高等数学第三章知识要点
高等数学 第三章
例 4 求函数 f (x) 2x3 3x2 12x 在区间[3 ，4] 上的最大值和最小值． 解 因为函数 f (x) 2x3 3x2 12x 在区间 [3，4] 上连续，所以在该区间上一定存在最大值和 最小 值． 该函数的导数为 f (x) 6x2 6x 12 6(x 2)(x 1) ，令 f (x) 0 ，得驻点 x1 2 ， x2 1 ． 因为 f (2) 20， f (1) 7 ， f (3) 9， f (4) 128 ，
arcsin x arccos x π ． 2
（二）柯西中值定理
定理1（拉格朗日中值定理） 如果函数 f(x)和F(x)满足条件：
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间(a,b)内可导；
（3）对任一x属于(a,b)，F,(x)≠0
那么，在开区间（a,b）内至少存在一点ξ，使得
f (b) f (a) f (ξ ) F (b) F (a) F (ξ )
第四节
曲率
一、曲率的概念与曲率的计算公式
（一）曲率的概念
如图 3-11 所示设 A ，B 是光滑曲线 L 上的两点，弧段 AB 的长度为 | s | ，曲线 L 在 A 点处的 切线倾斜角为 .
记 K ，称 K 为弧段 AB 的平均曲率． s
记 K lim ，称 K 为曲线 L 在点 A 处的曲率． s0 s
定理1 设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和 二阶导数，那么
（1）若在(a,b)内f,,(x)＞0，则曲线y=f(x)在(a,b)内是凹的； （2）若在(a,b)内f,,(x)＜0，则曲线y=f(x)在(a,b)内是凸的．
例 5 判定曲线 y ln x 的凹凸性． 解 函数 y ln x 的定义域为 (0 ， ) ，其导数为
高考数学第三章知识点总结
高考数学第三章知识点总结第一节直线和方程1. 直线的方程直线的方程有两种常见的表示方法：一般式和斜截式。
一般式是Ax+By+C=0，斜截式是y=kx＋b。
2. 直线的性质直线有斜率和倾斜角的概念，斜率是直线的倾斜程度，倾斜角是与x轴的夹角。
3. 直线与坐标轴的交点直线与x轴的交点是y=0处的x坐标，与y轴的交点是x=0处的y坐标。
第二节函数及其性质1. 函数的概念函数是自变量和因变量之间的对应关系，表示为y=f(x)。
2. 函数的性质函数有定义域、值域、单调性、奇偶性等性质。
3. 基本初等函数的性质基本初等函数包括常函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数和三角函数等。
4. 函数的图像和性质函数的图像可以通过函数的定义域、值域、单调性、极值、奇偶性等来描述。
第三节数列和级数1. 数列的概念数列是按照一定规律排列的数字序列，可以是等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
2. 数列的通项公式数列的通项公式可以用来表示数列的任意一项的通用表达式。
3. 级数的概念级数是数列的和的概念，可以是等差级数、等比级数等。
4. 级数的性质级数有收敛和发散的性质，可以通过极限的概念来分析级数的和是否存在。
第四节不等式与不等式组1. 不等式的性质不等式有加法、减法、乘法、除法以及取对数、指数等运算的性质。
2. 一元一次不等式一元一次不等式可以用图像法或者代数法来解决。
3. 一元二次不等式一元二次不等式可以通过解二次方程的方法来求解。
4. 不等式组不等式组是由多个不等式组成的方程组，可以用图像法、代数法来解决。
结尾总结高考数学第三章主要涉及直线和方程、函数及其性质、数列和级数、不等式与不等式组等知识点。
这些知识点在解决各种数学问题时起着至关重要的作用，掌握这些知识对于高考数学的学习至关重要。
希望同学们能够通过系统的学习和练习，掌握这些知识，为高考取得优异成绩打下坚实的基础。
数三知识点及解题思路总结
数三知识点及解题思路总结一、函数、极限、连续（3题）1. 求极限：lim_x to 0(sin x - x)/(x^3)知识点：等价无穷小替换、洛必达法则。
解题思路：- 当x to 0时，sin x与x是等价无穷小，但是直接替换后分子为0，不能得到结果。
- 所以，我们使用洛必达法则。
对分子分母分别求导，分子求导为cos x - 1，分母求导为3x^2，此时得到lim_x to 0(cos x - 1)/(3x^2)。
- 又因为当x to 0时，cos x - 1sim-(1)/(2)x^2，将其替换可得：lim_x to 0(-frac{1)/(2)x^2}{3x^2}=-(1)/(6)。
2. 设函数f(x)=<=ft{begin{array}{ll} (sin ax)/(x), x ≠ 0 1, x = 0end{array}right.在x = 0处连续，求a的值。
知识点：函数连续的定义。
解题思路：- 根据函数在某点连续的定义，lim_x to 0f(x)=f(0)。
- 计算lim_x to 0f(x)=lim_x to 0(sin ax)/(x)，当x to 0时，令t = ax，则x=(t)/(a)，当x to 0时，t to 0。
- 所以lim_x to 0(sin ax)/(x)=lim_t to 0(sin t)/(frac{t){a}} = alim_t to 0(sin t)/(t)=a。
- 因为f(0) = 1，由函数连续可知a = 1。
3. 求函数y=frac{x^2-1}{x^2-3x + 2}的间断点并判断类型。
知识点：间断点的定义与类型判断。
解题思路：- 函数的分母不能为0，令x^2-3x + 2=0，即(x - 1)(x - 2)=0，解得x = 1或x = 2，所以函数的间断点为x = 1和x = 2。
- 对于x = 1，lim_x to 1frac{x^2-1}{x^2-3x + 2}=lim_x to 1((x + 1)(x - 1))/((x - 1)(x - 2))=lim_x to 1(x + 1)/(x - 2)=-2，极限存在，所以x = 1是可去间断点。
高等数学第三章
10 ( x 1 ) 3x
1 3
.
令
y 0 ，得 x 1 .
当 x 0 时， y 不存在 .
0
( 0 , 1)
x y
y
( , 0)
1
0
(1 , )
↗
↘
↗
( , 0 ] 、 [1 , ) [ 0 , 1]
是函数的单调增加区间； 是函数的单调减少区间 .
f ( 2 ) f ( 1 ) f ( ) [ 2 ( 1 ) ]
2 3 ( 1 )3 3 2 3 , 2 1
1 ( 1 , 2),
1（舍去）
练习：
下列函数中在给定区间上满足拉格朗日定理条件的是（ C ） A . f ( x)
所以
y x3 x 1
在其定义域上单调增加.
y
注 有些可导函数虽在 其定义区间上可导，但却不 是单调的，而在其各个部分 区间上就具有单调性 .
y x2
. o
x
增减区间 的可能分 界点
函数 f (x) 单调增加与单调减少区间的分界点 具有什么性质？
y
f ( x 0 ) 0
y
f ( x ) 0
0
y
↘
↘；
↗
↗
↗.
↗
( , 1]
[ 1 , 0), ( 0 , )
例5：求 y ( 2 x 5 ) x 的单调区间 . 解：定义域 ( , ) .
3 2
例5
y
5 ( 2 x3
2 5 x3
高数三的知识点总结
高数三的知识点总结1. 多元函数的导数与偏导数多元函数的导数是指一个多元函数在某一点处对某个自变量的变化率。
对于一个n元函数，其导数是一个n维的行矢量。
偏导数是指多元函数在某一点处对某个自变量的变化率，但是其他自变量保持不变。
偏导数的计算方法和一元函数的导数一样。
2. 多元函数的微分多元函数的微分是用矩阵表示的，多元函数的微分与导数的关系是微分是导数在自变量的增量上的线性逼近。
微分是对于函数的局部线性化近似。
3. 隐函数与参数方程隐函数是指多元函数中存在的关系式，一般是用两个变量表示的函数。
参数方程是指用参数表示的函数关系，参数方程可以将曲线或曲面参数化。
4. 向量的导数与微分向量的导数是指向量值函数的导数，微分是对于向量值函数的局部线性化近似。
5. 多元函数的极值多元函数的极值是指在某一点附近的一阶、二阶导数条件下函数取得的最值点。
求多元函数的极值需要利用偏导数与二阶导数的判定方法。
6. 凹凸性与拐点凹凸性是函数在某一点附近二阶导数的正负决定的，凹凸性是判断函数的局部极值的一个重要条件。
拐点是函数在某一点处凹凸性的改变点，是函数的凹凸性改变的标志。
7. Lagrange 乘子法Lagrange 乘子法是求多元函数在给定条件下的极值的方法，通过引入拉格朗日乘子，将带条件的极值问题转换为不带条件的极值问题。
8. 重积分及其应用重积分是对多元函数在给定区域上的积分，重积分在物理、工程、经济等领域有着广泛的应用。
9. 曲线积分与曲面积分曲线积分是对向量场沿曲线的积分，曲面积分是对向量场或标量场在曲面上的积分。
曲线积分与曲面积分是研究力场、电场、磁场等科学问题中的重要工具。
以上是高等数学三的知识点总结，希望对您有所帮助。
高等数学基础第三章
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3.1函数的概念—可导与连续的关系
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3.2函数的求导法则— 函数和、差、积、商的求导法则
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3.2函数的求导法则—复合函数的求导法则
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3.2函数的求导法则—反函数的求导法则
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3.2函数的求导法则—初等函数的求导公式
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3.2函数的求导法则—初等函数的求导公式
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3.3隐函数及参数方程所确定的函数求导法的函数求导法— 取对数求导法
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3.3隐函数及参数方程所确定的函数求导法— 由参数方程所确定的函数求导法
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3.4 高阶导数
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3.5 函数的微分--微分的概念
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3.5 函数的微分--微分的概念
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3.5 函数的微分--微分的运算法则
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3.5 函数的微分--微分的运算法则
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3.5 函数的微分--微分在近似计算中的应用
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第三章
主讲:
导数与微分
导数与微分
导数的概念
函数的求导法则
隐函数及参数方程所确定的函数求
导法 高阶导数 函数的微分
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3.1函数的概念
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3.1函数的概念
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3.1函数的概念
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3.1函数的概念
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3.1函数的概念--求导举例
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3.1函数的概念—导数的几何意义
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3.1函数的概念—可导与连续的关系
高等数学第三章知识要点
如果存在着点x0的一个邻域,对于这邻域内的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极大值;
如果存在着点x0的一个邻域,对于这邻域内的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.
2) 求驻点
令 f ( x) 0 , 得驻点 x1 1, x2 0 , x3 1 3) 判别
因 f (0) 6 0 , 故
为极小值 ;
又 f (1) f (1) 0 , 故需用第一判别法判别.
y
1 O 1 x
四、函数的最大、最小值
1、最值的求法
若函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续，则 f ( x) 在 [a, b]上的
定理(第一充分条件)
(1)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 ),
有 f '( x) 0，则 f ( x)在 x0处取得极大值.
(2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 )
但在(, 0)内, y 0, 曲线在(, 0]上是凹的;
在(0, )内, y 0, 曲线在[0, )上是凸的.
点(0, 0)是曲线 y 3 x的拐点.
注意: 若 f ( x0 ) 不存在, 点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能
是连续曲线 y f ( x) 的拐点.
三. 函数的极值及其求法
最大值与最小值存在 .
如果函数除个别点外处处可导,并且至多有有限个
高一数学第3章知识点总结
高一数学第3章知识点总结第3章：二次函数与一元二次方程一、二次函数的基本概念二次函数是指形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
其中，a为二次项的系数，b为一次项的系数，c为常数项。
二、二次函数的图像特征1. 抛物线方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 对称轴方程：二次函数的对称轴方程为x = -b/2a。
3. 零点：二次函数的零点即为方程f(x) = 0的解，即求解ax² + bx + c = 0的根。
4. 最值点：当a>0时，二次函数的最小值点为顶点；当a<0时，二次函数的最大值点为顶点。
5. 顶点坐标：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
三、二次函数的图像探究1. 整体平移：将f(x) = ax² + bx + c的图像平移h个单位水平方向和k个单位垂直方向，得到新函数g(x) = a(x-h)² + k。
2. 纵向压缩和纵向拉伸：将f(x) = ax² + bx + c的图像在x轴方向压缩或拉伸，得到新函数g(x) = a(x-h)² + k。
3. 翻折变换：将f(x) = ax² + bx + c的图像关于x轴翻折，得到新函数g(x) = -ax² + bx + c；关于y轴翻折，得到新函数g(x) = ax²- bx + c。
四、一元二次方程一元二次方程是指形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c 为已知实数，且a≠0。
1. 二次方程的求解方法（1）因式分解法：当二次方程可以因式分解为(x - p)(x - q) = 0时，方程的解为x = p或x = q。
（2）配方法：对于一般形式的二次方程ax² + bx + c = 0，可以通过配方法将其化简为(a1x + b1)² + d1 = 0的形式，然后求解。
《高等数学》 第三章
1
1
2
(b
a)
，所以
arctan b arctan a
1
12
(b a)
„baBiblioteka ．第一节 微分中值定理例 3 证明 arctan x arccot x π ． 2
证明 令 f (x) arctan x arccot x ，则 f (x) 在 R 上可导，且 xR 有
x
第一节 微分中值定理
例 4 如 果 f (x) 在 [a ，b] 上 连 续 ， 在 (a ，b) 内 可 导 ， 并 且
f (a) f (b) 0 ．证明，至少存在一点 (a ，b) ，使得 f () f () ．
证明 令 F (x) f (x)ex ，由已知，不难验证 （1） F(x) 在闭区间[a ，b] 上连续；（2） F(x) 在开区间 (a ，b) 内可导． 又因为 f (a) f (b) 0 ，所以 F(a) F(b) 0 ．因此， F(x) 在 [a ，b] 满足
f (b) f (a) f ( ) ． g(b) g(a) g( )
第二节 洛必达法则
在讲述极限运算法则的时候，经常会遇到类似下面的问题：
（1） lim x2 1 ； x1 x 1
（2） lim x ． x 1 x2
第一节 微分中值定理
二、拉格朗日（Lagrange）中值定理
定理 2 （拉格朗日中值定理）如果函数 f (x) 满足： （1） f (x) 在闭区间[a ，b] 上连续； （2） f (x) 在开区间 (a ，b) 内可导． 则在 (a ，b) 内至少存在一点 ，使
f ( ) f (b) f (a) ．
高中数学必修一第三章知识点总结
高中数学必修一第三章知识点总结第三章：函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的定义：对于函数y=f(x) (x∈D)，使得f(x)=0成立的实数x被称为函数y=f(x) (x∈D)的零点。
2、函数零点的意义：函数y=f(x)的零点是方程f(x)=0的实数根，即函数y=f(x)的图像与x轴相交的横坐标。
即：方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点。
3、函数零点的求法：1）代数法：求解方程f(x)=0的实数根；2）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。
4、基本初等函数的零点：①正比例函数y=kx (k≠0)只有一个零点；②反比例函数y=k/x (k≠0)没有零点；③一次函数y=kx+b (k≠0)只有一个零点；④二次函数y=ax²+bx+c (a≠0)。
1）△>0，方程ax²+bx+c=0有两个不等实根，二次函数的图像与x轴有两个交点，二次函数有两个零点。
2）△=0，方程ax²+bx+c=0有两个相等实根，二次函数的图像与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点。
3）△<0，方程ax²+bx+c=0无实根，二次函数的图像与x轴无交点，二次函数无零点。
⑤指数函数y=a^x (a>0，且a≠1)没有零点。
⑥对数函数y=logₐx (a>0，且a≠1)仅有一个零点1.⑦幂函数y=x^n，当n>0时，仅有一个零点，当n≤0时，没有零点。
5、非基本初等函数的零点：对于较为复杂的函数f(x)，可以先将其转化为αx²+y₁y₂，再将其拆分成两个我们常见的函数y₁,y₂（基本初等函数），这两个函数图像的交点个数就是函数f(x)的零点个数。
6、判断区间是否含有零点：只需满足f(a)f(b)<0.7、确定零点在某区间的个数的唯一条件是：①函数f(x)在区间上连续，且f(a)f(b)<0；②函数f(x)在区间(a,b)上单调。
高一数学第三章知识点
第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。
即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．3、函数零点的求法：○1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．4、二次函数的零点：二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．（1）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．5.函数的模型集合与函数练习卷班级 姓名 得分一、选择题（每小题4分，共32分）1、图中阴影部分表示的集合是 ( )A. B C A UB. B A C UC. )(B A C UD. )(B A C U2、下列各组中的两个集合M 和N ，表示同一集合的是 （ ）A.{}M π=, {3.14159}N = B. {2,3}M =, {(2,3)}N = C. {|11,}M x x x N =-<≤∈, {1}N =D. {1}M π=, {,1,|N π=3、已知集合A={x x ≤2，R x ∈}，B={x x ≥a}，且B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）a ≥－２ （B ）a ≤－２ （C ）a ≥２ （D ）a ≤２4、设全集{}+∈≤=N x x x U ,8|，若{}8,1)(=B C A U ，{}6,2)(=B A C U ， {}7,4)()(=B C A C U U ，则 （ ）（A ）{}{}6,2,8,1==B A （B ）{}{}6,5,3,2,8,5,3,1==B A（C ）{}{}6,5,3,2,8,1==B A （D ）{}{}6,5,2,8,3,1==B A5、设P=}|),{(},|{22x y y x Q x y x ===，则P 、Q 的关系是 （ ）（A ）P ⊆Q （B ）P ⊇Q （C ）P=Q （D ）P ⋂Q=∅6、下列四组函数，表示同一函数的是 （ ）（A ）f (x )＝2x , g (x )＝x （B ） f (x )＝x , g (x )＝x x 2（C ）f (x )＝42-x , g (x )＝22-⋅+x x （D ）f (x )＝|x ＋1|, g (x )＝⎩⎨⎧-<---≥+1111x x x x 7、函数x xx y +=的图象是图中的 （ ）8、某部队练习发射炮弹，炮弹的高度h 与时间t 的函数关系式是()24.914.718h t t t =-++，则炮弹在发射几秒后最高呢？ （ ）A. 1.3秒B. 1.4秒C. 1.5秒 D 1.6秒二、填空题（每小题4分,共16分）9、已知集合{},,,A a b c =，则集合A 的非空真子集的个数是10、已知集合M={0，1，2}，N={M a a x x ∈=,2}，则集合N M = ，N M = 。
高数大一知识点第三章
高数大一知识点第三章第三章是高等数学课程中的重要一章，主要讨论的内容是函数的极限和连续性。
这两个概念是数学分析的基础，对于理解高数课程后续的内容和应用具有重要意义。
1. 函数的极限在第三章中，我们首先学习了函数的极限概念。
函数的极限可以用于描述函数在某一点的“趋势”或者“接近程度”。
通过函数值的无限接近某一特定值，可以得出函数的极限。
在文中我们学习了极限的定义、性质以及如何求解。
首先要掌握的是数列的极限。
数列可以看作是函数在自然数域上的特殊情况，因此掌握了数列的极限求解方法，对后续函数的极限求解有很大帮助。
我们学习了数列极限的夹逼定理、单调有界数列的极限定理以及常见数列的极限求解方法。
接着，我们进一步将极限的概念拓展到函数上。
学习了函数无穷远处的极限，以及两个重要的一致收敛定理：柯西收敛原理和黎曼-斯蒂尔杰斯定理。
这两个定理对于证明函数极限的存在性以及计算极限具有重要意义。
2. 连续性第三章的另一个重要内容是函数的连续性。
连续性是函数的一个重要特征，它决定了函数在给定区间上的行为。
在文中，我们学习了函数的连续性概念以及一些重要的连续性判定定理。
首先，我们需要了解什么是函数的连续性。
一个函数在某一点上连续，意味着函数在该点的函数值与极限值相等。
在连续性的学习中，我们学习了间断点的分类，如可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点等等。
学会了如何求解函数的间断点，对于函数在某一区间上的连续性分析具有重要意义。
在掌握了连续性的基本概念以后，我们进一步学习了连续函数的性质和判定定理。
例如，我们学习了闭区间上的连续函数有最大值和最小值，以及介值定理和零点定理等等。
这些定理能够帮助我们分析函数在给定区间上的行为，解决实际问题。
3. 数学建模与应用第三章的最后一个部分是数学建模与应用。
高等数学作为一门应用数学课程，强调将数学理论应用于实际问题的能力。
在第三章中，我们学习了如何利用函数的极限和连续性解决实际问题。
例如，我们可以利用函数的极限求解问题中的最优解、极值点和最大值最小值等。
大一上学期《高等数学》知识整理-第三章 微分中值定理与导数的应用
大一上学期《高等数学》知识整理-第三章微分中值定理与导数的应用一、微分中值定理1.费马引理：若函数在区间内某一点取得极值且在该点可微，则f'(x)=0。
2.罗尔定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可微，且f(a)=f(b)，则至少可以找到一点ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。
3.拉格朗日中值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可微，则至少存在一点ξ∈(a,b)使得f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。
4.拉格朗日中值定理的其他表示形式：①f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a),ξ∈(a,b)；②f(b)-f(a)=f'[a+θ(b-a)](b-a),0<θ<1；③f(x+Δx)-f(x)-f'(x)=f'(x+θΔx)Δx,0<θ<1。
其中③式也称为有限增量公式。
5.柯西中值定理：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上都是连续的，在开区间(a,b)内可微，且对任意x∈(a,b)，g'(x)≠0，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得：[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(ξ)/g'(ξ),(a<ξ<b)6.以上三个定理之间的关系：罗尔定理推广得到拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理推广得到柯西中值定理。
反之，在柯西中值定理中，令g(x)=x即得拉格朗日中值定理；在拉格朗日中值定理中，令f(a)=f(b)即得罗尔定理。
7.对这系列定理的简单解释：这些定理其实都很好意会。
所谓极值，就是指函数增加（或减少）到了一定程度之后又开始减少（或增加），中间肯定有一个增加到最大或减小到最小的地方，这个地方对应的函数值就是极值，对应的自变量就是极值点。
注意极值点是函数取到极值时的自变量的值，是一个数。
在此基础上，费马引理很好解释。
高等数学第三章
高等数学第三章第三章导数与微分一、本章摘要1.基本概念瞬时速度，切线，导数，变化率，加速度，高阶导数，线性主成分，微分。
2基本公式基本导数表，求导法则，微分公式，微分法则，微分近似公式．3.基本方法（1）利用导数的定义计算导数；⑵利用导数公式与求导法则求导数；⑶利用复合函数求导法则求导数；⑷隐含数微分法；⑸参数方程微分法；⑹对数求导法；（7）使用微分算法计算微分或导数二、要点解析问题1讨论了瞬时速度导数的实际意义，并列出了一些常见的变化率解析对于作变速直线运动的质点，若位移变量s与时间变量t之间的函数关系为sS（T），当T从T变为T？？T、间隔时间？以t为单位的平均速度为s(t??t)?s(t)，此式只反T反映了T点附近速度变化的速度，也就是说，时间T处速度的近似替代。
为了使其转换为精确值，我们必须？T也就是说，时间t的瞬时速度是V（t）？lims（t？？t）？S（T），即瞬时速度反射函数t0tss(t)在t时刻函数的变化率（导数），所以导数的实际意义表示函数在此点变化的快慢程度常见的变化率：（1） y曲线？F（x）切斜率的意义；dy是纵坐标y对横坐标x的变化率，这是导数的几何dxdq是电荷q对时间t的变化率；dtdm⑶线密度是质量m对长度l的变化率；Dldq（4）比热容是热Q与温度之比θ的变化率，dθ⑵电流强度以及出生率、经济增长率、化学反应率等等问题2讨论函数的可导性及如何求函数的导数？分析1我们知道函数的连续性只是可微性的一个必要条件。
函数f（x）在点x0处可微的充要条件是左导数f′？（x0）和右导数f′？（x0）存在且相等，即f'(x0)?f'?(x0)?f'?(x0)一因此，要判定一个函数在某点是否可导，可先检查函数在该点是否连续，如果不连续，就一定不可导，如果连续，再用下面两种方法判定：（1）直接使用的定义；⑵求左、右导数看其是否存在而且相等．当然，您也可以直接使用两种方法，而无需先检查连续性，但对于不连续函数，请先检查连续性往比较方便．2.科学、技术和工程中遇到的大多数功能都是基本功能。
高等数学第三、四章 核心知识点
()()()0000'lim x x f x f x f x x x ++→-=-()()()0000lim x xf x f x f x x x --→-'=-第三章 导数知识及常用公式一、 导数 1.导数的概念()()()()()()()0000000000'lim lim =limx h x x f x x f x f x h f x f x f x f x x h x x ∆→→→+∆-+--===∆- 2.单侧导数 （1）左导 （2）右导()()()''000'f x f x f x -+，存在且相等则存在3.基本初等函数的导数公式（课本99页），必须熟练记忆！！！4高阶导公式： 高频：（1）()()n x x e e = (2)()()!n n x n =低频： (3)()()sin sin 2n x x n π⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭(4)()()cos cos 2n x x n π⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭5.函数可导性与连续性的关系：可导一定连续，连续不一定可导，不连续一定不可导. 6.导数的几何意义（1）曲线切线斜率0'()k f x =，切线方程：()()000y y f x x x '-=-； （2）切线与法线相互垂直（ =1k k -切法） 二、求导法则 1.导数四则运算：（1）()u v u v '''±=± （2）()uv u v uv ''=+'（3）()(C )u x u x C C ''=⎡⎤⎣⎦，为常数 （4）2,()u u v uv v o v v '''⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭- 2.复合函数求导法则:()()=dy dy duy f u x u x dx du dx'''==⎡⎤⎣⎦ 解题方法：从外到内逐级求导，所有项相乘. 3.反函数求导：()()1y f x ϕ'=' 口诀： ()1'='反（原）4.隐函数求导：方程两边同时求导，只要对y 求过导就在后面乘以'y 5.参数方程的导数：()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩一阶导数：()()t dy dx t ϕψ'='；二阶导数： 22()1=()()d y d t dx dt t t ϕψϕ'⎛⎫⋅ ⎪''⎝⎭. 6.对数求导法：等号两边取自然对数，隐函数求导法求导 三、微分()'dy f x dx =口诀：d 谁就对谁求导，再乘以dx .连续第四章 导数及微分的应用知识及常用公式一、 中值定理二、边际函数（1） 边际成本：总成本的导数； （2） 边际收益：总收益的导数； （3） 边际利润：总利润的导数. 三、导数的应用 1.函数单调性的判定法()'0f x ⇒＞ ()f x 单调递增； ()'0f x ⇒＜ ()f x 单调递减.2.极值：（1） 确定()f x 的定义域；（2） 令()'0f x =求出驻点及导数无意义的点； （3） 极值点：0x x =；极值：()0f x .注：一上一下中间为极大值，一下一上中间为极小值。
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定理(第一充分条件)
(1)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 ),
有 f '( x) 0，则 f ( x)在 x0处取得极大值.
(2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 )
在_(____,_1_]_,[_1_,___)_上单调减少.
2 2x2 2(1 x2 )
y'
(1 x2 )2 (1 x2 )2
例 当x 0时, 试证x ln(1 x)成立. 分析:设 f ( x) x ln(1 x), 则只须证f ( x) 0( x 0).
通过观察发现, f (0) 0. 即证f ( x) f (0)( x 0). 故只须证明f ( x)在[0, )上单调增. 证 设 f ( x) x ln(1 x), 则 f ( x) x .
求极值的步骤:
(1) 求导数 f ( x); (2) 求驻点，即方程 f ( x) 0 的根; 以及不可导点； (3) 检查 f ( x) 在驻点左右的正负号或 f ( x) 在 该点的符号, 判断极值点; (4) 求极值.
例 求出函数 f ( x) x3 3x2 9x 5 的极值. 解 f ( x) 3x2 6x 9 3( x 1)(x 3) 令 f ( x) 0， 得驻点 x1 1, x2 3. 列表讨论
注意单调区间的表示方法!
课堂练习:
1. 函数 y 2x 3 6x 2 18x 7 单调区间为________ y' 6x2 12x 18 6( x 1)( x 3) (,1],[3,) 单调增加,
[1,3]
单调减少；
2.
函数
y
2x 1 x2
在区间[-1,1]上单调__增__加____，
曲线的拐点及其求法
1、定义 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点. 2、拐点的求法 (1). 求f ''( x); (2). 解出f ''( x)=0在区间内的所有实根;
(3). 对于(2)中解出的每一个实根,判断其左,右两 侧f ''( x)的符号. 当f ''( x)在根的两侧符号相反时, 此点是拐点; 当f ''( x)在根的两侧符号相同时, 此点不是拐点;
但在(, 0)内, y 0, 曲线在(, 0]上是凹的;
在(0, )内, y 0, 曲线在[0, )上是凸的.
点(0, 0)是曲线 y 3 x的拐点.
注意: 若 f ( x0 ) 不存在, 点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能
是连续曲线 y f ( x) 的拐点.
三. 函数的极值及其求法
第三章知识要点
2013-06-20
一. 函数单调性的判定法
定理 设函数y f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内 可导. 10如果在(a, b)内f ( x) 0，那末函数y f ( x)在 [a, b]上单调增加； 20 如果在(a, b)内f ( x) 0，那末函数y f ( x)在 [a, b]上单调减少.
y
B
凸
A
o
a
bx
f ( x) 递减 y 0
推论 如果 f ( x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b) 内具有
一阶和二阶导数,若在 (a,b)内 (1) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a,b] 上的图形是凹的; (2) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a,b] 上的图形是凸的.
2 3
(23 ,)
f ( x)
0
0
f ( x) 凹的 拐点 凸的 拐点 凹的
( 1 3 ,102 81)
( 2 3 ,129 81)
凹凸区间为 (, 1 3], [ 1 3 , 2 3], [2 3 , ).
例 求曲线 y 3 x 的拐点.
解
y
1
2
x 3,
y
2
x
5 3
,
3
9
x 0是不可导点, y, y均不存在.
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
y
y f (x)
a o x1
x2 x3
x4
b :极大值可能小于极小 值,极小值可能大于极大值.
定理(必要条件) 设 f ( x)在点 x0 处具有导数,且 在 x0处取得极值,那末必定 f '( x0 ) 0.
例 求曲线 y 3x4 6x3 4x2 1的拐点及
凹、凸的区间.
解 D : (, ) y 12x3 18x2 8x,
y 36x2 36x 8 4(9x2 9x 2) 4(3x 1)(3x 2)
令y 0,
得
x1
1 3
,
x2
2 3
.
x
(, 13)
1 3
(
1 3
,
2
3)
定义 设函数f ( x)在区间(a,b)内有定义, x0是 (a , b)内 的 一 个 点,
如果存在着点x0的一个邻域,对于这邻域内的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极大值;
如果存在着点x0的一个邻域,对于这邻域内的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.
有 f '( x) 0，则 f ( x)在 x0处取得极小值.
(3)如果当 x ( x0 , x0 )及 x ( x0 , x0 )时, f '( x)符
号相同,则 f ( x)在 x0处无极值.
定理(第二充分条件) 设 f ( x)在 x0处具有二阶导数, 且 f '( x0 ) 0, f ''( x0 ) 0, 那末 (1)当 f ''( x0 ) 0时, 函数 f ( x)在 x0处取得极大值; (2)当 f ''( x0 ) 0时, 函数 f ( x)在 x0处取得极小值.
1 x f ( x)在[0, )上连续, 且(0, )可导，f ( x) 0,
在[0, )上单调增加； f (0) 0,
当x 0时，x ln(1 x) 0, 即 x ln(1 x).
二. 曲线的凹凸与拐点
y
y f (x) B
凹
A
oa
bx
f ( x) 递增 y 0
y f (x)