(4份试卷汇总)2019-2020学年马鞍山市中考第三次大联考数学试卷

2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．下列运算正确的是（ ） A.3a ＋2a ＝a 5 B.a 2·a 3＝a 6 C.（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2
D.(a ＋b)2＝a 2＋b 2
2．如果两个数的和是负数，那么这两个数
A.同是正数
B.同为负数
C.至少有一个为正数
D.至少有一个为负数
3．已知反比例函数2
y -x
=，点A （a-b ，2），B （a-c ，3）在这个函数图象上，下列对于a ，b ，c 的大小判断正确的是（ ） A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜b ＜a D ．b ＜c ＜a
4．计算：2-－2的结果是( ) A ．4
B ．1
C ．0
D ．－4
5．已知抛物线y=ax 2
+bx+c 中，4a-b=0，a-b+c>0，抛物线与x 轴有两个不同的交点，且这两个交点之间的距离小于2，则下列判断错误的是（ ） A.abc > 0
B.c < 3a
C.4a > c
D.a+b+c > 0
6．将一幅三角尺如图所示的方式摆放（两条直角边在同一条直线上，且两锐角顶点重合），连接另外两条锐角顶点，并测得147o ∠=，则2∠的度数为（ ）
A ．60°
B ．58°
C ．45°
D ．43°
7．在同一坐标系中，函数k
y x
=
和3y kx =-+的大致图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ．
8．如图所示，四边形ABCD 是边长为3的正方形，点E 在BC 上，BE ＝1，△ABE 绕点A 逆时针旋转后得到△ADF ，则FE 的长等于（ ）
A ．2
B ．3
C ．3
D ．5
9．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
10．一艘轮船从A港出发，沿着北偏东63︒的方向航行，行驶至B处时发现前方有暗礁，所以转向北偏西27︒方向航行，到达C后需要把航向恢复到出发时的航向，此时轮船航行的航向向顺时针方向转过的度数为（）
A.63︒
B.27︒
C.90︒
D.50︒
11．某校拟招聘一名应届毕业数学教师，现有甲、乙、丙三名教师入围，三名教师笔试、面试成绩如表所示，综合成绩按照笔试占60%、面试占40%进行计算，学校录取综合成绩得分最高者，则被录取教师的综合成绩为（）
教师成绩甲乙丙
笔试80分82分78分
面试76分74分78分
12．一个圆锥的主视图是边长为6cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于（）
A．36 πcm2B．24πcm2C．18πcm2D．12 πcm2
二、填空题
13．比较大小：385（选用＜、＝、＞填空）
14．x与y的平方和一定是非负数，用不等式表示为____．
15．在Rt△ABC中，∠BAC=30°，斜边AB=23，动点P在AB边上，动点Q在AC边上，且∠
CPQ=90°，则线段CQ长的最小值=__________ .
16
2
1
9(1)
2
-
⎛⎫
+-- ⎪
⎝⎭
＝_____．
17．计算331)的结果等于_____________．
1863
3
-
_____．
三、解答题
19．在一块直角三角形的废料上，要裁下一个半圆形的材料，并且要半圆的直径在斜边AB上，且充分利用原三角形废料．
（1）试画出你的设计（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）
（2）若AC=4，BC=3，试计算出该半圆形材料的半径．
20．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE 的长．
21．某服饰公司为我学校七年级学生提供L码、M码、S码三种大小的校服，我校1000名学生购买校服，随机抽查部分订购三种型号校服的人数，得到如图统计图：
（1）一共抽查了人；
（2）购买L码人数对应的圆心角的度数是；
（3）估计该服饰公司要为我校七年级学生准备多少件M码的校服？
22．从共享单车，共享汽车等共享出行到共享雨伞等共享物品，各式各样的共享经济模式在各个领域迅速的普及，根据国家信息中心发布的中国分享经济发展报告2017显示，参与共享经济活动超6 亿人，比上一年增加约1亿人．
（1）为获得北京市市民参与共享经济活动信息，下列调查方式中比较合理的是；
A．对某学校的全体同学进行问卷调查
B．对某小区的住户进行问卷调查
C．在全市里的不同区县，选取部分市民进行问卷调查
（2）调查小组随机调查了延庆区市民骑共享单车情况，某社区年龄在12～36岁的人有1000人，从中随机抽取了100人，统计了他们骑共享单车的人数，并绘制了如下不完整的统计图表．如图所示．骑共享单车的人数统计表
年龄段（岁）频数频率
12≤x＜16 2 0.02
16≤x＜20 3 0.03
20≤x＜24 15 a
24≤x＜28 25 0.25
28≤x＜32 b 0.30
32≤x＜36 25 0.25
根据以上信息解答下列问题：
①统计表中的a＝；b＝；
②补全频数分布直方图；
③试估计这个社区年龄在20岁到32岁（含20岁，不含32岁）骑共享单车的人有多少人？
23．解方程：
（1）2x﹣3＝1
（2）1+
2
21
x
x-
＝
2
x
（3）2x2﹣4x+1＝0．
24．如图，▱ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，求证：∠ADE＝∠CBF．
25．先化简，再求值：
2
2
31
422
a a a
a a a
-
÷-
-+-
，其中4
a=.
【参考答案】***
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D B C B B D D A C A C
13．＜．
14．x2＋y2≥0
15．2
16．0
17．2
1823
三、解答题
19．（1）答案见解析;(2)12
7
.
【解析】
【分析】
（1）作∠ACB的角平分线交AB于O，过O作OE⊥AC于E，以O为圆心，OE为半径作圆交AB于D、F．图中半圆即为所求．
（2）作OH⊥BC于H．首先证明OE=OH，设OE=OH=r，利用面积法构建方程求出r即可．
【详解】
解：（1）作∠ACB的角平分线交AB于O，过O作OE⊥AC于E，以O为圆心，OE为半径作圆交AB于D、F．
（2）∵OC平分∠ACB，OE⊥AC，OH⊥BC，
∴OE=OH，设OE=OH=r，
∵S△ABC=1
2
•AC•BC=
1
2
•AC•r+
1
2
•BC•r，
∴r=12
7
．
【点睛】
本题考查作图-应用与设计，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，学会利用面积法构建方程解决问题．
20．4
【解析】
【分析】
根据角平分线定义和平行线的性质求出∠D=∠CBD,求出BC=CD=4;利用两个角对应相等证得△AEB∽△CED,
得出比例AB AE
CD CE
= , 代值,求出AE=2CE,即可得出答案
【详解】
∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠ABD，
∴∠D＝∠CBD，
∴BC＝CD，
∵BC＝4，
∴CD＝4，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴AB AE CD CE
=，
∴8
4
＝
AE
CE
，
∴AE＝2CE，
∵AC＝6＝AE+CE，
∴AE＝4．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和判定和等腰三角形的判定、平行线的性质等知识点,能求出AE=2CE和△ABE△CDE是解此题的关键;
21．（1）100；（2）108°；（3）480（件）.
【解析】
【分析】
（1）由S码衣服的人数及其所占百分比可得被调查的总人数；
（2）用360°乘以L码衣服的人数所占比例即可得；
（3）用总人数乘以样本中M码衣服的人数所占比例即可得．
【详解】
解：（1）本次调查的总人数为22÷22%＝100人，
故答案为：100；
（2）购买L码人数对应的扇形的圆心角的度数是360°×
30
100
＝108°，
故答案为：108°；
（3）估计该服饰公司要为我校七年级学生准备M码的校服1000×1003022
100
--
＝480（件）．
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．（1）C；（2）①0.15，30；②见解析；③估计这个社区年龄在20岁到32岁（含20岁，不含32岁）骑共享单车的人有700人．
【解析】
【分析】
（1）根据抽样调查的定义可得；
（2）①根据“频率＝频数÷总数”可分别求得a、b的值；
②由①中所求数据可补全图形；
③总人数乘以样本中第3、4、5组的频率之和可得答案．
【详解】
解：（1）调查方式中比较合理的是C，
故答案为：C；
（2）①a＝15÷100＝0.15，b＝100×0.3＝30，
故答案为：0.15，30；
②补全图形如下：
③1000×（0.15+0.25+0.3）＝700（人），
答：估计这个社区年龄在20岁到32岁（含20岁，不含32岁）骑共享单车的人有700人．
【点睛】
本题考查条形图、频率分布表、样本估计总体等知识，解题的关键是记住频率＝频数÷总数，频率之和为1，属于中考常考题型．
23．（1）x＝2；（2）x＝2
5
；（3）x1＝1+
2
2
，x2＝1﹣
2
2
.
【解析】
【分析】
（1）先移项，然后化未知数系数为1；
（2）先去分母，然后解一元一次方程；记住，要验根；（3）利用配方法解方程．
【详解】
（1）由原方程移项，得
2x＝4，
化未知数系数为1，得
x＝2；
（2）去分母，并整理，得
5x﹣2＝0，
解得，x＝2
5
；
经检验，x＝2
5
是原方程的解；
（3）由原方程，得2（x﹣1）2＝1，
∴x＝1±
2
2
，
∴原方程的根是：x1＝2
，x2＝1
2
．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程、分式方程以及一元一次方程．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
24．详见解析
【解析】 【分析】
先利用平行四边形的性质证得AD=CB ，∠A=∠C ，AB=CD ，得AE=CF ，证得△CFB ≌△AED 后即可得到∠ADE=∠CBF ． 【详解】
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴∠A ＝∠C ，AD ＝CB ，AB ＝CD ， 又∵点E ，F 分别是AB ，CD 的中点 ∴AE ＝CF ＝
12AB ＝1
2
CD ， ∴△CFB ≌△AED （ASA ）． ∴∠ADE ＝∠CBF ． 【点睛】
本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 25．【解析】 【分析】
根据分式的乘除法则和加减运算法则进行计算化简，再代入已知值计算. 【详解】 原式()()
()()()()()()()a
a 21111a 31
a 2a 2a a 3a 2a 2a 3a 2a 2a 3a 2a 3a 3
+-=
⨯
+=+=+=+-----------，
当a 4=时，原式1
143
==-. 【点睛】
考核知识点：分式的化简求值.掌握分式运算法则是关键.
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC，按如图所示方式放置，其中A、B两点分别落在直线m、n上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（）
A.35°
B.30°
C.25°
D.55°
2．如图是光明中学乒乓球队队员年龄分布的条形图．这些年龄的众数、中位数依次分别是 ( )
A.15，15
B.15，15.5
C.14.5，15
D.14.5，14.5
3．“山西八分钟，惊艳全世界”.2019年2月25日下午，在外交部蓝厅隆重举行山西全球推介活动．山西经济结构从“一煤独大”向多元支撑转变，三年累计退出煤炭过剩产能8800余万吨，煤层气产量突破56亿立方米．数据56亿用科学记数法可表示为（）
A．56×108B．5.6×108C．5.6×109D．0.56×1010
4．下面的几何图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）
A.等边三角形
B.圆
C.平行四边形
D.正六边形
5．一个大平行四边形按如图方式分割成九个小平行四边形且只有标号为①和②的两个小平行四边形为菱形，在满足条件的所有分割中，若知道九个小平行四边形中n个小平行四边形的周长，就一定能算出这个大平行四边形的长，则n的最小值是（）
A.2
B.3
C.4
D.5
6．将直角三角形纸片按如图方式折叠，不可能折出（）
A.直角
B.中位线
C.菱形
D.矩形
7．函数37y x x =-+-中自变量x 的取值范围是（ ）
A ．x≥3
B ．x≤7
C ．3≤x≤7
D ．x≤3或x≥7
8．O 为等边△ABC 所在平面内一点，若△OAB 、△OBC 、△OAC 都为等腰三角形，则这样的点O 一共有
（ ） A ．4
B ．5
C ．6
D ．10
9．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，在以AB 的中点O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC 绕点B 顺时针旋转，使点A 旋转至y 轴的正半轴上的点A′处，若AO ＝OB ＝2，则阴影部分面积为（ ）
A.π
B.
2
3
π﹣1 C.
43
π
+1 D.
43
π 10．已知一个圆锥的底面半径为5cm ，高为11cm ，则这个圆锥的侧面积为( ) A ．511πcm 2 B ．30πcm 2
C ．65πcm 2
D ．85πcm 2
11．已知一多边形的每一个内角都等于150°，则这个多边形是（ ）
A ．十二边形
B ．十边形
C ．八边形
D ．六边形
12．在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出两个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为（ ） A ．
16
B ．
14
C ．
13
D ．
12
二、填空题
13．因式分解：222m mn n -+=___________；
14．已知a ＋b ＝3，a －b ＝5，则代数式a 2－b 2的值是________.
15．为了了解某地区45000名九年级学生的睡眠情况，运用所学统计知识解决上述问题所要经历的几个主要步骤：①抽样调查；②设计调查问卷；③用样本估计总体；④整理数据；⑤分析数据，按操作的先后进行排序为____．（只写序号） 16．若x+2y ＝4，则4+x+y ＝_____．
17．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB ，CD 相交于点P ，则△PBD 与△PAC 的面积比为_____．
18．不等式组26123x x x x
＜≥-⎧⎨
-⎩的解集是_____． 三、解答题 19．阅读材料，解决问题：
如图，为了求平面直角坐标系中任意两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）之间的距离，可以AB 为斜边作Rt △ABC ，则点C 的坐标为C （x 2，y 1），于是AC ＝|x 1﹣x 2|，BC ＝|y 1﹣y 2|，根据勾股定理可得AB ＝221212()()x x y y -+-，反之，可以将代数式221212()()x x y y -+-的值看做平面内点（x 1，y 1）到点（x 2，y 2）的距离．
例如∵222610x x y y ++-+=22(21)(69)x x y y +++-+ =22(1)(3)x y ++-，可将代数式222610x x y y ++-+看作平面内点（x ，y ）到点（﹣1，3）的距离
根据以上材料解决下列问题
（1）求平面内点M （2，﹣3）与点N （﹣1，3）之间的距离；
（2）求代数式2222682510429x y x y x y x y +--++++-+的最小值．
20．某服饰公司为我学校七年级学生提供L 码、M 码、S 码三种大小的校服，我校1000名学生购买校服，随机抽查部分订购三种型号校服的人数，得到如图统计图：
（1）一共抽查了 人；
（2）购买L 码人数对应的圆心角的度数是 ；
（3）估计该服饰公司要为我校七年级学生准备多少件M 码的校服？
21．先化简，再求代数式22()a b b a b a b a b a b
---÷+-+的值，其中a ＝3-1，b ＝(﹣2)0 22．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，且对角线AC 为直径，AD ＝BC ，过点D 作DG ⊥AC ，垂足为E ，DG 分别与AB ，⊙O 及CB 延长线交于点F 、G 、M ．
（1）求证：四边形ABCD 为矩形；
（2）若N 为MF 中点，求证：NB 是⊙O 的切线；
（3）若F 为GE 中点，且DE ＝6，求⊙O 的半径．
23．如图，在矩形ABCD 中，点E 在CD 上，且DE ：CE ＝1：3，以点A 为圆心，AE 为半径画弧，交BC 于点F ，若F 是BC 中点，则AD ：AB 的值是( )
A ．6：5
B ．5：4
C ．6：5
D ．5：2
24．（1）计算:+--o 08(12)2sin 45
（2）化简：2
2()a b ab b a a a
--÷- 25．如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 边上的一点，且AE ⊥BD ，垂足为点F ，∠DAE ＝2∠BAE ．
（1）求证：BF ：DF ＝1：3；
（2）若四边形EFDC 的面积为11，求△CEF 的面积．
【参考答案】***
一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A C A B C C D D B
A D
13．2()m n -
14．15
15．②①④⑤③
16．6
17．1:9
18．2≤x＜3
三、解答题
19．（1）52）17【解析】
【分析】
（1）依据两点间的距离公式进行计算即可；
（2）先将原式变形，即可将原式可以看作点P （x ，y ）到点（3，4）和点（﹣5，2）的距离之和，求得AB 的长，即可得到该代数式的最小值．
【详解】
（1）MN 22(21)(33)936++--+5
（2
，
∴原式可以看作点P（x，y）到点（3，4）和点（﹣5，2）的距离之和，
∴当点P（x，y）在线段AB上时，原式有最小值，
∵AB
∴原式的最小值为．
【点睛】
本题主要考查了两点间距离公式的应用，求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用两点间距离公式．
20．（1）100；（2）108°；（3）480（件）.
【解析】
【分析】
（1）由S码衣服的人数及其所占百分比可得被调查的总人数；
（2）用360°乘以L码衣服的人数所占比例即可得；
（3）用总人数乘以样本中M码衣服的人数所占比例即可得．
【详解】
解：（1）本次调查的总人数为22÷22%＝100人，
故答案为：100；
（2）购买L码人数对应的扇形的圆心角的度数是360°×
30
100
＝108°，
故答案为：108°；
（3）估计该服饰公司要为我校七年级学生准备M码的校服1000×1003022
100
--
＝480（件）．
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．
2a
a b
-
；-1.
【解析】
【分析】
将代数式括号中的先进行通分后，利用提公因式对分子进行因式分解，平方差公式对分母进行因式分解来化简，最后代入a，b的值计算.
【详解】
解：原式＝(2)()()
()()
a b a b b a b
a b a b
---+
+-
÷
2
a b
a b
-
+
＝
2
24
()()2
a a
b a b a b a b a b
-+
⋅
+--
＝
2(2)
()()2 a a b a b a b a b a b
-+
⋅
+--
＝
2a
a b
-
，
a＝3-1=1
3
，b＝(﹣2)0＝1，
当a＝1
3
，b＝1时，原式＝
2a
a b
-
=
1
2
3
1
1
3
⨯
-
＝﹣1．
【点睛】
本题考查了代数式的化简求值，注意本题类型题不要出现符号计算错误即可.
22．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）⊙O
．
【解析】
【分析】
（1）根据AC为⊙O直径，得到∠ADC＝∠CBA＝90°，通过全等三角形得到CD＝AB，推出四边形ABCD是平行四边形，根据矩形的判定定理得到结论；
（2）根据直角三角形的性质得到NB＝1
2
MF＝NF，根据等腰三角形的性质和余角的性质即可得到NB是⊙
O的切线；
（3）根据垂径定理得到DE＝GE＝6，根据四边形ABCD是矩形，得到∠BAD＝90°，根据余角的性质得到
∠FAE＝∠ADE，推出△AEF∽△DEA，根据相似三角形的性质列比例式得到AE＝
，连接OD，设⊙O的
半径为r，根据勾股定理列方程即可得到结论．【详解】
解：（1）∵AC为⊙O直径，
∴∠ADC＝∠CBA＝90°，
在Rt△ADC与Rt△CBA中，
AC AC AD BC
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴Rt△ADC≌Rt△CBA，
∴CD＝AB，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠CBA＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）连接OB，
∵∠MBF＝∠ABC＝90°，
∴NB＝1
2
MF＝NF，
∴∠1＝∠2，
∵∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵OB＝OA，
∴∠5＝∠4，
∵DG⊥AC，
∴∠AEF＝90°，∴∠3+∠4＝90°，∴∠1+∠5＝90°，
∴OB⊥NB，
∴NB是⊙O的切线；
（3）∵AC为⊙O直径，AC⊥DG，∴DE＝GE＝6，
∵F为GE中点，
∴EF＝GF＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∴∠FAE+∠DAE＝90°，
∵∠ADE+∠DAE＝90°，
∴∠FAE＝∠ADE，
∵∠AEF＝∠DEA＝90°，
∴△AEF∽△DEA，
∴AE EF DE AE
，
∴AE＝32，
连接OD，设⊙O的半径为r，∴OA＝OD＝r，OE＝r﹣32，∵OE2+DE2＝OD2，
∴（r﹣32）2+62＝r2，
∴r＝92
2
，
∴⊙O的半径是92
．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，证得AEF∽△DEA是解决（3）的关键．
23．D
【解析】
【分析】
设DE＝a，CE＝3a，可得CD＝4a＝AB，由勾股定理可得
2
4
AD
+16a2＝a2+AD2，可得AD＝5，即可求
解．
【详解】
解：∵DE：CE＝1：3，∴设DE＝a，CE＝3a，∴CD＝4a＝AB，
∵F 是BC 中点，
∴BF ＝12BC ＝12
AD ， ∵以点A 为圆心，AE 为半径画弧，交BC 于点F
∴AE ＝AF
∵AF 2＝BF 2+AB 2，AE 2＝DE 2+AD 2， ∴2
4
AD +16a 2＝a 2+AD 2，
∴AD ＝，
∴AD ：AB 2
故选：D ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，用参数表示AB 和AD 的长是本题的关键．
24．1;(2)
1a b - 【解析】
【分析】
（1）先化简二次根式，计算零指数幂，代入特殊角的三角函数值，然后合并同类二次根式即可；
（2）通分计算括号内分式的减法，然后将除法转化为乘法，分子、分母分解因式后约分即可；
【详解】
(1)解：原式=12+-⨯
1； (2)解：原式=22
2a b a ab b a a
--+÷ =()2
a b a a a b -⋅- =
1a b -． 【点睛】
本题考查了含特殊角三角函数的实数运算和分式的混合运算，熟记特殊角三角函数值和分式的运算法则是解决此题的关键．
25．（1）详见解析；（2）2.
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件得到∠DAE ＝60°，∠BAE ＝30°，又AE ⊥BD ，得到tan 303
BF AF ︒==， DF
tan 60AF
︒==
（2）根据已知条件得到△BEF ∽△BDC ，求得∠ABF ＝60°，得到∠FBE ＝30°，求得BF BE 2
=，
BE BF =，由于BD ＝4BF
，得到BE BD =，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 为矩形，∠DAE ＝2∠BAE ，
∴∠DAE ＝60°，∠BAE ＝30°，
又∵AE ⊥BD ，
∴tan 30BF AF ︒==
DF tan 60AF ︒== ∴BF ：DF ＝1：3；
（2）解：∵∠FBE ＝∠CBD ，∠BFE ＝∠DCB ，
∴△BEF ∽△BDC ，
∵∠BAE ＝30°，
∴∠ABF ＝60°，
∴∠FBE ＝30°，
∴BF BE =，
∴BE BF 3
=， ∵BD ＝4BF ，
∴
6BE BD =， ∴BFE BCD S S ∆=V 112
BFE B E EF FDC S S S ∆+=V 四边形， ∵S 四边形EFDC ＝11，
∴S △BEF ＝1，
∵
6BF BE BC BD ==
，BF BE 2=， ∴
13=BE BC ， ∴12
BE EC =， ∴S △CEF ＝1×2＝2．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，特殊角的三角函数值，三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键．
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．若x+y＝3且xy＝1，则代数式（1+x）（1+y）的值等于（）
A.5
B.﹣5
C.3
D.﹣3
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CBA＝30°，AE平分∠CAB交BC于D，BE⊥AE于E，给出下列结论：①BD＝2CD；②AE＝3DE；③AB＝AC+BE；④整个图形（不计图中字母）不是轴对称图形．其中正确的结论有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3．下列命题是真命题的是（）
A．一元二次方程一定有两个实数根
B．对于反比例函数y＝2
x
，y随x的增大而减小
C．有一个角是直角的四边形是矩形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
4．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（10，12），点B在x轴上，AO＝AB，点C在线段OB上，且OC＝3BC，在线段AB的垂直平分线MN上有一动点D，则△BCD周长的最小值为（）
A. B.13 C. D.18
5．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，第一季度共获利42万元，已知二月份和三月份利润的月增长率相同．设二、三月份利润的月增长率x，那么x满足的方程为（）
A．10（1+x）2＝42
B．10+10（1+x）2＝42
C．10+10（1+x）+10（1+2x）＝42
D．10+10（1+x）+10（1+x）2＝42
6．如图1，一辆汽车从点M处进入路况良好的立交桥，图2反映了它在进入桥区行驶过程中速度（千米/时）与行驶路程（米）之间的关系.根据图2，这辆车的行车路线最有可能是（）
A. B. C. D.
7．在二次根式①24b b ac -±- ②5
x ③2x xy - ④ 27abc 中，最简二次根式是（ ） A ．①② B ．③④
C ．①③
D ．①④ 8．如图，AB ∥CD ，直线MN 与AB 、CD 分别交于点
E 、
F ，F
G 平分∠EFD ，EG ⊥FG 于点G ，若∠CFN ＝110°，则∠BEG ＝( )
A ．20°
B ．25°
C ．35°
D ．40°
9．如图，这是一幅2018年俄罗斯世界杯的长方形宣传画，长为4m ，宽为2m.为测量画上世界杯图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宜传画内随机投掷骰子(假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的)，经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4左右.由此可估计宜传画上世界杯图案的面积为( )
A ．22.4m
B ．23.2m
C ．24.8m
D ．27.2m 10．菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为28，则OH 的长等于（ ）
A ．3.5
B ．4
C ．7
D ．14
11．一艘轮船从A 港出发，沿着北偏东63︒的方向航行，行驶至B 处时发现前方有暗礁，所以转向北偏
西27︒方向航行，到达C后需要把航向恢复到出发时的航向，此时轮船航行的航向向顺时针方向转过的度数为（）
A.63︒
B.27︒
C.90︒
D.50︒
12．若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是（）A.矩形 B.菱形
C.对角线相等的四边形
D.对角线互相垂直的四边形
二、填空题
13．如图，，，，，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则线段的长为______.
14．在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，则点A到对角线BD的距离为___________
15．已知一纸箱中，装有5个只有颜色不同的球，其中2个白球，3个红球，若往原纸箱中再放入x个白球，然后从箱中随机取出一个白球的概率是，则x的值为_____
16．4与9的比例中项是_____．
17x+1在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
18．﹣9
5
的绝对值是_____．
三、解答题
19．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+a2+2的顶点C，过点B(0，t)作与y轴垂直的直线l，分别交抛物线于E，F两点，设点E(x1，y1)，点F(x2，y2)(x1＜x2)．
(1)求抛物线顶点C的坐标；
(2)当点C到直线l的距离为2时，求线段EF的长；
(3)若存在实数m，使得x1≥m﹣1且x2≤m+5成立，直接写出t的取值范围．
20．解方程：
11
1
2
x x
x x
-+
-=．
21．如图，A、B两点在反比例函数
k
y
x
=（k＞0，x＞0）的图象上，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，
点A的横坐标为a，点B的横坐标为b，且a＜b．
（1）若△AOC的面积为4，求k值；
（2）若a＝1，b＝k，当AO＝AB时，试说明△AOB是等边三角形；
（3）若OA＝OB，证明：OC＝OD．
22．先化简，再求值：(a+
2
2ab b
a
+
)÷
22
2
a b
a ab
-
-
，其中a＝﹣2，b＝3．
23．如图，AB⊥EF，DC⊥EF，垂足分别为B、C，且AB＝CD，BE＝CF．AF、DE相交于点O，AF、DC相交于点N，DE、AB相交于点M．
（1）请直接写出图中所有的等腰三角形；
（2）求证：△ABF≌△DCE．
24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E在AB上，连接DE并延长交CA的延长线于点F，且∠AEF＝2∠C．
（1）判断直线FD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AE＝2，EF＝4，求⊙O的半径．
25．某校为了解高一年级住校生在校期间的月生活支出情况，从高一年级600名住校学生中随机抽取部分学生，对他们今年4月份的生活支出情况进行调查统计，并绘制成如下统计图表：
组别月生活支出x（单位：元）频数（人数）频率
第一组x＜300 4 0.10
第二组300≤x＜350 2 0.05
第三组350≤x＜400 16 n
第四组400≤x＜450 m 0.30
第五组450≤x＜500 4 0.10
第六组x≥500 2 0.05
（1）在这次调查中共随机抽取了名学生，图表中的m＝，n ；
（2）请估计该校高一年级600名住校学生今年4月份生活支出低于350元的学生人数；
（3）现有一些爱心人士有意愿资助该校家庭困难的学生，学校在本次调查的基础上，经过进一步核实，
确认高一（2）班有A，B，C三名学生家庭困难，其中A，B为女生，C为男生．李阿姨申请资助他们中的两名，于是学校让李阿姨从A，B，C三名学生中依次随机抽取两名学生进行资助，请用列表法（或树状图法）求恰好抽到A，B两名女生的概率．
【参考答案】***
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C D D D D C C B A C D
二、填空题
13．
14．12
5
cm
15．
16．±6 17．x≥﹣1
18．9 5
三、解答题
19．(1)(a，2)；(2)EF＝22；(3)2＜t≤11．
【解析】
【分析】
（1）利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，进而可得出顶点C的坐标；
（2）由抛物线的开口方向及点C到直线l的距离为2，可得出直线l的解析式为直线y=4，再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点E，F的坐标，进而可得出线段EF的长；
（3）代入y=t可求出点E，F的坐标，进而可得出线段EF的长，结合存在实数m，使得x1≥m-1且
x2≤m+5成立，可得出关于t的不等式组，解之即可得出t的取值范围．
【详解】
(1)∵y＝x2﹣2ax+a2+2＝(x﹣a)2+2，
∴抛物线顶点C的坐标为(a，2)；
(2)如图：
∵1＞0，
∴抛物线开口向上，
又∵点C(a，2)到直线l的距离为2，直线l垂直于y轴，且与抛物线有交点，
∴直线l的解析式为y＝4．
当y ＝4时，x 2﹣2ax+a 2
+2＝4， 解得：x 1＝a
，x 2＝
，
∴点E 的坐标为(a
，4)，点F 的坐标为
，4)， ∴EF ＝
﹣(a
)＝
； (3)当y ＝t 时，x 2﹣2ax+a 2+2＝t ， 解得：x 1＝a
x 2＝
∴EF ＝
又∵存在实数m ，使得x 1≥m﹣1且x 2≤m+5成立，
∴206t ->⎧⎪⎨⎪⎩
，
解得：2＜t≤11． 【点睛】
本题考查了二次函数的三种性质、二次函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式以及解不等式组，解题的关键是：（1）利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点E ，F 的坐标；（3）由线段EF 长度的范围，找出关于t 的不等式组． 20．x ＝﹣3 【解析】 【分析】
两边都乘以2x 化分式方程为整式方程，解整式方程求得x 的值，最后代入最简公分母检验即可得； 【详解】
解：方程两边都乘以2x ，得 2（x ﹣1）﹣（x+1）＝2x 2x ﹣2﹣x ﹣1＝2x ﹣x ＝3 x ＝﹣3
检验：把x ＝﹣3代入2x ＝﹣6≠0， ∴原方程的解为：x ＝﹣3． 【点睛】
本题主要考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的基本步骤． 21．（1）8（2）△AOB 是等边三角形（3）见解析 【解析】 【分析】
（1）由反比例函数系数k 的几何意义解答；
（2）根据全等三角形△ACO ≌△BDO （SAS ）的性质推知AO ＝BO ，结合已知条件AO ＝AB 得到：AO ＝BO ＝AB ，故△AOB 是等边三角形；
（3）证明：在Rt △ACO 和Rt △BDO 中，根据勾股定理得：AO 2
＝AC 2
+OC 2
，BO 2
＝BD 2
+OD 2
，结合已知条件OA ＝OB ，得到：AC 2+OC 2＝BD 2+OD 2，由坐标与图形性质知：2
22
2
()()k
k a b a
b
+=+，整理得到：
2
2
22()()k k a b b a -=- ，22222
22
(k a b a b a b --=），易得k b a =，故OC ＝OD ．
【详解】
解：（1）∵AC ⊥y 轴于点C ，点A 在反比例函数k
y x
=（k ＞0，x ＞0）的图象上，且△AOC 的面积为4， ∴
1
2
|k|＝4， ∴k ＝8；
（2）由a ＝1，b ＝k ，可得A （1，k ），B （k ，1）， ∴AC ＝1，OC ＝k ，OD ＝k ，BD ＝1， ∴AC ＝BD ，OC ＝OD ．
又∵AC ⊥y 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ， ∴∠ACO ＝∠BDO ＝90°， ∴△ACO ≌△BDO （SAS ）． ∴AO ＝BO ． 又AO ＝AB ， ∴AO ＝BO ＝AB ， ∴△AOB 是等边三角形；
（3）证明：在Rt △ACO 和Rt △BDO 中，根据勾股定理得：AO 2＝AC 2+OC 2，BO 2＝BD 2+OD 2， ∵OA ＝OB ，
∴AC 2+OC 2＝BD 2+OD 2，
即有：2
22
2
()()k k a b a
b
+=+，
∴2
2
22()()k k a b b a -=-，22222
22
(k a b a b a b
--=）， 因为0＜a ＜b ，所以a 2﹣b 2≠0，
∴2
221=k a b
，
∴
1k ab =±，负值舍去，得：1k ab =， ∴k b a
=，
∴OC ＝OD ．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k 的几何意义以及全等三角形的判定与性质，利用数形结合解决此类问题，是非常有效的方法． 22．a+b ，1. 【解析】 【分析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，
把a 与b 的值代入计算即可求出值． 【详解】
原式＝2222()()()
()()()()
a a
b b a a b a b a a b a a b a b a a b a b ++-+-⋅=⋅+-+-＝a+b ，
当a ＝﹣2，b ＝3时，原式＝1． 【点睛】
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 23．（1）△EOF ，△AOM ，△DON ；（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）可以证明△ABF ≌△DCE ，根据全等三角形对应角相等可得∠A ＝∠D ，∠DEC ＝∠AFB ，所以△EOF 是等腰三角形，再根据等角的余角相等可得∠A ＝∠AMO ，∠D ＝∠DNO ，从而得到△AOM 与△DON 也都是等腰三角形；
（2）由BE ＝CF ，可以证明EC ＝BF ，然后根据方法“边角边”即可证明△ABF 与△DCE 全等． 【详解】
（1）解：△EOF ，△AOM ，△DON ；
（2）证明：∵AB ⊥EF 于点B ，DC ⊥EF 于点C ， ∴∠ABC ＝∠DCB ＝90°， ∵CF ＝BE ， ∴CF+BC ＝BE+BC ， 即BF ＝CE…
在△ABF 和△DCE 中， AB DC
DCB BF CE =⎧⎪
⎨⎪=⎩
∠ABC=∠， ∴△ABF ≌△DCE ， 【点睛】
本题主要考查了全等三角形的证明，常用的方法有“边边边”，“边角边”，“角边角”，“角角边”，本题证明得到BF ＝CE 是解题的关键．
24．（1）直线FD 与⊙O 相切，理由详见解析；（2）⊙O 的半径为
【解析】 【分析】
（1）连接OD ，根据已知条件得到∠AEF ＝∠AOD ，等量代换得到∠AOD ＋∠AED ＝180°，求得∠ODF ＝90°，于是得到结论；
（2）解直角三角形得到∠F ＝30°，AF
=OF ＝2OD ，于是得到OD ＝FA ，即可得到结论． 【详解】
解：（1）直线FD 与⊙O 相切； 理由：连接OD ，
∵∠AEF ＝2∠C ，∠AOD ＝2∠C ， ∴∠AEF ＝∠AOD ， ∵∠AEF+∠AED ＝180°， ∴∠AOD+∠AED ＝180°， ∵∠BAC ＝90°，。