高等数学第三章知识要点

但在(, 0)内, y 0, 曲线在(, 0]上是凹的;
在(0, )内, y 0, 曲线在[0, )上是凸的.
点(0, 0)是曲线 y 3 x的拐点.
注意: 若 f ( x0 ) 不存在, 点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能
是连续曲线 y f ( x) 的拐点.
三. 函数的极值及其求法
1 x f ( x)在[0, )上连续, 且(0, )可导，f ( x) 0,
在[0, )上单调增加； f (0) 0,
当x 0时，x ln(1 x) 0, 即 x ln(1 x).
二. 曲线的凹凸与拐点
y
y f (x) B
凹
A
oa
bx
f ( x) 递增 y 0
y f (x)
2 3
(23 ,)
f ( x)
0
0
f ( x) 凹的 拐点 凸的 拐点 凹的
( 1 3 ,102 81)
( 2 3 ,129 81)
凹凸区间为 (, 1 3], [ 1 3 , 2 3], [2 3 , ).
例 求曲线 y 3 x 的拐点.
解
y
1
2
x 3,
y
2
x
5 3
,
3
9
x 0是不可导点, y, y均不存在.
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
y
y f (x)
a o x1
x2 x3
x4
b x5 x6
x
极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值,极小值可能大于极大值.
定理(必要条件) 设 f ( x)在点 x0 处具有导数,且 在 x0处取得极值,那末必定 f '( x0 ) 0.
定义 设函数f ( x)在区间(a,b)内有定义, x0是 (a , b)内 的 一 个 点,
如果存在着点x0的一个邻域,对于这邻域内的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极大值;
如果存在着点x0的一个邻域,对于这邻域内的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.
求极值的步骤:
(1) 求导数 f ( x); (2) 求驻点，即方程 f ( x) 0 的根; 以及不可导点； (3) 检查 f ( x) 在驻点左右的正负号或 f ( x) 在 该点的符号, 判断极值点; (4) 求极值.
例 求出函数 f ( x) x3 3x2 9x 5 的极值. 解 f ( x) 3x2 6x 9 3( x 1)(x 3) 令 f ( x) 0， 得驻点 x1 1, x2 3. 列表讨论
定理(第一充分条件)
(1)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 ),
有 f '( x) 0，则 f ( x)在 x0处取得极大值.
(2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 )
第三章知识要点
2013-06-20
一. 函数单调性的判定法
定理 设函数y f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内 可导. 10如果在(a, b)内f ( x) 0，那末函数y f ( x)在 [a, b]上单调增加； 20 如果在(a, b)内f ( x) 0，那末函数y f ( x)在 [a, b]上单调减少.
在_(____,_1_]_,[_1_,___)_上单调减少.
2 2x2 2(1 x2 )
y'
(1 x2 )2 (1 x2 )2
例 当x 0时, 试证x ln(1 x)成立. 分析:设 f ( x) x ln(1 x), 则只须证f ( x) 0( x 0).
通过观察发现, f (0) 0. 即证f ( x) f (0)( x 0). 故只须证明f ( x)在[0, )上单调增. 证 设 f ( x) x ln(1 x), 则 f ( x) x .
曲线的拐点及其求法
1、定义 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点. 2、拐点的求法 (1). 求f ''( x); (2). 解出f ''( x)=0在区间内的所有实根;
(3). 对于(2)中解出的每一个实根,判断其左,右两 侧f ''( x)的符号. 当f ''( x)在根的两侧符号相反时, 此点是拐点; 当f ''( x)在根的两侧符号相同时, 此点不是拐点;
注意单调区间的表示方法!
课堂练习:
1. 函数 y 2x 3 6x 2 18x 7 单调区间为________ y' 6x2 12x 18 6( x 1)( x 3) (,1],[3,) 单调增加,
[1,3]
单调减少；
2.
函数
y
2x 1 x2
在区间[-1,1]上单调__增__加____，
y
B
凸
A
o
a
bx
f ( x) 递减 y 0
推论 如果 f ( x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b) 内具有
一阶和二阶导数,若在 (a,b)内 (1) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a,b] 上的图形是凹的; (2) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a,b] 上的图形是凸的.
例 求曲线 y 3x4 6x3 4x2 1的拐点及
凹、凸的区间.
解 D : (, ) y 12x3 18x2 8x,
y 36x2 36x 8 4(9x2 9x 2) 4(3x 1)(3x 2)
令y 0,
得
x1
1 3
,
x2
2 3
.
x
(, 13)
1 3
ຫໍສະໝຸດ Baidu
(
1 3
,
2
3)
有 f '( x) 0，则 f ( x)在 x0处取得极小值.
(3)如果当 x ( x0 , x0 )及 x ( x0 , x0 )时, f '( x)符
号相同,则 f ( x)在 x0处无极值.
定理(第二充分条件) 设 f ( x)在 x0处具有二阶导数, 且 f '( x0 ) 0, f ''( x0 ) 0, 那末 (1)当 f ''( x0 ) 0时, 函数 f ( x)在 x0处取得极大值; (2)当 f ''( x0 ) 0时, 函数 f ( x)在 x0处取得极小值.