二次函数与相似三角形结合问题

⼆次函数与相似三⾓形结合问题
琢⽟教育个性化辅导讲义
教师姓名学科上课时间年⽉⽇学⽣姓名年级讲义序号
课题名称
教学⽬标1.会根据题⽬条件求解相关点的坐标和线段的长度；
2.掌握⽤待定系数法求解⼆次函数的解析式；
3.能根据题⽬中的条件，画出与题⽬相关的图形，继⽽帮助解题；
教学重点难点1.体会利⽤⼏何定理和性质或者代数⽅法建⽴⽅程求解的⽅法；
2.会应⽤分类讨论的数学思想和动态数学思维解决相关问题。

课前检查上次作业完成情况：优□良□中□差□建议_______________________________
教学内容知识结构：
⼀.⼆次函数知识点梳理：下图中0
a≠⼆.特殊的⼆次函数：下图中0
a≠
3
4
y x
=与BC边交于D点．
（1）求D点的坐标；
（2）若抛物线2
y ax bx
=+经过A、D两点，求此抛物线的表达式；
（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P是对称轴上⼀动点，以P、O、M为顶点的三⾓形与△OCD相似，求出符合条件的点P．
⽅法总结：
1.已知：如图，在平⾯直⾓坐标系xOy中，⼆次函数c
bx
x
y+
+
-
的图像经过点
A（－1，1）和点B（2，2），该函数图像的对称轴与直线OA、OB分别交于点C和点D．⼆次函数背景下相似三⾓形的解题⽅法和策略：
1.根据题意，先求解相关点的坐标和相关线段的长度；
2.待定系数法求解相关函数的解析式；
3.相似三⾓形中，注意寻找不变的量和相等的量（⾓和线段）；
4.当三⾓形的三边不能⽤题⽬中的未知量表⽰时，注意利⽤相似三⾓形的转化求解；
5.根据题⽬条件，注意快速、正确画图，⽤好数形结合思想；
6.注意利⽤好⼆次函数的对称性；
7.利⽤⼏何定理和性质或者代数⽅法建⽴⽅程求解都是常⽤⽅法。

（1）求这个⼆次函数的解析式和它的对称轴；（4分）
（2）求证：∠ABO=∠CBO；（4分）
（3）如果点P在直线AB上，且△POB与△BCD相似，求点P的坐标．（6分）
2.如图，抛物线2
15
2
22
y x x
=-+-与x轴相交于A、B，与y轴相交于点C，过点C作CD ∥x轴，交抛物线于点D。

点P是直线CD上⼀点，且△PAC与△ABC相似，求符合条件的点P坐标。

【参考教法】：
⼀．你能求出题⽬中点A B C D
、、、的坐标吗？（让学⽣独⽴计算求解）
⼆．点P的运动有什么特征吗？提⽰：点P的不同位置相似的情况不⼀样。

三．当△PAC与△ABC相似时：
1.需要讨论吗？提⽰：需要，根据点P的不同位置讨论
2.怎么讨论？根据点P的位置，分两⼤类讨论：
（1）当点P在C的左侧，由题意有PCA BAC
∠=∠，则分2类讨论：
①当△PAC∽△BAC时：
AC AC
PC AB
PC
=；
②当△PAC∽△ABC时：，
AC AB
PC AC
=，即
53
5
PC
=。

（2）点P在C的左侧，由题意有ACP ABC ACB CAB
∠≠∠≠∠≠∠，不存在。

3.情况分好了，那怎么计算呢？你算⼀下。

提⽰：让学⽣计算。

4题⽬分析完了吧！你算⼀下每⼀个情况看看！
5以后做题，可以把分类的情况先写下来，之后再计算求解。

6.根据本题的求解你有什么想法没？提⽰：
①⼆次函数中当点的坐标已知时，注意计算各线段的长度；
②注意及时画图，体会数形结合的思想。

y
x
O
A
B
1
1
-1
-1
【满分解答】：
当点P在C的左侧，由题意有PCA BAC
∠=∠，分两类讨论：
若
AC AC
PC AB
=，即
55
3
PC
=时，△PAC∽△BAC，此时CP=3，P(－3,－2); ------2 若
AC AB
PC AC
=，即
53
5
PC
=时，△PAC∽△ABC;此时CP=
5
3
，P(－
5
3
,－2).---2 当点P在C的左侧，由题意有ACP ABC ACB CAB
∠≠∠≠∠≠∠,不存在。

3.如图，在平⾯直⾓坐标系中，⼆次函数2
y ax bx c
=++的图像经过()
3,0
A-、()
1,0
B、()
0,3
C-三点，没该⼆次函数图像的顶点为D．（★★★）
（1）求这个⼆次函数的解析式及其图像的顶点D的坐际；
（2）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC，其中坐标轴的原点O对应点B，点M的对应点为C?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

【解法点拨】：
1.⼆次函数经过三点，可以根据待定系数法求解函数解析式；（让学⽣⾃⼰计算）
2.当△AOM∽△ABC时，字母已经对应好，⽆需分类讨论，则由△AOM∽△ABC得OA AM AB AC
=，所以
9
2
4
AM=。

⼜因为点M在线段AC上，且AC的解析式是：3
y x
=--，则可直接计算出点M的坐标。

3.注意及时画图，体会数形结合的思想。

【满分解答】：(1)由题意得：
930
3
a b c
a b c
c
-+=
++=
=-
解得：
1
2
3
a
b
c
=
=
=-
∴⼆次函数的解析式为223 y x x
=+-
顶点G的坐标是()
1,4
--。