圆锥曲线的共同性质总结
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(3)当 e = 1 时, 点的轨迹是抛物线.
其中常数e叫做圆锥曲线的离心率, 定点F叫做圆锥曲线的焦点, 定直线l就是该圆锥曲线的准线.
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
y
M1
d1
P d2 M2
.
.
F1 O
F2
x
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
y
M2 d2 P
若PF/d≠1呢?
推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样一个式子：
a2 cx a (x c)2 y2
将其变形为:
你能解释这个式子的几何意义吗？
例1.已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直
线 l : x a2 的距离的比是常数 c (a>c>0),求P的
轨迹.
c
a
解:由题意可得:
p
,0)
2
范围 x 0, y R x 0, y R
对称轴 x轴
x轴
顶点坐标 原点o(0,0) 原点o(0,0)
y p
F (0,
p
2 )
2
y 0, x R
y轴
原点o(0,0)
y p 2
F(0, p ) 2
y 0, x R
y轴
原点o(0,0)
问：抛物线的标准方程有何特点？
5、 已知椭圆
x2
y2
1 上 一点P到右准线距
25 16
离为10, 求P点到左焦点的距离.
知识与思想方法回顾:
1.圆锥曲线的共同性质;
2.圆锥曲线的准线定义与方程的求解(标准形式);
3.圆锥曲线的统一定义又称第二定义，反映在数 学思想层面上是将平面上倾斜的线段转化为与坐 标轴平行的线段求解。
线 l : x a2 的距离的比是常数 c (c>a>0),求P的
轨迹.
c
a
解:由题意可得:
( x c)2 y2 c
a2 x
a
c
(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
即:(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)
令c2-a2=b2,则上式化为:
x2 a2
y2 b2
复习回顾
圆、椭圆、双曲线、抛物线为什么
统一称为圆锥曲线？
1、 椭圆的定义：
平面内到两定点 F1、F2 距离之和等于常数 2a (2a>|F1F2|）的点的轨迹
表达式 |PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|）
2 、双曲线的定义：
平面内到两定点F1、F2 距离之差的绝对值等于常数2a (2a< |F1F2| )的点的轨迹
(x c)2 y2 c
a2 x
a
c
化简得 (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
令a2-c2=b2,则上式化为:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
所以点P的轨迹是焦点为(-c,0),(c,0),长轴长、 短轴长分别为2a,2b的椭圆.
变题:已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直
法二：不求P到右焦点距离，是否可直接求P 到右准线的距离？
练一练：
1、已知椭圆短轴长是2,长轴长是短轴长的2倍,则其中心 到准线距离是
2、设双曲线的两条准线把两焦点间的线段三等分,则此双 曲线的离心率为
3、中心在原点,准线方程为 x 4,离心率为 1
x4
1 2
椭圆方程是
2
4、动点P( x, y)到定点A(3,0)的距离比它到定直线x=-5 的距离小2,则动点P的轨迹方程是
(6)x2 16 y
注:焦点与准线的求解:判断曲线的性质→确定焦 点的位置→确定a,c,p的值,得出焦点坐标与准线方 程.
例3已知双曲线 x 2 y 2 1
64 36
上一点P到左焦点的距离为14，求P点到右准线 的距离.
法一:由已知可得a=8，b=6，c=10.因|PF1|=14<2a , 所以 P为双曲线左支上一点，P到右准线的距离为d，则由双曲 线的定义可得|PF2|-|PF1|=16，所|PF2|=30，又由双曲线 第二定义可得d =24
.
F1
O
.
F2
x
M1 d1
P′
准线: x a2 c
完成课本P49
定义式:
PF1 d1
PF2 d2
e
1填空
例２.求下列曲线的焦点坐标与准线方程:
x2 y2 (1) 1
25 9 x2 y2 (3) 1 25 9
(5) y2 16 x
(2)4x2 y2 16 (4)4 y2 x2 16
1(a 0,b 0)
所以点P的轨迹是焦点为(-c,0),(c,0),实轴长、
虚轴长分别为2a,2b的双曲线.
圆锥曲线统一定义:
平面内先到一定点F 与后到一条定直线l 的距离之
比为常数 e 的点的轨迹.( 点F 不在直线l 上） (1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆. (2)当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线.
抛物线的标准方程与几何性质
标准方程 y 2 2 px( p 0) y 2 2 px( p 0) x 2 2 py( p 0) x 2 2 py( p 0
y
y
y
y
图 形
F
o Fx F o x o
x
o x
F
准线方程 焦点坐标
x p
F
(
p
2 ,0)
2
x p
F
2
(
表达式||PF1|-|PF2||=2a (2a<|F1F2|)
3、抛物线的定义：
平面内到定点F的距离和到定直线的距离相等的点的 轨迹 表达式|PF|=d (d为动点到定直线距离）
探究与思考:
平面内动点P到一个定点F的距离PF和到一条定直线l
(F不在l上)的距离d相等时,动点P的轨迹为抛物线,此时
PF/d=1.
1、方程的左边为二次式，右边为一次式 2、焦点在X轴上，关于X的就是一次式，关于Y 的就是二次式。
3、焦点在Y轴上，关于Y的就是一次式，关于X 的就是二次式。 问：如何判断抛物线的焦点位置？
（1）先看”一次式”是关于X,还是关于Y的 （2）再看”一次式”前面的系数，如果是正的，焦 点就 在正半轴上，如果是负的，焦点就在负半轴上.
你能借助第二定义推导圆锥曲线的焦半径公式吗？
其中常数e叫做圆锥曲线的离心率, 定点F叫做圆锥曲线的焦点, 定直线l就是该圆锥曲线的准线.
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
y
M1
d1
P d2 M2
.
.
F1 O
F2
x
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
y
M2 d2 P
若PF/d≠1呢?
推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样一个式子：
a2 cx a (x c)2 y2
将其变形为:
你能解释这个式子的几何意义吗？
例1.已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直
线 l : x a2 的距离的比是常数 c (a>c>0),求P的
轨迹.
c
a
解:由题意可得:
p
,0)
2
范围 x 0, y R x 0, y R
对称轴 x轴
x轴
顶点坐标 原点o(0,0) 原点o(0,0)
y p
F (0,
p
2 )
2
y 0, x R
y轴
原点o(0,0)
y p 2
F(0, p ) 2
y 0, x R
y轴
原点o(0,0)
问：抛物线的标准方程有何特点？
5、 已知椭圆
x2
y2
1 上 一点P到右准线距
25 16
离为10, 求P点到左焦点的距离.
知识与思想方法回顾:
1.圆锥曲线的共同性质;
2.圆锥曲线的准线定义与方程的求解(标准形式);
3.圆锥曲线的统一定义又称第二定义，反映在数 学思想层面上是将平面上倾斜的线段转化为与坐 标轴平行的线段求解。
线 l : x a2 的距离的比是常数 c (c>a>0),求P的
轨迹.
c
a
解:由题意可得:
( x c)2 y2 c
a2 x
a
c
(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
即:(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)
令c2-a2=b2,则上式化为:
x2 a2
y2 b2
复习回顾
圆、椭圆、双曲线、抛物线为什么
统一称为圆锥曲线？
1、 椭圆的定义：
平面内到两定点 F1、F2 距离之和等于常数 2a (2a>|F1F2|）的点的轨迹
表达式 |PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|）
2 、双曲线的定义：
平面内到两定点F1、F2 距离之差的绝对值等于常数2a (2a< |F1F2| )的点的轨迹
(x c)2 y2 c
a2 x
a
c
化简得 (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
令a2-c2=b2,则上式化为:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
所以点P的轨迹是焦点为(-c,0),(c,0),长轴长、 短轴长分别为2a,2b的椭圆.
变题:已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直
法二：不求P到右焦点距离，是否可直接求P 到右准线的距离？
练一练：
1、已知椭圆短轴长是2,长轴长是短轴长的2倍,则其中心 到准线距离是
2、设双曲线的两条准线把两焦点间的线段三等分,则此双 曲线的离心率为
3、中心在原点,准线方程为 x 4,离心率为 1
x4
1 2
椭圆方程是
2
4、动点P( x, y)到定点A(3,0)的距离比它到定直线x=-5 的距离小2,则动点P的轨迹方程是
(6)x2 16 y
注:焦点与准线的求解:判断曲线的性质→确定焦 点的位置→确定a,c,p的值,得出焦点坐标与准线方 程.
例3已知双曲线 x 2 y 2 1
64 36
上一点P到左焦点的距离为14，求P点到右准线 的距离.
法一:由已知可得a=8，b=6，c=10.因|PF1|=14<2a , 所以 P为双曲线左支上一点，P到右准线的距离为d，则由双曲 线的定义可得|PF2|-|PF1|=16，所|PF2|=30，又由双曲线 第二定义可得d =24
.
F1
O
.
F2
x
M1 d1
P′
准线: x a2 c
完成课本P49
定义式:
PF1 d1
PF2 d2
e
1填空
例２.求下列曲线的焦点坐标与准线方程:
x2 y2 (1) 1
25 9 x2 y2 (3) 1 25 9
(5) y2 16 x
(2)4x2 y2 16 (4)4 y2 x2 16
1(a 0,b 0)
所以点P的轨迹是焦点为(-c,0),(c,0),实轴长、
虚轴长分别为2a,2b的双曲线.
圆锥曲线统一定义:
平面内先到一定点F 与后到一条定直线l 的距离之
比为常数 e 的点的轨迹.( 点F 不在直线l 上） (1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆. (2)当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线.
抛物线的标准方程与几何性质
标准方程 y 2 2 px( p 0) y 2 2 px( p 0) x 2 2 py( p 0) x 2 2 py( p 0
y
y
y
y
图 形
F
o Fx F o x o
x
o x
F
准线方程 焦点坐标
x p
F
(
p
2 ,0)
2
x p
F
2
(
表达式||PF1|-|PF2||=2a (2a<|F1F2|)
3、抛物线的定义：
平面内到定点F的距离和到定直线的距离相等的点的 轨迹 表达式|PF|=d (d为动点到定直线距离）
探究与思考:
平面内动点P到一个定点F的距离PF和到一条定直线l
(F不在l上)的距离d相等时,动点P的轨迹为抛物线,此时
PF/d=1.
1、方程的左边为二次式，右边为一次式 2、焦点在X轴上，关于X的就是一次式，关于Y 的就是二次式。
3、焦点在Y轴上，关于Y的就是一次式，关于X 的就是二次式。 问：如何判断抛物线的焦点位置？
（1）先看”一次式”是关于X,还是关于Y的 （2）再看”一次式”前面的系数，如果是正的，焦 点就 在正半轴上，如果是负的，焦点就在负半轴上.
你能借助第二定义推导圆锥曲线的焦半径公式吗？