一模）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两着m ．个定点，请你写出这两个定点的坐标：_________2的变化，这个二次函（m≠0）的图象发现，随着4．某数学小组研究二次函救y=mxm﹣3mx+2数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点．请你写出这两个．定点的坐标：_________2，则这个函数的图象一定经过某一个﹣c=2+bx+c满足by=x5．（2009?宜宾县一模）二次函数．定点，这个定点是 _________2．的图象总是过定点 _________ y=x）﹣（2﹣mx+mm6．无论为何实数，二次函数）在函数的图象12，1）图象不经过三、四象限；（2）点（．已知一个二次函数具有性质（7的增大而增大．试写出一个满足以上性质的二次函x时，函数值y随自变量03上；（）当x＞ _________ ．数解析式：8.证明无论m为何值，函数y=mx-（4m-3)图像过定点，求出该定点坐标2．（m是常数）－6x＋1y.9（南京2011年24题7分）已知函数=mx轴上的一个定点；m为何值，该函数的图象都经过y⑴求证：不论的值．轴只有一个交点，求m⑵若该函数的图象与x，﹣），与y轴的交点为（0．已知二次函数的顶点坐标为（﹣，n﹣m），其顶点恰101（好在直线1y=x+﹣m）上（其中m、n为正数）．2（1）求证：此二次函数的图象与x轴有2个交点；（2）在x轴上是否存在这样的定点：不论m、n如何变化，二次函数的图象总通过此定点？若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由．函数图像过定点的研究题1：2＋(k－2)x＋－k)x2k－1(k≠3)过定点，并求出定点的坐标．求证拋物线y＝(3审题视角有些函数的图象具有过定点的性质，这是由函数式中的一些系数的取值特点所决定的，例如，直线y＝kx＋b(k≠0)，当b确定时，无论k取不等于0的任何值，它总过定点(0，b)；物线线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当c确定时，无论a、b取何值，它总过定点(o，c)．本题中可以把函数解析式整理变形，使含字母k的项组合于一组，赋值为零，可以求的自变量的值，而后代入函数解析式，再求得相对应的函数值，即得定点的坐标．解：整理抛物线的解析式，得2＋(k－2)x＋2k－1 y＝(3－k)x2－2x－1－kx2＋＝3xkx＋2k2－2x－1－k(x2 －＝3xx－2)(k≠3)，2－x－2＝0，得x＝－1，x＝上式中令x2. 2122－x－2)，－2x－1－将它们分别代入y＝3xk(x解得y＝4，y＝7，2122－x－2)1－k(x，3x(2，7)分别代入y＝－2x －4)把点(－1，、无论k取何值，等式总成立，2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)上，(3，7)总在抛物线y＝－k)x 4)即点(－1，、(22＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)过定点(－1，4)、－即拋物线y＝(3k)x(2，7)．归纳：第一步：对含有变系数的项集中；第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式；第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化，都“失效”了)；第四步：解此方程，得到x的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y的值y(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x，y)；000第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．题2：（2001年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数的图像总过的点是（）A. （1，3）B. （1，0））0，1（－D. ）3，1（－ C.解法一、特殊值法依据：二次函数的图像随着m的取值不同，它的位置也随之变化，可见这是一个抛物线群。
高职单招单考复习用书《数学点对点精准突破》考点18：指数函数与对数函数
考点18 指数函数与对数函数【考点分析】1.考试要求了解指数函数、对数函数的概念、图像与性质，会用它们解决有关问题.2.考情分析指数函数、对数函数的考查主要是在求指数、对数型函数的定义域、单调性和求值这几点，近几年高职考中此部分知识都没有涉及.3.知识清单(1)定义：形如(0,1)x y a a a =>≠的函数叫指数函数.(2)指数函数的性质：定义域x R ∈;值域(0,)y ∈+∞;图像过定点0,1（）,即当0x =时,1y =;当01a <<时,函数在R 上是减函数;当1a >时,函数在R 上是增函数.(3)定义：形如log (0,1)a y x a a =>≠的函数叫对数函数.(4)对数函数的性质：定义域(0,)x ∈+∞;值域y R ∈;图像过定点1,0（）,即当1x =时,0y =;当01a <<时,函数在0+∞（，）上是减函数;当1a >时,函数在0+∞（，）上是增函数.【精确诊断】1.下列函数中是指数函数的是（ ）A.13()2x y += B.2x y -= C.y x = D.(2)x y =-【答案】B .2.下列函数中不是对数函数的是（ ）A.13log (1)y x =+ B.ln y x = C.lg y x = D.3log y x =【答案】A .3.当1a 0＜＜时,在同一坐标系中,函数xy a -=与log a y x =的图象正确的是（ ）A B C D 【答案】C.4.下列结论中,正确的是（ ）A.5211()()33--<B.331log 5log 3< C.128log 03< D.0.2312<（）【答案】C.提示：利用函数的单调性判断. 5.函数12x y =+,[1,4]x ∈的值域是 . 【答案】[3,17].提示:函数2x y =在定义域内是增函数.【精准突破】题型１ 概念辨析例1 根据条件,求解下列各式:(1)已知指数函数满足4(2)9f =,求()f x 的解析式;(2)已知对数函数的图像过点(8,3),求f 的值.【思路点拨】根据指数函数、对数函数的定义、函数值概念，及点与图像的关系即可. 【问题解答】(1)设指数函数()x f x a =,因4(2)9f =,故249a =,又0a >,则23a =，故2()()3x f x =;(2)设对数函数()log a f x x =,把8,3（）代入,得log 83a =,则38a =,又0a >,故2a =,221()log ,=log 2f x x f =∴. 【变式1】若函数2(33)x y a a a =-+是指数函数,则（ ）A.1a =或2B.1a =C.2a =D.0,1a a >≠ 【答案】C.【变式2】(1)指数函数()f x 的图像过点2,3（）,则(4)f -= ;(2)(2012年模拟题)对数函数满足(2)1f =-,则()f x = .【答案】(1)19;(2)12log x .题型2 函数单调性的应用例2 已知01,a b <<<则下列不等式中成立的是（ ）A.0.30.3log log a b <B.33log log a b <C.0.30.3a b <D.33a b ≥ 【思路点拔】利用指数函数与对数函数的单调性解决.【问题解答】0.3log y x =在定义域内为减函数，故0.30.3log log a b >,A 错误; 3log y x =在定义域内为增函数，故33log log a b <,B 正确; 0.3x y =在定义域内为减函数，故0.30.3a b >,C 错误; 3x y =在定义域内为减函数，故33a b<,D 错误;故选B .【变式1】(1)若指数函数()x f x a =满足(3)(4),f f >则a 的取值范围是 ;(2)若对数函数()log a f x x =在0+∞（，）上是减函数,则a 的取值范围是 .【答案】(1)01a <<；（2）01a <<.【变式2】函数()1)xf x a a =>（在区间[1,2]上函数最大值比最小值大2a,结合函数图像及单调性求a 的值.【答案】32a =. 题型3 函数图像过定点问题例3 函数33(0,1)x y a a a -=+>≠的图像恒过定点 .【思路点拔】根据指数函数的图像恒过定点0,1)（,即当0x =时,1y =. 【问题解答】令30x -=,得3x =,031+3=4y a =+=,故图像恒过定点3,4（）.【变式1】函数211(0,1)x y a a a -=+>≠的图像恒过定点 . 【答案】1,22（）. 【变式2】函数()log (32)1(0,1)a f x x a a =+->≠的图像恒过定点 . 【答案】1(,1)3--.题型5 函数定义域例5 求下列函数定义域：(1)1lg[()1]2x y =-; (2)(2006年第16题)y =【思路点拔】定义域是一切函数最重要的研究内容之一，应始终贯穿在各种函数学习中,本题要结合函数的单调性综合讨论分析.【问题解答】(1)由题意1102x ->（）,得0111()22x >=（）,结合指数函数的单调性知,0x <,故函数的定义域是∞（-,0); (2) 由题意210log (1)0x x ->⎧⎨-≥⎩,得221log (1)log 1x x >⎧⎨-≥⎩,结合对数函数的单调性知,2x ≥,故函数的定义域是[)2+∞，.【变式1】求函数2log (4||)y x =-的定义域.【答案】[)1,4.提示：由4||0(1)(7)0x x x ->⎧⎨---≥⎩,得4417x x -<<⎧⎨≤≤⎩,故14x ≤<,所以定义域是[)1,4.【变式2】求下列函数的定义域：(1)y =；(2)y =【答案】(1)0,4（）；(2)(],4-∞ .【反思提升】 1.思想方法(1)利用函数单调性解决问题时,首先要根据底数的范围决定函数的单调性，再依据1x 和2x 大小，推出1()f x 与2()f x 的大小;(2)求定义域时,先按照使函数的解析式有意义的要求,列出不等式(组).如果是指数不等式或对数不等式,要根据底数范围,确定增减性,再决定不等号是否需要改变方向;(3)函数图像恒过某定点P ,说明点P 与底数a 的取值无关. 2.误区指津(1)利用函数单调性时,务必注意底数a 的范围对单调性的影响;(2)对数函数中的真数必须大于零,还需注意此真数是一个数还是一个代数式，若是一个代数式,则必须添上括号;(3)指数不等式中要注意1的变换式:01=(0)a a ≠,对数不等式中要注意0与1的变换式:0=log 1,1=log (0,1)a a a a a >≠.考点18 指数函数与对数函数【精细训练】A 基础训练一.选择题1.(2001年第3题)设,a b R ∈且a b <,则下列各式中正确的是（ ） A.1a b < B.22a b < C.11()22a b >（） D.12log ()0b a -> 【答案】C .2.(2000年第2题)若12+511)()33a a +>（,则a 的取值范围是（ ）A.4a >-B.41a -<<-C.1a >-D.512a -<<-【答案】A .3.(2011年第12题)若2410(2)log 3x f x +=,则(1)f =（ ） A.214log 3B.12C.1D.2【答案】D .4.函数()lg(1)f x x =- ）A.(1,3)B.[1,3]C.(1,3]D.[1,3) 【答案】C .5.0x y >>“”是lg lg x y >“”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分又非必要条件 【答案】C . 二.填空题6.函数23(0()log (0)xx f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩）,则1[()]4f f = .【答案】19.提示：因211()log 244f ==-,故211[()](2)349f f f -=-==.7.函数2()lg(21)f x x =+的定义域是 .【答案】1(,0)2-.提示:由题意120210xx ⎧->⎨+>⎩,得021212x x ⎧<=⎪⎨>-⎪⎩,则012x x <⎧⎪⎨>-⎪⎩，故102x -<<. 8.已知2()1log 2x f x =-,则1()4f = .【答案】2.提示:令124x =得12x =，故211()1log =1(1)242f =---=.三.解答题9.已知函数log (1)a y x a =>在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，求a 的值. 【答案】2.提示：因1a >,函数在定义域内是增函数,故函数最大值是log 4a ,函数最小值是log 2a ,由题意,得4log 4log 2log log 21,22a a aa a -===∴=. 10.某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题： (1)写出该城市人口总数y (万人)与年数x (年)的函数关系式； (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人); (3)多少年后该城市人口达到160万？101516 1.0121.012=1.127,1.012=1.196,1.012=1.210 1.639.40≈（）,log ）【答案】(1)100(1 1.2%)()y x N =+∈;(2)112.7万人;(3)40年. 提示：(1)1年后该城市人口总数为=100+100 1.2%100(1 1.2)y ⨯=+,2年后该城市人口总数为2=100 1.012(1 1.2%)1001+1.2%y ⨯⨯+=⨯（）, 3年后该城市人口总数为3=100(1 1.2%)y ⨯+， … …因此,x 年后该城市人口总数是一指数型函数,为100(1 1.2%)();xy x N =+∈(2)10年后人口总数为10100(1 1.2%)112.7⨯+≈（万人）;(3)假设n 年后该城市人口数达到160万，则100 1.012160n ⨯=，即1.012 1.6n =,所以1.012log 1.639.40n N *=≈∈，(n ）,故40n =.所以,40年后,该城市人口数达到160万.B 提升训练1.若函数()1(1)xf x a a =->的定义域和值域都是[0,2],则实数a 等于________．提示：1a >时，[0,2]x ∈，2[0,1]y a ∈-，因为定义域和值域一致，故212a -=，即a =2.若log9log90<<，那么,m n满足的条件是（）m nA. 1<<< D.01n mm n<<<n mm n>> B.1>> C.01【答案】C.。
定点问题
1.用法（1）或法（2）求出直线恒过定点（0,1） 2. 通过数形结合可知点（0,1）在椭圆内部。 3.所以无论k取何值，直线与椭圆总相交。
（ 0， 2） （ 0， 1） （-3，0） （ 3， 0）
（0，-2）
3、不论
k 为何值，直线 y kx b 与椭圆
x2 y 2 1 9 4
总有公共点，求 b 的取值范围.
1 2 m，n＞0），则 m n 的最小值等于
D. 8
1.用法（1）或法（2）求出函数图像恒过定点（-2,-1） 2. 将点（-2,-1）代入直线方程得到2m+n=1
1 2 1 2 n 4m (3) ( )(2m n) 2 2 m n m n m n n 4m 22 28 m n
m 1且m 5
2.函数图像过定点
y a x恒过（ 0,1 ）点。
y loga x恒过（ 1,0）点。
（1）如何求函数图像所过定点
无论a取何值，下列函数的图像恒过定点，求定点坐标。
(1) y a
x 2
3,
(2) y loga ( x 3) 2。
法（1）参数a“失效”法
1.用法（1）或法（2）求出直线l恒过定点（-1,1） 2. 将点（-1,1）代入圆C的方程得（-1） +1 =2<3 所以点（-1,1）在圆C内部。
2 2
3.所以无论k取何值，直线l与圆C总有两个交点。
2、直线 y kx 1 与椭圆
x2 y 2 1 9 4
的位置关系（ ）. A、相交 B、相切 C、相离 D、不确定
1.用法（1）或法（2）求出直线恒过定点（0,b） 2. 通过数形结合可知点（0,b）在椭圆内部或椭圆上 直线与椭圆总有公共点。
高一函数经典难题讲解
高一函数经典难题讲解2、已知函数f(x)=log3为底1-m(x+2)/x-3的图像关于原点对称，可得：f(-x)=log3[1-m(-x+2)/(-x-3)]=log3[1+m(x+2)/(x+3)]因为f(-x)=-f(x)，所以有：log3[1-m(x+2)/(x-3)]=-log3[1+m(x+2)/(x+3)]即：log3[(1-m(x+2)/(x-3))(1+m(x+2)/(x+3))]=-1化简得到：m=23、当x∈（3,4）时，有：f(x)=log3[1-m(x+2)/(x-3)]=log3[(x-3-m(x+2))/(x-3)]因为m=2，所以有：f(x)=log3[(x-7)/(x-3)]因此，f(x)的值域为(-∞,log3(4/3))4、对于f(x)=log3[(x-7)/(x-3)]，求导可得：f'(x)=1/(x-7)-1/(x-3)当x>7时，f'(x)<0，即f(x)单调递减；当30，即f(x)单调递增；因此，f(x)在定义域内为单调函数。
1.给定方程u(t) = (a-1)t^2 - 4/3at - 1 = 0，要求找出唯一的正根。
因为两个函数图像只有一个公共点，所以问题转化为寻找这个正根。
当a=1时，方程没有正根；当△=0时，a=3/4或a=-3，其中a=3/4时，t=-1/2，a=-3时，t=1/2.如果方程有一个正根和一个负根，那么(a-1)×u(0)。
1.综上所述，a=-3或a>1.2.给定方程f²(x) + bf(x) + c = 0，要求确定它有五个根的充要条件。
首先，我们分析函数f(x)的图像，发现当f(x)=1时，有三个对称的x值，除了x=2之外还有两个。
当f(x)≠1时，有两个对称的x值。
因此，满足f²(x) + bf(x) + c = 0的f(x)有两个，一个对应三个x值，另一个对应两个x值。
函数图像过定点问题
函数图像过定点的研究题1：求证：拋物线 y＝ (3 －k)x 2＋(k － 2)x ＋2k－1(k ≠3) 过定点，并求出定点的坐标．归纳：第一步：对含有变系数的项集中；第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x 和常数的因式之积的形式；第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x 的方程 (这时系数如何变化，都“失效”了)；第四步：解此方程，得到x 的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y 的值y0(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x0， y0)；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．题2：（2001 年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数的图像总过的点是（）A.（1，3）B. （1，0）C.（－1，3）D. （－1，0）巩固练习：1．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（ 2﹣ m） x+m的图象总是过定点（）A．（1，3）B．（1，0）C．（﹣1，3） D．（﹣1，0）2①无论 a 取何值，此二次函数图象与x 轴必有两个交点；②无论a取何值，图象必过两定点，且两定点之间的距离为；③当a＞0 时，函数在x＜1 时， y随x 的增大而减小；④当a＜ 0 时，函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个23. （2012?鼓楼区一模）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx﹣2mx+3（m≠0）的图象发现，随着 m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：_________．4．某数学小组研究二次函救y=mx2﹣ 3mx+2（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点．请你写出这两个定点的坐标：_________．5．（2009?宜宾县一模）二次函数y=x2+bx+c 满足b﹣ c=2，则这个函数的图象一定经过某一个定点，这个定点是_________．_________．6．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（ 2﹣ m） x+m的图象总是过定点7．已知一个二次函数具有性质（1）图象不经过三、四象限；（ 2）点（ 2，1）在函数的图象上；（3）当x＞0 时，函数值y 随自变量x 的增大而增大．试写出一个满足以上性质的二次函数解析式：_________．y=mx-（4m-3) 图像过定点，求出该定点坐标8. 证明无论m为何值，函数9.（南京 2011 年 24 题 7 分）已知函数 y=mx2－6x＋1（m 是常数）．⑴求证：不论 m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点；⑵若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值．10．已知二次函数的顶点坐标为（﹣，﹣），与y轴的交点为（0，n﹣m），其顶点恰好在直线 y=x+ 1（1﹣m）上（其中 m、n 为正数）．2（1）求证：此二次函数的图象与x 轴有 2 个交点；（2）在 x 轴上是否存在这样的定点：不论 m、n 如何变化，二次函数的图象总通过此定点？若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由．函数图像过定点的研究题1：求证拋物线 y＝(3 －k)x 2＋ (k －2)x ＋ 2k－1(k ≠3) 过定点，并求出定点的坐标．审题视角有些函数的图象具有过定点的性质，这是由函数式中的一些系数的取值特点所决定的，例如，直线 y＝kx ＋b(k ≠0) ，当 b 确定时，无论 k 取不等于 0 的任何值，它总过定点 (0 ，b) ；物线线 y＝ax2＋bx＋ c(a ≠0) ，当 c 确定时，无论 a、b 取何值，它总过定点 (o ，c) ．本题中可以把函数解析式整理变形，使含字母 k 的项组合于一组，赋值为零，可以求的自变量的值，而后代入函数解析式，再求得相对应的函数值，即得定点的坐标．解：整理抛物线的解析式，得y＝ (3 －k)x 2＋(k －2)x ＋ 2k－1＝3x2－2x－ 1－kx2＋ kx＋2k＝3x2－2x－ 1－k(x2 －x－2)(k ≠3) ，上式中令 x2－x－2＝0，得 x1＝－ 1， x2＝2.将它们分别代入y＝3x2－2x－ 1－ k(x 2－x－2) ，解得 y1＝4，y2＝7，把点 ( －1，4) 、 (2 ，7) 分别代入 y＝3x2－2x－1－k(x 2－x－2) ，无论 k 取何值，等式总成立，即点 ( －1，4) 、 (2 ，7) 总在抛物线 y＝ (3 －k)x 2＋(k －2)x ＋ 2k－1(k ≠3) 上，即拋物线 y＝(3 － k)x 2＋(k －2)x ＋2k－1(k ≠3) 过定点 ( －1，4) 、(2 ， 7) ．归纳：第一步：对含有变系数的项集中；第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x 和常数的因式之积的形式；第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x 的方程 (这时系数如何变化，都“失效”了)；第四步：解此方程，得到x 的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y的值y0(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x0， y0)；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．题2：（2001 年北京市西城区中考题）无论 m为任何实数，二次函数的图像总过的点是（）A. （1，3）B. （1，0）C. （－ 1， 3）D. （－ 1，0）解法一、特殊值法依据：二次函数的图像随着 m的取值不同，它的位置也随之变化，可见这是一个抛物线群。
高三数学函数图像试题答案及解析
高三数学函数图像试题答案及解析1.函数y＝＋sinx的图象大致是()【答案】C【解析】函数y＝＋sinx为奇函数，图象关于原点对称，排除B.在同一坐标系下作出函数f(x)＝，f(x)＝－sinx的图象，由图象可知函数y＝＋sinx只有一个零点0且当x>0时f(x)>0，∴选C.2.设函数f(x)＝x＋的图象为C1，C1关于点A(2,1)对称的图象为C2，C2对应的函数为g(x)．(1)求g(x)的解析式；(2)若直线y＝m与C2只有一个交点，求m的值和交点坐标．【答案】（1）g(x)＝x－2＋.（2）当m＝0时，经检验合理，交点为(3,0)；当m＝4时，经检验合理，交点为(5,4)．【解析】解：(1)设点P(x，y)是C2上的任意一点，则P(x，y)关于点A(2,1)对称的点为P′(4－x,2－y)，代入f(x)＝x＋，可得2－y＝4－x＋，即y＝x－2＋，∴g(x)＝x－2＋.(2)由消去y得x2－(m＋6)x＋4m＋9＝0，Δ＝[－(m＋6)]2－4(4m＋9)，∵直线y＝m与C2只有一个交点，∴Δ＝0，解得m＝0或m＝4.当m＝0时，经检验合理，交点为(3,0)；当m＝4时，经检验合理，交点为(5,4)．3.函数f(x)＝图像的对称中心为________．【答案】(0,1)【解析】f(x)＝＝1＋，把函数y＝的图像向上平移1个单位，即得函数f(x)的图像．由y ＝的对称中心为(0,0)，可得平移后的f(x)图像的对称中心为(0,1)．4.已知函数f(x)＝x1，x2，x3，x4，x5是方程f(x)＝m的五个不等的实数根，则x1＋x2＋x3＋x4＋x5的取值范围是()A．(0，π)B．(－π，π)C．(lg π，1)D．(π，10)【答案】D【解析】函数f(x)的图象如图所示，结合图象可得x1＋x2＝－π，x3＋x4＝π，若f(x)＝m有5个不等的实数根，需lg π<lg x5<1，得π<x5<10，又由函数f(x)在[－π，π]上对称，所以x1＋x2＋x3＋x4＝0，故x1＋x2＋x3＋x4＋x5的取值范围为(π，10)．5.如图：正方体的棱长为，分别是棱的中点，点是的动点，，过点、直线的平面将正方体分成上下两部分，记下面那部分的体积为，则函数的大致图像是（）【答案】C【解析】由题意可得下面那部分的是一个高为AB的三棱柱或四棱柱，当时.所以函数在大致图像是C、D选项.当时，令.所以上面的体积为.所以下面体积.所以函数的图象大致为C所示.故选C.【考点】1.空间几何.2.函数及图象.3.函数与立几交汇.6.为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（）A．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变D．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变【答案】D【解析】将中的换成便得，所以把函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，便得到函数的图象.选D.【考点】函数图象的变换.7.已知函数。
高二数学函数图像试题答案及解析
高二数学函数图像试题答案及解析1.幂函数的图像经过点，则的值为 _________________【答案】2【解析】设函数的解析式为，由已知得，解得，因此.【考点】幂函数的定义与性质2.已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lg x|的图象的交点共有()A．10个B．9个C．8个D．1个【答案】A【解析】当，函数的最大值为1，对于函数，当时，，因此交点只看，的图形与图象每半个周期有一个交点，因此有5个周期，共10个交点.【考点】图象交点的个数.3.函数在同一平面直角坐标系内的大致图象为（）【答案】C【解析】对于函数偶函数，当时，，此时函数为单调递减函数，故可排除；对于函数，两边平方可得，可知此时图象表示的是以原点为圆心，1为半径的下半圆，故排除.故选.【考点】函数图象的判断.4.现有四个函数：①；②；③；④的图象（部分）如下：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（）A．①④②③B．①④③②C．④①②③D．③④②①【答案】A【解析】由于从左到右图象的第一个图象关于y轴对称，所以其对应函数是偶函数，而已知的四个函数中①是偶函数，②是奇函数，③是奇函数，④非奇非偶函数；故第一个图象对应的函数只能是①，这样就右排除C和D了，对于A和B，第二个图象对应的函数均是④，所以只须看第三个图象：在y轴右侧图象有在x轴的下方的部分，而函数③，当时，显然，所以第三个图象对应的函数不能是③，故只能是②，这样就排除B，而应选A．【考点】函数的图象．5.若函数，且）的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是【答案】B【解析】由已知得:,则对于A:是一个R上的减函数,所以不正确,对于B:是奇函数且在R上是增函数,所以正确,对于C:是一个R上的减函数,所以不正确,对于D:的图象与的图象关于y轴对称，所以不正确,只有B是正确的,故选B.【考点】函数图象.6.已知函数f（x）＝,若方程f（x）＋2a－1＝0恰有4个实数根，则实数a的取值范围是（）A．（－，0 ]B．[－，0 ]C．[1，）D．（1，]【答案】A【解析】方程恰有四个实数根，等价于函数与函数的图象恰有四个不同的交点，在同一坐标系中画出函数与函数的图象如下：由图可知，当时，即时，两图象恰有四个不同的交点，所以答案选A.【考点】1、函数的图象；2、数形结合的思想.7.下列命题中：（1）若满足，满足，则；（2）函数且的图象恒过定点Ａ，若Ａ在上，其中则的最小值是；（3）设是定义在Ｒ上，以１为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为；（4）已知曲线与直线仅有２个交点，则；（5）函数图象的对称中心为（2，1）。
专题06 一次函数图像的五种考法(解析版)-2024年常考压轴题攻略(8年级上册北师大版)
专题06一次函数图像的五种考法类型一、图像的位置关系问题例．直线y kx k =-与直线y kx =-在同一坐标系中的大致图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据直线y kx k =-与直线y kx =-图像的位置确定k 的正负，若不存在矛盾则符合题意，据此即可解答．【详解】解：A 、y kx =-过第二、四象限，则0k >，所以y kx k =-过第一、三、四象限，所以A 选项符合题意；B 、y kx =-过第二、四象限，则0k >，所以y kx k =-过第一、三、四象限，所以B 选项不符合题意；C 、y kx =-过第一、三象限，则0k <，所以y kx k =-过第二、一、四象限，所以C 选项不符合题意；D 、y kx =-过第一、三象限，则0k <，所以y kx k =-过第二、一、四象限，所以D 选项不符合题意．故选A ．【点睛】本题主要考查了一次函数的图像：一次函数0y kx b k =+≠（）的图像为一条直线，当0k >，图像过第一、三象限；当0k <，图像过第二、四象限；直线与y 轴的交点坐标为()0b ，．【变式训练1】在同一坐标系中，直线1l ：()3y k x k =-+和2l ：y kx =-的位置可能是()A ．B ．．．【答案】B【分析】根据正比例函数和一次函数的图像与性质，对平面直角坐标系中两函数图像进行讨论即可得出答案．k>，故由一次函数图像与【详解】A、由正比例函数图像可知0，即0点的上方，故选项A不符合题意；．．．．【答案】B【分析】先根据直线1l，得出k然后再判断直线2l的k和b的符号是否与直线．B．．．【答案】C【分析】根据一次函数的图象性质判断即可；ab>，【详解】∵0同号，A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分别分析四个选项中一次函数和正比例函数m 和n 的符号，即可进行解答．【详解】解：A 、由一次函数图象得：0,0m n <>，由正比例函数图象得：0mn <，符合题意；B 、由一次函数图象得：0,0m n <>，由正比例函数图象得：0mn >，不符合题意；C 、由一次函数图象得：0,0m n >>，由正比例函数图象得：0mn <，不符合题意；D 、由一次函数图象得：0,0m n ><，由正比例函数图象得：0mn >，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题主要考查了一次函数和正比例函数的图象，解题的关键是掌握一次函数和正比例函数图象与系数的关系．类型二、图像与系数的关系则13k≥或3k≤-，故答案为：【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握数形结合思想是解题关键．类型三、图像的平移问题例．将直线y kx b =+向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到直线2y x =，则（）A ．2k =，8b =-B ．2k =-，2b =C ．1k =，4b =-D ．2k =，4b =【答案】A【分析】根据直线y kx b =+向左平移2个单位，变为()2y k x b =++，再向上平移4个单位，变为()24y k x b =+++，然后结合得到直线2y x =，即可解出k 和b 的值．【详解】解：直线y kx b =+向左平移2个单位，变为()2y k x b =++，再向上平移4个单位，变为()24y k x b =+++，得到直线2y x =，2k ∴=，240k b ++=，2k ∴=，8b =-，故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数图像平移变换，熟练掌握图象左加右减，上加下减的变换规律是解答本题的关键．【变式训练1】对于一次函数24y x =-+，下列结论错误的是（）．A ．函数的图象与x 轴的交点坐标是(0,4)B ．函数的图象不经过第三象限C ．函数的图象向下平移4个单位长度得2y x =-的图象D ．函数值随自变量的增大而减小【答案】A【分析】分别根据一次函数的性质及函数图象平移的法则进行解答即可．【详解】A 选项：当0y =时，2x =，所以函数的图象与x 轴的交点坐标是(2,0)，故A 选项错误；B 选项：函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故B 选项正确；C 选项：函数的图象向下平移4个单位长度，得到函数244y x =-+-，即2y x =-的图象，故C 选项正确；D 选项：由于20k =-<，所以函数值随x 的增大而减小，故D 选项正确．故选：C【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，函数图象平移的法则，熟练运用一次函数的图象及性质进行判断是解题的关键．【变式训练2】把直线3y x =-先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后的新直线与x 轴的交点为()0m ,，则m 的值为（）A ．3B ．1C ．1-D ．3-【答案】B【分析】由题意知，平移后的直线解析式为()32333y x x =---=-+，将()0m ,代入得033m =-+，计算求解即可．【详解】解：由题意知，平移后的直线解析式为()32333y x x =---=-+，将()0m ,代入得033m =-+，解得1m =，故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点．解题的关键在于熟练掌握图象平移：左加右减，上加下减．类型四、规律性问题例．在平面直角坐标系中，直线:1l y x =-与x 轴交于点1A ，如图所示，依次作正方形111A B C O ，正方形2221A B C C ，…，正方形1n n n n A B C C -，使得点1A ，2A ，3A ，…．在直线l 上，点1C ，2C ，3C ，…，在y 轴正半轴上，则点2023B 的坐标为（）A ．()202220232,21-B ．()202320232,2C ．()202320242,21-D ．()202220232,21+【答案】A【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点11A B 、的坐标，同理可得出2A 、3A 、4A 、5A …及2B 、3B 、4B 、5B …的坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律()12,21n n n B --（n 为正整数），依此规律即可得出结论．【详解】解：当0y =时，由10x -=，解得：1x =，∴点1A 的坐标为()1,0，111A B C O 为正方形，()11,1B ∴，同理可得：()22,1A ，()34,3A ，()48,7A ，()516,15A ，…，∴()22,3B ，()34,7B ，()48,15B ，()516,31B ，…，【答案】20222022(21,2)-【分析】先求出1A 、2A 、3A 、4A 的坐标，找出规律，即可得出答案．【详解】解： 直线1y x =+和y 轴交于1A ，1A ∴的坐标()0,1，即11OA =，四边形111C OA B 是正方形，111OC OA ∴==，【答案】()20222,0【分析】根据1A 的坐标和函数解析式，即可求出点34,A A 探究规律利用规律即可解决问题．【详解】∵直线3y x =，点1A 的坐标为∴()11,3B 在11Rt OA B △中，11131,OA A B ==，类型五、增减性问题．B．．．A ．()15,53B ．()15,63C ．()17,53D 【答案】D【答案】40432【分析】根据已知先求出2OA ，3OA ，33A B ，44A B ，然后分别计算出1S ，2S 【详解】解：∵11OA =，212OA OA =，∴22OA =，∵322O A O A =，∴34OA =，∵432OA OA =，。
函数图像恒过定点问题
函数恒过定点问题1. 方程“ OX=0'的理解：若方程的解有无穷多个，贝U方程的系数均为02. 若方程mx=n有无数个解，则m= ____ ,n= ____ 方法：解决函数恒过定点问题，最常用的方法是将函数看成方程，则这个方程有无穷个解。
方程的解有无穷多个，则方程的系数均为0,利用这一方法的思路是将原方程整理为以参数为主元的方程，然后利用系数为零求得。
一、直线过定点问题由“y-y / =k （x-x x）”求定点把含有参数的直线方程改写成“ y-y / =k （x-x x）的形式，这样就证明了它所表示的所有直线必过定点（X，, y/）例1:已知（k+1）x- （k-1 ）y-2k=0为直线I的方程，求证不论k取任何实数值时，直线I必过定点，并求出这个定点的坐标例2：若实数满足2a-3b=1，求证：直线ax+by=5必过定点练习题1 .直线I : kx - y+2k+1=0必过定点__________2 .直线y=mx+2m+1过定点_________3 .直线kx+3y+k - 9=0过定点 ________4 .设a+b=3,则直线ax+by=1恒过定点 __________5 .当a+b+c=0时，直线ax+by+c=0必过定点_________6 .直线（m- 1）x+y+2m+1=0S定点________7. 直线（2a- 1）x+2ay+3=0恒过的定点是________8. 对于任意实数m n，直线（m+n x+12my- 2n=0恒过定点的坐标是__________9. 若p，q满足条件3p- 2q=1，直线px+3y+q=0必过定点___________10 .直线（m- 1）x+ （2m+3 y -（m- 2）=0 恒过定点________二、抛物线过定点问题将解析式中除自变量和因变量之外的参数(设为 m 集中，形成(ax 2+bx+c ) m 的形式，根据题意可得ax 2+bx+c=0,解得定点的横坐标x o ，带入解析式求得纵 坐标y o ，函数图象一定过定点(x 0，y o )例1 •已知抛物线不论m 取何值，抛物线恒过某定点P ,则P 点的坐标为(A.( 2,- 5)B.( 2, 5)C. (- 2, 5)D.不能确定例2.兴趣小组研究二次函数化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化,两个定点，请你写出这两个定点的坐标： 练习题1. 抛物线y=kx 2+ (2k+1) x+2恒过定点，请直接写出定点坐标 _________2. 抛物线y=x 2+mx- 2m 通过一个定点，则这个定点的坐标是 ____________ 的图象发现，m 的变 但这个二次函数的图象总经过。
高中数学常用函数图像及性质
性质：恒过定点（0,1）；当 x = 0 时，y = 1 ；当a 1时，y 单调递增，当X ，（-：：,0）时，y （0,1）；当（0,：：） 时，* （1「）当0：：：a "时，y 单调递减，当x ・（-：：,0）时，y ・（1,：：）;当x ・（0「：） 时，y （1,0）.2.对数函数 y=logx （a 0且a = 1）对数运算法则： log a MN = log a M log a N log a M nlog a M (n R)log a N 二鯉N (换底公式)log b aMlog a log a M - log a NNalog a N 二N (对数恒等式)图像1.指数函数 图像：y 二 a x (a 0 且 a = 1)性质：恒过定点（1,0）;当 x =1 时，y =0 ； 当 a 1 时，y 单调递增，当 X ，（0,1）时，y （-：：,0）;当 x- （1, ：：）时,y （0, ：：）•当 0 ：：： a ：：： 1 时，y 单调递减，当 x • （0,1）时，y （0/:：）;当 x • （1,=） 时，* （」：,0）.指数函数和对数函数的关系：互为反函数3.初等函数⑴： y = x 2图像y =x 2 ：开口向上,x （-：：,0）时，y （0/::），函数单调递减；（0/::）， 时，y （0「：），函数单调递增，且是偶函数。
y = ~x 2:开口 向下，x （- ：： ,0）时，y ■ （-：：,0），函数单调递增；x （0/ ::）， a X (0 ：： a :: 1)a x(a ■ 0)时，厂（」：,0），函数单调递减。
性质：图像都是关于y轴对称⑵：y = x3图像性质：R,r R，函数是增函数，也是奇函数⑶：y = x 4图像性质：x R 且x = 0 , y R 且y=0 ;函数在x • （- ：：,0）内禾口x • （0, •：：）都是单调递减，且函数是奇函数。
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函数恒过定点问题
1.方程“0X=0”的理解：若方程的解有无穷多个，则方程的系数均为0
2.若方程mx=n有无数个解，则m=_____,n=_____
方法：解决函数恒过定点问题，最常用的方法是将函数看成方程，则这个方程有无穷个解。
方程的解有无穷多个，则方程的系数均为0，利用这一方法的思路是将原方程整理为以参数为主元的方程，然后利用系数为零求得。
一、直线过定点问题
由“y-yˊ=k（x-xˊ）”求定点把含有参数的直线方程改写成“y-yˊ=k（x-xˊ）的形式，这样就证明了它所表示的所有直线必过定点（xˊ，yˊ）
例1：已知（k+1）x-（k-1）y-2k=0为直线l的方程，求证不论k取任何实数值时，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标
例2：若实数满足2a-3b=1，求证：直线ax＋by=5必过定点
练习题
1．直线l：kx﹣y+2k+1=0必过定点________
2．直线y=mx+2m+14过定点________
3．直线kx+3y+k﹣9=0过定点________
4．设a+b=3，则直线ax+by=1恒过定点________
5．当a+b+c=0时，直线ax+by+c=0必过定点________
6．直线（m﹣1）x+y+2m+1=0过定点________
7．直线（2a﹣1）x+2ay+3=0恒过的定点是________
8．对于任意实数m．n，直线（m+n）x+12my﹣2n=0恒过定点的坐标是________ 9．若p，q满足条件3p﹣2q=1，直线px+3y+q=0必过定点________
10．直线（m﹣1）x+（2m+3）y﹣（m﹣2）=0恒过定点________
二、抛物线过定点问题
将解析式中除自变量和因变量之外的参数（设为m）集中，形成（ax2+bx+c）m 的形式，根据题意可得ax2+bx+c=0，解得定点的横坐标x
，带入解析式求得纵
坐标y
0，函数图象一定过定点(x
，y
)
例1．已知抛物线
不论m取何值，抛物线恒过某定点P，则P点的坐标为（）
A．（2，﹣5）B．（2，5）C．（﹣2，5）D．不能确定
例2.兴趣小组研究二次函数的图象发现，m 的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：
练习题
1.抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，请直接写出定点坐标________
2.抛物线y=x2+mx﹣2m通过一个定点，则这个定点的坐标是_________。